第六章平面问题直角坐标解

1、第六章第六章 平面问题平面问题 直角坐标解 工程结构的某些特殊形式，经过适当简化和力学模型的抽象处理，可以归结为弹性力学的平面问题。例如水坝，受拉薄板等。平面问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的。目录目录6.1 平面问题的基平面问题的基本方程本方程6.2 应力函数逆应力函数逆解法与半逆解法解法与半逆解法6.3 梁的平面弯曲梁的平面弯曲6.4 三角级数形式三角级数形式的弹性平面问题解答的弹性平面问题解答深梁问题深梁问题 6.1 平面问题的基本方程平面问题的基本方程平面问题平面问题 0)(2yx莱维莱维（Lvy）方程方程 平面应变平面应变平面应力平面应力变形与应力基本方程应力解法基本方程

2、平衡微分方程，几何方程，变形协调方程以及面力边界条件相同。平面应力与平面应变问题的主要不同在本构方程，注意到 vvvvEE11121二者之间的差别只是一个常数。因此，不论平面应力还是平面应变问题，若物体截面形状及侧面受力相同，则基本方程和边界条件相同。 平面问题基本方程平面问题基本方程6.1 基本方程基本方程2vvvvEE11121注意到 二者未知应力应变关系表达式只是常数的不同。 平面应变与平面应力问题的差别平面应变与平面应力问题的差别z向位移wz向正应力z正应变分量)(yxzvw=0w00)(1)(1zzxyyzyxxvEvE)()(1)(1yxzxyyyxxEvvEvE0z6.1 基本方

3、程基本方程3平面应力问题的近似性平面应力问题的近似性如果物体截面形状及侧面受力相同，平面如果物体截面形状及侧面受力相同，平面应力和平面应变问题的基本方程和边界条应力和平面应变问题的基本方程和边界条件也相同。件也相同。但是二者但是二者z方向的正应力和正应变不同；方向的正应力和正应变不同；应变和位移表达式也不同。应变和位移表达式也不同。平面应力问题平面应力问题解的近似性解的近似性。 6.1 基本方程基本方程4误差与板厚的平方成正比。薄板问题误差可以忽略不计。平面应力问题解的近似性的理解。6.1 基本方程基本方程5),(),(fyxzyxf22)1 (2z误差项6.2 应力函数应力函数逆解与半逆解法

4、逆解与半逆解法平面问题应力解的未知函数为3个应力分量求解2个平衡微分方程和1个变形协调方程利用应力函数可以简化为一个未知应力函数对应一个基本方程yxxyxyyxf22f22f2yxxFyFbb体力为0体力为常数应力函数应力函数使得平面问题归结为在给定的边界条件下求解双调和方程双调和方程。f（x, y)称艾雷艾雷（Airy）应力函数应力函数，简称应力函数应力函数。 6.2 应力函数应力函数2024f422f44f4f22yyxx基本方程逆解法逆解法基本思想对于某些矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足基本方程双调和方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界

5、上的面力，从而该应力函数所能解决的问题。利用逆解法了解应力函数性质。6.2 应力函数应力函数3线性函数二次函数三次函数四次函数应应力力函函数数0应力状态可以删除均匀应力状态线性应力状态二次应力状态只有4个系数独立逆解法逆解法6.2 应力函数应力函数4应力函数的物理意义及边界条件表示应力函数的物理意义及边界条件表示平面问题的求解有赖于应力函数选取应力函数是求解问题的关键应力函数的边界性质应力函数与边界面力应力函数的物理意义6.2 应力函数应力函数5BAxBBAyBBsFyysFxxd)(d)(ssfsFxsFyBAyBBAxBd)(d)(sfsf应力函数对y的偏导数等于边界由定点到该动点的x方向

6、合力。应力函数对x的偏导数等于边界由定点到该动点的-y方向合力。边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的合力对该点的力矩； 上述关系来源于面力边界条件，因此应力函数表达的3个关系式中只有两个是独立的。 6.2 应力函数应力函数66.3 6.3 梁的平面弯曲梁的平面弯曲半逆解法力学模型应力函数悬臂梁应力位移与变形1 2 3 4 5弹性基础对于实际工程问题的边界条件处理需要考虑弹性基础。悬臂梁悬臂梁力学模型应力函数应力分析应力与边界条件1 2弯曲应力分析简支梁简支梁6.3 平面弯曲平面弯曲26.4 6.4 三角级数形式的弹性三角级数形式的弹性平面问题解答平面问题解答 深梁问题深梁问题多项式应力函数连续的应力边界条件的限制0)()()()()()(2)()()4()2()2()4(yYyYyYxXyYxXxXxX对y求一阶偏导数0)()()()()()(2)4()2()2(yYyYyYyYxXxX若上式成立，则2)2()4()2()()(2)()()()(yYyYyYyYxXxX其中，为任意常数0)()(2)2(x