第9章弯曲内力

1、第九章第九章 梁的内力梁的内力9- -1 概述概述9- -2 梁的内力及其求法梁的内力及其求法9- -3 内力图内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图9- -5 叠加原理作剪力图和弯矩图叠加原理作剪力图和弯矩图9- -4 荷载、剪力和弯矩间的关系荷载、剪力和弯矩间的关系一、一、 弯曲的概念弯曲的概念受力特点：受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线 的横向外力或外力偶作用。变形特点：变形特点： 杆件的轴线由直线变为曲线。9-1 概述概述 梁：以弯曲为主要变形形式的构件称为梁。 梁的纵向对称面：梁的横截面竖向对称轴与梁的轴线组成的平面。纵向对称面ABFAFBF1F2FF（b）墙梁（a

2、）楼板楼板传动轴二、工程实例二、工程实例非对称弯曲：非对称弯曲： 若梁不具有纵向对称面，或者梁虽然具有纵向对称面但外力并不作用在纵向对称面内，这种弯曲统称为非对称弯曲非对称弯曲。 三、弯曲的分类三、弯曲的分类平面弯曲：平面弯曲： 当外力作用在纵向对称平面内时，梁发生弯曲变形后，轴线也将保持在此对称平面内，梁的轴线成为一条平面曲线，这种弯曲叫做对称弯曲对称弯曲，也称为平面弯曲平面弯曲。（本章只解决平面弯曲问题）(1) 支座的基本形式支座的基本形式(a)可动铰支座 FRy(c)固定端MFRyFRxFRyFRx(b)固定铰支座 四、四、 梁的计算简图梁的计算简图悬臂梁(2) 梁的基本形式梁的基本形式

3、简支梁外伸梁静定梁静定梁在竖直荷载作用下，所示梁的内力和反力均可由静力平衡方程求出。（图a，b，c）(3) 静定梁和超静定梁静定梁和超静定梁超静定梁超静定梁内力和反力不能完全由静力平衡方程确定。（图d，e）1）集中力。集中力。 作用在梁上某点的横向力，常用单位为N或kN。（4）梁的荷载）梁的荷载MeFqq(x)3）分布力。分布力。 沿梁长度方向连续分布的横向力。分布荷载的大小可用单位长度上的荷载，即荷载集度q来表示，其常用单位为N/m或kN/m。2）集中力偶。集中力偶。 作用在梁轴线上某点处，且矩矢垂直于梁的纵向对称平面（常用单位为Nm或kNm）。一、梁的剪力和弯矩一、梁的剪力和弯矩FAlBF

4、RAFRBxmm(a)FRAFSM(b)FRBFSMF(c)梁在竖向荷载作用下，其横截面上的内力可以通过截面法求出来。剪力剪力FS：沿截面切线方向的内力。单位为单位为N或kN弯矩弯矩M：梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩。单位是N.m或kN.m9-2 梁的内力及其求法梁的内力及其求法剪力、弯矩符号的规定剪力、弯矩符号的规定FSFSFSFS(a)(b)MMMM(a)(b)1剪力符号规定剪力符号规定 截面上的剪力如果有使考虑的脱离体有顺时针转动的趋势则为正，反之为负。2弯矩符号规定弯矩符号规定 截面上的弯矩如果使考虑的脱离体下侧纵向纤维受拉为正，反之如果使考虑的脱离体上侧纵向纤维受拉为负。二、

5、内力计算二、内力计算FAlBFRAFRBxmm(a)FRAFSM(b)FRBFSMF(c) 0yF0SR FFA 0OM0RMxFAAFFRSxFMAR梁在截面mm上内力可由脱离体的平衡条件求得。根据左段梁的平衡条件，由平衡方程：可得 对截面mm的形心O取矩可得 例题例题9 91 1 试求图试求图a a所示梁所示梁D D截面上的剪力和弯矩。截面上的剪力和弯矩。 0CM02RlFlFB023,0RlFlFMCB2RFFB23RFFCl/2l/2l/2FABCD(a)FABCFRCFRB(b)FSDFACDFRCMD(c)FSDBDFRBMD(d)解解：（：（1）求支反力求支反力FRC和FRB（图

6、b）。由平衡方程，解得（2）计算D截面上的剪力FSD和弯矩MD0,0SRDCyFFFF2RSFFFFCD02,0RDCOMFllFM42RFllFFlMCD得 对截面mm的形心O取矩l/2l/2l/2FABCD(a)FABCFRCFRB(b)FSDFACDFRCMD(c)FSDBDFRBMD(d)得（上侧纤维受拉） (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。F1FSM(a)FSMF2(b)左端脱离体右端脱离体 2）截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引

7、起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩，其正负与之相反。(2)(2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和外力对该截面形心的力矩之代数和。 1） 不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。F1FSM(a)M1FSMF2(b)M2左端脱离体右端脱离体一、一、 列方程作内力图列方程作内力图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力或弯矩随截面位置的变化规律。)(SSxFF )(xMM 9-3 梁的内力图梁的

8、内力图例题例题92 图图a所示的简支梁，在全梁上受集度为所示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布的均布荷载作用，试作梁的剪力图和弯矩图。荷载作用，试作梁的剪力图和弯矩图。 qxlBA(a)FRAFRBqlFFBA21RR)0(2)(SlxqxqlqxFxFA)0(21221)(22lxqxxqlqxxFxMA解：（1）画此梁的内力图，求支座反力。利用平衡方程求得 取距左端为x的任意横截面左侧的梁段，则梁的剪力和弯矩方程分别为（2）列内力方程（3）最后由内力方程作内力图。)0(2)(SlxqxqlqxFxFA)0(21221)(22lxqxxqlqxxFxMA(c) M图ql2/80.5lqxlB

9、A(a)FRAFRB(b) FS图ql/2ql/2弯矩方程是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线。 剪力方程是x的一次函数，所以剪力图是一条倾斜直线段。)0(2)(SlxqxqlqxFxFA82maxqlM0SF2maxS,qlF梁在梁跨中横截面上的弯矩值最大，为而两支座内侧截面上的剪力值最大，。 （a）剪力图）剪力图（b）弯矩图）弯矩图例题例题9 93 3 图图a a所示的简支梁，在所示的简支梁，在C C点处受集中力点处受集中力F F的作用，试作梁的剪力图和弯矩图。的作用，试作梁的剪力图和弯矩图。解：解：（1 1）画此梁的内力图，画此梁的内力图，求支座反力。利用平衡求支座反力。利用平衡方

10、程求得方程求得 FlbFARFlaFBR(a)alBAFRBFRAbxFC )0()(SaxFlbxF)0()(axFxlbxM)()(SlxaFlaFFlbxF)()()()(lxaxlFlaaxFFxlbxM对于BC段梁对于AC段梁（2 2）列内力方程）列内力方程（3）最后由内力方程作内力图。）最后由内力方程作内力图。两段梁的弯矩图各为一条斜直线段。由图可见，集中力作用处横截面上的弯矩值为最大.lFabMmax在集中力作用处剪力图发生突变，并且此突变值等于集中力的大小。(a)(b) FS图(c) M图alBAFRBFRAbxFC两段梁的剪力图各为一条平行于梁轴线的直线段。 例题例题9-4

11、9-4 图图a a所示简支梁受集中荷载所示简支梁受集中荷载F F 作用。试作梁作用。试作梁的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。解：解：1. 求约束力alBAFRBFRAbxFCFlbFARFlaFBR， 2. 2. 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。)0()(SaxFlbxF)0()(axFxlbxM)()(SlxaFlaFFlbxF)()()()(lxaxlFlaaxFFxlbxM对于对于ACAC段梁，其剪力方程和弯矩方程分别为段梁，其剪力方程

12、和弯矩方程分别为对于对于BC段梁，其剪力方程和弯矩方程分别为段梁，其剪力方程和弯矩方程分别为3. 3. 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 如图b及图c。由图可见，在b a的情况下，AC段梁在0 xa的情况下，C截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩绝对值最大， 为 （负值)。弯矩图在集中力偶作用处有突变，也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。lMFeSlbMMemax1. M(x)、FS(x)、q(x)间微分关系导出FS(x)M(x)FS(x)+d FS(x)M(x)+d M(x)dxq(x)(b)q(x)AlBxdx(a)FO9-4 9-4 弯矩、剪力与荷载集度之间

13、的关系弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 距左端为x处用相距dx的两个横截面，从梁中截出一个微段，因dx非常微小，所以在微段上的分布荷载可以看作是均匀分布的，注意分布荷载取向上为正。假设在微段左右截面上的剪力和弯矩分别为：Fs(x)、M(x)和Fs(x)+ dFs(x)、M(x)+d M(x)，如图所示。根据平衡条件， 得: 0yF0)(d)()d()(SSSxFxFxxqxF )(d)(dSxqxxF02d)d()d()()(d)(SxxxqxxFxMxMxM)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM 0OM整理后得 几何意义为：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。又由整理

14、后得 （矩心O为微段右侧截面的形心）得:n由上两式可以得到 n几何意义为：弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。 常见荷载下常见荷载下FS，M图的一些特征图的一些特征向上）(0 cq向下）(0 cq0q)0(ScbcxF)0(212cdbxcxM)0(ScbcxF)0(212cdbxcxMcF SbcxM集中力作用处集中力偶作用处 若某截面的剪力FS(x)=0，根据 ，该截面的弯矩为极值。 0)(d)(dSxFxxM 利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下： (1) 求支座约束力； (2

15、) 分段确定剪力图和弯矩图的形状； (3) 求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； (4) 确定|FS|max和|M|max 。 例题9-6： 一简支梁在其中间部分受集度为 q=100 kN/m向下的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。x+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq-kN100m2mkN10021BAFF而根据 可知，AC段内的剪力图应当是水平直线。该段内梁的横截面上剪力的值显然为 xqxxFddSkN100SAFF1. 校核

16、剪力图 解：解：此梁的荷载及约束力均与跨中对称，故知约束力FA，FB为+-100 kN100 kNFSxFS 图yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 该梁的AC段内无荷载， 对于该梁的CD段，分布荷载的集度q为常量，且因荷载系向下而在微分关系中应为负值，即q=-100 kN/m。kN100m2kN/m100kN100+-100 kN100 kNFSxFS 图yFAFBABCDE2 m1 m4 mq xqxxFddS kN/m100ddSxxF 根据 可知CD段内的剪力图确应为向右下方倾斜的斜直线。由于C点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故斜直线左端的纵坐标确为100 kN。根据斜直线的

17、斜率为 ，可证实D截面处的剪力确应为 对于该梁的DB段，梁上无荷载，故剪力图应该是水平直线；且由于D点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故该水平直线的纵坐标确为-100 kN。作为复核，显然支座B偏左横截面上的剪力就是kN100SBFF+-100 kN100 kNFSxFS 图yFAFBABCDE2 m1 m4 mq2. 校核弯矩图mkN100m1kN1000CM这与图中所示相符。 该梁的AC段内，剪力为常量，因而根据 常量可知此段梁的弯矩图应为斜率为 的正值的斜直线。据此，由支座A处横截面上的弯矩为零可知C截面处的弯矩为 xFxxMSddmmkN100kN100即+-100 kN100 k

18、NFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 事实上，这个弯矩值也可根据 xFxxMSdd mkN100m1kN1000dSACACxxFMM此式中的 从几何意义上来说，它就是AC段内剪力图的面积。 ACxxFdS+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）通过积分来复核： 对于该梁的CD段，根据 可知： mkN100dd22xqxxM 弯矩图是如图(c)中所示曲率为负(即向下凸)的二次曲线。因为梁上C点处无集中力偶作用，故弯矩图在C截面处应该没有突变；+-100 kN100 kNFSxFS 图+1001

19、50100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 由于C截面处剪力无突变，故CD段的弯矩图在C处的切线的斜率应该与AC段梁弯矩图在C处的斜率相等，即两段梁的弯矩图在C处应光滑连接。+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq mkN100m1kN10021mkN150dmkN150m1kN10021mkN100dSSEDEDCECExxFMMxxFMM 在剪力为零的跨中截面E处，弯矩图切线的斜率为零，而弯矩有极限值，其值为同样，根据 可知， xFxxMSdd这些均与图(c)中所示相符。+-100

20、 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm） 对于该梁的DB段，由于剪力为负值的常量，故弯矩图应该是斜率为负的斜直线。因为梁上D点处无集中力偶作用，故弯矩图在D截面处不应有突变，再考虑B支座处弯矩为零，即可证实图(c)中此段梁的弯矩图也无误。+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq已知：图中梁的约束力为 qaFqaFDA2 ，思考：思考：试指出图示三根梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。正确答案：(a)图中梁的约束力为 qaFqaFBA31 35，正确答案：(b)图中梁的约束力为0 0AAMF，正确答案： (c) 1、按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图9-5 9-5 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 (1) 在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的，例如对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为 lxqxFxxMlxqxFxF0 ,20 ,2S(a) 这就是说，在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载F和均布荷载q单独作用时(图b和图c)相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和弯矩图也就可以利用