第六章数字滤波器设计

1、第六章 数字滤波器设计(Digital Filter, DF)引 言滤波器，顾名思义，其作用是对输入信号起到滤波的作用。滤波： 提取有用信号，抑制不需要的干扰； 把信号分成不同的频率分量； 信号检测及信号估计。经典滤波现代滤波：本章的主要内容滤波器概述典型模拟滤波器的设计无限冲激响应(IIR)数字滤波器设计有限冲击响应(FIR)数字滤波器设计6.1 滤波器概述一、滤波器概念 1 滤波器：对输入信号起滤波作用。则：是其傅氏变换。是系统的输出，是其傅氏变换。是系统的输入，设)()()()(jwjweYnyeXnxh(n)x(n)y(n)则LTI(Linear Time Invariant)系统的输

2、出为：作原理。这就是数字滤波器的工符合我们的要求，使滤波器输出选取表示）后变成其系统性能用经过滤波器看出：输入序列的频谱)()(),()()()()()()()()()(1jwjwjwjwjwjwjwjwjwmeHeXeHeHeXeHeXeHeXFmxmnhny假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的频带。当x(n）经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的成分有效地去除。|X(ejw)|wwc无用wc|H(ejw)|Y(ejw)|wwc经典滤波器从功能上分又可分为：低通滤波器（LPAF/LPDF):Low pass filter带通滤波器(BPAF/BPDF):Ba

3、ndpass filter高通滤波器(HPAF/HPDF):High pass filter带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstop filter即它们每一种又可分为：数字(Digital)和模拟(Analog)滤波器。2 分类模拟滤波器：RC滤波、LC滤波数字滤波器：是一种计算程序，处理离 散信号。模拟滤波器的理想幅频特性cc)( jHcc)( jH2c2c)( jH)( jH1c2c1c2cLPAFHPAFBPAFBSAF1c1c数字滤波器的理想幅频特性LPDFHPDFBPDFBSDF2c)(jweH.23.2.2)(jweH)(jweH)(jweH二 数字滤波器数字滤波器是用来

4、处理数字信号的专用处理系统。例1：已知一个数字滤波器的传输函数21104. 042. 0151. 0)(ZZZzH)2(04. 0) 1(42. 0) 1(51. 0)(nynynxny则其相应的差分方程为：所谓数字滤波实质是一种运算过程，用来描述离散系统输入与输出关系的差分方程或卷积和，给它提供一个简明的运算规则，使它完成对数据的处理。显然数字滤波不同于模拟滤波，因为模拟滤波是对函数进行处理。例2：已知一个数字滤波器其传输函数为111)(1ZZZZH则根据传输函数幅度特性：2cos211)(11)(jjjeHeeH高通（虚线）低通（实线）8 . 08 . 0556. 02实现：) 1()()

5、(nynxny)(ny)(nx1Z数字滤波器是一种数字式的处理设备，它的设计是建立在对离散系统分析的基础上。但是某些滤波器的设计过程中，为了保留模拟滤波器的良好特性，往往按给定的指标先设计一个模拟滤波器，然后进行数字化，所以了解模拟滤波器的特性和设计方法是很有必要的。6.2 典型模拟滤波器设计一、基本概念1 无失真条件：t)()(tntx)(th)()(tntx)()(0ttkxty0tt)(ty)()(*)()(*)()()(0ttKxthtxthtntxtytjKeXHX)()()(条件：但是：无法做到无限长带宽内具有常数的幅频特性；这个系统是不可实现的非因果系统。结论: 由此可见，对滤波

6、器的设计，重要的是寻找一个稳定可实现的传输函数来逼近理想特性。0)(tjKeH0)(tKH)(HK)(2 AF的衰减（衰耗）特性工作衰耗取决于幅度平方函数或称模方函数2)(HdBHdBH)(lg20)(lg10)(2)(通带过渡带阻带pr实际的低通滤波器：理想的低通滤波器：)(pcr阻带的最小衰耗通带的最大衰耗阻带的截止频率实际的截止频率通带的截止频率rprcp3 由模方函数求AF的传递函数jsjjsHeHeHHHHH)()()()(),()()()()(*2其中，)()()()()()(22sHsHsHsHsHHjs或所以，结论：模方函数与传递函数关系密切，可以从给定 的模方函数求出传递函数

7、。例1：)16)(9()4(20)()(,)(222222HsHH求所对应的传输函数已知模方函数)16)(9()4(20)()()(2222222ssssHsHHsjs得：代入，即解：以零点，并取虛轴上一对共轭的极点分给，将左半平面，极点)(243sHjsss)4)(3()2)(2(5)(ssjsjssH二、巴特沃思低通滤波器（一）基本性质 从给定的指标设计模拟滤波器，其中心是如何寻找一个恰当的近似函数来逼近理想特性。 巴特沃思滤波器是以巴特沃思近似函数作为滤波器的传输函数，该函数以最高阶泰勒级数的形式来逼近理想矩形特性。模方函数：, 2 , 1,)(11)(222NHNc121112NcH2

8、2)(11)(则随着阶次N的增加，通带越平坦，越接近理想的特性， ，逼近矩形。NdBHH32lg10)(lg10)(2/1)(22，则这里取半功率点为截频性质：对不同的N，总存在 ，幅度随 着 的升高单调下降。当 这说明在 处最“平坦”最大平坦近似。0)(2/1)(1)0(222HHHc12, 2 , 1, 0)(1)(0002422NkHddHkkNN。似特性之间的差别为时，理想幅度特性与近0频率远离 ，在高频范围内，频率每增加一倍，衰耗增加6NdB。cNcNcH2)(221)(11)(cNcNHlg20)lg(10)(lg10)(22dBNdBNcc62lg20)(20时，当；）（时，当（

9、二）设计过程按给定指标确定N。 ，通带最大衰耗 ，阻带最小衰耗crpr)1lg(1011lg10)(11lg10)1lg(1011lg10222222Ncrrp,)/lg()/lg()(222crNcrN由模方函数求传输函数H(s) 巴特沃思函数极点分布规律01)(01)(222222NcNcs jsNcNNs222) 1() 1(为整数kekj,1)12(12, 1 , 02)12(1NkesNNkjcNk其中，极点分布图ResN=3ResjImsS平面N=4jImsS平面38N阶巴特沃思滤波器的传输函数NiiNiiNNNsssssssssssssH112121)()()()() 1()(练

10、习设计一个满足下列指标的巴特沃思滤波器(BW)，通带0105rad/s， 105rad/s =3dB，阻带 4105rad/s， 35dBpcrr6.3 无限冲激响应数字滤波器设计一、无限冲激响应数字滤波器 (Infinite impulse response, IIR)11101)(MiiiNiiizbzazH数：因果离散系统的传递函1. 若bi全为零，则有具有(1)式形式的滤波器简称为FIR滤波器 (Finite Impulse Response)10)1(122110)(NiNNiizazazaazazH) 1 () 1() 1()()(110NnanananhN10, 0)(:Nnnn

11、h及且) 1()() 1() 1()(10110nybnxaNnxanxanxanyN）差分方程：2. bi中至少有一项不为零，并且分母中至少有一个根不为分子所抵消具有(2)式形式的滤波器简称为IIR滤波器 (Infinite Impulse Response)0, 1, 0, 113211210NNbbbbaaaa设1),1 (1)(:21010zzzazazH则有)2() 1()()(0nnanh) 1()()() 1()()(100nybnxanynxnxany或差分方程：二、设计IIR滤波器的基本条件1 可实现性（因果的，稳定的）2 实现从模拟到数字的转换 在一定条件下用离散的变量Z代

12、替连续变量S，则模拟滤波器的传输函数H(S)就有可能变换成IIR的传输函数H(Z)0)(0, 0)(nnhnnh结论：因此，在实际设计IIR时，常根据指标先设计一个模拟滤波器，然后将其数字化。从模拟到数字的映射要满足两个条件： (1)为了保持模拟滤波器频率特性，必须将S平面的复频率轴 映射到Z平面的单位圆上。 (2)为了保持模拟滤波器的稳定性，将S左半平面映射到Z平面的单位圆内。j,jezjs 10Rezs三、脉冲响应不变法1 基本思路 它把模拟滤波器冲激响应的均匀取样值， 作为数字滤波器的单位取样值。 然后将h(n)通过Z变换求H(z)。 在频率特性上：nTtthnh)()()(1)(nsT

13、jjnjHTeH2 基本过程 由给定的指标 AF的传递函数H(S) 反拉氏变换得h(t) h(n) 离散的单位脉冲响应H(z) 抽样Z变换例：试用脉冲响应不变法设计一个数字滤波器，已知满足给定指标要求的AF的传输函数为：为常数其中babasassH,)()(22tjbatjbaeethjbasjbasbasassH)()(222121)(2121)()(解：nTjbanTjbanTteethnh)()(2121)()(02211)cos2(1)cos(1)()(naTaTaTnzezbTezbTeznhzH四、双线性变换1 基本思路 按给定指标设计AF得到H(s) H(z)压缩频带)(sHZ变

14、换sjImS平面sRe平面ssResjImRezzjImZ平面2. 基本问题映射 ：ss),2(jsTsthcs2Ttgcjsjs代入：，以2222TtgcTTtgcTTsTs，2,2ssZ变换：Tsez111122222zzceeeecTsthcsTsTsTsTsscscz同理：五、利用频率变换设计IIR滤波器方法1：方法2：设计模拟低通滤波器从模拟到模拟频率变换实现滤波器数字化脉冲响应不变法双线性变换脉冲响应不变法从数字到数字频率变化实现低通滤波器数字化设计模拟低通滤波器双线性变换6.4 有限长脉冲响应(FIR)数字滤波器设计一、基本性质 1 有限脉冲响应数字滤波器的传输函数与 相应的单位

15、脉冲响应的关系01, 1 , 0,)(, )()(,)(1010NinanhinanhzazHiNiiNiii即10101)()(NnnNnnznhzazH以 代入上式:jez )(10)()()(jNnjnjjeeHenheHFIR频率响应：幅频特性相频特性定义：ddgp)()(群时延：相时延：滤波器有严格的线性相位：是常数）（)(10101cos)(sin)()(NnNnnnhnnhtg1010cos)(sin)(:NnNnnnhnnhtg即将上式交叉相乘：10100cossin)(sincos)(NnNnnnhnnh100)sin()(Nnnnh或结论：)1()(21nNhnhN2. 幅

16、频特性根据滤波器脉冲响应的奇偶对称性质，以及N是奇数还是偶数等特点，对线性相位FIR滤波器的设计存在四种不同情况。分析利用10)()(NnnjjenheH二、矩形窗函数设计法（傅立叶级数法）设计思想：确定有限长脉冲响应序列h(n) 1 ()()(nnjdjdenheH)2()(21)(deeHnhnjjddnnddjznhzHze)()(代入：以如何用有限长序列h(n) 理想脉冲响应hd(n)逼近(1) 项数：将hd(n)加矩形窗截短21)()(NMznhzHMMnndN，(2) 将有限长序列时延：MMnMndNMznhzHzzH)()()()(推导h(n)与hd(n)的关系MnNnnndMkkdznhzMnhzMkhzHnMk201020)()()()(令1, 1 , 02) 1)()(NnNMMnhnhd，（，设计过程：deeHMnhnhnhnheHNMnjjdddjd)()(21)()()()()(确定例：设计线性相位低通滤波器，其理想的