第6章机械振动

1、教学基本要求教学基本要求一、理解一、理解描述简谐振动的各物理量（特别是相位）的意义描述简谐振动的各物理量（特别是相位）的意义及各量间的关系。及各量间的关系。二、熟练掌握二、熟练掌握描述简谐振动的几种方法（数学法，几何法，描述简谐振动的几种方法（数学法，几何法，图线法），并会用于简谐振动规律的讨论和分析。图线法），并会用于简谐振动规律的讨论和分析。三、熟练掌握三、熟练掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能由给定初始条件写出一维简谐振动的运动的微分方程，能由给定初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。方程，并理解其物理意义。四、

2、熟练掌握四、熟练掌握同方向，同频率简谐振动的合成规律，了解同方向，同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点。拍和相互垂直简谐振动合成的特点。五、了解五、了解阻尼振动，受迫振动和共振的发生条件及规律。阻尼振动，受迫振动和共振的发生条件及规律。本章作业： 12, 15,16,22, 28,32, 35第第6章章 机械振动机械振动6.0 6.0 概述概述 广义广义振动振动-任何一个物理量在某个定值附近任何一个物理量在某个定值附近反复变化，都可称为振动。反复变化，都可称为振动。 振动的最显著特征是具有周期性。振动的最显著特征是具有周期性。 机械振动物体在某个平衡位置附近的来回在某个

3、平衡位置附近的来回往复运动。如钟摆的来回摆动，气缸中活塞的往往复运动。如钟摆的来回摆动，气缸中活塞的往复运动。复运动。 付立叶级数表明，任何周期性函数都可以分付立叶级数表明，任何周期性函数都可以分解为一系列余解为一系列余(正正)弦函数的叠加，弦函数的叠加，-任何周期性任何周期性运动运动(振动振动)都可以分解为一系列按余都可以分解为一系列按余(正正)弦规律弦规律运动的运动运动的运动(简谐振动简谐振动)的叠加。的叠加。 在经典物理学中应用多，在量子力学中也有在经典物理学中应用多，在量子力学中也有应用。应用。6.1 简谐振动简谐振动 简谐振动是一种最简单、最基本的振动。简谐振动是一种最简单、最基本的

4、振动。 机械能守恒 变速运动简谐振动的三大特点 周期运动kl0 xmoAA 弹簧振子的振动的运动就是简谐振动弹簧振子的振动的运动就是简谐振动00Fx6.1.1 简谐振动表达式简谐振动表达式1.简谐振动方程动力学特征kxF运动学特征2.简谐振动表达式)cos(tAx对于弹簧振子，令mk20222xdtxdkxtxm22dd由简谐振动方程)sin(tAx)(tiAex或或3.从合力的特征判断简谐振动从合力的特征判断简谐振动bkxF凡是满足凡是满足的都将作简谐振动的都将作简谐振动(K、b为常数为常数)如将弹簧竖直下垂，下面挂一重物，它将如将弹簧竖直下垂，下面挂一重物，它将在新的平衡位置上下来回往复运

5、动。所以，在新的平衡位置上下来回往复运动。所以，只要将坐标平移变换即可。只要将坐标平移变换即可。xoo0l0 xxmgkx 0)(0 xxkmgkxmgFxk xx分析受力分析受力（压强差压强差）ky 令令.const2 gSk SHM角频率角频率mSgmk 2 S y y- y0恢复力恢复力gSyF 2 例例. 已知：已知：U 形管内液体质量为形管内液体质量为m，密度为，密度为 ，管的截面积为管的截面积为S 。有一定的高度差，有一定的高度差，试判断液体柱振动的性质。试判断液体柱振动的性质。忽略管壁和液体间的摩擦。忽略管壁和液体间的摩擦。开始时，造成管两边液柱面开始时，造成管两边液柱面)sin

6、()cos(tAdtdxvtAxxtAtxtva2222)cos(dddd4.简谐振动的速度和加速度tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT0取取)cos(tAx1. 1. 振幅振幅maxxA 2. 2. 周期、频率和角频率周期、频率和角频率kmT2弹簧振子周期弹簧振子周期2T周期周期21T频率频率T22角角(圆圆)频率频率)(cosTtA周期和频率仅与振动系周期和频率仅与振动系统统本身本身的物理性质有关的物理性质有关注意注意6.1.2 6.1.2 描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量( (三要素三要素) )1 1） 存在一一对应的关系存在一一对应的关系; ;),(

7、vxt202 2）相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状态；的运动状态； 3. 3. 相位相位t3 3）初）初相位相位 描述质点描述质点初始初始时刻的运动状态时刻的运动状态. . ) 0( t) (2nn相差相差 为整数为整数 质点运动状态质点运动状态全同全同. .（周期性）周期性）20( ( 取取 或或 ) )tx图图AAxT2Tto)sin(tAv)cos(tAx 简谐运动中，简谐运动中， 和和 间不存在一一对应的关系间不存在一一对应的关系. .x vvvvAAx2Atoab 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 . . 1 1）对对同一同一简谐运动，相位差

8、可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间变化所需的时间. .)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12ttt3 TTt6123v0 xto同步同步 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它的简谐运动，相位差表示它们间们间步调步调上的上的差异差异. .（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它为其它超前超前落后落后txo反相反相22020vxA00tanxv4. 4. 和和 的确定的确定A000vv xxt初始条件初始条件cos0Ax sin0Av 对给定振动

9、系统，周期由系统本身性质决定，对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定振幅和初相由初始条件决定.)sin(tAv)cos(tAxcos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 ，求，求例例xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto6.1.3 简谐振动的旋转矢量图示法旋转矢量续旋转矢量端点旋转矢量端点 MM 作匀速圆周运动作匀速圆周运动振子的运动振子的运动速度速度（与与 X 轴同向为正）轴同向为正）A其其 速率速率AtAXAAXOtO任一时刻的任一时刻的 和和 值，值， 旋转矢量端点旋转矢量端点 MM 的加速度为的加速度为法向加速度，其大小为法向

10、加速度，其大小为A振子的运动振子的运动加速度加速度（与与 X 轴同向为正）轴同向为正）At其正负号仅表示方向。其正负号仅表示方向。同号时为加速同号时为加速异号时为减速异号时为减速位移-时间曲线旋转矢量表示法的优点旋转矢量表示法的优点: : 直观直观, ,方便方便. .可快捷准确地判断初相可快捷准确地判断初相, ,相位差和合相位相位差和合相位. .例一0.040.0412简谐振动的简谐振动的曲线曲线完成下述简谐振动方程完成下述简谐振动方程A = 0.04 (m)T = 2 (s) = 2 p / p / T T = p p ( (rad /s )0.04p pp p2A = p p / 2 t

11、= 0v0 从从 t = 0 作反时针旋转作反时针旋转时，A矢端的投影从矢端的投影从x=0向向X轴的负方运动轴的负方运动即即 ，与，与 已知已知 X t 曲线一致曲线一致v0SI例二弹簧振子：弹簧振子：t = 0 时，时，x = 0 ，v 0 = 0.4 m/s-1m = 510 - - 3 kgk = 210 - - 4 Nm - -1 ， 完成下述简谐振动方程完成下述简谐振动方程20.2(SI)mk0.2 (rad s 1)x0v02 (m)v0 x0 = 0已知已知 相应的旋转矢量图为相应的旋转矢量图为v0例三例四例五已知:例六周期均为周期均为 T = 8.5s 用旋转矢量法用旋转矢量法

12、两质点振动相位差两质点振动相位差两质点第一次通过两质点第一次通过平衡点的时刻平衡点的时刻两质点两质点 1、2同在同在 X X 轴上作简谐振动轴上作简谐振动t = 0 时时 在在 处处 质点质点2 AA向平衡点运动向平衡点运动质点质点1在在 处处向平衡点运动向平衡点运动振幅振幅 A 相同相同Acos Acos 或或因因且且在第一象限在第一象限应取应取Acos Acos 两质点振动相位差两质点振动相位差AA从旋转矢量图可以看出从旋转矢量图可以看出：时，质点时，质点1第一次通过平衡点第一次通过平衡点A转过转过1.06 (s)A转过转过时，质点时，质点2第一次通过平衡点第一次通过平衡点2.13(s)

13、例例 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数簧的劲度系数 ，物体的质量，物体的质量 . . （1 1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停处停下后再释放，求简谐运动方程；下后再释放，求简谐运动方程； 1mN72. 0kg20mm05. 0 xm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程. .2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；m/

14、xo0.05ox解解 （1）11s0 . 6kg02. 0mN72. 0mkm05. 0022020 xxAv0tan00 xv 0 或A由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知 0)cos(tAx)s0 . 6cos()m05. 0(1toxA2A解解 )cos(tAx)cos(tA21)cos(Axt3 5 3或tA3t由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知tAsinv1sm26. 0（负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）Ox2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；解解 m0707. 022020vxA1tan00 xv4 3

15、 4或 oxA4)cos(tAx4)s0 . 6cos()m0707. 0(1tm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程. .因为因为 ，由旋转矢量图可知，由旋转矢量图可知400v 例例 一质量为一质量为 的物体作简谐运动，其振的物体作简谐运动，其振幅为幅为 ，周期为，周期为 ，起始时刻物体在，起始时刻物体在kg01. 0m08. 0s4xm04. 0处，向处，向 轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）. .试求试求Ox （1 1） 时，物体所处的位置和所受

16、的力；时，物体所处的位置和所受的力； s0 . 1to08. 004. 004. 008. 0m/xv解解m08. 0A1s22To08. 004. 004. 008. 0m/x300vm04. 0, 0 xt代入代入)cos(tAxcos)m08. 0(m04. 03A33)s2cos()m08. 0(1txm08. 0A1s22To08. 004. 004. 008. 0m/xv3)s2cos()m08.0(1txs0 . 1t代入上式得代入上式得m069. 0 xxmkxF2)m069. 0()s2)(kg01. 0(21N1070. 13kg01. 0mo08. 004. 004. 0

17、08. 0m/xv （2 2）由起始位置运动到由起始位置运动到 处所需要处所需要的最短时间的最短时间. .m04. 0 x 解法一解法一 设由起始位置运动到设由起始位置运动到 处所处所需要的最短时间为需要的最短时间为m04. 0 xt3)s2cos()m08. 0(m04. 01ts23)21(arccosts667. 0s32o08. 004. 004. 008. 0m/x解法二解法二33起始时刻起始时刻 时刻时刻tt3ts667. 0s32t1s21. 1. 单摆单摆lmomgftttmaf tflgt22dd222ddt)cos(mtlg2令令TFmgglT2转动转动正向正向sin,5时

18、时6.1.4 单摆和复摆单摆和复摆22ddtlatoC*2. 2. 复摆复摆lmglM22ddtJmgl222ddtJmgl2令令)cos(mt)5(P（ 点为质心）点为质心）CmglJT2转动正向转动正向能量表达式6.1.5 简谐振动的能量简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变kEpEx221kAE EBCAApExO例七动能动能A 势能势能A当当时时则则其中其中得得振

19、动相位振动相位或或一一水平弹簧振子水平弹簧振子弹簧劲度弹簧劲度振子质量振子质量振幅振幅 A沿沿 X X 轴振动轴振动 当振动系统的当振动系统的以平衡点为原点以平衡点为原点位置坐标位置坐标 x 相等时相等时 动能值与势能值动能值与势能值 振子的振子的A代入代入中，解得中，解得能量能量位置位置振动合成一6.2.1 两个且且 相同相同同在同在 X X 轴轴合成振动合成振动用旋转矢量法可求得合成振动方程用旋转矢量法可求得合成振动方程与计时起始时刻有关与计时起始时刻有关合成初相合成初相分振动初相差分振动初相差与计时起与计时起始时刻无关，但它对合成振幅始时刻无关，但它对合成振幅属相长还是相消合成起决定作用

20、属相长还是相消合成起决定作用6.2 简谐振动的合成xxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1 1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 讨论讨论xxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAx例八0.050.060.07简谐振动简谐振动(SI)(SI)(SI)合成的合成的和和合成的合成的 最大时最大时合成的合成的 最小时最小时8.9210 2 (m)0.92868 12248 1

21、2(舍去舍去）时时当当得得合成的合成的 达到最小达到最小当当时时合成的合成的 达到最大达到最大得得6.2.2 6.2.2 两个同方向不同频率的简谐运动的合成两个同方向不同频率的简谐运动的合成 拍拍 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍. .合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分tAtAxxx2211212cos2cos21AA 2112讨论讨论 , , 的情况的情况 ttAx22cos)22cos2(12121tAtAx111112coscostAtAx

22、222222coscos21xxx2212T121TtAA22cos2121122)(211max2AA0minA合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121振幅振幅 振动频率振动频率拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）6.2.3 谐振分析和频谱谐振分析和频谱10)cos()(nnntnAAtf)5sin513sin31(sin4)(tttUtupUtuU2T02T9753A0* *6.2.4 6.2.4 两个相互垂直的两个相互垂直的同频率同频率的简谐运动的合成的简谐运动的合成)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx质点运动轨

23、迹质点运动轨迹1 1） 或或2012xAAy12)cos(11tAx)cos(22tAyyx1A2Ao （椭圆方程）（椭圆方程） 讨论讨论yx1A2Ao2 2）12xAAy123 3）2121222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxy1A2Ao用用旋旋转转矢矢量量描描绘绘振振动动合合成成图图简简谐谐运运动动的的合合成成图图两两相相互互垂垂直直同同频频率率不不同同相相位位差差* * *6.2.5 6.2.5 两两个个相互垂直相互垂直的的不同频率简谐运动的合成不同频率简谐运动的合成)cos(111tAx)cos(222

24、tAynm212,83,4,8,0201测量振动频率测量振动频率和相位的方法和相位的方法李李 萨萨 如如 图图阻尼振动6.4.1 阻尼振动形成阻尼振动的原因：形成阻尼振动的原因：振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。以第一种原因为例，建立阻尼振动的力学模型。以第一种原因为例，建立阻尼振动的力学模型。6.4 阻尼振动 受迫振动 共振振动系统在准弹性回复力和阻力的作用下作用下,振幅随时间衰减的振动振幅随时间衰减的振动过程，称为阻尼振动。过程，称为阻尼振动。续26以液体中

25、的水平弹簧振子为例：以液体中的水平弹簧振子为例：摩擦阻力摩擦阻力弹性力弹性力振动速度不太大时受振动速度不太大时受：阻力系数阻力系数摩擦阻力摩擦阻力与与 反向反向负号负号弹性力弹性力振子振子 受受合外力合外力即即令令称为称为振动系统的固有角频率振动系统的固有角频率得得称为阻尼系数称为阻尼系数若阻尼较弱，且若阻尼较弱，且时，上述微分方程的解为时，上述微分方程的解为续27和和取决于初始状态。取决于初始状态。为振动角频率，为振动角频率，为阻尼振动的振幅，随时间的增大而指数衰减。为阻尼振动的振幅，随时间的增大而指数衰减。本图设本图设越大，振幅衰减越快，且振动周期越大，振幅衰减越快，且振动周期 越长。越长。周期周期续28 相对较大的阻尼振动，其振幅衰减较快，但只要满足相对较大的阻尼振动，其振幅衰减较快，但只要满足，振子仍可出现往复运动的特征，仍属阻尼振动。振子仍可出现往复运动的特征，仍属阻尼振动。若阻尼过大，以致若阻尼过大，以致，用此条件求解微分方程，其用此