第二章流体动力学理论基础--续

1、3-2本章内容本章内容l 流体运动的描述方法流体运动的描述方法l 流场的基本概念流场的基本概念l 流体运动的质量守恒方程流体运动的质量守恒方程l 流体微团的运动流体微团的运动3-3流体运动的质量守恒方程流体运动的质量守恒方程l 连续性、系统和控制体连续性、系统和控制体l 一维恒定总流的连续性方程一维恒定总流的连续性方程l 三维流动的连续性方程三维流动的连续性方程3-4 在流体力学的研究中，把流体看作是连续介在流体力学的研究中，把流体看作是连续介质，即使是在运动流体内部，流体质点也是连续质，即使是在运动流体内部，流体质点也是连续充满所占据的空间，彼此间不会出现空隙。流体充满所占据的空间，彼此间不

2、会出现空隙。流体的这种性质称为的这种性质称为连续性连续性，用数学形式表达出来就，用数学形式表达出来就是是连续性方程连续性方程，它是物质不灭定律在流体力学中，它是物质不灭定律在流体力学中的具体体现，的具体体现，实质上是质量守恒方程实质上是质量守恒方程。连续性连续性3-5控制体：控制体控制体被流体所流过的，相对于某个坐标系来说，固被流体所流过的，相对于某个坐标系来说，固定不变的任何体积称之为控制体。定不变的任何体积称之为控制体。 控制体的边界面，称之为控制体的边界面，称之为控制面控制面。 控制面总是封闭表面。控制面总是封闭表面。 占据控制体的诸流体质点随着时间而改变占据控制体的诸流体质点随着时间而

3、改变。3-6控制体边界（控制面）的特点：控制体控制体 控制面相对于座标系是固定的。控制面相对于座标系是固定的。 在控制面上可以有质量交换。在控制面上可以有质量交换。 在控制面上，受到控制体以外物体加在控在控制面上，受到控制体以外物体加在控制体之内物体上的力。制体之内物体上的力。 在控制面上可以有能量交换。在控制面上可以有能量交换。3-7一维恒定总流的连续性方程一维恒定总流的连续性方程质量守恒：单位时间内流入控制体的流体质量等于流出控制体的流体质量。const222111mdQdQdAUdAUconst21222111mAAQQdAUdAUconst222111mQQAVAV3-8一维恒定总流的

4、连续性方程一维恒定总流的连续性方程不可压缩流体：const222111mQQAVAVconst2211QAVAV0zwyvxutDtD3-9实质：质量守恒实质：质量守恒连续性方程的微分形式连续性方程的微分形式oyxzdmxdmxdxdydzdt时间内时间内x方向：方向：流入质量流入质量流出质量流出质量净流出质量净流出质量dydzdtudmxxdydzdtdxxuudmxxx)(dxdydzdtxudmdmMxxxx)(三维流动的连续性方程三维流动的连续性方程3-10同理：同理：dxdydzdtyuMyy)(dxdydzdtzuMzz)(dt时间内，时间内，控制体总控制体总净流出质量：净流出质量

5、：zyxMMMMdxdydzdt)u(divdxdydzdtu由质量守恒由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即密度变化而减少的质量，即dxdydzdttdxdydzdtudiv)(dxdydzdtzuyuxuzyx)()()(3-11三维流动的连续性方程三维流动的连续性方程质量守恒定律：在没有质量源的条件下，单位时间内控制在没有质量源的条件下，单位时间内控制体内流体总质量的变化量应当等于单位时体内流体总质量的变化量应当等于单位时间内流入控制体内的流体质量。间内流入控制体内的流体质量。3-12三维流动的连续性方程三维流动

6、的连续性方程质量守恒0zwyvxutdxdydztdxdydzzwdxdydzyvdxdydzxu0ut3-13三维流动的连续性方程三维流动的连续性方程恒定流0zwyvxuu0ut0t3-14三维流动的连续性方程三维流动的连续性方程恒定总流的连续性方程0u0VAdAnudVuconstmQQVA一维恒定总流的连续性方程3-15三维流动的连续性方程三维流动的连续性方程不可压缩流体0zwyvxuu0uDtD0DtD3-16有两种二元液流，其流速可表示为：有两种二元液流，其流速可表示为： （1）ux= -2y, uy=3x；（2）ux=0, uy=3xy。试问这两种液流是不可压缩流吗？试问这两种液流

7、是不可压缩流吗？（2） 03030 xzyxyxzwyvxu 0032zyxxy-zwyvxu（1）例题例题3-17流体微团的运动流体微团的运动l 流体质点间的相对运动流体质点间的相对运动l 流体微团的线变形运动流体微团的线变形运动l 流体微团的角变形运动流体微团的角变形运动l 流体微团的旋转运动流体微团的旋转运动l 流体微团运动的合成流体微团运动的合成3-18流体微团流体微团流体微团：流体微团是指体积微小，随流体一起运动的一团流体物质。 包含无数个流体质点。 各流体质点间存在相对位置变化。 能够体现膨胀、变形、转动等尺度变化。3-19流动质点间的相对运动流动质点间的相对运动刚体的运动特点平移

8、、转动3-20流动质点间的相对运动流动质点间的相对运动流体质点的运动特点3-21流动质点间的相对运动流动质点间的相对运动3-22 一般情况下，任一流体微元的运动可以分解为三个运动：随同任意极点的平移，对于通过这个极点的瞬时轴的旋转运动以及变形运动。流动质点间的相对运动流动质点间的相对运动3-23xyzO),(0yxM),(dyydxxMrd亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理3-24M0点的运动速度),(),(0000tyxvvtyxuuM点的运动速度),(),(tdyydxxvvtdyydxxuu亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理3-25对M点的运动速度采用泰勒级数展开dyyvdx

9、xvvtdyydxxvvdyyudxxuutdyydxxuu00),(),(亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理3-26在u的表达式中加入得dyxvdyxv2121dyyudxxuuu0dyyuxvdyxvyudxxuuu21210亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理3-27在v的表达式中加入得dxyudxyu2121dyyvdxxvvv0dxyuxvdxyuxvdyyvvv21210亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理3-28M点速度与M0点速度和速度空间变化率dxyuxvdxyuxvdyyvvvdyyuxvdyxvyudxxuuu2121212100平移、线变形、角变形、转动平

10、移、线变形、角变形、转动亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理3-29流体微团的线变形运动流体微团的线变形运动dxxuudtdxxuu)(dxdxdydyuudxxuuudtCBAOOABCdxdtxu3-30流体微团的线变形运动流体微团的线变形运动x方向上流体微团的线变形量为dxdtxudxudtdxdtdxxuu同理y方向上流体微团的线变形量为dydtyvdyudtdydtdyyvv存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因3-31流体微团的线变形运动流体微团的线变形运动线变形速率：xudxdtdxdtxuxx单位时间内流体线的相对伸

11、长。同理zwyvzzyy 3-32流体微团的线变形运动流体微团的线变形运动体积变形速率：单位时间内流体微团体积的相对变化。dxdydzdzdtdzdydtdydxdtdxdVdzzyyxxdxdydzdtzzyyxxdt时间内流体微团的体积变化量3-33流体微团的线变形运动流体微团的线变形运动dtdxdydzdtdxdydzdtdVddVzzyyxx11体积变形速率：zzyyxxzwyvxu体积变形速率等于三个方向线变形速率之和。3-34流体微团的角变形与旋转运动流体微团的角变形与旋转运动1d2dABO2dBO1dAxd只有角变形只有旋转xddd213-35流体微团的旋转运动流体微团的旋转运动

12、既有角变形又有旋转2121dddx1d2dABOxd存在不在质点连线方向的速度梯存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变形的原因度是产生旋转和角变形的原因3-36流体微团的旋转运动流体微团的旋转运动dxdtxvBAdydx1d2ddydtyuOCdydxdyyuudxxvvuvOABC3-37流体微团的旋转运动流体微团的旋转运动dtxvdxdxdtxvdd11tandtyudydydtyudd22tan旋转角度：dtyuxvddd-21-21213-38流体微团的旋转运动流体微团的旋转运动旋转角速度：单位时间内流体微团的旋转角度。yuxvdtdz21同理zvywx21xwzuy213-3

13、9流体微团的旋转运动流体微团的旋转运动旋转角速度的矢量表达式：kjizyxkyuxvjxwzuizvyw212121uwvuzyxkji21213-40流体微团的角变形运动流体微团的角变形运动dxdtxvBAdydx1d2ddydtyuOCdydxdyyuudxxvvuvOABC3-41流体微团的角变形运动流体微团的角变形运动变形角：dtxvdxdxdtxvdd11tandtyudydydtyudd22tan角变形：dtyuxvddd2121213-42流体微团的角变形运动流体微团的角变形运动角变形速率：yuxvdtdyxxy21单位时间内流体微团的角度变化。同理zvywzyyz21xwzux

14、zzx213-43流体微团运动的合成流体微团运动的合成dxyuxvdxyuxvdyyvvvdyyuxvdyxvyudxxuuu2121212100dxdxdyvvdydydxuuzyxyyzxyxx00平移、线变形、角变形、转动平移、线变形、角变形、转动3-44流体微团运动的合成流体微团运动的合成dydxdydxdzwwdxdzdxdzdyvvdzdydzdydxuuxyzyzxzzzxyxyzyyyzxzxyxx000三维情况：矢量形式：rdrduu03-45流体微团运动的合成流体微团运动的合成3-46涡量及无旋运动涡量及无旋运动涡量：流速场的旋度称为涡量。kjikjizyxzyx2222u

15、kyuxvjxwzuizvywwvuzyxkjiu3-47涡量及无旋运动涡量及无旋运动无旋运动：流场中的流体微团没有旋转运动。0u0 xwzuy0zvywx0yuxvz3-48区别主要在于流体质点是否绕自身轴旋转与运动轨迹无关。有旋运动及无旋运动的区别有旋运动及无旋运动的区别3-49有旋运动及无旋运动的区别有旋运动及无旋运动的区别有旋流：亦称“涡流”。流体微团在运动中不仅发生平动或变形，而且绕着自身的瞬时轴线作旋转运动。无旋流：亦称“势流”、“有势流”。流体在运动中，流体微团只有平动或变形，但不发生旋转运动，即不绕其自身的瞬时轴线作旋转运动。3-50已知流体流动的流速场为 试判断该流动是无旋流

16、还是有旋流。故液体流动是无旋流。 0021)(21zbyyzuyuyzx 0021)(21xzaxxuzuzxy 021)(21yaxxbyyuxuxyz0,zyxubyuaxu例题例题解：3-51例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运动特征解：流线方程：线变形：角变形：旋转角速度：cy 0 xuxx0yuyy221kyuxuxyz221kyuxuxyzxyo（流线是平行与x轴的直线族）（无线变形）（有角变形）（顺时针方向为负）3-52例：速度场ur=0 ，u=b/r（b为常数），流线是以原点为中心的同心圆，此流场是有旋流动还是无旋流动？解：用直角坐标：xyoruxu

17、yupsinuuxcosuuy021yuxuxyz是无旋流（微元平动）小结：流动作有旋运动或无旋运动仅取决于每个流体小结：流动作有旋运动或无旋运动仅取决于每个流体微元微元本身是否旋转，与整个流体运动和流体微本身是否旋转，与整个流体运动和流体微元运动的轨迹无关。元运动的轨迹无关。22yxbyryrb22yxbxrxrb3-53无旋有势1.速度势函数类比：重力场、静电场作功与路径无关势能无旋条件：由全微分理论，无旋条件是某空间位置函数(x,y,z)存在的充要条件函数称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动zuyuyzxuzuzxyuxuxydzudyudxuzyxdzyx),(速度势函数速度势函数0

18、3-54由函数的全微分：得：dzzdyydxxdxuxyuyzuzgradu（ 的梯度）3-552.拉普拉斯方程由不可压缩流体的连续性方程将代入得即拉普拉斯方程0zuyuxuzyxxuxyuyzuz0222222zyx022为拉普拉斯算子， 称为调和函数不可压缩流体无旋流动的连续性方程注意：只有无旋流动才有速度势函数，它满足拉普拉斯方程3-563.极坐标形式（二维）),(rrurru01222222rrrr3-57不可压缩平面流场满足连续性方程：不可压缩平面流场满足连续性方程：0yuxuyx即：yuxuyx由全微分理论，此条件是某由全微分理论，此条件是某位置位置函数函数（x，y）存在的充存在的

19、充要条件要条件dxudyudyx函数称为流函数有旋、无旋流动都有流函数有旋、无旋流动都有流函数流函数流函数3-58由函数的全微分： 得：dyydxxdyuxxuy流函数的主要性质：（1）流函数的等值线是流线；c0d0dxudyuyxyxudyudx证明：流线方程3-59（2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差；证明：dlynudlxnudlnudqyx),cos(),cos(ddxudyuyxABBAdq3-60（3）流线族与等势线族正交；0dxudyudyxxyuudxdym10dyudxudyxyxuudxdym2121yxxyuuuumm斜率：斜率：等流线等流线等势线等势线利用（2）、

20、（3）可作流网3-61（4）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程证明：021yuxuxyz0yuxuxyxuyuyx,02222yx02则：将代入也是调和函数得：在无旋流动中3-62例：不可压缩流体，ux=x2y2，uy= 2xy，是否满足连续性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函数？并写出流函数。解：022xxyuxuyx（1） 满足连续性方程021yuxuxyz（2） 是无旋流（3）无旋流存在势函数：dyudxudyxdyyxudxyxuyyyxxx),(),(0003-63取（x0，y0）为（0，0）23002312),(xyxdyxydxxyxyx（4） 满足拉普拉斯方程， 是

21、调和函数2222yx0)2(2xxyuxuyx（5）流函数xydxdyyxdxudyudyx222取（x0，y0）为（0，0）3),(32022yyxdyyxyxy3-641.均匀平行流速度场（a,b为常数）速度势函数等势线流函数流线auxbuybyaxdyudxuyxccxbaybxaydxudyuyxccxabyuxyo112323几种简单的平面势流3-65当流动方向平行于x轴当流动方向平行于y轴如用极坐标表示：0yuaxay0 xubybx11221122cosrx sinry sinbrby cosbrbx3-662.源流与汇流（用极坐标）（1）源流：1122o34ur源点o是奇点r0

22、 ur速度场速度势函数等势线流函数流线直角坐标rQur20urQrdudrurln22Qdrurdur22ln2yxQxyarctgQ2ccr cc3-67（2）汇流 流量1122o34汇点o是奇点r0 urrQur2rQln22QQQ3-68（3）环流势涡流（用极坐标）注意：环流是无旋流！0ruru22rdudrurrlndrurdur2速度势函数流函数速度场环流强度常数rurdu220逆时针为正1122o34u3-69也满足同理，对无旋流：势流叠加原理012022210202势 流 叠 加 原 理3-70（1）半无限物体的绕流（用极坐标）模型：水平匀速直线流与源流的叠加（河水流过桥墩）流函数：速度势函数：即视作水平流与源点o的源流叠加u02sin