第4章 拉格朗日力学

1、第第4 4章章 拉格朗日力学拉格朗日力学(1,2,.,3 )ix in 111222( ,),(,),.,(,)nnnx y zx y zxy z()12nr ,r ,.,r 222( , )0f x yxyl3n12( , ,., , )0, 1,2,.nftkr rr00Rxycc-ABAABAxxxyyy 1212( , ,., , , ,., , )0, 1,2,.nnftrr rr r rr vM12( ,.,)0, 1,2,.nfkr rr1212( ,., ,.,)0, 1,2,.nnfrr rr r rr 2220()xylvt1212( , ,., , , ,., , )0,

2、 or 0nnftr rr r rr 222xyl222xylABAABAxxxyyy0000CCCCyxRyRxR可以积分为 222121212()()()xxyyzzl12( ,)sq qq121212( , )( , ) (i=1,2,.,n)( , )iisiisiisxx q qq tyy q qq tzz q qq t( ,) (1,2,., )iiix y zin12( ,)sq qqsincosxlyl222xyl22xxylxab1122sincossinsincoscosxayaxabyabdrrdtttdtdr0tSSrFW,iRiiniFiFiri设系统由 质点组成 对

3、于第 个质点表示第 个质点受到的主动力之和表示第 个质点受到的被动力(或约束力)之和表示第 个质点的虚位移 则系统所有主动力的虚功之和为iniirFW11111nssniiiiaiiarrWFqFqqqQq 1 1,2. ()siirrqinq已计及 t=012(,., ) 1,2,.iisrr q qq tin1 ( =1,2.s)niiirQFq1212( , , )( , )nsVV r rr tV q qq t iiixiyiziiiVVVFVFFFxyz ；11nniiiiiiiiiirxyzVVVVQFqxqyqzqq 01iniiRrFNiririrN0irNNir0d irN线

4、线、面面静静止止，0d irN线线、面面运运动动，NfP0Pv0Pr0PPrfrNN00 PPrNr1N2N2211rNrN121rN0112Nr12O1r2r12r1RF2RF21RRFF2211rFrFWRR121rFR01m2m1TF2TF2211rFrFWTT00211rrFT0绳绳子子不不可可伸伸长长0R(1,2, )iii iminFFr R0(1,2, )iii iminFFr R1niiiFr = 0R1() 0niii iiimFFrr()0ii iiimFrr01iniirF1() 0nii iiimFrr0RiiFFni,.,2 , 10)(iRiirFFni,.2 ,

5、1011iniRiiniirFrF01iniirF01iniirF011iniRiiniirFrF0dd11iniRiiniirFrF0ddd11iniRiiniirFrFT常量常量T110nsiiiFrQqq0 1,2,Qsir qVQ0 1,2,Vsq01iniirF0 1,2,Qs0 1,2,Vsq1.1.质点在一维保守力场中的静平衡及其稳定性质点在一维保守力场中的静平衡及其稳定性0dVdq0qQ 0FR22d0dBVq22d0dAVq near CVconst22d0dDVq* * *2.2.一般质点系的平衡一般质点系的平衡0; =1,2.sVq10sVVqqF224s2211,qqA

6、l1FOxy12Bl2Al1Bl2FOxy12112230iiiFrm grm grFr032211xFygmygm111cos2ly 22112cos2coslly22113sinsinllx1111sin2ly2221112sin2sinlly2221113coscosllxFgmgm,21(x3,y3)11121112222211cossinsincossin22Fm gm glFm gl 12由于和互相独立，它们前面的系数(即广义力)应该为零 111121222221(cossinsin )021(cossin)02QFm gm glQFm glgmFgmmF221212arctan2

7、2arctan yxdDBd FTFTAo0TBcTDFxP yFxsin, 2 coscotBDcxlxyld 2cos, 2 sincscBDcxlxyld () 0iiTBTDCiFrFrFrPr yxdDBd FTFTAo22cos2sincsc0TF llPdP3tancsc12TdFPlROzx0coscosgVmgRlgR201(2sin)2sVkRl0VQ 002sincossin22lglkRR2001cos(2sin)2sgVVVlgRkRl00sin(2sin)2cos0lgkRlR02sin0Rl12(,)nFF FF12(,)nrrrr12( ,)sqq qq12(

8、, )iisq qq trr1siimkiikkmmrrrqrqqtqq1212112(,., )(,.,.,)siiiiskksksiq qqrrdrr q qq tr q qqtdtqqtiikkrrqq1 ()0 ()mkmkqmkq,mkqq,mkqqkkdqqdt,iiiktqrrrq , q q ssiiiimmmikkkkmmkmiqqrrrrqtqqdrqdtqqtrq2211kikirqrddtqkkddq dtdtqkqddt1211(,., )ssiiiisikkkkkkrrdrr q qq trdtqtqqqtssiiimmmkmmmikkkrrrqqtqtqqrddt

9、qqq2211dddtdtt0ddtdd2121121(,.,., )2ni isisq qTrqqmT qqt11innii iiikkkiTTmrrrqqrq11ninkkkii iiiirrrrmqTqqT1()0nii iiimFrr111110nssni iki ikikkskkkkikkmqmqQqQqqiirrrr11nsiikkikQqFr1siikkkrrqq1 (1,2,. )kni iikQksmqirrkq areindependentiiki iiiiiikkkiiirrdQmrmmqqdrdtqrrdtiiiiiiikikrdrrdtrmmqqiikkrrqqiik

10、krddtqrqkkqddTtqT1iikniikqrrmqT1ni ikiikTmqrrq 1,2,.kkkTTQkqsdqdtddkkkTTVtqqq 12( ,.,)sVV t q qq; 0kkkVVQqq d0dkkkkTVTVtqqqq-( , , )LTVL q q t0 1,2,.kkddtLsqLkqABm1m2m3l0q1q2xOl0s12 1 2 ABm1m2m3l0q1q2xO011101222012123x =llsqx =lqlsqx =lqq11212312xqxqqxqq 2221 12233111222Tm xm xm x112233Vm gxm gxm gx

11、 2221 1212312111()()222m qm qqm qq221231232321211()()()22mmm qmm qmm q q 101112012223012()()()m g llsqm g lqlsqm g lqq 12312320()()mmm gqmm gqV22123123232121231232011()()()22 ()()LTVmmm qmm qmm q qmmm gqmm gqV 123132212311()()()0dLLmmm qmm qmmm gdtqq3223212322()()()0dLLmm qmm qmm gdtqq21312112312(4)

12、(4)mm mm mqgmm mm m3212123122()(4)mm mqgmm mm m11212312.xqxqqxqq Rzezedtt/2)coscos/2)sinsin/2)x= Rcos(Rsinty= Rcos(Rsintz= Rsin(-RcosRzezexy222222221()(sin)22mTxyzm RRsindRdR+R= R+Rdtdtvee0dLLdt2g = sincos -sinR222221-(sin)cos2LT Vm RRmgRcosVmgzmgR 2( ).1Uconst2221( )coscos2gUR22( )0; check the sign

13、 of ( )ddUUdddddddtddtd22( )sincos0dgUdR 120; 21232cos () ()ggRR22222( )(1)0dgUdR 1012222( )(1)dgUdR gRgR322222( )10dgUdR gR1232cos () ()ggRRo/213gRmmsincosyhsrm ccxxyconstcotcossin xxhsr()APPMsr1CVsrmcoscossinsin0ccxxsxrysrxxy cot()cossin ()sincos ccxxhrryhrrxxyconst21122cccTTTmvI221122cTmvmv221122

14、zzzTII221122cCTmvI2()222111m xyJm x222 2()2222cc111Tm xyJm ( xy2222()cos2213m+m xmx rmr2422(cos )(sin) )222111m xrrmrmx242 21Jmr2sincV = mgym gymgrconst 2cos22L=T -Vm+m3=x-mx rmrmgr sin +const2423cossin02dLLmx rmrmgrdt -()cos0dLLmm xmrdtxx22sincos3(32cos)mgxmm 22 ()sin3(32cos)g mmrmm()cos0mm xmr()co

15、s0 xpmm xmr0Lx0dLdtx()cos0 xLpmm xmrconstxdxddxxddtd ()cosmm x dxmrd22sincos3(32cos)mgmm()cosmm xmr222212sincos2() 3(32cos)m grdxdmmmm 22222204sincos() 3(32cos)xnm grxdxdmmmm 2228sincos() 3(32cos)n m grvx iimmmm2212 ()sin23(32cos)g mmddrmm2212 ()sin23(32cos)ddddg mmddtddrmm2222204 ()sin8()sin3(32cos

16、)3(32cos)ng mmn g mmddrmmrmm 28()sin3(32cos)n g mmkkrmmm(), cotcossin, cossincos , sinsrsrrxxhsrxxsyhsrys 22()()cos2222111T =m xym xJ22213m+m xmx sms24 222(cos)(sin)vxss 22()cos22211113T =mvm xJm+m xmx sms22224 (), srsrrms x 2()cos213L=m+m xmx smssmgsin +const24 3-cossin02dLLmxmsmgdtss -()cos0dLLmm

17、xmsdtxxsincV = mgym gymgsconst , ,sincosZzZXYZeeejk 000解： 本例几乎是“对称重陀螺定点转动”的特例。选取部分随动坐标系 O-xyz（即不随刚体自转的主轴坐标系），固定坐标系取为O-, Ox轴在OXY 平面内， OZ轴保持在Oyz 平面内。显然 确定了铅笔自转轴的方位,自转角确定铅笔的自旋位置，作为本题的广义坐标。初始时刻铅笔竖直,角速度 =OXYZmg 222*2222*2*sin( cos)()2211(sin)( cos)cos22-sincoZxyzzxyzziekijkijkJJTVJJmgldLLJJdt铅笔在任意时刻的角速度：

18、刚体定点运动时的拉氏函数为：对应 的拉氏方程：s( cos) sinsin0zJmgl 2*000222*sin( cos)cos( cos)0()22zzzzzzxyzLpJJJLpJJtLtJJETVV其余两个广义坐标 ，都是循环坐标，具有广义动量积分。这里已经利用初始条件： , =0, 因为=0, 稳定约束，所以我们还可以利用能量初积分2222*002*2222*222220*02*2*11(sin)( cos)cos22(1 cos )cossin11(sin)( cos)cos22(1 cos )11cos22sin21+U( )2zzzzzJJmglJJEJJmglJJJmglJJ

19、运用上面的初积分化简: ; 我们2222002*(1 cos )1( )cos2sin2zzJUJmglJ这里主要关心运动的稳定性，所以可以运用有效势能的概念，222030*2222024*22202*00(1 cos )( )( )sin 0sin0cos(1 cos )( )cossin( )4zzzJdUdUmgldJdJd UmgldJJd UmgldJ要研究铅笔竖直转动是否稳定，只需检验有效势能在是否为极小值。；所以确实是平衡点，下面考虑二阶导数：（2）2222z*02200.080(/16/3)/38 0.8,10,2100/ ,/25( )(194000)0 0mJdmJm ds

20、msdcm scmrad s lscmd Umd铅笔当作长杆或圆柱体看待，其转动惯量分别为；铅笔：所以势能为极大点，不稳定，稍遇微扰即倾倒。222211()22Tm RRMz222211()()22Lm RRMRMg Rl2()0dLLmM RmRMgdtRR22()0dLLdmRdtdtzRlzR()VMgzMg Rl222222222211()()2211(cos )(sin )2211()cos22MMmmTM xym xyMxmxllmM xmlmlx(cos )sinmMvvl exil exliljcosVmgl lmMoxiexy, 0; , 0;sin , cos ; cos

21、, sinMMMMmmmmxxyxxyxxlylxxlyl 221122mTMxmv22211()coscos22LmM xmlmlxmgl()cos0dLLdmM xmldtxxdt22(cos )sinsincossin0dLLdmlmlxmlxmgldtdtmlmlxmgl()cosmM xmlconstant2022211()cos22c1()os2TmM xmlmlxlxVkxmg mMvvl e2222011()coscos221()2LmM xmlmlxmglk xxlmMo20()cos()0dLLdmM xmlk xxdtxxdt22(cos )sinsincossin0dL

22、Ldmlmlxmlxmgldtdtmlmlxmglk22222200221(co11cos2s)coscos22cosTmxmlmlxVm xtlmltglm xmMvvl e22222001(cos)coscoscos2Lm xtlmlxtmgllmMo200220(coscos )cossinsinsincossin0dLLdmlmlxtmlxtmgldtdtmlmlxtmgl0sinxxt( , ).(0), (0)f q qconstf qq0jLq.jjLpconstq0jjdLLdtqq0jdLdtq0Lt11ssjjjjjjLqLp qLHconstq11111ssjjjjjjs

23、ssjjjjjjjjjdqdqdLLLLdtqdtqdttdqdLLdLqqdtqqdtdtq10sjjjdLqLdtq1sjjjLqLHconstqHTVE20HTTVE222101111122nnsiii iiiirrTmrmTTTqtq12(,., )iisrr q qq t11212( ,.,., )siiisisrrrr q qqqqtqtqq2111,11,11122nsssnsiiiiiiiirrrrTmmAqqqqqqq qq q 111111nssnsiiiiiiiirrrrTmmBqtqqqtq 20112niiirTmt1020, 0, irTTTTtiiifxmfx02

24、1211112; 2 ; 0sssTTTqTqTqqqq2111222()sssTLTHqLqLqLqqqTLTTVTVE常量2100, irTTTTt1102111121212102022()sssssLTHqLqLqqTTTqqqLqqqTTLTTTTTVTTV常量11111ssjjjjjjsssjjjjjjjjjLLLqqqqdLLdLqqqdtqqdtqdddtdtiikkrrqq1siiikkkqrrrqt11nniii iiijjijjrrLTTm rqqrqq2112ni iiTmr111111ssniji ijjjijjnsnii iji iiijijrdLdLqm rqdtq

25、dtqrddm rqm rrdtqdt 1110nnni iii ii iiiidddLm rrm rm rdtdtdt10ni iidm rdt1ni iiPm rconstiirr1110nni iii iiiinii iiddLm rrm rrdtdtddLrm rdtdt1nii iiLrm rconstm2cos22m+m3L=T -V =xmx rmrmgr sin +const24()cosxLpmm xmrconstx0Lxx()cos0mm xmr0Lt2cos22m+m3Hxmx rmrmgr sinE242TTHTVconst2cos()22m+m3xmx rmrmgrs

26、in24()cos0mm xmr2cos()22m+m3xx rmrmgr-sin24 23cossin02mx rmrmgr()cos0mm xmr( )rVrFVeF rrr ( ,)r2222211()()22Tm xym rr0dLLdtrr0dLLdt22; ; ; 0LLdVLLmrmrmrrrdr2()0dVm rrdr2(2)0dmrmrrrdt2221()( )2Lm rrV r 0L2Lpmrh 0Lt2221()( )2m rrV rE2()0dVm rrdr(2)0mrrr2mrh2221()( )2m rrV rEee21L = T -U -V =mvA v -V2ep = mvAU = e(- A v)2211 vc20L = m c-V0 (j=1,2.s)jQ 0 (j=1,2.s)jVq220; 0dVd Vdqdq220;