第6章电磁感应、电磁场

1、第6章 电磁感应、电磁场6.1 在图6.17所示几种情形中，线圈中有无感应电动势?有无感应电流?如果有试确定它们的方向。(1)如图6.17(a，b)，线圈在均匀磁场中旋转；(2)如图6.17(c)，在磁铁产生的磁场中线圈向右移动；(3)如图6.17(d)回路中，电阻R减少，另一回路有何变化。图6.17 答：（1）（a）图在图示位置时，线圈中无感应电动势，无感应电流。（b）图的转动，磁通量不变，则无感应电动势，无感应电流。（2）有感应电动势和感应电流，其方向为从左向右看为逆时针方向；（3）在2线圈中有感应电动势和感应电流，其方向为逆时针方向。6.2 在一绕有螺线管线圈的磁棒上套有四个半径相同的圆

2、环a、b、c、d，它们分别是由铜、铁、塑料制成的闭合圆环及由铜制成的非闭合环。当螺线管线圈与电源接通时，问（1）四个环中的感应电动势是否相等？如果不等，则其大小顺序如何？（2）四个环中的感应电流是否相等？如果不等，则其大小顺序如何？答：（1）不相等，（2）不相等，6.3 将一磁棒插入一闭合导体回路中：一次迅速插入，一次缓慢插入，但两次插入的始末位置相同。问在两次插入中：（1）感应电动势是否相等？如果不等，哪一次的大？（2）感应电量是否相等？如果不等，哪一次的大？（3）回路中的电动势是动生电动势还是感生电动势？为什么？答：（1）不相等，迅速插入的感应电动势大；（2）相等；（3）相对于闭合导体回路

3、是感生电动势，（回路不动），相对于磁棒是动态电动势（回路运动）。6.4 指出涡旋电场与静电场的异同。答：涡旋电场和静电场，都是电场，它们对带电体的作用相同，所不同的是：（1）涡旋电场由变化的磁场产生，而静电场是由静止的电荷产生；（2）涡旋电场是非保守力，相应的电场线是无头无尾的闭合曲线，而静电场是保守力场，其电场线是起自正电荷，而终止负电荷，在无电荷处不中断。6.5 两个线圈，长度相同，半径接近相同，在下列三种情况下，哪一种情况两线圈的互感系数最小，哪一种情况两线圈的互感系数最大，(1)两个线圈轴线在同一直线上，且相距很近；(2)两个线圈相距很近，但轴互相垂直；(3)一个线圈套在另一个线圈外面

4、。答：互感系数最小的为（2），互感系数最大的为（3）。6.6 变化电场所产生的磁场，是否也一定随时间而变化；反之，变化的磁场所产生的电场，是否也一定随时间而变化?答：不一定；不一定。6.7 (1) 真空中静电场的高斯定理和真空中电磁场的高斯定理在形式上相同，都为： 在理解上有何区别?(2) 真空中稳恒电流的磁场和一般电磁场都有：， 这两种情况下，对B矢量的理解有何区别?答：（1）静电场的高斯定理中，是静电荷产生的，各量的分布都不随时间变化。电磁场的高斯定理，是电荷与变化磁场共同产生的，且与是同一时刻的量，具有瞬时性；（2）前者是由稳恒电流产生的，磁场不随时间改变，后者是由电流和变化电场共同产生

5、的，具有瞬时性。* * * * * * *6.8 有一线圈匝数为N，如果通过线圈的磁感应通量按任意方式由改变到，试证通过该线圈回路的电量为，式中R为闭合回路内的总电阻。证：据电磁感应定律有：， 通过该线圈回路的电量为电流对时间的积分，即：6.9 在一个横截面积为0.001m2 的铁磁质圆柱上，绕100匝铜线，铜线的两端连有一个电阻器，电路的总电阻为10如果铁柱中的纵向磁场由某一方向(B的量值为1T)改变到另一方向(B的量值仍为1T)。问：有多少电量流过这个电路。解：当磁场沿纵向反向时，这一过程磁通变化为：由上题结果知流过电路的电量为：6.10 如图6.18所示，一个100匝的线圈，电阻为10。

6、将其置于方向垂直纸面向里的均匀磁场中。设通过线圈平面的磁通按(SI)的规律变化，求：（1）t = 1s 时线圈中的感应电动势的大小及方向；图6.18 题6.10示图（2）t = 1s 时线圈中的感应电流的大小及方向；（3）第1秒内通过电流表G的电量；（4）电动势开始反转的时刻。 解：（1）当t=1时， 方向为顺时针。（2） 方向为顺时针方向（3）（4）由知，电动势开始反转的时刻6.11 如图6.19(a)表示一根长度为L的铜棒平行于一载有电流i的长直导线，从距离电流为a处开始以速度向下运动。求铜棒所产生的感应电动势。已知= 5m·s-1 ， i=100A，L= 20cm ，a =1c

7、m。又如图6.19(b)所示若铜线运动的方向与电流方向平行。设铜棒的上端距电流为a，问此时铜棒的感应电动势又为多少。图6.19 题6.11示图 解：在图（a）中：在图（b）中：图6.20 题6.12示图6.12 如图6.20所示，半径为R的导体圆环，其线圈平面与局限于线圈平面内的均匀磁场B垂直。一同种材料和同样粗细的直棒置于其上，导体棒以速度自左向右滑动，经过环心时开始计时。设棒上和环上每单位长度的电阻为r。求：（1）t 时刻棒上的动生电动势；（2）t 时刻感应电流在环心上产生的磁感强度。 解：（1） 方向从a到b。（2）等效电路为ab段与两弧段并联后相串。由两圆弧段上电流方向相反，大小与电阻

8、成反比，进而与弧长成反比，它们在O点产生的磁感应强度之和为0，故感应电流在环心上产生的磁感强度即ab段上感应电流在O点产生的磁感应强度，即：其中电阻为： 方向垂直纸面向外。6.13 (1) 如图6.21所示，质量M，长度为l的金属棒ab从静止开始沿倾斜的绝缘框架下滑，设磁场B竖直向上，求棒内的动生电动势与时间的函数关系。假定摩擦可忽略不计。(2) 如果金属棒ab是沿光滑的金属框架下滑，结果又有何不同? (提示：回路 abCB 将产生感生电流，可设回路电阻为R，并作常量考虑)。解：（1）棒所受合力是其重力沿斜面的分力，则运动速度 故动生电动势为：图6.21 题6.13示图（2）若是金属框架，则当

9、产生动生电动势时，就有感应电流，从而棒还受到安培力的作用。设在某瞬时，棒的速度为。则所受安培力为：沿斜面方向应用牛二得：这是对t的常微分方程，解之得：由t=0时，得： ，6.14 如图6.22 表示一个限定在圆柱形体积内的均匀磁场，磁感应强度为 B，圆柱的半径R，B的量值以1.0×10-2 T·S -1 的恒定速率减小。当把电子放在磁场中 a 点( r = 5cm )处及 b 点时，试求电子所获得的瞬时加速度(大小、方向)。(电子的荷质比为1.76×1011C·kg-1 )。图6.22 题6.14示图解：由例6.2知，在圆柱内涡旋电场则电子在涡旋电场中所

10、受的力为： ，加速度在a点，方向向右。在b点r=0，则6.15 如图6.23所示，虚线圆内是均匀磁场，磁感应强度B的大小为0.5T，方向垂直图面向里，并且正以0.01 T·S -1 的变化率减小问：(1) 在图中虚线圆内，涡旋电场的电力线如何? (2) 在半径为10cm的导电圆环上任一点处，涡旋电场的大小与方向如何? 环内感生电动势有多大? 如果环内的电阻为2，环内电流有多大? 环上 a，b两点的电势差为多少? (3) 如果在某点切开此环，并把两端稍许分开，此时，两端间的电势差又为多少?图6.23 题6.15示图解：（1）虚线圆内，涡旋电场的电力线是以轴为心的一系列同心圆环，其方向为

11、顺时针方向。（2） 方向沿顺时针方向。环内的感生电动势：，（3）6.16 如图6.24是一截面为矩形的一个环式螺线管，试导出其自感的表达式，如果N =10 3，a = 5cm ，b = 15cm ，h = 1cm ，求自感的数值。图6.24 题6.16示图解：环式螺线管内的磁感应强度为： 其方向沿轴向，则通过螺线管截面的通量为：磁链为：据自感定义则得：6.17 有一密绕400 匝的线圈，自感为8mH ，当线圈中通有电流5×10-3A时，通过该线圈的磁通量有多大?解：利用自感的定义 得通过该线圈的磁通量为：6.18 一圆形线圈a由50匝细线绕成，截面积为4cm2 ，放在另一匝数等于10

12、0匝，半径为20cm的圆形线圈b的中心，两线圈同轴。求： 两线圈的互感系数； 当线圈b中电流以50A·S -1 的变化率减小时，线圈a内磁通的变化率； 线圈a中的感生电动势。 解：线圈a的线度远小于线圈b的线度。故线圈a处于线圈b的中心时，可把线圈a平面上各点的磁场近似看成均匀并用b中心的磁场来代替。（1）设线圈b中的电流为，则它在其中心的磁场为： b线圈的磁场在a线圈中的磁通量及磁通匝链数分别为： ， 据互感定义便可得两线圈的互感系数为：（2）由互感的另一种定义 得线圈a内磁通量的变化率：（3）线圈a中的感生电动势为：6.19 如图6.25所示，一矩形线圈长a = 0.2m，宽b

13、= 0.1m ，由100匝表面绝缘的导线绕成，放在一根很长的直导线旁边并与之共面，试求线圈与长直导线之间的互感系数。解：设长直导线载电流为I，其磁场在矩形线圈中的磁通及磁链分别为：图6.25 题6.19示图 ， 据互感定义得：6.20 已知两个电感线圈的自感分别为和，它们之间的耦合系数 k = 0.5 ，当在中通一变化率为 2A·s-1 的电流时，问在线圈中的自感电动势和线圈中的互感电动势的数值为多大?解：互感系数为：线圈中的自感电动势为： 线圈中的互感电动势为：6.21 一线圈具有电感5H与电阻20，如果有100V的电动势加在它两端，问在电流增到最大值后磁场中储存的能量有多大? 解

14、：此电路是RL暂态电路，当接通电路后经很长时间，电感相当于短路，电流达到最大，其值为： 此时储存的磁场能为：6.22 在真空中，若一均匀电场中的电场能量密度与一个0.5T的均匀磁场中的磁场能量密度相等，该电场的电场强度是多少?解：按题意有电场能量密度等于磁场能量密度，即有： 从而得该电场的电场强度为：*6.23 有一线圈自感系数为2.0H，电阻为10，将其突然接到内阻可以忽略的电源上，电源的电动势为100V，在接通后0.1s 时，试求：(1) 磁场中储存的磁能为多少? (2) 此时磁能的增加率是多少?解：此为LR电路，其电路方程为： 这是关于I的一阶线性常微分方程，解之得： 由t=0时，I=0得 （1）（2）6.24 一平行板电容器两极都是半径为5.0 cm的圆导体片，在通电时，其中电场强度的变化率 求两板间的位移电流； 求极板边缘的磁感应强度B解：（1）位移电流密度为： 则位移电流为：（2）应用安培环路定理 并据对称性可得： ，6.25 从出发，计算出作匀速直线运动的点电荷的电磁场中，离电荷r处