大学物理第11章振动

1、返回第十一章 振动学基础 振动是一种常见的自然现象.所谓振动,就是物体在某一位置附近来回往复的运动.如钟摆的摆动,气缸内的活塞的运动及心脏的跳动等为机械振动.从广义上讲,任何一个物理量(物体的位置,电流,电压,电场及磁场等)在某个定值附近反复变化都可以称为振动. 振动尽管有各种不同的形式,涉及不同的物质运动,但是确具有同样的规律性. 本章主要讨论力学中的振动(机械振动).介绍线性振动的特点和规律及应用。 振动在自然科学的许多领域有广泛的应用:电磁学,光学,原子物理学,电工学,无线电技术,地震学,声学,建筑力学,机械原理,造船学等,是多学科的基础.振动是波动的基础，为学习下一章提供理论基础第一节

2、 简谐振动第二节 阻尼振动 受迫振动 共振第三节 简谐振动的合成 第四节 频谱分析 第五节 非线性振动 混沌 第一节 简 谐 振 动一 弹簧振子的谐振动本节以弹簧振子为例说明简谐振动的基本特征。光滑水平面kmO: 称为平衡位置：受合力为零的位置。0Fi平衡位置o 把物体从平衡位置拉开，释放，则物体在弹性力的作用下，绕平衡位置来回运动，称为振动。 振子运动中所受合力 力总指向平衡位置，其大小与物体的位移大小成正比。称此振动为谐振动。该式为谐振动的判据之一。kxF 平衡位置xFkmxo动力学方程xmkx 平衡位置xFkmxxmkx 令mk20020 xx0称为圆频率或角频率。二阶线性齐次常微分方程

3、。或则o 其解，形式为tAx0cos其中 和 为两个待定常数，二者的物理意义和求法稍后给出。A该式是相对平衡位置的位移或位置（或坐标）随时间的变化规律，称为谐振动运动学方程或谐振动的振动方程。瞬时加速度tA020cosx20Aam20加速度的最大值，出现在远离平衡位置处。 tAxa020cos 上述 和 可做为谐振动的判据。kxFtAx0cos瞬时速度2cos00tAAVm0tAxV00sin速度的最大值（幅值），出现在平衡位置 处。0, xkxF幅值二 周期 频率 圆（角）频率2 频率单位时间内完成全振动的次数，即周期的倒数。mkT211故频率1 周期kmT2202cos0tAtAx0cos

4、故周期20TTtA0cos完成一次全振动所用的时间。T因有3 圆频率或角频率mk0三者关系T220 不难看出，三者是由系统本身的性质决定，与振动的状态无关，具有固有性。适合任何谐振动。 决定了振动系统的初时的状态，故称 为初相位，简称初相。令 ,则初位置初速度0tcos0Ax sin00AV 通常， 是一个未知量，是振动方程中的一个待定常数。由以上知，若 知，可求 。Vx00, 三 相位（位相） 振幅1 相位可见，振动状态由 决定。相位，物体振动状态不同（解释) 。tAx0costAV00sin由t0t0称做相位。不同的按力学，用物体的位置和速度描述物体的运动的状态，此处称为振动状态。例 11

5、1已知如图，一物体沿 轴作谐振动，求初相位。xV020Axx0A0tAcos20AAx解： 求 具体作法是：由式 求得一至四象限范围内满足该式两个 值，再从二值中选出满足 的一个,该值即初相。000 xVtgcos0Axsin00AV或求初相是本章的重点。 对以上给出的方法应理解并掌握。sin000AV33若 向左，结果如何?V0V020Axx0A0tA 小结1 谐振动是周期性运动，周期，频率由系统本身性质决定。2 初相，振幅由初始状态决定。2 振幅202020VxA初位置初速度由得cos0Ax sin00AV四 谐振动的描述方法1 解析法tAx0cos例如SItx6cos2 .0 由该三角函

6、数式可以求得谐振动的特征量：振幅，角频率，频率，周期，相位，初相位。2 振动图线2Totxt0tV0平衡位置x00tV03 旋转矢量法Axo 由坐标轴的原点 引一矢量 ，令该矢量 以匀角速度 绕原点逆时针方向旋转 。 oAAA设 时， 与 轴的夹角为 。A0tx显然， 的末端在 的投影cos0Ax oxx00tAx00ttxA 经时间 ，矢量 转过 角，此时刻， 矢量末端在 轴上的投影为tAtAoxtAxcos可见， 矢量的末端在 轴上的投影代表以原点为平衡位置的谐振动方程。Aox例 114 由振动曲线求振动方程。 2020 mxt somA02. 02解：解法一cos02. 000 xsin

7、00AVV02解法二 用旋转矢量法求初相位。ox22角频率sT12422SIttx22cos02. 0cos02. 0振动方程0由参考轴始左取角；0由参考轴始右取角；2020 mxt so0t例 115 由振动曲线求振动方程。0102020 mxt so解：初相cos02. 001. 021cos3又sin00AV3故在 时st232cos02. 0032sin02. 00V232232S1125或用旋转矢量法求 。xo0t3st 26531212 ts1125二不同时刻的振幅矢量位置振动方程SItx3125cos02. 0从 时刻起，到质点位置在 处，且向X轴正方向运动的最短时间间隔为多少例

8、 116 一质点沿X轴作简谐振动，振动方程为 SItx32cos10420tcmx2解： 用旋转矢量法xoAAA0t322tAtst21t2 例1111 一质点做谐振动，在一个周期内相继通过相距为10cm 的二点A和B，历时2s,并且具有相同的速率；再经历2s后,质点由从另一方向通过B，若以质点通过A为计时的起点，选坐标轴的正方向向右，求谐振动的振动方程。ABo解 (提示) 据题意，AB的中点O为平衡位置。过程旋转矢量图为AOBx学会从图中求出 ，得出振动方程 。 , A0tt1t2六 谐振动的能量以弹簧振子为例。势能动能总能量tAkxkEp022cos22121tkAtAmVmEk02202

9、sinsin2121212022xkVmxkVmE20202212121212总能量守恒，由初始状态决定。kAEEEpk221振动势能tE振动动能振动总能量kA221Fmox把 代入即可。解：由功能原理kAFs221Ax0mk则tAxcos,A 例 1110 如图，物体静止在平衡位置。水平恒力 向左,使物体向左运动了 ，此时撤去外力。当物体运动到左方最远位置时开时记时，求物体的运动方程。NF10m05.0mNk24kgm6其中第二节 谐振动的合成 问题的提出 一 同方向同频率谐振动的合成下面用旋转矢量证明研究物体 设二分振动方程为111costAx221121coscostAtAxxx按力学运

10、动学的叠加原理，合运动为经运算可得tAxxxcos21合运动依然是频率保持不变的谐振动。222costAxxoA1A2k2A1A2A1 若 讨论k23 , 2 , 1 , 0kAAA21加强合振幅最大。则12212221cos2AAAAA1212tt相位差由旋转矢量图不难求得,AA1A2AA212coscossinsin22112211AAAAtg此情况下二分振动的振幅矢量恒共线且同方向。合振动的振幅矢量模最大。3 若为其它角时，则AAAAA2121A1A2A12 k2 若 3 , 2 , 1 , 0kAAA21消弱 合振幅最小。A1A2Axo1 此情况下二分振动的振幅矢量恒共线且反方向。合振

11、动的振幅矢量模最小。 txt s mO例 1113 求合振动方程。03. 002. 02 tx1 tx2 tx解：1 由振动曲线合成，得合振动的曲线，而振动方程为 SIttAtx242cos01. 0cosx2 由旋转矢量图oA1A222A2例 1114 已知分振动方程为SItxcos1 . 01SItx2cos2 . 02SItxcos1 . 03求合振动方程。例题xA1A2A3o解：旋转矢量图如下。合振动方程为SItx2cos2 . 0cmtx410cos621、一作简谐振动的振动系统，振子质量为2kg，系统振动频率为 1000HZ，振幅为0.5cm，则振动能量为2、同方向的简谐振动，振动

12、方程分别为cmtx410cos62cmtx4310cos51画出两振动的旋转矢量图，求它们合振动的振幅、 初相位及振动方程第二节 阻尼振动 受迫振动 共振一 阻尼振动阻尼振动的振动曲线txto直观理解 阻尼（减幅）形成原因：内耗散型，不同能量的转换，如单摆的减幅摆动，机械能变热能，此时，振动体系为开放系统；另外作为波源，以波的形式向外界传递。定量分析简介令阻力Vfr动力学方程Vkxxm xkxm20220 xxx其中称为阻尼因子。称为阻力系数。mk20固有圆频率. 202 当 （小阻尼时）时，上述微分方程的解，即阻尼振动方程为teAxtcos0220eAt0包络线阻尼振动的振动曲线txto式中

13、 ，表明因阻力的存在，使周期略变大,频率略变小.,0AeAt0 反映了阻力的影响，它使振动的振幅随时间逐渐衰减。 由初时条件,阻尼情况决定.（不要求）。其它情况过阻尼220 txto临界阻尼220220临界阻尼过阻尼220 此时因阻尼太大，振动不在具有周期性，振动系统来不及完成一次振就逐渐停止在平衡位置上。二 受迫振动 共振 若上述的振动系统除受到弹性力和阻力之外,还受到一周期性外力的作用,则系统做受迫振动.如扬声器的纸盆的振动,机器运转时引起的机座的振动等.则振动系统运动方程的微分形式为tHkxdtdxdtxdmcos22令mHhmmk,2,20则上式可表述为thxdtdxdtxdcos22

14、022(单位质量的力幅)设周期性外力按简谐振动的规律变化,形式为tHFcos其中 为周期性外力的力幅, H为周期性外力的圆频率.FVxxothxdtdxdtxdcos22022显然,该式为二阶线性非齐次常微分方程,按着微分方程理论,其解的形式(或振动方程)为tAteAxtcoscos2200 此式表明受迫振动是由两个分振动构成:式中的第一项表示的分振动是欠阻尼振动,是一个减幅振动;第二项所表示的是一个与周期性外力频率相同的稳定的等幅振动.振动开始时的情形非常复杂,经过不太长的时间,欠阻尼振动衰减到忽略不计,结果系统的振动达到稳定状态,系统做等幅振动.xtO瞬态过程振动曲线AA 把振动方程代入到

15、振动的微分方程,可以得到(具体数学推导见教材,略)2224220hA及22012tan及 这表明,受迫振动的振幅 和初相 与周期性外力的圆频率,系统的固有圆频率及阻尼性质有关.(比较与谐振动的区别).对于一定的振动系统,即 确定的情况下,振幅 随周期性外力的圆频率变化而变化.A,0AtAxcos结果,受迫振动的振动方程(稳定态解)为 从能量角度讲,等幅振动的产生是因在一个周期内外力所做的净功恰好补偿因阻尼而耗损的能量,振动的总机械能不变.三 共振 fhA2224220对一定的振动系统1 当 ,即周期性外力的圆频率很低时,0kHmkhhA20 g22012tan02 当,即周期性外力的圆频率很高

16、时,0A3 共振0ddA共振时的振幅共振圆频率2220r2202hAr初相位2tan2201r当 为某一特殊值时,振动有最大振幅,此现象称共振.令,得 Ao阻尼较大ArrkH阻尼较小rAr二者同相，故外界对振动体系恒做正功，因而，振幅会达很大。Ao阻尼较大ArrkH阻尼较小rAr阻尼002costAxr2r而振动速度为 2sintAdtdxV而受迫力为tHFrcos0原因是则tVVrmcos或 若阻尼很小, 即 , 0,最大振幅 .Ar0r4 共振应用 原子的共振吸收，铁磁共振 ，顺磁共振等，系统从外界强烈地吸收能量，实现能量的共振吸收和转移。 共振现象极为普遍,在声,光,无线电,原子物理,核

17、物理以及工程技术领域都有广泛的应用.许多声学仪器应用共振原理制成;收音机利用电磁共振原理选台;核磁共振利用原子核在磁场中共振;用超声波清洗金属器件;共振有选频特性。破坏性 机器的转动频率与机座的固有频率接近时,发生共振,影响加工精度,甚至损坏机器;人在跳板上行走;火车过桥梁时;1940年美国华盛顿州塔可玛新悬索桥在大风的袭击下,风引起的振荡作用与桥的固有频率相近,导至桥瘫塌.* 风吹电线在风中的尖叫；自来水管出现的嗡嗡长鸣（称自激，即在恒力的不断激励下，因正反馈作用，将外界能量转变成交变的振动能量。）还有生物力学人体各部分的固有（本征）频率如下头部Hz25眼球Hz8030心脏Hz60胃Hz84

18、肩部Hz54内脏Hz300足Hz2011.3 谐振动的合成谐振动的合成 一、两个同方向同频率谐振动的合成) cos() cos(222111tAxtAxtAAxxx cos)coscos(221121Acos A sin1.旋转矢量法2.解析法A2A21A1xtAA sin)sinsin( 2211tA cos 22112211coscossinsinAAAAtg 22112加强同相AAAk 122112减弱反相AAAk3.初相特例12212221cos2AAAAA结论 1.仍为谐振动，频率不变。2.振幅2cos22/ )cos1 (211AAAt2A1tAxtAx cos cos212111

19、At )- (121.旋转矢量法 t1A1x二、同方向不同频率的谐振动的合成 拍) cos(cos21121ttAxxx2.解析法tAttA2cos2cos2cos2 121212112212221cos2AAAAAtAA2cos2121讨论:1.振幅随时间变, 不是谐振动.2.拍现象,拍频,周期 1cos2cos12121212221 ; 23. 振动频率.2)( 2)(2121可测频率,变频tAttAx2cos2cos2cos2 1212121|*n个同方向同频率的谐振动的合成) 1(cos)cos()cos(21ntaxtaxtaxn2) 1( 2sin2 2sin2 nOMNnRAOC

20、MRaOCP2sin2sinnaA COPNMRRAaan) 1( n2sin2sin2222naAI次最大主最大 /) 12()( 0 /2 222nknkInkanIk 三、相互垂直的同频率谐振动的合成 ) cos() cos(2211tAytAx求轨道方程,消去 t2sin2sinnaA )2(sinsincos cos) 1 (sinsincos cos222111ttAyttAx)4(sin sin)2(sin) 1 () 3(cos cos)2(cos) 1 (1212tt消消(3)2+(4)2 得)4).(sin(cossinsin) 3).(sin(sincoscos122112122112tAyAxtAyAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx三、相互垂直的同频率谐振动的合成 ) cos() cos(2211tAytAx求轨道方程,消去 t椭圆ZD)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx讨论 0 0 . 112221直线xAAyAyAx 0 . 212221直线xAAyAyAx , 1 2 . 3222212顺时针转正椭圆AyAx , 1 23 . 4222212逆时针转正椭圆AyAx反之可分解ZD四、相互垂直的不同频率谐振动的合成频率为简单整数比合成