第十章行波法和分离变量法本征值问题

1、2022-6-3第十章1第十章第十章 行波法和分离变量法行波法和分离变量法 本征值问题本征值问题(P198)2022-6-3第十章2简介 本章是本课程的重要内容. 本章讲授中应特别注意：体现思想,体现方法，培养学生对问题的整体把握能力；同时讲清分析问题解决问题过程中的关键环节，提高学生的逻辑推理能力.分方程的理论依据是分离变数法求解偏微本征值问题要方法是求解偏微分方程的主有限系统的分离变量法之一求解偏微分方程的方法波动方程的行波解法-基本内容：重点内容: 是掌握分离变数法的思想方法和主要步骤， 加深对本征值问题的理解.本章难点: 分离变数法及本征值问题.2022-6-3第十章310.1一维无界

2、区域的自由振动问题一维无界区域的自由振动问题 达朗贝尔公式达朗贝尔公式常微分方程的解法：通常先求方程的通解，再由定解条件确定通解 中的常数；或者将方程和定解条件作为整体求解.由波动方程于求解，如一维无界自极个别的存在通解也易难求有的虽存在通解，但很多数不存在通解 1 1 行波法和达朗贝尔公式行波法和达朗贝尔公式 2 解的物理解释解的物理解释2)定解问题作为整体，用分离变数法求解是基本方法(此外还有变分法、积分变换法、格林函数法). 偏微分方程:1)先求通解，再由定解条件定出定解问题的解，此法有局限性，2022-6-3第十章4)(),()( 0002xuxvxuauttxxttatxatx)(2

3、1)(21atxtuaxututxuxtxu2121),(),()1(21tax)1(21taxttxx0)1(41)1)(1(41222222utaxutaxtaxu1 1 行波法和达朗贝尔公式行波法和达朗贝尔公式作变量替换 2022-6-3第十章5)(d)(fuu)()(d)(d21fffuu)()(),(21atxfatxftxu)()()(21xxfxf)()()(21xxf axf a0210d)(1)()(caxfxfxx2d )(212)()(2d )(212)()(020100caxxfcaxxfxxxxd )(21)()(21atxatxaatxatxu先对 积分再对 积分通

4、解通解：代入初始条件： 达朗贝尔公式，适用于一维无界区域的自由波动问题.达朗贝尔公式达朗贝尔公式2022-6-3第十章6)(1atxf)(1fxxa2 解的物理解释解的物理解释 相对 轴不动，而 轴相对 轴以速度沿 正向运动2022-6-3第十章7 ,atx, 0)(x0)(x)()(21atxatxu)(0 xut2)(2)( atxatxxx轴负向传播一半沿轴正向传播一半沿f1(x-at):是以初始波形是以初始波形f1(x)、速度、速度a沿沿x轴轴正向传播正向传播的行波的行波;类似类似f2(x+at):是以初始波形是以初始波形f2(x)、速度、速度a沿沿x轴负向传播的轴负向传播的行波行波.

5、 激起的波初始位移分布一分为二 二者迭加即为其解.、0atx如，初始位移分布即2022-6-3第十章810.2一维半无界区域的自由振动问题一维半无界区域的自由振动问题初始条件的延拓初始条件的延拓（P200）1 齐次边界条件的效应齐次边界条件的效应 2 非齐次边界条件的情况非齐次边界条件的情况 3 定解问题定解问题：从半无界区域到有界区域 一维无界是指振动未传播到端点时，振动已可以忽略，此系统可视为无界的，若振动传播到边界处时振动必须考虑，则此系统为有界的.半无界问题是初始波动距一端较近，即必须考虑该端点的反射情况，而另一端则较远，而不需考虑其反射的影响.2022-6-3第十章90)(),()0

6、( 0002xtttttuxuxuxuauxx)0( )()0( )()()0( )()0( )()()( 0002xxxxxuxxxxxuxaautttxxtt, 0 x0 x1.1 1.1 x=0处为第一类齐次边界处为第一类齐次边界不能直接运用达朗贝尔公式,其次x=0端固定,若将其视为一维无界区域的自由振动,解u(x,t)一定是x的奇函数.这意味着可对定解问题进行奇延拓(详细论证见P201)真实存在的区域是所以下只考虑的情形即1 齐次边界条件的效应齐次边界条件的效应, 0atx2022-6-3第十章10axtaxtatx 0 0)( d)(21)()(21 d)(d)(21)()(21)(

7、 d)(21)()(2100axxaxatatxaatxxataxtaatxatxuatxxatatxatxatxatxaxt 0 xaxt ax0)(x0)(xaxt )(21atx )(21at)(21xat )(21at而，则半无界波动与一维无界波动在区域相同；与一维无界不同，固定端点x=0对x0处的影响需要经历的时间才能传播到.以、为例，向左传播的行波 向右传播的行波 在端点x=0处反射波同入射波差一负号，即位相相反这表明固定端反射波有半波损失固定端反射波有半波损失. 固定端为波节.在端点此波确切说是向左传播的波在端点反射的结果2022-6-3第十章112022-6-3第十章1200

8、xxu, 02xxttuau,)()()(0 xxxut.)()()(0 xxxuttatxxatatxatxaxtaxatatxaxtaatxatxtxu00 d)(d)(21)()(21 d)(21)()(21),(1.2在齐次边界条件在齐次边界条件情况情况类似1.1，作偶延拓 在自由端点反射时无半波损失自由端点反射时无半波损失，在端点出现波腹.2022-6-3第十章132 非齐次边界条件的情况非齐次边界条件的情况)()(),()0( 0002tfuxuxuxuauxtttttxxwvu0)(),()0( 00002xtttttwxwxwxwawxx)(0, 0)0( 00002tfvvv

9、xvavxtttttxxwv如据迭加原理：令 和求解已如上述， 的求解如下：2022-6-3第十章14)(0tfvx0 x)(atxF);(axtFaxt 0 x)H()(),(axtaxtFtxv )()H()(0tfttFvx)0( t)()( tftF).H()(),(axtaxtftxv1)波动是由引起,故在解的形式只能是或2)就x点来说，时，端的扰动尚未到达此处仍处于平衡，3) 的区域只有向右传播的波，故;2022-6-3第十章15延拓迭加定理txBtxAtxXtTxXtxusin)(cos)()sin()()()(),(3 定解问题定解问题：从半无界区域到有界区域无界区域，应用达朗

10、贝尔公式.是不方便的，甚至是不可能的.半无界在x=0端为齐次边界条 件时，反射波与入射波叠加形成波节或波腹，若有界区域两 个端点都是齐次的，入射波与反射波迭加的结果使两端成为波动的波节或波腹，这表明在两端为齐次边界的有界区域内的波动将形成驻波，其形式为沿此思路求解有界区域定解问题分离变量法.半无界区域有界区域无界区域上波动，再应用达朗贝尔公式，2022-6-3第十章16思考与讨论题1.方程utt-a2uxx=0(-x)的通解为什么会有两个任意函数？它们各具有怎样的形式和怎样的物理意义？由什么确定它们的具体函数形式？1.dAlembert公式可否直接用于求解一维半无界区域自由波动问题？这类问题如

11、何求解？作业：p223：10.1，10.32022-6-3第十章1710.3一维有界区域自由振动问题的驻波解一维有界区域自由振动问题的驻波解 分离变量法分离变量法(P204) 1 分离变量法分离变量法 2 分离变量法的几点说明和主要步骤分离变量法的几点说明和主要步骤2022-6-3第十章18(3) )(),(2) 0, 0) 1 ( 00002xuxuuuuautttlxxxxtt)()(),(tTxXtxu XXTaTTXaTX22002 TaT0 XX长为l两端固定弦的自由振动上节末的分析及物理知识告诉我们，该系统的稳定振动应是驻波，即可能的解是变量分离形式的. 将方程(1)和齐边边界条件

12、(2)的变数分离,(两边分别是独立变量两边分别是独立变量t和和x的的函数，只能为同一个常数函数，只能为同一个常数).（5）（4）(4)式代入(1)式：（6） 1)分离变数分离变数，令0,)()(0,)(0)tTlXtTX0)(tT0),(txu0)(0,(0)lXX(4)式代入(2)式： 否则给出平庸解平庸解 (6)、(7)不同于一般的常微分方程问题，在方程中带有待定常数,（7）1 分离变量法分离变量法称其为本征值问题本征值问题.2022-6-3第十章19, 021cxcx0,(0)2 cX0,)(1lclX, 0 xxececxX21)(, 0)0(21ccX0)(21llececlX0a)

13、若则X(x)=0平庸解u(x,t)=0，不可能等于零；则c1=c2=0X(x)=0u(x,t)=0平庸解，故不可能b)设所以0 xcxcxXsincos)(210sin)(, 0)0(21lclXcX02c, 0sinl2)(lnnnlxnxXnsin)(c) (否则给出平庸解),则 本征值本征值：属于本征值属于本征值的本征函数的本征函数： 考虑到所有本征函数应是非零、彼此线性独立所有本征函数应是非零、彼此线性独立和方便，本征值和本征函数中的n=1,2,3,.（8）（9）2)解本征值问题解本征值问题：给出可能的非平庸解给出可能的非平庸解), 2, 1, 0(nnl2022-6-3第十章200)

14、(2nnTlanTlatnBlatnAtTnnnsincos)(lxnlatnBlatnAtTXtxunnnnnsin)sincos()(),(,2nllan2n将(8)代入(5),得 (n=1,2,3,)(9)、(10)代回(4)式，得本征解物理意义：波长为圆频率为的驻波，有n+1个节点(包括端点在内), n=1时称为基波，的称为n次谐波，un(x,t) (n=1,2,3,)是该系统中可能存在的驻波模式，或是泛定方程(1)在齐次边界条件(2)下的所有可能解.其解 （10） (n=1,2,3,)3)本征解本征解2022-6-3第十章21nnnnnlxnlatnBlatnAtxuu1sin)si

15、ncos(),()(sin10 xlxnAunnt)(sin10 xlxnlanBunnttdsin)(20lnlAlndsin)(20lnlanlBln根据叠加原理.2, 1sinnlxnnmllxlxmlxn2dsinsin0 xlxmxxlxmlxnAlnlndsin)(dsinsin010 xlxmxlAAllAlmmnmnndsin)(22201注：a)上述解法称为分离变量法或驻波法b)本征函数族具有正交完备性(m=1,2,3,)4)一般解一般解 定系数定系数2022-6-3第十章222 分离变量法的几点说明和主要步骤分离变量法的几点说明和主要步骤4)分离变数法中的几个要点分离变数法

16、中的几个要点：分离变量分离变量时注意变量的独立性，只考虑非平只考虑非平庸解庸解；本征值问题本征值问题：求出所有可能的非平庸且彼此线性独立的解求出所有可能的非平庸且彼此线性独立的解；每一个本征解是一个可能解，所有本征解的迭加是系统的一般解所有本征解的迭加是系统的一般解；利用本征函数族的利用本征函数族的正交模平方关系推导一般解中的待定系数公式正交模平方关系推导一般解中的待定系数公式.1)分离变量法的总思路分离变量法的总思路：将偏微分方程问题常微分方程问题求解将偏微分方程问题常微分方程问题求解. 直接分离变量法要求：方程和边界齐次方程和边界齐次，否则不能分离变量.2)本征值问题是分离变量法的核心和关

17、键本征值问题是分离变量法的核心和关键.3)分离变量法是求解偏微分方程的基本方法之一分离变量法是求解偏微分方程的基本方法之一，不只适用于波动, 也适用于输运问题和稳定场，不只适用于有界系统，也适用于无界系统.具体步骤已如1中所述不再重复.2022-6-3第十章23(3) )(2) 0)( , 0(1) 002xfvhuxuuuautlxxxxtkbh )(lxlxnx)()(tTxXu 22 的独立性与txXXTaT022TaT02 XX0)()(, 0)0(lhXlXX例1长为l的均匀细杆，侧面是绝热的，杆的x=0端保持为零度，另一端(x=l)按牛顿自由冷却定律与外界进行热交换，设外界温度恒为

18、零，已知杆的初始温度分布是f(x). 求杆上的温度变化.其中(b是自由冷却系数，k是热传导系数),2)设(4)式代入(1)式： （5）(4)式代入(2)式，（7）（4）（6）解:1)u(x,t)为x点t时时刻的温度，定解问题为2022-6-3第十章24xcxcxXsincos)(21, 0)0(1 cX, 0sincos22lhclchltan, l,)(1 hltan)8( 21,), 2 , 1( )(22 nlnn), 2 , 1( sin)( nxxXnn003)本征值问题引入量纲为1的量:则(8)化为为超越方程，运用作图法，可给出其正值解本征值：相应的本征函数：(本征值给出平庸解，故

19、不考虑).（8） （9）（10）)8( 2022-6-3第十章250)(2nnnTlaTtannneBT22xeBTXuntannnnnsin2211sin),(22nnntannxeBtxuun0tu)(sin1xfxBnnnlnnhll022)cos(21dsintannn(9)代入(5): 5)一般解并定系数可证： 其中用到了式（11）llnmnmn002)dsin(dsinsindsin)(dsin1002nllnnfBdsin)(cos202nlnfhll而 4)本征解：(11)代入(3): )8( 2022-6-3第十章26(3) ),(2) 0, 0, 0, 0(1) 00002

20、2yxfuuuuuuuautlyyylxxyyxxt)()()(tTyYxXu YYXXTaT 2, XX, YY0)(2 TaT0 XX0 YY0)()()(, 0)()()0(1tTyYlXtTyYX0)()()(, 0)()()0(2tTxXlYtTxXY0)(, 0)0(1lXX0)(, 0)0(2lYY例2边长为l1、l2的矩形薄板，两板面不透热，它的一边y=l2为绝热，其 余三边保持为零度，设板的初始温度分布是f(x,y). 求板内的温度变化.2)分离变量，设 , x、y、t彼此独立，可令则(7) (6)不考虑平庸解 （8） （9）解:1)定解问题 （4）(5)(4)代入(1):

21、(4)代入(2): 2022-6-3第十章27,)(21lnn), 2 , 1( sin1 nlxnXn,)21(22lmmnmtlmlnanmnmeCtT)212()(22212)()()()()(yYxXtTtumnnmnmmnntalmlnmnmnmlymlxneCtuu;12211)212()(0)(sinsin)(222221(6)与(8)本征值相应本征函数(7)与(9)本征值相应本征函数、代入(5)并解之，得 4)本征解、一般解3)解本征值问题), 1 , 0( )(sin221 mlymYm将(n=1,2,；m=0,1,2,) 2022-6-3第十章28),()21(sinsin

22、12100yxflymlxnCunmnmtnmllmnlxlxmlxnxXX2dsinsind1001111nmllylynlym2d)(sin)(sin202212212 12002121dd2) 12(sinsin),(4lxlynmyxlymlxnyxfllC2 , 1n2 , 1 , 0m5)定系数 (；).f(x,y)具体给定，由上式积分式可具体定出Cnm. 2022-6-3第十章29思考与讨论题1.分离变数法的物理背景是什么？为什么能将未知函数表示为一元函数的乘积？2.分离变数法的主要步骤有哪些？你认为其中最关键的是哪一步？作业：p223：10.5，10.6，10.8，10.102

23、022-6-3第十章3010.4非齐次边界条件的齐次化非齐次边界条件的齐次化(P211) 分离变数法求解有界区域上的定解问题，要求物理边界必须是齐次，对给定问题中的非齐次边界，首先要转化成相应的齐次边界定解问题，才可进一步用分离变数法求解.非齐次边界齐次化的基本思想非齐次边界齐次化的基本思想： 选取满足非齐次边界条件的特解v(x,t)，并令 u= v(x,t)+w(x,t)将关于u的非齐次边界定解问题关于w的齐次方 程、齐次边界定解问题.注：该特解v(x,t)的选取是不唯一的.2022-6-3第十章31000002,0uukquuuuautlxxxxxt),(txv, 02xxtvavkqvu

24、vlxxx000,BAxv00,uBkqAxkquv00解:1)定解问题2)选取特解使之满足可设 例1长为l、侧面绝热的均匀细杆的导热问题,杆的x=0端保持恒温 u0,另一端(x=l)有面积热流量为q0的定常热流进入,设杆的初始温 度分布是u0. 求杆上的温度变化.2022-6-3第十章32),(),(),(txwtxvtxuxkqvuwvuwvuwvavuauwawtttlxxlxxlxxxxxxxtxxtxxt00000002220, 00)()(0)212(2) 12(sin),(222ntalnnlxneCtxwxkqlxnCwnnt0002) 12(sin2221000) 12()

25、1(8d2) 12(sin2nklqxlxnkqlCnln0)212(21220002) 12(sin) 12() 1(8),(222ntalnnlxnenklqxkqutxu3)令 .2022-6-3第十章330, 000002yaxxyyxxuuuuuuu),(yxv, 02 v00, 0uvvaxxxauv0例2求半带形区域(0 xa,y0)内的静电势，已知边界x=0和 y=0上的电势都是零，而边界x=a上的电势保持为u0（常量）.2)选取特解使得显然可取 解:1)定解问题2022-6-3第十章34,wvuxauwwwwwyaxxyyxx000, 0, 00axneBeAyxwaynnn

26、aynnsin)(),(1yu“yw0nA,sin010 xauaxnBwnnynuxaxnxauaBnan) 1(2dsin)(2000axnenuaxuuaynnnsin) 1(21003)令所以分离变量法,可得单由y=0处边界，不足以定出两套系数，=有限值”的自然边界条件，有限值 须同时考虑2022-6-3第十章35l0, 0sin, 000002tttlxxxxttuutAuuuau),(txvtAvvvavlxxxxttsin, 0002 AlXXXaXtxXv)(, 0)0(0sin)(22axalAXsinsin1taxalAvsinsinsin1例3求解长为 的均匀其中A、都是

27、常量.使之满足据上可取特解解得 解:1)取特解细杆的纵振动问题2022-6-3第十章36,wvuaxalAwwwwwawtttlxxxxttsinsin, 00, 0010002lxnlatnlnaalAwnnsinsin)()() 1(211221)(),()(),(0002102xuxutfutfuuautttlxxxxtt,)()()(121tftflxtfvwvuw2)令则 需要特别指出，对于像书上选取令关于据此而认为：“保持方程齐次化的前提条件下，并不是任何保持方程齐次化的前提条件下，并不是任何非齐次边界条件都可以实现齐次化非齐次边界条件都可以实现齐次化”的观点有待商榷.的齐次边界条

28、件、非齐次泛定方程问题P214（10.83)，2022-6-3第十章3710.5 本征函数法本征函数法(P214) 亦有的称其为广义傅立叶级数法或傅立叶级数法.2022-6-3第十章38) 3( )(),()2( 0, 0) 1 ( ),(0002xuxuuutxfuautttlxxxxtt0flxnsin, 2 , 1 n1sin)(),(nnlxntTtxu例1)方程(1)相应齐次泛定方程(即情况)在齐次边界(2),则可设该定解问题解的傅立叶级数展开式为 （4）下的本征函数族为2022-6-3第十章39lxnTlantTnnnsin)()(12 lxntftxfnnsin)(),(1xlx

29、ntxfltflndsin),(2)(011sin)(sin)0(nnnnlxnxlxnT11sin)(sin)0(nnnnlxnxlxnT,dsin)(20 xlxnxllnxlxnxllndsin)(202)将(4)式代入(1)式，得其中再将(4)式代入(3)式，得(6)其中 (5)(7)2022-6-3第十章40lxnsin nnnnnnnTTfTlantT)0(,)0()()(2d)(sin)(1sincos)(0tnnnnltanfanlatnanllatntT比较(5)、(6)、(7)诸式两端的系数，有本征函数法本征函数法：1)唯一要求，边界条件是齐次的.2)步骤：a)找出相应齐次

30、泛定方程对应定解问题的本征函数族， 用该本征函数族将定解问题待求的解展开成广义傅立叶级数； b)将解的傅立叶级数展开式代入非齐次泛定方程和除齐次边界 外的其它定解条件关于傅立叶级数展开式中待定系数函数的 常微分方程问题；c)解出系数函数代回u(x,t)的傅里叶级数表达式.2022-6-3第十章41)(),()(),(),(0210 xuxuyguyguyxfuubyyyyaxxyyxxwvu0, 0)(),(00210byyyyaxxyyxxvvygvygvvv)(),(0, 0),(00 xwxwwwyxfwwbyyyyaxxyyxx,sinlxn, 2 , 1 n1sin)(),(nnax

31、nyYyxw 11222sin)(),(sinnnnnnaxnyfyxfaxnYanY11sin)(sin)0(nnnnaxnxaxnY11sin)(sin)(nnnnaxnxaxnbY)()(,)0()()(2yYbYYyfYanYnnnnnnnn 再如据解的迭加原理，设， 关于v的定解问题直接分离变数可求解，关于w的，当f=0时的本征函数族为故设代回w(x,t)的傅里叶级数，即得解.2022-6-3第十章42思考与讨论题1.非齐次边界条件齐次化的核心思想是什么？非齐次边界条件齐次化的方法唯一吗？在非齐次边界条件齐次化的同时能否让方程也是齐次的？2.本征函数法的主要步骤有哪些？该法的关键步骤

32、是什么？该法适用于求解什么样的定解问题？作业：p224：10.12，10.13，10.114，10.152022-6-3第十章4310.6施图姆施图姆-刘维尔型方程的刘维尔型方程的本征值问题本征值问题(P217) 1 本征值问题一般提法本征值问题一般提法 2 本征值问题的一般性质本征值问题的一般性质 本征值问题是用分离变量法求解定解问题的核心，我们在物理上遇到的本征值问题都可归结为施图姆-刘维尔(简记为S-L)型方程对应的本征值问题，本节就来研究该类本征值问题的性质.2022-6-3第十章440)()()()()()()(111 xyxxyxqxyxpxy0)()()()()()(ddxyxx

33、yxqxyxkx)(bxa)(xa0)(ak; 0)()(axxyxy分离变量得到的二阶线性齐次常微分方程是待定常数，以函数乘上式两端后可化为施图姆-刘维尔型方程 其中构成本征值问题.为例，若，则称为权重函数.施图姆-刘维尔型方程同如下的边界条件下1)以端点1 本征值问题一般提法本征值问题一般提法d)(exp)(1xxpxk2022-6-3第十章45, 0)(akax )(xkax )(ay)(1xy)(1ay)(2ay)(ay)()(bkak)()(byay)()(byay )2()0(),2()0()20( 0)()(yyyyxxyxy01p)(xk2mmmxmxxymsincos)(2m

34、mmxmeyi2)若即是的至少一阶零点，则在处有自然边界条件，证:若为方程的一个特解且满足则由P173（8.141）式，另一特解为显然这不符合物理的要求，故应有条件的限制.，则有自然周期条件，例 常数，相应本征函数或本征值，相应本征函数S-L型方程与其齐次边界或自然周期或自然边界条件构成本征值问题型方程与其齐次边界或自然周期或自然边界条件构成本征值问题.;，3)若其本征值d)(121d)(120cyeyyxxp)()(d)(0211xxcykxy), 2 , 1 , 0(m), 2, 1, 0(m2022-6-3第十章462 本征值问题的一般性质本征值问题的一般性质0nnyn0)()(ddxy

35、qyyxkxnnnn*nybabannnbannxykxyxyxqxyxdddd)(d)(*22xyxkayayakbybybkxyxqnbannnnband)()()()()()()(d)(2*2)()()()()()(*bybybkayayaknnnn0)()()()()()(*bybybkayayaknnnn0)()(ahyaynn, 0)()(bhybynn0h0)()()()()()()(0)()()()()()()(2*2*bybhkbhybhybybybkayahkahyahyayayaknnnnnnnnnn2.12.1所有本征值是非负的所有本征值是非负的，即证:设是属于本征值的

36、本征函数，即有乘以后，积分显然边界(x=a、b)若是自然边界、自然周期、第一类齐次边界、第二类齐次边界时，边界(x=a、b)若是第三类齐次边界，即(其中)，则. 证毕在物理问题中，S-L方程中的k、q、都是非负的.2022-6-3第十章473211nn,limnn1nn2.2 本征函数的节点本征函数的节点，且除周期性边界条件外，属于的本征函数的节点数目（周期性边界条件是唯一存在简并的情况）.比属于的本征函数的节点数目多一个存在无限多个分离本征值2022-6-3第十章48mn)(m)(xym)(xynbxa)(xbanmxxxyxy0d)()()(*nm0ddmmmmyqyykx0ddnnnny

37、qyykxnbanmnmxxxyxyd)()()()(*xykxyykxybamnnmddddd*xykyxykyxbamnnmddddd*bamnnmxyxyxyxyxk)()()()()(*2.3 带权重正交带权重正交: 属于不同本征值和的本征函数和在上带权重正交，即 ().（1） 注意到是实数,得上式最后一步的证明类似于性质(1)的证明，边界为自然边界、自然周期、第一类齐次边界、或第二类齐次边界时，是显然的；证明:（2）=0,d )2() 1 (*xyybamn2022-6-3第十章490)()(ahyay0)()(bhybybamnnmxyxyxyxyxk)()()()()(*)()()()()()()(*bhybybybhybybyb