一_二维形式的柯西不等式

1、设设 为任意实数为任意实数. ., , ,a b c d()()2222 abcd联联 想想分析分析: 展开乘积得展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2由于由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2即即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2而而(ad-bc)20,因此因此(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2提示提示 上式上式(1)是本节课所要研究是本节课所要研究的柯西不等式的柯西不等式.(1)二维形式的柯西不等式 定理1:(二维形式的柯西不等式) .,)()(,等等号号成成立立时时当

2、当且且仅仅当当则则都都是是实实数数若若bcadbdacdcbadcba22222容易得出等式根据二维形式的柯西不, 22222222dcbadcba |,|bdacbdac 2. |bdacdbca 2222|dcba 2222dcba:,以下不等式成立对于任何实数所以dcba, |bdacdcba 2222. |bdacdcba 2222?,.成成立立述述不不等等式式中中的的等等号号何何时时上上请请同同学学考考虑虑不不等等式式这这也也是是两两个个非非常常有有用用的的讨论讨论 对一个代数结果进行最简单的诠释，对一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助直观的几何背景。讨论柯西往往要借助直观的几何

3、背景。讨论柯西不等式的几何意义。不等式的几何意义。0 xy, a b, c d 设在平面直角坐标系设在平面直角坐标系xoy中有向量中有向量=(a,b), =(c,d) ，与之间的夹角为，与之间的夹角为，0 （如图）（如图）根据向量数量积的定义，有根据向量数量积的定义，有.=cos 用平面向量的坐标表示不等式用平面向量的坐标表示不等式(2)得：得：所以所以.=cos 因为因为cos1,所以所以 . 2222dcbabdac定理定理2（柯西不等式的向量形式）（柯西不等式的向量形式） 设设，是两个向量，则是两个向量，则 .,当且仅当当且仅当是零向量或存在是零向量或存在实数实数k,使使=k时，等号成立

4、时，等号成立.观察观察 如图，在平面直角坐标系中，设点如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据，根据oP1P2 的边的边长关系，你能发现这四个实数长关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着蕴含着何种大小关系吗？何种大小关系吗？0 xy 111,Pxy 222,Pxy0 xy 111,Pxy 222,Pxy.定理定理3(二维形式的三角不等式二维形式的三角不等式) 112222222211221212,xy xyRxyxyxxyy 设设那那么么 22222211221212xyxyxxyy 所所以以2212212221212

5、221212222212121212222212121212222222221212121222222121)()(x 22x )(2x 2x 2x )(:yyxyyyyxxxyxyyxxyyxyyxxyyxyxyxyyxyx 证明证明22122122222121)()( yyxxyxyx 二二维维形形式式的的三三角角不不等等式式221221221222222212121)()()( zzyyxxzyxzyx 三三维维形形式式的的三三角角不不等等式式22222112222122221)()()( nnnnyxyxyxyyyxxx 一一般般形形式式的的三三角角不不等等式式分析分析 虽然可以作乘法

6、展开上式的两虽然可以作乘法展开上式的两边，然后在比较它们的大小。但如边，然后在比较它们的大小。但如果注意到不等式的形式与柯西不等果注意到不等式的形式与柯西不等式的一致性，既可以避免繁杂了。式的一致性，既可以避免繁杂了。例例1已知已知a,b为实数。为实数。试证试证(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3)证证 明明根据柯西不等式，有根据柯西不等式，有(a4+b4)(a2+b2)(a2a+b2b)2=(a3+b3)2反思反思 在证明不等式时，联系经典不等式，在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算既可以启发证明思路，又可以简化运算. .分析分析 利用不等式解决极值问题，通

7、常设法在利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化成和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不的形式，就能利用柯西不等式求其最大值。等式求其最大值。 例例21102 .xx求求函函数数y=5y=5 22221 50.512552156 321551276 3.27yyxxxxxxx 解解：函函数数的的定定义义域域为为 ， ，且且当当且且仅仅当当时时，等等号号成成立立，即即时时函函数数取取最最大大值值1.354 6yxx 求求函函数数的的最最

8、大大值值. . 225 60.354 634565.yyxxxx 解解：函函数数定定义义域域为为，且且X+2y=2x(1/2)+3y(2/3)6 (5/6)=5例例3,114.a bab 设设R R ，a a+ +b b= =1 1, , 求求证证分析分析 问题中问题中a+b=1这个条件，由于常这个条件，由于常数数1的特殊性，用的特殊性，用a+b去乘任何数或去乘任何数或式子，都不会改变它们的值式子，都不会改变它们的值.证证 明明 2,11114.1,114.a bRabababababab 由由于于根根据据柯柯西西不不等等式式，得得又又所所以以三三维维柯柯西西不不等等式式三三维维三三角角不不等

9、等式式22222221231231122332222221112222221212122.(a +a +a )(b +b +b )(a b +a b +a b ) ;x +y +z +x +y +z(x -x ) +(y -y ) +(z -z )222.236,211.xyxy 已已知知求求证证 222236,1422311.23211.yxyxyxy 证证明明：因因为为2 2x x所所以以因因此此补充例题补充例题:.1,yb, 1的的最最小小值值求求且且已已知知例例yxxaRbayx 2min22222)()(.,)( )()(,1, :bayxbayxxayybxbaybxayxyxyb

10、xaRbayx 时时取取等等号号即即当当且且仅仅当当解解变式引申变式引申:.,94, 13222并并求求最最小小值值点点的的最最小小值值求求若若yxyx )61,41(,2194614113232.32, 1312.2194, 1)32()11)(94(:222222222最最小小值值点点为为的的最最小小值值为为得得由由时时取取等等号号即即当当且且仅仅当当由由柯柯西西不不等等式式解解yxyxyxyxyxyxyxyxyx 5,5. 10,10.102 ,102. 52 ,52-A.) (,10,. 122 DCBbabaRba的的取取值值范范围围是是则则且且若若补充练习补充练习2536. 3625. 56. 65A.) (32, 1. 222DCByxyx的的最最小小值值是是那那么么已已知知 _1212. 3的的最最大大值值为为函函数数 xxy_2, 623,. 422值是值是的最大的最大则则满足满足设实数设实数yxPyxyx _)1()1(, 1. 522的最小值是的最小值是则则若若bbaaba AB311225小结小结: .,),()()()1(22222等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba .,.(4)等等号号成成立立时时使使或或存存在在