最值导数在经济问题中的应用

1、最值 区间内部某点取得区间端点取得极值点驻点导数不存在的点第3章 导数的应用四、函数的最值1、闭区间上连续函数的最大（小）值)(xf,baabxyO1x 求闭区间上连续函数 最值的步骤：)(xf 求出 在区间内部的所有驻点及导数)(xf不存在的点。 计算上述点及端点处的函数值。 比较计算出的函数值的大小，其中最大者就是 函数的最大值，最小者就是函数的最小值。 若函数在闭区间上连续且单调，则最值在端点处取得。例 求 在 上的155)(345xxxxf2 , 1最大值和最小值。解23415205)(xxxxf令0)( xf得驻点：, 01x, 12x33x, 1)0(f. 7)2(f所求的最大值为

2、, 2最小值为.10)34(522xxx).3)(1(52xxx（舍）, 2) 1 (f,10) 1(f又2、实际问题中的最值问题在实际问题中，常常需要求在一定条件下，怎样才能使用料最省，容积最大，平均成本最低，费用最少等问题， 这些问题反映到数学上，都可归结为求某一函数的最大（小）值问题。 利用导数解决实际问题中的最值时，若所建立的 函数 在区间 内只有一个驻点 ，且从 0 x),(ba)(xf),(ba0 x)(xf实际问题可知 在 内必定有最值，则就是最值点。例1 将边长为 的正方形四角截去四个相等的小a解 设所截小正方形的边长为, x由题意得：,)2(2xxav)2, 0(ax2)2(

3、)2)(2(2xaxxav).6)(2(xaxa令, 0 v得驻点： 6ax （惟一的驻点）当小正方形边长为 时，能使盒的容积最大。6a正方形，然后折成一个无盖的盒，问小正方形边长为多少时，能使盒的容积最大？axxa2例2 要制造一个容积为 的带盖圆柱形16)(3m铁桶，问底半径 和高 分别为何值时，才能rh使所用的铁皮最省？设铁桶的表面积为, S由题知hrV216216rh hrrS222221622rrr)0( r解rh2324rrS.3222rr令, 0S得驻点：2r（唯一的驻点）从而. 4h当底半径 ，高 时所用的铁皮最省。2r4h练习 制作一个底面为正方形，体积为 64 的 封闭长方

4、体容器，如何设计才能使所用材料最省？ 3m 解 设底面正方形边长为 ，高为 ，ah, s长方体的表面积为由题意得：hav264 264ah ahas422226442aaa.25622aa 22564aas, 0 s令得惟一驻点：. 4a4642ah故.ah（一） 经济分析中常见的函数1、需求函数在一定的价格水平下，消费者愿意而且有支付能力购买的商品量。设dq需求量，p价格，则)(pqqd 一般地，需求函数是单调减少函数。需求量由多种因素决定。其中商品的市场价格是影响它的一个主要因素。需求量：五、导数在经济问题中的应用2、供给函数在一定的价格水平下，生产者愿意生产并可供出售的商品量。供给量也由

5、多种因素决定。设sq供给量，p价格，则)(pqqs 一般地，供给函数是单调增加函数。供给量： 市场均衡对一种商品而言，若 ，则称 sdqq 此商品达到市场均衡。市场均衡价格：市场均衡数量：0p0q例1 已知某产品的需求函数为：,215pqd供给函数为：, 53pqs求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量。解由 得sdqq 53215pp解之，4p故. 40p从而5300 pq. 75433、成本函数生产一定数量的产品所要投入的各种生产要素的总费用。厂房、设备等固定资产的折旧，管理者的固定工资等它不随产品产量的变化而变化。变动成本：0C原材料费用、工人工资等，)(1qC它随产品产量的变化而变化。)

6、(10qCCCqqCC)(成本函数：平均成本函数：成本：固定成本：C4、收入函数(收益函数)生产者出售一定量产品所得到的全部 收入。设 R总收入，q销售量，)()(qpqqR收入函数：p价格，则平均收入函数：qqRR)(总收入：5、利润函数总收入与总成本之差。)()()(qCqRqLL利润函数：平均利润函数：qqLL)( 盈利：亏损：盈亏平衡：0)(qL0)(qL0)(qL利润：例2 设某商品的需求函数为：,51000pq试求该商品的收入函数 ，并求销量为200件)(qR时的总收入和平均收入。 由 得pq510005200qp)()(qpqqR)5200(qq.52002qq又qqRR)(52

7、00q.320005200200200)200(2R.1605200200)200(R解（二）边际)(xf定义：若 是经济问题中的某个可导函数，则称)(xf 边际函数值。)(xf的边际函数。)(0 xf 边际函数 在点 处的)(xf 0 x 边际成本： 边际收益： 边际利润：)(qR)(qL)(qC 边际函数的经济解释)(0 xf 的经济解释：函数 在点 处，当 改变一个单位时，)(xf0 xxy相应地近似改变 个单位。)(0 xf 证明：)()(0101100 xfxxfdyyxxxxxxx例1 某化工厂日生产能力最高为1000吨，每日产品求：当日产量为100吨时的边际成本。xxxC5071

8、000)(Cx,5071000)(xxxC1000, 0 xxxC257)()100(C)100(C的经济解释：解)/(5 . 95 . 27100257吨元的总成本 （单位：元）是日产量 （单位：吨）的函数： 例2 设某种家具的需求函数为 p为需求量。试求销售450 件时的边际收入。,31200pq其中 （单位：元）为家具的销售价格，（单位：件）q解由 得,31200pq)1200(31qp收入函数为pqqR)()1200(31qq231400qqqqR32400)(边际收入函数为故)450(R.10045032400100)450(R的经济解释：（三）经济分析中的最值问题例1 某厂生产某种

9、产品 千件时的总成本函数q为： （万元），单位销售价格221)(qqqCqp28为： （万元/千件），试求：1）产量为多少时可使利润达到最大？2）最大利润是多少？解 1）由已知得 pqqR)()28 (qq228qq利润函数)()()(qCqRqL)21 (2822qqqq.3162qqqqL66)(从而有令 得驻点 , 0)( qL1q 是利润函数 的最大值点。1q故当产量为 千件时可使利润达到最大。1（2）最大利润为316) 1 (L2（万元）)(qL1q是利润函数的 的唯一驻点，又该问题)(qL确实存在最大利润。例2 某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元

10、，对这种产品的市场需求规律为 （ 为需求量， 为价格）。pq101000qp试求：1）成本函数，收入函数；2）产量为多少吨时利润最大？解 1）成本函数200060)(qqCpq101000qp101100故收入函数pqqR)()101100(qq2101100qq2）利润函数)()()(qCqRqL)200060()101100(2qqq.2000101402qqqqL5140)(令 得驻点, 0)( qL200q200q是利润函数 的唯一驻点，又该问题)(qL确实存在最大利润. 200q是利润函数的最大值点。故当.例3 设某产品的成本函数为：1003251)(2qqqC其中 是产量（单位：台）.（万元），q求使平均成本最小的产量，并求最小平均成本是多少？解 平均成本qq