2022年研究生考试数学二试题及解析

数学（二）解析第数学（二）解析第11页2022全国硕士研究生入学统一考试（数学二）试题解析一、选择题：1～10550项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在指定位置上.当x0时(x)是非零无穷小给出以下四个命题其中所有正确的（ ）①若(x):②若2(x③若(x):

(x)，则2(x): 2(x)2(x)，则(x): (x)(x)，则(x)(x)o((x))④若(x)(x)o((x))，则(x): (x)（A）①② （B）①④（C）①③④ （D）②③④【答案】C

(): ()

lim(x)

2(

()21【解析】当x

0时， x

x

x0(x) x02(x0

(

，则：lim(x(x)0，所以(x(x)o((x正确；x0 (x)当x0时(x): 2(x)则

2(x)

1

(x)1，当lim(x)1时，x02(x)(x与(x)②不正确；

x0(x) x0(x)当(x)(x)o((x))时，lim(x)

lim

(x)

lim(x)

1，④.2）2dy2

x0(x) x0(x)o((x)) x0(x)y dx（ ）0 y 1x32（A）622（C）32

1（B）32（D）3【答案】D【解析】方法：交换积分次序原式2dxx

y dx

12 x

dx (1x3)2210 0 11

20 1x3 3 0 3f(xxx0

处有2阶导数，则（ ）f(xx0

f'(x0

)0当f'(x0

0f(xx0

的某邻域内单调增加f(xx0

f''(x0

)0当f''(x0

0f(xx0

的某邻域内是凹函数【答案】B【解析】因为函数f(x)在xx0

处有2阶导数，则：f''(x)lim

f'(x)f'(x)0

存在limf'(xf'(x；0 x

xx0

xx0 0当f'(x0

)00,xU(x0

,)，有f'(x)0，即0,xU(x0

,)，有f'(x)0，故f(x)在x0

的某邻域内单调增加.设函数ft)连续，令F(x,y)xy(xyt)ft)，则（ ）0F

F,2F

2F

F

,2F

2F2x 2y 2x 2yF

,2

2F

F

,2

2F2x 2y x y 2x 2y【答案】C【解析】原式(xy)x0

ft)dtxytft)dt0Fx

ft)dt(xy)f(xy)(xy)f(xy)xy

f(t)dt，x 0 02Ff(xy)2x同理：Fxy 0

ft)dt(xy)f(xy)(xy)f(xy)xy0

f(t)dt22

f(xy)F综上所述：

,2

2F.

2x

2y设p为常数，若反常积分1 Inx0xp(1x)1p

dx收敛，则p的取值范围（ ）（A）（B）（C）(,1) （D）(,2)【答案】A【解析】当p1时，1 Inx0xp(1x)1p

dx1Inxdx发散，排除B和D；0 x当p1时，1 Inx0xp(1

dx1 xInx0(1x)2

dx1(t)In(t)dt，0 t2limt(1t)In(1t)x0 t2

1，发散，排除C设有数列

，xn 2

，则（ ）2若limcos(sin

)存在，则limx存在n n n n若limsin(cosx存在，则limx存在n n n n若limcos(sin

)存在，则limsinx

存在，但limx

不一定存在n

n

n n若limsin(cos

)存在，则limcosx

存在，但limx

不一定存在n n【答案】D

n n

n n

limsin(cos

)alim

不一定存在，2

2

n

n nx

arccos(arcsina),

满足前面的条件但

lim

不存在.n arccos(arcsina为偶数

n n

1 x

dx，

1ln(x)dx，I

2xdx，则（ ）1 02(1cos

2 01cosx

3 01sinx（A）II I1 2 3（C）II I1 3 2【答案】A

（B）I II2 1 3（D）I I I3 2 1【解析】令h(x)ln(1x)x，h(x) 1 10，x0, 1，于是h(x)单调递增，2 1x 2又由h(0)0可知h(x)ln(1x)x0，其中x0, 1，故 x

ln(1x)，2 2(1cosx) 1cosx故II .当x0, 时，sin<<2x<2x(1+cosx)，则1 2+x)

2x

I.1+cosx 1+sinx

2 31 0 0 设A为3阶矩阵0 1 0则A特征值为的充分必要条件 0 0 0存在可逆矩阵PQAPQ存在可逆矩阵PAPP1存在正交矩阵QAQQ1存在可逆矩阵PAPPT【答案】（B）【解析】若（B）成立，则矩阵A与相似，特征值相等，可推出A特征值为1,1,0A特征值为A与相似，所以为充要条件。1 1 1 设矩阵Aa a2,b2，则线性方程组Axb的解的情况为（ ）1 b b2 4（A）无解 （B）有解有无穷多解或无解【答案】（D）

有唯一解或无解A1b1ba，abab1 1 1 1 当ab1时，A,b0 0 0 1，方程无解，故选 0 0 0 0 1 1 1

1

1

,

与,,1 2 3 4

1 2

1 2 4 1 1 1 1 等价，则的取值范围是（ ）22 【答案】C【解析】,,1 2 3

(2)(1)2，,,1 2 4

(1)2(1)2

时，r,,1 2

r,,1 2

3 ，此时两个向量组等价；当1时，

a2

a3

a411

，此时两个向量组等价；当1 时，r(a,a1

a3r(aaa) 23r(a,a1

,a)<3r=(a,a,a3 1

)，此时两个向量组不等价。综上，1且2。二、填空题：1116小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上.1excotxlim x0 2 1【答案】e2【解析】lim

1ex

cot

limcotxIn1exex0 2

lim

ex12tanx

1e21 2

x0x0 yy(xx2xyy33y''(1)【答案】3132x1，代入可得y(1)1][y2(1)y(1)2]0y(1)1，对隐函数两边3同时求导可得2xyxy'3y2y0y'(1)

，再对上式求导可得：43122y'xy6y(y')23y2y''0，代入可得y''(1) .32(13) 1 2x30x2x1

dx8 39【答案】 8 39【解析】原式

2x1

dx1 4 dx0x2x11

0x2x11ln(x2x1)140 0

dx1 (x )2( )1 2 230413

arctan

1x238 381 3 x238 380 3 3 92 2(14)y2y5y0y(x)yC1

ex(C2

cos2xC3

sin2x)2y5y022r5)0,r1

0,r2,3

12i，yC1

ex(C2

cos2xC3

sin2x)已知曲线L的极坐标方程为rsin(0，L围城有界区域的面积3【答案】121 1 1 1 1 【解析】S 3(sin)2d 3(sin)2d) (sint)2dt 20 60 60 3 2 2 12设A3阶矩阵，交换A232列的-1倍加到第一列，得到2 1 1 矩阵

1 1

，则A1的迹tr(A1) 1 0 0 【答案】1【解析】符合左行右列原则

2 1 1

AE (1)

1 1

，则：23 12

1 0 0 2 1 1 1 1 1A

1 1 0

(1)1 0

，所以23

12 1 0 0 1 1 1EA 1 01)(21)0，解得1

2

i,3

i0 1 所以A1的特征值为1

2

i,3

i，所以trA11.小题，共70分证明过程或演算步骤.17（本题满分10分）已知函数

f(x)

1

lim

f(ex2)3f(1sin2x)2，求2

f'(1).【答案】f'(1)

x0 x2lim[f(ex23f(1sin2xf(1)0f(1)0，则：x0limx0

f(ex2)3f(1sin2xx2

x0

f(ex2)f(1)3[f(1sin2x)f(1)]x2lim

f(ex2)f(1)lim3[f(1sin2x)f(1)]x0 x2 x0 x2

f(ex2)f(1)ex

1lim3[f(1sin2x)f(1)]x0

ex21

x2 x0

sin2xf3f'(1)2f'(1).18（本题满分12分）y(x是微分方程2xy'4y2lnx1y(1)曲线yy(x)(1xe)的弧长.

1的解，求：4【答案】

1(e21)4

2 2lnx1y

yx 2x

，则：(2

2lnx1 (2

2lnx1 1y(x)e

x

2x e x dxC]x2

2x3

dxC

lnxCx22C为任意常数，又y(1)

，则C ，故y(x) lnx x2，则弧长为：1 1 1 4 4 2 41 1 1 Le 1(y'2dx

1(x1)2dxe(x

1)dx1 11 1 1

2 2x

1 2 2x14x22lnx1

(e21)4

219（本题满分12分）已知平面区域Dxy2

x,

y2x 4

,0y2，计算ID

x2y2

dxdy【答案】22【解析】方法一：yy2D D2 122xIxy2Ix2y2D1

dxdy+

xy2x2y2D2

dxdy=d2cossin2rdr 2 cossin2rdr2 sincos0 0 022cossin21 2 2 22方法二：

2sincosdyy2D2D12 2xI1

2xy dxdy x2y2D=S 2DDD

xy x2y21 22D1

xy x2y2222220 2

sincosrdr2242

sincos4

sincosd=2

0 sincos220（本题满分12分）f(u,v) (u,v)已知可微函数f(u,v)满足 uv

2(uv)e(uv)且f(u,0)u2eu（Ⅰ）g(x,y)f(xyx（Ⅱ）求f(u,v)的表达式和极值.【答案】见解析

g(x,y)x ；gg(x,yf(xyxxf(xyxf(xyx1 2gf'(u,v)f'(u,v)2(uv)e(uv)，所以 2[x(yx)]e(xyx)(4x2y)ey；1 2 xg(x,y)f(x,yx)(4x2y)eydx2x(xy)eyC(y)令xu,yxv，则f(u,v)2uve(uv)C(uv)，f(u,0)u2eu可得：C(u)u2euf(u,v)2uve(uv)v)2e(uv)(u2v2)e(uv)，f'2ue(uv)(u2v2)e(uv)(2uu2v2)e(uv)0 u0u1令u

,f'2ve(uv)(u2v2)e(uv)v

(2vu2v2)e(uv)

0 v0v1f

(22u)e(uv)(2uu2v2)e(uv)(24uu2v2)e(uv)uuf''

2ve(uv)(2uu2v2)e(uv)(2vu2v2)e(uv)uvf''(22v)e(uv)(2vu2v2)e(uv)(24vu2v2)e(uv)vvu0 ACB20当 ,A2,B0,C2

(0,0)是极小值，且极小值为f(0,0)0v0 A0u1当v

,A0,B2,C0ACB20(1,1)不是极值21（本题满分12分）设fx在,上有二阶连续导数，证明：fx0的充要条件是对任意的实数a,b，f

ab

1

fxdx. 2

ba 【解析】证明：充分性（方法一）令G(x)x

af(t)dtxa

ax。2 2a 易知G(a0Gxfx

ax1xafax0即可。故 22 2 22将其变形为G'(x

1xaf1xaf'axaxx，再结合条件2 2 2 2 fx0，不难证出不等式。（方法二）fxab泰勒展开有，2 ab

ab ab f ab2

abf x f

2

2

x 2

2 x 2

（介于x和 之2 bfxdxba

abbfxab2dx

a,b间，进而

2 2 2

，由于

为任意实a a fx0时，对任意的实数a,b

ab

1

fxdx. 2

ba a必要性假设存在一点x0

fx0

0，进而根据fx在,上有二阶连续导数，存在x0

fx0，进而存在包含x0

的某区间bfx0，进而继续fxf

abfab

abx

f ab2 运用泰勒展开有，

2

2

2 2

2 （介 x

ab2

之间，进而bfxdxbafabbfxab2dxbaf

ab a

2a 2 2 2

2 2f