多维随机变量及其分布

1、* 引言引言1 1、射击弹着点的位置、射击弹着点的位置只用一个随机只用一个随机变量即可描述。变量即可描述。2 2、掷一枚骰子出现的点数、掷一枚骰子出现的点数随随机机变变量量一维随一维随机变量机变量多维随多维随机变量机变量1 1、射击的环数、射击的环数3 3、鸽子在空中的位置、鸽子在空中的位置2 2、同时掷两枚骰子出现的点数对、同时掷两枚骰子出现的点数对4 4、某位同学的学习成绩。、某位同学的学习成绩。须由平面直角坐标系的两个坐标确定。须由平面直角坐标系的两个坐标确定。须由两个随机变量来描述。须由两个随机变量来描述。须由空间直角坐标系的三个坐标确定须由空间直角坐标系的三个坐标确定须由多门功课的成

2、绩确定。须由多门功课的成绩确定。考虑：随机试验的结果考虑：随机试验的结果一、多维一、多维随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数(1)、定义、定义 如果每次试验对应着一组确定的实数如果每次试验对应着一组确定的实数( X1 ,X2 ,Xn )它们它们是随着试验的结果不同而变化的是随着试验的结果不同而变化的n个随机变量，且对任何一个随机变量，且对任何一组实数组实数x1, x2, , x n ，事件事件“X1 x1, X2 x2, , X n xn”有确定有确定的概率，则的概率，则称这称这 n 个个随机变量的整体（随机变量的整体（ X1 ,X2 ,Xn ）为为一个一个 n 维随机变量，维随机变量，或

3、称或称 n 维随机向量维随机向量， 且称且称 n n 元函数元函数 F(x1, x2, , x n) =P(X1 x1, X2 x2, , X n xn) ( x1, x2, , x n） Rn为为 n n 维随机变量维随机变量 （ X1 ,X2 ,Xn ）的的联合分布函数联合分布函数。1、联合分布函数联合分布函数特别地特别地, ,当当 n n = = 2 2 时时( (X X, ,Y Y) )为为二维随机变量二维随机变量, ,其其联合分布函数联合分布函数为为 F(x , y) = P(X x, Y y)+ F(x1 , y1)结论结论 随机随机变变量量 (X, Y) 落在矩形区域落在矩形区域

4、 (u , v) | x1 u x2 , y1 v y2的概率为的概率为(x , y) uvooux1 x2 vy1 y2 - F(x1 , y2)-F(x2 , y1)= F(x2 , y2) P(x1 X x2 , y1Y y2)二维联合分布函数的概率意义二维联合分布函数的概率意义说明说明 F(x , y) = P(X x, Y y) = P( (X, Y) (u,v)| u x , v y ) (2)、二维联合分布函数的性质、二维联合分布函数的性质(1) 0 F(x , y) 1 ( x + , y x1时，时，F(x2 , y) F(x1 , y) ； 对任意固定的对任意固定的 x，当

5、当 y2 y1时，时，F(x , y2) F(x , y1) ； (4) F(x , y)分别关于分别关于 x 和和 y 为为右连续函数即：对任意固定的右连续函数即：对任意固定的 y， F (x , y) = F(x+0 , y)对任意固定的对任意固定的 x，F(x , y) = F(x , y+0)(5)当当 x1 x2 ， y1 y2 时，有时，有P(x1 X x2 , y11.76米，在这个条件下去求米，在这个条件下去求X的条件分布。的条件分布。 条件分布一般采取如下形式：设有两个随机变量条件分布一般采取如下形式：设有两个随机变量 (X , Y) ，在给定了在给定了Y 取某个或某些值的条

6、件下，去求取某个或某些值的条件下，去求 X 的条件分布。的条件分布。3 3、 条件分布条件分布 从此例可看出条件分布这个概念的重要性。搞清了从此例可看出条件分布这个概念的重要性。搞清了 X 的条的条件分布随件分布随Y 的值变化的情况，就能了解身高对体重的影响在数量的值变化的情况，就能了解身高对体重的影响在数量上的刻划。由于在许多问题中有关的变量往往是彼此相关的，这上的刻划。由于在许多问题中有关的变量往往是彼此相关的，这使条件分布成为研究变量间的相依关系的重要工具。使条件分布成为研究变量间的相依关系的重要工具。 P(X|Y1.76) p1 p2 X x1 x2 x i pi 容易想象，容易想象，

7、条件分布与不加这个条件时的分布会很不一样条件分布与不加这个条件时的分布会很不一样。例如，在条件分布中，体重取大值者的概率会显著增加。例如，在条件分布中，体重取大值者的概率会显著增加。,| 1 , 2 , )ijijijYjjXx YypXx YyiYyp P()P()P(对于固定的对于固定的 j , 若若 P (Y= y j ) 0，则则称称为在为在Y =y j 条件下随机变量条件下随机变量X的的条件分布条件分布（或（或条件概率函数条件概率函数）。）。1o 定义定义：设二维随机变量设二维随机变量 (X , Y)的的联合分布联合分布为为 P (X= x i ， Y= y j ) = p i j

8、(i , j = 1, 2, )边缘分布边缘分布为为()Xii ji jXxpp P()Yji jjiYypp P即有：即有：P(X|Y= y j) X x1 x2 x i P(X=x1|Y=y j)P(X=x2|Y=y j)P(X=xi|Y=y j)同样，对于固定的同样，对于固定的 i ，若若 P (X= x i ) 0，则则称称, 1 , 2 , )ijijjiXiiXx YypYyXxjXxp P()P(|)P(为在为在X= xi 条件下随机变量条件下随机变量Y的的条件分布条件分布（或（或条件概率函数条件概率函数）。）。P(Y|X=xi) Y y1 y2 y j P(Y=y1|X=xi)

9、P(Y=y2|X=xi)P(Y=yj|X=xi)即有：即有：2o 条件分布的条件分布的性质性质(1) P(X= xi |Y= y j)0,P(Y= y j |X= xi)0, i i , j =1,2,=1,2,；(2)(2) (|)(|) 1ijjiijP Xx YyP YyXx例例：有：有 5 个大小、形状完全相同的球，其中有个大小、形状完全相同的球，其中有 2 个白球，个白球，3 个个黑球。每次从中取黑球。每次从中取 1 个，取出后不放回，连续取个，取出后不放回，连续取 2 次次。记：。记：“Xk=0”表示第表示第 k 次取到白球，次取到白球，“Xk=1”表示第表示第 k 次取到黑球。次

10、取到黑球。求在第一次取得白球的条件下，第二次取球的概率分布。求在第一次取得白球的条件下，第二次取球的概率分布。解：解：P(X1=0, X2=0) = P(X1=0)P(X2=0|X1=0)= (2/5) (1/4)=0.1所求概率分布为在所求概率分布为在 X 1=0 的条件下，的条件下，X2 的条件分布。的条件分布。(X1, X2)可能取的数对为可能取的数对为0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。0,11|00)XXXXX 12211P()P()P(0,00|00)XXXXX 12211P()P()P(先求先求联合分布。联合分布。P(X1=0, X2=1) = P(X1=0)P(X2=

11、1|X1=0)= (2/5) (3/4)=0.3P(X1=1,X2=0) = P(X1=1)P(X2=0|X1=1)= (3/5) (2/4)=0.3P(X1=1, X2=1) = P(X1=1)P(X2=1|X1=1)= (3/5) (2/4)=0.3X1 X2 10010.10.30.30.30.60.4 piX1 pjX2 0.40.6所以，在所以，在X 1 =0 的条件的条件下下,X 2 的条件分布为：的条件分布为：0.75X2 10P(X2|X1=0)0.25=0.25=0.75练习练习 设整数设整数X表示随机地取表示随机地取 14 中任一数值，中任一数值，整数整数Y表示随机地取表示

12、随机地取 1X 中任一数值，则中任一数值，则 (X , Y)是一个二维随是一个二维随机变量。求机变量。求 (1)(X , Y)的联合分布及的联合分布及边缘分布边缘分布,(2),(2)当当 X=3时时Y Y的的条件条件分布分布. .1/31/3Y 1 2 3 4P(Y|X=3)则则X=3的条件下的条件下关于关于Y的分布为的分布为3,3 1 , 2,3,4)XYjYj XjX 3 P()P(|)P(即有：即有：41/121解：解： 联合分布及联合分布及边缘分布如右边缘分布如右1/41/ 121/ 16 p i X1/41/41/ 4 pj Y25/48 13/487/ 48Y X 123 33 3

13、21 14 44 4001/ 16 1/ 16 1/ 1601/ 12 1/ 121/81/80001/ 41/ 1641/12141/12141/001/3 随机变量随机变量 X 与与 Y 独立独立的充要条件是的充要条件是对一切对一切 i , j = 1, 2, 都有都有 pi j = piX p jY即即 P (X= x i , Y = y j ) = P (X= x i ) P ( Y= y j )1o定义：设定义：设 F(x , y)，FX (x)，F Y (y) 分别是二维随机向量的联分别是二维随机向量的联合分布函数及边缘分布函数。若对任意实数合分布函数及边缘分布函数。若对任意实数

14、x, y，都有都有 F(x, y) = FX (x)F Y (y)或或 P (X x ,Y y) = P (X x) P (Y y)则称随机变量则称随机变量 X与与 Y 相互独立相互独立，否则称，否则称 X 与与 Y 不相互独立，不相互独立，或称或称 X 与与 Y 是相依的。是相依的。2o 判断两个判断两个离散型离散型随机变量随机变量 X与与 Y 独立的充要条件独立的充要条件4 4、随机变量的独立性随机变量的独立性可求出可求出关于关于X , Y的边缘分布的边缘分布练习练习 将两封信随机地投入标号为将两封信随机地投入标号为、 、 、 的四个邮筒的四个邮筒，设，设 X , Y为为第第1、2个邮筒内

15、信的数目个邮筒内信的数目, (X , Y)的联合分布如下，的联合分布如下，判断判断X , Y是否独立是否独立解：解： X 0 1 2 P9/1 6 6/1 6 1/ 16Y X 4/1604/1 62/ 16012 22 210 01/ 164/1 6001/ 16Y 0 1 2 P9/1 66/1 61/ 16P (X= 2 , Y= 2 )=0 P (X= 2 ) P (Y= 2 )=1/ 16 1/ 16由于由于所以所以 X 与与 Y 不独立不独立练习练习 同时掷两枚骰子，用同时掷两枚骰子，用X表示第一枚骰子出现的点数，表示第一枚骰子出现的点数， Y表示两枚骰子中出现的点数表示两枚骰子中

16、出现的点数的最大值，求的最大值，求(X , Y)的联合分布的联合分布,并判并判断断X与与 Y是否独立是否独立.关于关于X , Y的边缘分布的边缘分布解解: :X 1 2 3 4 5 6 P1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6Y 1 2 3 4 5 6 P 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36P (X=2, Y=1 )=0 P (X=2 ) P (Y= 1 )=1/ 6 1/ 36由于由于所以所以 X 与与Y 不独立不独立Y X 1/360123 33 32 21 1001/36 1/36 1/36 1/36 1/360000000000004 45

17、 56 64 45 56 62/36 1/36 1/36 1/36 1/363/36 1/361/361/364/36 1/36 1/365/36 1/366/36(X , Y)的联合分布如右的联合分布如右1o 定义定义：设二维随机变量设二维随机变量 (X , Y)的联合分布函数为的联合分布函数为 F(x , y)。 如果各分量如果各分量 X 和和 Y 都是一维连续型随机变量，并存在定义在都是一维连续型随机变量，并存在定义在平面上的非负可积函数平面上的非负可积函数 f (x , y)，使得使得1 1、二维连续型随机变量及其联合密度、二维连续型随机变量及其联合密度三、二维连续型随机变量则称则称

18、(X , Y)为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，f (x, y) 称为称为 (X , Y)的的联合联合概率密度函数概率密度函数，或简称或简称联合密度联合密度。 x-y-dsdttsfyx, ),()(F ()(,)(, ) ( , )|(, ),(, )( , )xy-x,yP Xx YyP X Ys tsx tyf s t dsdt F即有即有(2) 当当 G 为长方形时，可直接为长方形时，可直接用累次积分计算。用累次积分计算。( , )bdacaXb cYddxf x y dy P,()OxyabGcd将将“”改为改为“ ”上式仍然成立，因为平面上直线的面积为上式仍然成立，因为平面

19、上直线的面积为零。零。( , )GX Yf x y dxdy P,G()OxyabG 1 1(x) 2 2(x)结论结论X型区域型区域 (1) 2 1( )( )( , )bxaxdxf x y dy 2 1( )( )( , )dycydyf x y dx Y型区域型区域 OxcdGx = 1 1(y)x = 2 2(y)y(1) f (x, y) 0 (x , y) R22 2o o 二维连续型随机向量的联合密度的基本性质二维连续型随机向量的联合密度的基本性质1),( -dxdyyxf(2)3 3o o 二维连续型随机向量的联合密度的有关结论二维连续型随机向量的联合密度的有关结论(1) ,

20、(,)X Yfx y dxdy GPG()(2) f (x, y) 在在(x , y)处处连续，则连续，则),(),(2yxfyxyxF 即即F(+ ，+ )=11913131),(030300)(3 ccdyedxecdxdycedxdyyxfyxyx求：求：(1) 常数常数 c ; 例例1：设二维随机向量：设二维随机向量 (X , Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x, y) =ce - 3(x + y), 0 x + , 0 y + 0 , 其他其他解：解：(1) 由联合密度函数的性质有由联合密度函数的性质有 c = 9Oxy求求：(2) 联合分布函数联合分布函数 F(x , y)

21、 ;例例1：设二维随机向量设二维随机向量 (X , Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x, y) =9e - 3(x + y), 0 x + , 0 y + 0 , 其他其他 xydsdttsfyx),(,)F( x ytsyxdsdte0 0)( 3 0 , 0 , 9解解 (2)=其其他他 , 0 yxeeyx0 , 0 , )1)(1 (33其其他他 , 0=Ost(X , Y) (,)fx y dxdy GPG解解 (3)求求 (3) (X , Y)落入右图所示三角形落入右图所示三角形区域区域 G 内的概率。内的概率。OxyG11x+y=1例例1：设二维随机向量：设二维随机向量

22、(X , Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x, y) =9e - 3(x + y), 0 x + , 0 y 0, y 00 , 其他其他2、二维连续型随机变量的边缘分布、二维连续型随机变量的边缘分布1o边缘分布函数边缘分布函数： 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 (X , Y)的联合密的联合密度为度为 f (x , y) ，则其边缘分布函数为则其边缘分布函数为( )(,) ( , )yYyXYyf s t ds dt FP( )(,)XxXx Y FP dsdttsfx),(若记若记( )( , )Xfxf x y dy 则显然则显然 fX (x) 0，并且对任意实数并且对任

23、意实数 x，都有都有由密度函数的定义知，由密度函数的定义知，f X (x) 是是X 的密度函数的密度函数,称称 fX (x)是是 (X , Y)关于关于X的的边缘密度函数边缘密度函数。( )( )xXXxfs ds F 同样地，把同样地，把( )( , )Yfyf x y dx 称称f Y (x)为为关于关于 Y 的的边缘密度函数边缘密度函数。计算边缘密度计算边缘密度函数的公式函数的公式2o边缘边缘密度密度函数函数 ( )( , )Xfxf x y dy 具体求具体求fX (x) 的步骤的步骤=a,b其它其它0 f (x, y) dy= 1 1(x) , 2 2(x) 0区间区间K2x K1f

24、 (x, y)是分段函数时是分段函数时设设G=f (x, y) 0OabGxy = 1 1(x)y = 2 2(x)( )( , )Yfyf x y dx 具体求具体求f Y (y) 的步骤的步骤=c,d其它其它0 f (x, y) dx= 1 1(y) , 2 2(y) 0区间区间K2y K1f (x, y)是分段函数时是分段函数时OcdGyx = 1 1(y)x = 2 2(y)例例1：已知随机向量：已知随机向量 (X , Y)服从矩形区域服从矩形区域 G 上的均匀分布，上的均匀分布，其密度函数为其密度函数为 ),(yxfdycbxacdab , , )(1( )( , )Xfxf x y

25、 dy =0 ， 其他其他0 ， 其他其他求：边缘密度函数求：边缘密度函数 fX (x) 和和 f Y (y)。解：解： 关于关于X 的边缘密度函数为的边缘密度函数为 dc=bxaab , 10 ，其他，其他 f Y ( y) =同理，关于同理，关于 Y 的边缘密度函数为的边缘密度函数为dxccd , 10 ，其他，其他bxa , dyc)-a)(d-(b1OxyabGcdx( )( , )Xfxf x y dy 而当而当 x -r, r时时，fX (x) = 0。所以所以求求 ：边缘密度函数：边缘密度函数 f X (x) 和和 f Y (y)。例例2: (X , Y)的的密度函数为密度函数为

26、 ),(yxf( r 2)-1 ， x 2 + y 2 r 20 ， 其它其它当当 x -r, r时，有时，有同理，关于同理，关于Y 的的边缘密度函数为边缘密度函数为2222, -r,r ryyrfY (y) = 0 ，其它其它2222, - , rxxr rrfX (x) = 0 ， 其它其它 -r rx解：先求解：先求 X 的边缘密度函数，的边缘密度函数，2222212222xrr dyr xrxr ( )( , )Xfxf x y dy 而当而当 x 0,1时时，fX (x) = 0。所以所以当当 x 0, 1时，有时，有同理，关于同理，关于Y 的的边缘密度函数为边缘密度函数为 1 ,

27、0 ,2 yyfY (y) = 0 ， 其它其它0,1x ,2 xfX (x) = 0 ， 其它其它 0 1x解解 先求先求 X 的边缘密度函数，的边缘密度函数，xdyxy2410 求：求： 边缘密度函数边缘密度函数 f X (x) 和和 f Y(y)。练习练习：设二维随机向量：设二维随机向量 (X , Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x, y) =4xy, 0 x 1 , 0 y 10 , 其他其他3o 二维正态分布二维正态分布 若二维连续型随机变量若二维连续型随机变量 (X , Y)的联合密度为的联合密度为22 1 1 2 22221 21212()2 ()() ()1 2(1)2

28、1( , )21xxyyx ye 其中其中 1 , 2 , 10, 20 ,| | 1均为常数，则称均为常数，则称 (X , Y)服从参服从参数为数为 1 , 2 , 12 , 2 2 , 的的二维正态分布二维正态分布，记作记作 (X , Y) N ( 1 , 2 , 12 , 22 , ) 。五个参数的取值范围分别为：五个参数的取值范围分别为： - 1+ , - 20, 20 , -1 1结论：结论：二维正态分布二维正态分布(X , Y) N ( 1 , 2 , 12 , 22 , ) 的边缘分布是一维正态分布。的边缘分布是一维正态分布。即即 X N ( 1, 12 ) ， Y N ( 2

29、, 22 )2211 yvxu令令可求出边缘密度函数为：可求出边缘密度函数为：2 121() 211( )( , )2xXfxf x y dye 2 222() 221( )( , )2yYfyf x y dxe 3 、二维连续型随机向量的条件、二维连续型随机向量的条件密度函数密度函数( , )(| ) ( )0)( )YYf x yf x yfyfy 称为称为Y =y 条件下条件下X 的的条件密度函数条件密度函数。2o 条件密度函数仍具有密度函数的两个基本性质。条件密度函数仍具有密度函数的两个基本性质。( , )( | ) ( )0)( )XXf x yf y xfxfx 称为在称为在 X

30、=x 条件下条件下 Y 的的条件密度函数条件密度函数。1o 定义定义(1) f (x| y) 01)|( -dxyxf(2)其中，其中，y是某一确定的常数是某一确定的常数( , )( | )( )Yf x yf x yfy *具体求具体求f (x|y) 的步骤的步骤= f Y (y) 0 的的y的的区间区间H1=c,d其它其它0= 1 1(y) , 2 2(y)=区间区间H1 上任一上任一y值值,使使f (x, y) 0 的的x的的区间区间 0 x H2( , )( )Yf x yfyf (x, y)是分段函数时是分段函数时 c dyx = 2 2(y)x = 1 1(y)*具体求具体求f (

31、y|x) 的步骤的步骤f (x, y)是分段函数时是分段函数时( , )( | )( )Xf x yf y xfx = fX (x) 0 的的x的的区间区间H1=a,b其它其它0= 1 1(x) , 2 2(x)=区间区间H1 上任一上任一x值值,使使f (x, y) 0 的的y的的区间区间 0y H2( , )( )Xf x yfxOabxy = 1 1(x)y = 2 2(x) 设设 (X , Y) f (x, y)=2222 1ryxr 求：条件密度函数求：条件密度函数 f (x | y)， f (y | x) 0 其他其他解：解：从前面的例子中知道：从前面的例子中知道：2222, ,

32、rxxr rr 0 其他其他( )Xfx 2222, , ryyr rr ( )Yfy 0 其他其他f Y ( y) 0即当即当 y (-r, r)时，时，( ,)(|)( )Yf x yf xyfy 0 , 其他其他2222 yrxyr = -r ry222221yrrr ,2122yr 例例4 特别注意：非零区间端点的特别注意：非零区间端点的边缘密度函数值是否为边缘密度函数值是否为0 设设 (X , Y) f (x, y)=2222 1ryxr 求：条件密度函数求：条件密度函数 f (x | y)， f (y | x) 0 其他其他f X (x) 0即当即当 x (-r, r)时，时，(

33、, )( | )( )Xf x yf y xfx 0 , 其他其他2222 xryxr = -r rx222221xrrr ,2122xr 例例4 注意区间的端点注意区间的端点解：解：从前面的例子中知道：从前面的例子中知道：2222, , rxxr rr 0 其他其他( )Xfx 2222, , ryyr rr ( )Yfy 0 其他其他2, 0,1yy fY (y) = 0 ， 其它其它2, x0,1xfX (x) = 0 ， 其它其它解解 边缘密度函数已知边缘密度函数已知f Y ( y) 0即当即当 y (0,1时，时，( , )( | )( )Yf x yf x yfy 0 , 其它其它

34、 01x= 01yyxy242x1同理得同理得求：条件密度函数求：条件密度函数 f (x|y)，f (y|x)练习练习：设二维随机向量：设二维随机向量 (X , Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x, y) =4xy, 0 x 1 , 0 y 10 , 其他其他fX (x) 0即当即当 x (0,1时，时，( , )( | )( )Xf x yf y xfx 0 , 其它其它10 y xxy242y=4、随机变量的独立性、随机变量的独立性 1o 判断两个判断两个连续型连续型随机变量随机变量 X 与与 Y 独立的充要条件独立的充要条件随机变量随机变量 X 与与 Y独立独立的充要条件是的充要

35、条件是 对任何实数对任何实数 x , y ， 都有都有 f(x, y) = fX (x) fY (y) 1 ,0 ,2 yyfY (y) = 0 ， 其它其它0,1x ,2 xfX (x) = 0 ， 其它其它边缘密度函数已知边缘密度函数已知密度函数已知为密度函数已知为f(x, y) = 0 , 其它其它1010 y x ，4xy 可见可见 f(x, y) = fX (x) fY (y) 所以所以 随机变量随机变量 X 与与Y独立独立判断判断X与与Y 是否是否独立独立练习练习：设二维随机向量：设二维随机向量 (X , Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x, y) =4xy, 0 x 1

36、, 0 y 10 , 其他其他例：设例：设 (X, Y) f (x, y)=2222 1RyxR判断判断X，Y是否独立是否独立 0 其他其他解：解：RxRRx , 2222 0 其他其他 )(xfXRyRRy , 2222 )(yfY 0 其他其他f (x , y) fX(x) fY(y) ，则则X，Y不独立不独立例：设二维随机向量例：设二维随机向量(X ,Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x, y) =9e - 3(x + y), 0 x + , 0 y + 0 , 其他其他 fX (x) =3e - 3x , 0 x + 0 , 其他其他f (x , y)= fX (x) fY (y

37、) ，则则X ,Y独立独立结论结论 ： 当当随机变量随机变量 X 与与 Y 独立，边缘分布唯一确定联合分布独立，边缘分布唯一确定联合分布.)y(f)x(f)y,x(fYX 定理定理 当当随机变量随机变量 X 与与 Y 独立，则独立，则g(X )与与h(Y ) 独立独立. 由于由于 f(0,/4) fX (0) fY (/4 ) 所以所以 随机变量随机变量X 与与Y不不独立独立练习练习40, ),4cos()cos12( xxxfX (x) = 0 ， 其它其它边缘密度函数可求出为边缘密度函数可求出为密度函数已知为密度函数已知为f(x, y) = 0 其它其它4 0 40 yx，)sin()12

38、(yx fY (y) = 0 ， 其它其它40, ),4cos()cos12( yyy 可见可见 f(x, y) fX(x) fY (y) 因为随机变量因为随机变量X 与与 Y 独立，所以对任意实数独立，所以对任意实数 x , y 都有都有例例：设设随机变量随机变量 X与与 Y 独立独立,且都服从正态分布且都服从正态分布,密度函数分别为：密度函数分别为：求：求：(X, Y)的联合密度函数。的联合密度函数。2121() 211( )2xXxe 2222( ) 221( )2yYye 解：解：2212221222122212()( ) 2212()( )1 21211( , )( )( )2212

39、 xyXYxyx yxyeee 即即 若若随机变量随机变量 X与与 Y 独立独立,且都服从正态分布，且都服从正态分布，则则 (X, Y)N( 1, 2, 12 , 22 ,0) 2o 二维正态分布的独立性二维正态分布的独立性若若(X , Y)N N( ( 1 1, , 2 2, , 1 12 , , 2 22 , , ) )则则 X 与与Y 独立独立的充要条件是的充要条件是 = 0 = 0 即即 随机变量随机变量 X与与 Y 独立，独立，) ()( 21 2122222121 21),( yxeyx即即若若(X, Y)N( 1, 2, 12 , 22 ,0)， 则则 随机变量随机变量 X与与

40、Y 独立独立结论结论 若若(X, Y)N N( ( 1 1, , 2 2, , 1 12 , , 2 22 , , ) )， 则则 X与与Y 独立独立的充要条件是的充要条件是 = 0 = 0 )()(2)()1(212222221212121221121),( yyxx eyx二维正态分布二维正态分布(X, Y)N( 1 , 2 , 12 , 22 , )的联合密度函数的联合密度函数为为若若 = 0 = 0 则则, ,22122212()( ) 221211( )( )22xyXYeexy 边缘密度函数为边缘密度函数为2121() 211( )2xXxe 2222( ) 221( )2yYye

41、 1o 定义定义：3.3 二维随机变量函数的分布* 二维随机变量二维随机变量函数函数若存在二元函数若存在二元函数 z = g(x, y)，使得对二维随机变量使得对二维随机变量 (X , Y)的每一的每一取值取值 (x, y)，随机变量随机变量 Z 的相应取值为的相应取值为 z = g(x, y)，则称随机变量则称随机变量 Z是随机向量是随机向量 (X , Y)的函数的函数，记作，记作 Z= g(X , Y) 。2o 目的分析目的分析已知已知X 的分布的分布Y 的分布的分布？Y= g(X)已知已知(X , Y)的分布的分布Z的分布？的分布？Z= g(X , Y)回顾：一维回顾：一维二维二维例例1

42、：对一块长方形的土地进行测量，用随机变量：对一块长方形的土地进行测量，用随机变量X 与与 Y 分分别表示其长与宽的测量值。已知别表示其长与宽的测量值。已知 (X , Y)的联合分布如表，的联合分布如表， (1)求土地的面积求土地的面积Z的概率函数。的概率函数。 因为因为 Z=XY ，所以所以Z 的可能取值是的可能取值是20, 20.4, 21, 21.42。解：解：于是，于是，Z的概率函数如表的概率函数如表 所示。所示。20 20.4 21 21.420.2 0.3 0.4 0.1ZPP(Z=20)=P(X=5, Y=4)=0.2 Y X5 4 4.20.2 0.45.1 0.3 0.1P(Z

43、=20.4)=P(X=5.1, Y=4)=0.3 P(Z=21)=P(X=5, Y=4.2)=0.4P(Z=21.42)=P(X=5.1,Y=4.2)=0.1(2)求求X+Y的概率函数的概率函数X+YP99.19.29.30.20.30.40.1一、二维离散型随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布注意注意：求：求Z的概率函数：的概率函数：1. 找到找到Z所有可能取值所有可能取值,2.找出满足找出满足Z可能取值可能取值zk的所有可能的数对的所有可能的数对(xi,yj)，3. P(Z= zk)等于将这些可能数对对应的概率相加。等于将这些可能数对对应的概率相加。注意注意：求：求Z的概率函

44、数：的概率函数：1. 找到找到Z所有可能取值所有可能取值,2.找出满足找出满足Z可能取值可能取值zk的所有可能的数对的所有可能的数对(xi,yj)，3. P(Z= zk)等于将这些可能数对对应的概率相加。等于将这些可能数对对应的概率相加。或或可求出可求出 (X, Y)(X, Y)的联合分布如表的联合分布如表再求再求X+YX+Y的概率函数的概率函数X+YX+YP01231/611/241/4 1/24 Y X0 0 11/6 1/311/8 1/431/24 1/1241/12直接求出直接求出X+YX+Y的概率函数的概率函数X+YX+YP01231/611/241/4 1/2441/12P(X+

45、YX+Y=0)= P(X=0) P(Y=0)=1/2 1/3=1/6X+Y的可能取值为的可能取值为0，1，2，3，4P(X+YX+Y=1)= P(X=0) P(Y=1)+ P(X=1) P(Y=0)=11/24P(X+YX+Y=2)= P(X=1) P(Y=1)1=1/4P(X+YX+Y=3)= P(X=3) P(Y=0) =1/24P(X+YX+Y=4)= P(X=3) P(Y=1) = 1/12 练习练习 已知已知X 、Y的概率函的概率函数如表数如表 所示，且所示，且X 、Y独独立，求立，求X+Y的概率函数的概率函数XP0 1 31/2 3/8 1/8YP0 11/3 2/3例例2 设设

46、X1 , X2 ,相互独立相互独立,都服从参数为都服从参数为p的的0-1分布分布,求求 X1+X2 ,的概率函数的概率函数结论结论 设设X1 , X2 , , Xn 是是n个相互独立的随机变量，每个相互独立的随机变量，每个个X i 都服从参数为都服从参数为p的的0-1分布分布( i =1,2, ,n)，则则 1niiX B(n,p)XiP 0 11-p p解解 X1+X2的可能的取值为的可能的取值为0,1,2由于由于X1 , X2 ,相互独立相互独立P(X1+X2 =0)= P(X1=0) P(X2 =0)=(1-p)2P(X1+X2 =1)= P(X1=0) P(X2 =1)+ P(X1=1

47、) P(X2 =0)=2(1-p)pP(X1 +X2 =2)= P(X1=1) P(X2 =1) =p 2所以所以12()(1), 0 , 1 , 2 kkn knP XXkC ppk 这说明这说明 X1 +X2 B(2 , p)例例3：设随机变量：设随机变量 X 与与Y相互独立相互独立，XB(n, p)，YB(m, p)求求 Z =X+Y的分布。的分布。 因为因为 XB(n , p)，YB(m , p)，所以有所以有解：解：故故Z =X+YB (n + m , p),即即二项分布二项分布关于第一个参数关于第一个参数n具有可加性具有可加性(), 0 , 1 , 2 , , ii n inP X

48、iC p qin 0 00 () ( , )( ) ( ) , 0, 1, 2, , kkiikkiin ik ik im k ikn m kik inmnmiikkn m kn mP ZkPXiYkiP Xi P YkiC p qCpqp qC CCp qknm (), 0 , 1 , 2 , , jj m jmP YjC p qjm 结论结论 若随机变量若随机变量 XB(n, p)，YB(m, p)，且且X 与与Y相互独立相互独立，则则 Z =X+Y B (n + m , p) 因为因为 0( , )kiXiYki () (0 , ) (1 ,1 ) ( , 0 )Z kXY kXY kX

49、 k Y 例例4设设 XP( 1) 与与 YP( 2),且且 X与与 Y 独立独立,求求Z =X+Y的概率函数。的概率函数。 Z所有可能的取值为所有可能的取值为0，1，2，解：解：这就是参数为这就是参数为 1+ 2 的泊松分布。即的泊松分布。即 Z =X+Y P ( 1+ 2)。 00 ()( , )()kkiiZkXiYkiXi)P(Yki PPP把把泊泊松分布的概率函数代入上式可得：松分布的概率函数代入上式可得： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0() 1 20()()12 1 20 ()()()!()!()!()!ik ikikik iikkiik ikiZkeeikikeiki

50、keCekk P结论结论 设设X1 , X2 , , Xn是是n个相互独立的随机变量，且个相互独立的随机变量，且 X i P( i ) ， ( i =1,2, ,n)，则则 1niiX )(1 niiP 泊松泊松分布关于其参数分布关于其参数 具有可加性具有可加性(X, YX, Y) f (x , y)Z的分布的分布Z=g( X ,Y)1.分布函数法（基本方法）：分布函数法（基本方法）：( )()( ( , )( , )( , )zzZDzZzg X YzX YDf x y dxdy FPPP二、二维连续型随机变量函数的分布二、二维连续型随机变量函数的分布,( )( )ZZzfzFz 故故对对几

51、几乎乎所所有有的的有有(X, YX, Y) f (x , y)Z f Z (z)Z= X +Y 设二维连续型设二维连续型随机变量随机变量 (X, YX, Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 f (x, y)，Z =X+YX+Y,求求 Z 的密度函数。的密度函数。解解：( )()()( , )Zxy zzZzXYzf x y dxdy FPP则：则：( )( ,)Zfzf x zx dx dtdxxtxfdtxtxfdxdyyxfdxzzxz),(),(),(令令y=t-x,则则dy=dty = z-xx+y zzx( )(, )Zfzf zy y dy 同理同理2、公式法、公式法(只适用于只

52、适用于Z= X +Y)特别地特别地，当随机变量，当随机变量 X 与与 Y相互独立时，有相互独立时，有( )( )()ZXYfzfx fzx dx ( )()( )ZXYfzfzy fy dy 或：或：卷积公式卷积公式结论结论 设设(X, YX, Y) f (x , y)，Z =X+Y, 则则 Z ( )( ,)(, )Zfzf x zx dxf zy y dy 例例1 1: :设设 X 与与 Y 独立独立,都服从都服从 N(0, 1)分布分布,求求Z= X+Y的密度函数。的密度函数。解解：221( ),2xxeX221( )2yyeY22()221( )()( )2z yyfzzyy dyee

53、dyZXY2222221)(ze 即：即： Z=X+YN(0, 2)结论：一般地，若结论：一般地，若 XN( 1, 12)，YN( 2, 22)，且且 X 与与 Y 相相互独立，则互独立，则aX +bY +c N(a 1+b 2 +c, a2 12 +b2 22)。222222()2222()2421( )()( )21122zyyZXYzyyzzzyfzzyy dyeedyedyeedy 设设X 与与 Y 是两个相互独立的随机变量，且都服从是两个相互独立的随机变量，且都服从 N(0, 1)分布，分布，求求 Z =X+Y的密度函数。的密度函数。解解：221( ),2xXxe 由由卷积公式卷积公

54、式 即即： Z =X+YN(0, 2)。因为因为 XN(0, 1), YN(0, 1), 所以有所以有221( ), 2yYyey 2222 (2)411( )222zzZfzee 2tedt 结论结论(1)一般地，若一般地，若 XN( 1, 12), YN( 2, 22),且且 X 与与 Y 相互独立，则相互独立，则 X+Y N( 1+ 2 , 12 + 22)。 结论结论(2) 设设X1 , X2 , , Xn是是n个相互独立的随机变个相互独立的随机变量，且量，且 X i N( i , i 2)， ( i =1,2, ,n)，则则1niiX ),(121 niiniiN 结论结论(3) 设

55、设X1 , X2 , , Xn是是n个相互独立的随机变个相互独立的随机变量，且量，且 X i N( i , i 2)， ( i =1,2, ,n)，则则1niiik X 2211(,)nniiiiiiNkk 结论结论(3) 设设X1 , X2 , , Xn是是n个相互独立的随机变个相互独立的随机变量，且量，且 X i N( i , i 2)， ( i =1,2, ,n)，则则1niiik X 2211(,)nniiiiiiNkk解解：例例：设：设 X 与与 Y 相互独立，且相互独立，且求求 Z =X+Y的密度函数。的密度函数。1 01( )0Xxfx 其其它它0( )00yYeyfyy F Z

56、 (z)=P(Z z)=P(X+Y z)x + y z即即y -x + zy = -x + zz注意注意：求：求Z的分布函数的分布函数F Z (z)时分界点的选取：时分界点的选取：1. 作出作出(X,Y)联合密度联合密度f(x,y)定义域的图像，找到定义域的图像，找到f(x,y)的非零区域的非零区域A,2.画出对应不同画出对应不同z值的值的z=g(x,y)的一族曲线，找到的一族曲线，找到Z z的区域的区域Bz，3. 当当z值从小到大变化时区域值从小到大变化时区域A Bz突然发生变化的突然发生变化的z值即为分界点值即为分界点.分界点：分界点：0，1求求Z的分布函数的分布函数F Z (z)时时分区间讨论：分区间讨论： z0， 0