第4章 寿险精算现值 2ppt

1、 精算现值（Actuarial present value）是保险赔付在投保时的期望现值，也就是趸缴纯保费（Net single premium） 。 4.1 死亡年末赔付的人寿保险 4.2 死亡即时赔付的人寿保险 通过本章学习，使学生认识基本寿险产品，掌握寿险产品趸缴净保费的计算方法和计算原理，掌握一些复杂情况下的近似计算技术。要求学生要能够利用基本的计算原理独立地进行一些难度适中的实例计算，解决一些实际问题。本章考虑如下险种的精算现值： 终身寿险 Whole life insurance 定期寿险 Term life insurance 生存保险 Pure endowment insura

2、nce 两全保险 Endowment insurance 延期保险 Deferred insurance 变额保险 Varying insurance 死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。引例：引例： 假如有假如有100100个个4040岁的人投保了岁的人投保了10001000元元5 5年定期寿险，死亡赔付在死亡年年末。如年定期寿险，死亡赔付在死亡年年末。如果预定年利率为果预定年利率为3%3%，各年预计的死亡

3、人数分别，各年预计的死亡人数分别为为1 1、2 2、3 3、4 4、5 5，求这一保单的趸缴纯保费。，求这一保单的趸缴纯保费。死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加约时的整值剩余寿命加1。 记 为 岁投保人的整值剩余寿命，下面计算 。x( ) xxAxAKxK)( 死亡年末1单位元赔付在投保时的现值随机变量为 ，它的期望就是其精算现值。因为所以1111001( )xxkkxxx kkkkxAE Zvqdvl 1KvZkxxkxkqpqkKP )( 例例: 某人在

4、某人在50岁时购买了保险金额为岁时购买了保险金额为10万元的万元的终身终身寿险，假设生存函数为寿险，假设生存函数为 保险金在死亡年末给付，利率保险金在死亡年末给付，利率i=10%，求这，求这一保单的精算现值。一保单的精算现值。1051)(xxS赔付现值随机变量的方差：22(1)2 (1)00()kkxxkkkkE Zvqeq 相当于以计算趸缴净保费利息力的两倍计算的趸缴净保费。22)()()(ZEZEZVar2()E Z 记 ，有 赔付现值随机变量的方差反映赔付现值随机变量的变动幅度，用于衡量保险公司承担的赔付风险程度。)(22ZEAx22)()(xxAAZVar 2.定期寿险 对(x) 的1

5、单位元死亡年末赔付n年定期寿险，其现值随机变量为精算现值以 表示，有, 1, 01, 2, 1 , 0,1nnknkvZk1:x nA111:0( )nkxkx nkAE Zvq2112:( )()x nx nVar ZAA Z的方差为其中10)1(210)1(221:2)(nkxkknkxkknxqeqvZEA 例例: 某某40岁的人投保了岁的人投保了1万元万元 5 年定期寿险，年定期寿险，保险金在死亡年末给付，保险金在死亡年末给付， i=5%。根据中国人。根据中国人寿保险业经验生命表寿保险业经验生命表(1990-993)(男女混合男女混合),计算趸缴纯保费。计算趸缴纯保费。 注注: 在符号

6、在符号 中，令中，令n=1，即得，即得 ，在，在人寿保险中又称为自然保费，它是根据每一人寿保险中又称为自然保费，它是根据每一保险年度、每一被保险人当年年龄的预定死保险年度、每一被保险人当年年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡亡率计算出来的该年度的死亡纯保费。纯保费。1:x nA1:1xAxxqevq1:1xA 试计算上例中的保单自试计算上例中的保单自40岁岁45岁各年岁各年龄的龄的自然保费之总额，并与上例中的趸缴纯自然保费之总额，并与上例中的趸缴纯保费进行比较，看他们之间有什么联系？保费进行比较，看他们之间有什么联系？ 3.两全保险：定期寿险与生存保险的合险。 对(x) 的1单位元n年两全保

7、险，死亡年末1单位元赔付现值随机变量为1,0,1,2,1,1,knvknZvkn n(x) 的1单位元n年两全保险的精算现值为11:011:nknxnxkx nkx nx nAvqvpAA 其中 表示1单位元给付纯生存险的精算现值。1:x nA 设Z为两全保险现值随机变量，Z1为n年定期现值随机变量，Z2为n年纯生存保险现值随机变量，则Z1和Z2不会同时发生，我们有121212( )()()()2 ()()Var ZVar ZZVar ZVar ZE ZE Z两全保险现值随机变量的方差22222222()() ()nnnxnxnnxnxVar ZE ZE ZvpvpvpqZ2 的方差为 例例:

8、 设（设（35）投保投保5年两全保险，保险金额为年两全保险，保险金额为1万元，万元， 预定利率为预定利率为6%，保险金死亡年末给付，保险金死亡年末给付，按附表按附表1示例生命表计算其趸缴纯保费。示例生命表计算其趸缴纯保费。1135:535:535:541535535041535400351()kkkkkkAAAvqvpvdv ll转换函数转换函数xxxlvD xxxdvC1它是生命表它是生命表x岁存活者每人岁存活者每人1单位元生存给付在单位元生存给付在0岁时岁时的现值；的现值；它是生命表它是生命表xx+1岁死亡者岁死亡者每人每人1单位元死亡年末赔付在单位元死亡年末赔付在0岁的现值；岁的现值；转

9、换函数转换函数10 xkkxxCM它是生命表它是生命表x岁的人未来在岁的人未来在死亡年末死亡年末1单位元死亡赔付单位元死亡赔付在在0岁的现值。岁的现值。0 N xx kkD它是生命表它是生命表x岁的人未来岁的人未来每年每年1单位元生存给付在单位元生存给付在0岁的现值。岁的现值。转换函数转换函数它是生命表它是生命表x岁的人未来在死亡年末岁的人未来在死亡年末1单单位元标准递增死亡赔付在位元标准递增死亡赔付在0岁时的现值。岁时的现值。00 (1)xxkxkkkRMkC10101000111kxxkkkxxx kkx kx kx kxxkkxxx kxkxxAvql AvdvdCvvMACv lD 例

10、如：例如： 4.延期m年终身寿险 对(x) 的1单位元死亡年末赔付延期m年终身寿险，现值随机变量为10,0,1,2,1,1,KKmZvKm m 其精算现值以 表示，有 显然有xmA11( )xkxxmkk mAE Zvq 1:xxmx mAAAxmxDM 5.延期m年的n年定期寿险 延期m年的n年定期寿险是指从x+m岁起的n年定期寿险。对(x) 的1单位元延期m年n年定期寿险，其赔付现值随机变量为1, 1,1, 2, 1 , 0, 01nmmmKvmKZK其精算现值以 或 表示，有xnmA1111:( )m nkxxm nkk mx m nx mAE ZvqAA 1:mx nA看看104页例页

11、例5.6xnmxmxDMM 6.标准变额寿险 如果保险契约规定的赔付数额随着死亡时间的变动而不同，这样的寿险称为变额寿险。 如果赔付额 ，K是从投保开始到死亡时存活的整数年数，这时的变额寿险称为标准递增的变额寿险。 11KbKxx+1x+2x+n-1x+n1111111111标准递增的终身寿险1(1),0,1,2,KZKvK其精算现值以 表示，有001) 1()()(mxmkxkkxAqvkZEIAxIA)(标准递减的定期寿险xx+1x+2x+n-1x+n1111111111KnbK1 以 表示标准递减的定期寿险精算现值，有11111:00()()nnkxkx nx n kkkDAn k vq

12、A1:()x nDA例：设计算 。100,0100,0.05,xlxxi40()IA下面看下面看106页例页例5.7用转换函数表示常见险种的趸缴纯保费用转换函数表示常见险种的趸缴纯保费1:xx nx nxMMADxxxDMA 1:x nx nxDAD:xx nx nx nxMMDAD1:x mx m nmx nxMMAD1:()xx nx nx nxRRnMIAD111:()()xxx nx nxnMRRDAD x nxnxMAD例：计算保险金额为10000元的下列保单，在30岁签发时的趸缴净保费。假设死亡给付发生在保单年度末，利率为6%。（1）终身寿险（2）30年定期寿险（3）30年两全保险

13、。作业：1、对于两年定期寿险，死亡年末给付保险金，若在第一年内死亡，给付保险金5000元，第二年内死亡给付保险金10000元，并给出如下生命表当21岁的被保险人购买如上险种，求应该缴纳的趸缴纯保费（假定利率为6.5%）。2、某大学生在入校时购买了四年定期寿险，该保险规定：若被保险人在四年内任一时点死亡，都将在第四年末得到10万元赔付，假设被保险人18岁，并且死亡率服从右边的生命表，年利率假设为5%，求该险种的趸缴纯保费，以及赔付现值随机变量的方差。3、现年35岁的人购买了一张终身寿险保单。该保单规定，被保险人在第1年内死亡，给付1000元，以后每年的死亡赔付额以6%的增长率递增。假设死亡给付发

14、生在保单年度末，利率为6%。试求其趸缴纯保费。4、设 试计算 和,55. 0,40. 025. 020:20 xxxAAA，120: xA120: xA 关于关于 的计算的计算 把死亡发生年划分成把死亡发生年划分成m个相等的部分，死亡个相等的部分，死亡给付在死亡发生的那部分期末进行。这时给付在死亡发生的那部分期末进行。这时1单位元单位元的终身寿险现值以的终身寿险现值以 表示。表示。 当当m趋于无穷大时，有趋于无穷大时，有()mxA()mxA()limmxxmAA()()()mmKSxAE v()11()()(1)mKSxmE vEiiAi 死亡即付就是指如果被保险人在保障死亡即付就是指如果被保

15、险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。赔付。 死亡即刻赔付时刻是一个连续型随机死亡即刻赔付时刻是一个连续型随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。被保险人签约时的剩余寿命。 1.终身寿险 对(x) 的1单位元终身寿险，死亡即付现值随机变量为T的概率密度为 ，其精算现值 为0,TvZT00( )( )ddttxTtxx tAE Zvf ttvptxAtxxtp例：设例：设(x)投保终身寿险，保险金额为投保终身寿险

16、，保险金额为1元，元，保险金在死亡即刻赔付，利息力为保险金在死亡即刻赔付，利息力为 0.03 ，签单时，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为的剩余寿命的密度函数为 计算计算1 , 060(t)600 , Ttf 其它xA直接被估计出来。但实际中，通常只有生命表注:面的积分进行变换。提供的整数年龄上的死亡概率，因此需要对上被保险人存活函数给出时该精算现值才能01010011100( )ddddtxtxx tkttxx tkks ks kxx s kkkskxsx kx k skAE Zvptvptvpsvpvps 在死亡均匀分布假设下，有11111000ddkssxkxx kxxkiAvpqvs

17、AvsA, 01sx kx ksx kpqs 假设死亡集中发生在每个年龄的中间，这时死亡时赔付平均来说比死亡年末赔付早半年。复利计息时单利计息时1/2(1)xxAiA(1/2)xxAiA 例例: 某人在某人在50岁时购买了保险金额为岁时购买了保险金额为10万元的万元的终身终身寿险，利率为寿险，利率为6%，保险金在死亡时给付，保险金在死亡时给付 ，假设死亡服从均匀分布，求这一保单的精算现假设死亡服从均匀分布，求这一保单的精算现值。值。2.定期寿险1单位元死亡即付n年定期寿险的精算现值为1:00( )ddnnttTtxx tx nAv fttvpt在死亡均匀分布假设下，有假设死亡集中发生在每个年龄

18、的中间复利计息时单利计息时11:x nx niAA11/21:(1)x nx nAiA11:(1/2)x nx nAiA例：设例：设计算计算 。解：解：( )1, 0100,0.1100 xS xxi 130:10 A()1( )( )100TSxtftS xx 1013030:100010100( )1.1111.1 0.0927070 ln1.1tttAv ft dtdt3.两全保险1单位元死亡时赔付的精算现值11:x nx nx nAAA在死亡均匀分布假设下，有11:1:(1)x nx nx nx nx niAAAiAA例：某例：某30岁的人投保了岁的人投保了30年两全保险。如果年两全保

19、险。如果契约规定在投保的前契约规定在投保的前10年死亡赔付年死亡赔付10000元，元，后后20年死亡赔付年死亡赔付30000元，满期存活给付元，满期存活给付20000元，假设赔付在死亡时发生，利率为元，假设赔付在死亡时发生，利率为6%。求这一保单的趸缴纯保费。求这一保单的趸缴纯保费。例：设利息力和存活人数分别为例：设利息力和存活人数分别为求求0.2,75,1 0.05txlxt14040:2040:20,xAAAA 4.标准变额寿险 对于死亡即时赔付的寿险，如果赔付额 ，称为标准递增的变额寿险。 （1）标准递增终身寿险的精算现值为0()1dtxtxx tIAtvpt1tbt 死亡均匀分布假设下，有如果赔付额标准连续递增，即 ，则()()xxiIAIAtbt0()dtxtxx tIAtvpt2 ,100,0100,txt lxx例：设计算()xI A（2）标准递增n年定期寿险的精算现值为在死亡均匀分布假设下，1:0()1dnttxx tx nIAtvpt11:()()x nx niIAIA（3）标准递减n年定期寿险的精算现值为 死亡均匀分布假设下，为1:0()( )dnttxx tx