第二章圆锥曲线与方程含详细答案

1、第二章圆锥曲线与方程刷速度一、 选择题1. 如图,所在的平面和四边形ABCD所在的平面互相垂直,且,若,则点P在平面a内的轨迹是(    )A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分答案详解B解:根据题意可得,即,又因P、A、B三点不共线,故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆的一部分,故选 B.2. 在中，以，为焦点，经过的椭圆和双曲线的离心率分别为，则（  ）。A:  B:  C:  D: 答案详解A正确率: 28%, 易错项: C解

2、析:本题主要考查椭圆和双曲线的几何性质。3. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（  ）。A: 或 B: 或 C: 或 D: 或答案详解A正确率: 36%, 易错项: B解析:本题主要考查双曲线和椭圆的离心率。由题意，可能为双曲线或椭圆，可令，如果为双曲线，那么其离心率为，如果为椭圆，那么其离心率为，综上，曲线的离心率为或。故本题正确答案为A。如图，不妨设，对于椭圆，所以；对于双曲线，所以。所以。故本题正确答案为A。4. 已知抛物线 C 的顶点是椭圆 x24+y23=1 的

3、中心 , 焦点与该椭圆的右焦点 F2 重合 , 若抛物线 C 与该椭圆在第一象限的交点为 P, 椭圆的左焦点为 F1, 则|PF1|=( )A. 23  B. 73  C. 53  D. 25. 如图，直线  与抛物线  交于点  ，与圆  的实线部分交于点  ，  为抛物线的焦点，则三角

4、形  的周长的取值范围是（ ）A. B.C.D.答案B解析【命题立意】本题考查抛物线的定义与曲线间的位置关系，难度较大. 【解题思路】设点  ，  的横坐标分别是  ，  ，则依题意有  ，  的周长等于  ；由  解得 与  （舍去），结合题意与图形可知，  ， ，因此  的周长的取值范围是  ，故选B6、斜率为1的

5、直线l与椭圆+y2=1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）A.2 B. C. D.答案详解此题答案为：C.解：设直线l的方程为y=x+b，将直线l的方程代入椭圆中可得5x2+8bx+4b2-4=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1·x2=.由弦长公式可得|AB|=|x1-x2|=|x1-x2|=×=×（当b=0时，取等号）.故选C.7、过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们到直线的距离之和等于5,则这样的直线(    )A. 有且仅有一条B. 有且仅有两

6、条C. 有无穷多条D. 不存在答案详解D解:抛物线的焦点坐标为,准线方程为,设A,B的坐标为,则A,B到直线的距离之和设直线方程为,代入抛物线,则,即,B到直线的距离之和过焦点使得到直线的距离之和等于5的直线不存在8、已知中心在原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为、，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形。若，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（  ）。A:  B:  C:  D: 答案详解B正确率: 55%, 易错项: C解析:本题主要考查圆锥曲线数形结合和简单应用。设椭圆半长

7、轴为，半焦距为，双曲线半长轴为，半焦距为。由题意可知，解得。又因为是以为底边的等腰三角形，所以，则，即，所以，可解得（，）。则，令（），则，代入可得，在上单调递增。当时，所以。9、点是抛物线：（）与双曲线：（，）的一条渐近线的交点（异于原点），若点到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率等于（  ）。A:  B:  C:  D: 答案详解C正确率: 41%, 易错项: B解析:本题主要考查抛物线与双曲线的相关知识。因为点到抛物线的准线的距离为，根据抛物线的性质可知，代入抛物线方程，得点坐标为。且点在上，所以，即。10、过抛物线的焦点的直线与抛物

8、线交于A、B两点,且为坐标原点)的面积为,则等于(    )A. 4 B. 2 C. 6 D. 8答案B解:根据题意,可以知道该抛物线的焦点为,它过直线,代入直线方程,可以知道:求得直线方程变为:A,B两点是直线与抛物线的交点,它们的坐标都满足这两个方程.方程的解,;代入直线方程,可以知道:,的面积可分为与的面积之和,而与若以OP为公共底,则其高即为A,B两点的y轴坐标的绝对值,与的面积之和求得,11、如图3,已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为点，为双曲线的右焦点,且满足,设且,则该双曲线离心率的取值范围为A

9、.B.        C.答案B解析本题主要考查双曲线的简单几何性质.如图所示，设为双曲线的左焦点，,所以，根据双曲线的对称性可知，四边形AFB是矩形，,且,易求,则，,因为且,所以，化简求解可得，该双曲线离心率的取值范围为12、设双曲线（，）的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于，两点，过，分别作，的垂线，两垂线交于点。若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线的斜率的取值范围是（  ）。A: B: C: D: 答案详解A解析:本题主要考查双曲线的性质

10、。根据题意作图如下所示，根据已知条件可知，图中图形关于轴对称，点在轴上。写出各点坐标如下，。方程：，令，得点横坐标为，方程：，那么到直线的距离为。得，所以。该双曲线渐近线斜率为，所以其取值范围为。二、 填空题13下载安装的顶点,的内切圆圆心在直线上,则顶点C的轨迹方程是 答案详解解:如图,与圆的切点分别为E、F、G,则有,所以.根据双曲线定义,所求轨迹是以A、B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为.因此，本题正确答案是:.14、已知两定点,若直线上存在点P,使得,则称该直线为“A型直线”,给出下列直线:(1);(2);(3);(4),其中是“A型直线”的有 答案解:由椭

11、圆的定义可以知道,点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,其方程是,对于(1),把代入,并整理得,由,则是“A型直线”;对于(2),把代入,得不成立,不是“A型直线”;对于(3),把代入,并整理得,则不是“A型直线”;对于(4)把代入,并整理得,由,则是“A型直线”.因此，本题正确答案是:(1)(4).15、已知椭圆（）的两个焦点分别为，设为椭圆上一点，的外角平分线所在的直线为，过，分别作的垂线，垂足分别为，当在椭圆上运动时，所形成的图形的面积为     。答案详解解析:本题主要考查圆锥曲线综合。如图所示，为的角平分线，因此，又，。所以。随着点在椭圆上运动，所

12、以，即点、在直径为的圆内运动，故形成的图形的面积为。故本题正确答案为。16、平面直角坐标系中，双曲线：（，）的渐近线与抛物线：（）交于点，。若的垂心为的焦点，则的离心率为_。答案详解解：由已知可得焦点坐标为，设左交点为A，右交点为B，联立渐近线方程与抛物线方程，可得，即点B坐标为，由已知可得渐近线与直线垂直，所以有，解得，所以双曲线的离心率。三、 解答题17、已知抛物线的焦点为,抛物线的焦点为M.(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点,求直线l的方程;(2)若直线MF与抛物线C交于A、B两点,求的面积.解:(1)抛物线的焦点为,抛物线的焦点为M, ,斜率不存在时,满足题意;斜率存在时

13、,设方程为,代入,可得,时,满足题意,方程为;时,方程为,综上,直线l的方程为或或;(2)直线MF的方程为,代入,可得,设,则,的面积.18、已知圆,圆,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (I)求C的方程. ()若直线与曲线C交于R,S两点,问是否在x轴上存在一点T,使得当k变动时总有若存在,请说明理由.答案详解解:()圆的圆心为,半径, 圆N的圆心,半径设圆P的圆心为,半径为R. 圆P与圆M外切并与圆N内切,  由椭圆的定义可以知道,曲线C是以M,N为左右焦点,长半轴长为2,短半轴为 3的椭圆(左顶点除

14、外), 的方程为 ()假设存在满足.设,联立 y=k(x-1)3x2+4y2-12=0得, 由韦达定理有 x1+x2=8k23+4k2x1x2=4k2-123+4k2 ,其中恒成立, 由(根据题意TS,TR的斜率存在), 故,即, 由R,S两点在直线上,故 , 代入得, 即有 将代入即有:, 要使得与k的取值无关,当且仅当“时成立, 综上所述存在,使得当k变化时,总有19、已知直线与椭圆（）相交于、两点。（1）若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长；（2）若

15、向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值。答案详解（1）因为，即，所以，则，所以椭圆的方程为，将代入消去得，设，因此，。所以；      .6分（2）因为向量与向量互相垂直，因此，即，由，消去可得，由，整理得，又，所以，由，可得，所以，整理得，所以，代入上式得，所以，因为，所以，所以，所以，所以，此时满足，由此得，所以，故长轴长的最大值为。      .14分20、已知椭圆：（）过点，且离心率。（1）求椭圆的方程；（2）设直线：（）交椭圆于

16、，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由。答案详解（1）由已知得，解得，所以椭圆的方程为。（2）设点，则，由得，所以，从而所以，又，不共线，所以为锐角，故点在以为直径的圆外。21、已知点,(其中是曲线上的两点,A,D两点在x轴上的射影分别为点B,C,且.()当点B的坐标为时,求直线AD的斜率;()记的面积为,梯形ABCD的面积为,求证:.解:()由,可得,代入,得到,又,则,可得,代入,得到,则;()证法一:设直线AD的方程为,则.由,得,所以,又,又注意到,所以,所以,因为,所以,所以.证法二:设直线AD的方程为.由,得,所以,点O到直线AD的距离为,所以,又,又注意到,所以,

17、所以,因为,所以,所以.22、已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有。当点的横坐标为时，为正三角形。（）求的方程；（）若直线，且和有且只有一个公共点，（）证明直线过定点，并求出定点坐标；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。答案详解（1）由题意知，设，则的中点为，因为，由抛物线的定义知，解得或（舍去），由，解得。所以抛物线的方程为。（2）（i）由（1）知，设，。因为，则，由得，故。故直线的斜率，因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得。设，则，。当时，可得直线的方程为，由，整理可得，直线恒

18、过点，当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点。（ii）由（i）知直线过定点，所以，设直线的方程为，因为点在直线上，故，设，直线的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得。所以，可求得，。所以点到直线的距离为，则的面积，当且仅当即时等号成立。所以的面积的最小值为。刷真题考点1 椭圆1、直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（  ）。A:  B:  C:  D: 答案详解B正确率: 54%, 易错项: C解析:本题主要考查直线与圆锥曲线。如下图所示，在椭圆中，设点到直线的距离为，在中，根据等面积

19、公式得：，所以，化简得：，所以椭圆的离心率。故本题正确答案为B。2、已知为坐标原点，是椭圆（）的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点。若直线经过的中点，则的离心率为（  ）。A:  B:  C:  D: 答案详解A正确率: 0%解析:本题主要考查直线与圆锥曲线。如图，根据已知可得，所以设直线：，那么点，所以线段的中点坐标为，又点在直线上，且，所以点，故直线的方程为，因为直线经过线段的中点，所以对直线：令，有，所以，化简得，所以。故本题正确答案为A。3、如图，在平面直角坐标系中，是椭圆（）的右焦

20、点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是     。答案详解解析:本题主要考查圆锥曲线。联立直线与椭圆方程可得：，所以，因为，所以，即，所以有，又因为，联立解得。故本题正确答案为。考点2 双曲线4、已知是双曲线：的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则的面积为（  ）。A:  B:  C:  D: 答案详解D正确率: 60%, 易错项: C解析:本题主要考查圆锥曲线。由题意双曲线方程为，如图所示，因为，所以，即右焦点。因为与轴垂直，所以设。由点在双曲线上，解得或，则的长为，在中，边

21、上的高，所以。故本题正确答案为D。5、已知，是双曲线：（，）的左，右焦点，点在的渐近线上，且与轴垂直，则的离心率为（  ）。A:  B:  C: D: 答案详解A正确率: 0%解析:本题主要考查圆锥曲线。不妨设点在双曲线的渐近线上，又轴，得，因为，在中，结合勾股定理得，即，解得，又，故。6、已知双曲线（a0）的一条渐近线方程为，则a=_答案详解解析:根据双曲线的渐近线，确定几何量之间的关系，即可得到结论解答：双曲线（a0）的一条渐近线方程为，a=故答案为：点评：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，根据双曲线的渐近线，确定几何量之间的关系是关键7

22、、已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点。若，则的离心率为_。答案详解解析:本题主要考查圆锥曲线。根据题意可令，所在的渐近线为，则圆的圆心到渐近线的距离，由于，均为圆上的点，所以，又知，所以为等边三角形，在内，到边的距离为，所以有，解得，所以，离心率。故本题正确答案为。8、双曲线 x2a2y2b2=1(a>0,b>0) 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在直线 , 点 B 为该双曲线的焦点 , 若正方形

23、0;OABC 的边长为 2, 则 a=()A. 1  B. 2  C. 12  D. 49、在平面直角坐标系中，双曲线（，）的右支与焦点为的抛物线（）交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_。答案详解解析:本题主要考查圆锥曲线。设，因为，两点在抛物线上，所以。因为，所以，联立双曲线与抛物线方程，得消去可得，所以，所以，所以，故双曲线的渐近线方程为。故本题正确答案为。考点3 抛物线10、以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点，已知，则的焦点到准线的距离为（  ）

24、。A:  B:  C:  D: 答案详解B正确率: 59%, 易错项: C解析:本题主要考查圆锥曲线。如图所示，设抛物线的开口向右（其他开口同理），设抛物线：（），设圆的方程为，如图，设点，因为点在抛物线上，所以，点在圆上，所以，因为点在圆上，所以，联立解得，所以焦点到准线的距离为。故本题正确答案为B。11、过抛物线：的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴的上方），为的准线，点在上，且，则到直线的距离为（  ）。A:  B:  C:  D: 答案详解C正确率: 61%, 易错项: B解析:本题主要考查直线与圆

25、锥曲线。根据抛物线方程，可得其焦点坐标为，其准线为，过焦点，斜率为的直线为：，联立，解得，；，因为在轴上方，所以，可得，直线的解析式为：，点到直线的距离。故本题正确答案为C。12、设为坐标原点，是以为焦点的抛物线（）上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率最大值为（  ）。A:  B:  C:  D: 答案详解C正确率: 48%, 易错项: B解析:本题主要考查圆锥曲线。如图，由题可知，设点坐标为，显然，当时，；时，要求最大值，不妨设。则，当且仅当等号成立。故本题正确答案为C。13、在直角坐标系中，直线：（）交轴于点，交抛物线：（）于点，关于

26、点的对称点为，连接并延长交于点。（1）求；（2）除以外，直线与是否有其他公共点？说明理由。答案详解（1）根据题意有，当代入抛物线方程中，解得，所以，所以，所以直线方程为，与抛物线联立：，得到，解得，所以，所以；     .5分（2）直线的方程为：，即，即，代入得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点。      .12分考点4 直线与圆锥曲线的位置关系14、已知椭圆：（），四点，中恰有三点在椭圆上。（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于，两点。若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点。

27、答案详解（1）由已知得，根据椭圆的对称性，必然在椭圆上，代入得，则剩余一点必然为，代入得，所以，。椭圆的方程为。（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，得，设，由韦达定理得，。则，。又由，得。代入直线方程，及韦达定理的结论，得，化简，得，因为直线不过点，所以，则，所以的方程为，即直线过定点。当直线的斜率不存在时，设，由斜率之和为，得，得，此时的方程为，但此时与椭圆只有一个交点，不符合题意，故舍去这种情况。故直线必过点。15、设为坐标原点，动点在椭圆：上，过作轴的垂线，垂足为，点满足。（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且，证明：过点且垂直于的直线过的左焦点。答案详解（1）令，故，故可表为，即，代入可得，即，所以点的轨迹方程为。（2）设，则可表为，即，整理得：，即，故