第十章 电荷和静电场

1、第十章第十章 电荷和静电场电荷和静电场主要内容：主要内容：1、电荷基本性质、电荷基本性质2、库仑定律及其应用、库仑定律及其应用3、电场强度的定义、电场强度的定义4、电场强度的计算（定义法、高斯定理）、电场强度的计算（定义法、高斯定理）5、电势的定义和计算、电势的定义和计算6、导体的静电平衡、导体的静电平衡7、电容器电容的计算、电容器电容的计算8、介质的极化以及、介质的极化以及介质存在时的高斯定理介质存在时的高斯定理9、静电场能量的计算、静电场能量的计算电相互作用电相互作用库仑定律库仑定律静电场静电场稳恒电场稳恒电场电场电场强度强度电通量电通量高斯定理高斯定理环路定理环路定理电势电势静电场的静电

2、场的基本性质基本性质与带电粒子与带电粒子的相互作用的相互作用导体的静电平衡导体的静电平衡电位移矢量电位移矢量 介质中高斯定理介质中高斯定理电介质电介质极化极化电电场场能能静电力叠加原理静电力叠加原理电容电容结构框图结构框图重点：重点：4. 静电场与物质（导体和电介质）的相互作用静电场与物质（导体和电介质）的相互作用1. 两条基本实验定律：两条基本实验定律：库仑定律，静电力叠加原理库仑定律，静电力叠加原理。3. 两条基本定理：两条基本定理： 静电场高斯定理静电场高斯定理，环路定理。，环路定理。 揭示静电场基本性质揭示静电场基本性质(有源场、保守场有源场、保守场) 。 5. 稳恒电场。稳恒电场。难

3、点：难点：求解求解 分布；分布； 静电场的基本性质；静电场的基本性质； 导体和电介质中的电场。导体和电介质中的电场。UE ,2. 两个基本物理量：两个基本物理量：电场强度电场强度 ，电势电势 .EU 10-1 10-1 电荷和库伦定律电荷和库伦定律一、电荷一、电荷1、类型：、类型：正正电荷：丝绸摩擦过的玻棒所带电荷电荷：丝绸摩擦过的玻棒所带电荷负负电荷：毛皮摩擦过的胶棒所带电荷电荷：毛皮摩擦过的胶棒所带电荷2、原子的构成、原子的构成原子核：质子原子核：质子+中子中子核外电子核外电子3、电荷守恒定律、电荷守恒定律 在一个和外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在在一个和外界没有电荷交换的系统

4、内，正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。任何物理过程中保持不变。电荷守恒定律是物理学中电荷守恒定律是物理学中普遍的普遍的基本基本定律。定律。4、电荷量的量子化、电荷量的量子化(charge quantization ) 物体所带物体所带过剩过剩电荷的总量称为：电荷量（电荷）。电荷的总量称为：电荷量（电荷）。1906-1917年，密立年，密立根用液滴法首先从实验上证明了，微小粒子带电量的变化不连续。根用液滴法首先从实验上证明了，微小粒子带电量的变化不连续。 即：即： NeQ二、库仑定律二、库仑定律 库仑库仑 (Charlse-Augustin de Coulomb 1736 1806)法国

5、物理学家法国物理学家 1773年提出的计算物体上年提出的计算物体上应力和应变应力和应变分布分布情况的方法，是结构工程的理论基础。情况的方法，是结构工程的理论基础。 1779年对年对摩擦力摩擦力进行分析，提出有关进行分析，提出有关润滑剂的科学理论。他还通过对滚动和滑润滑剂的科学理论。他还通过对滚动和滑动摩擦的实验研究，得出动摩擦的实验研究，得出摩擦定律摩擦定律。 17851789年，用扭秤测量静电力和年，用扭秤测量静电力和磁力，导出著名的磁力，导出著名的库仑定律库仑定律。Coulombs Torsion Balance1、点电荷：、点电荷： 当带电体自身大小与带电体之间距离相比很小时，只考虑其电

6、量不考虑大小。 2、库仑定律：、库仑定律： 在在真空真空中，中， 两个静止点电荷两个静止点电荷之间的相互作用力大小，之间的相互作用力大小，与它们的与它们的电量的乘积成正比电量的乘积成正比，与它们之间，与它们之间距离的平方成距离的平方成反比反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。异号电荷相吸。rrrqqkF22122120/1085.8米牛顿库仑有理化：有理化：真空中的真空中的介电常数介电常数(真空中的真空中的电容率电容率).为施力点电荷指向受力点电荷的单位矢量。为施力点电荷指向受力点电荷的单位矢量。rerrr-q2r+q1rFr

7、Frq1+q2rFrF矢量化：矢量化：rerqqr rqqF221022104141221rqqkF 01F02F03F0,netF3q-+1q2q0qnFFFFF.321合叠加性：叠加性：Eg:如图所示，两个质量都是如图所示，两个质量都是m的相同的小球，带等量同号电荷的相同的小球，带等量同号电荷q，分，分 别用长为别用长为L的细线悬挂于一点，由于库仑斥力，两悬线间夹角的细线悬挂于一点，由于库仑斥力，两悬线间夹角 ， 很小，求：两球距离很小，求：两球距离x与与q、L、m的关系。的关系。Eg:教材例题教材例题101Eg:两个同号点电荷所带的电量之和为两个同号点电荷所带的电量之和为Q，它们各自电量

8、为多少时相互，它们各自电量为多少时相互 间作用力最大。间作用力最大。10-2 电场电场 电场强度电场强度 电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电荷周围存在有荷周围存在有电场电场。在该电场内的任何带电体，都受到。在该电场内的任何带电体，都受到电场的作用力电场的作用力 (Idea of Michael Faraday)。电荷电荷 电场电场 电荷电荷一一. 静电场静电场1. 电场的概念电场的概念2. 电场的物质性电场的物质性 给电场中的带电体施以给电场中的带电体施以力力的作用。当带电体在电场的作用。当带电体在电场中移动时，电场力作功，表明电场具有中移

9、动时，电场力作功，表明电场具有能量能量。3. 静电场静电场静止电荷产生的场叫做静止电荷产生的场叫做静电场。静电场。 在静止的电荷在静止的电荷Q周围的静电场中，放入试验电荷周围的静电场中，放入试验电荷q0，试验电荷试验电荷q0 受力为：受力为：rrQqF4200二二. . 电场强度电场强度1. 试验电荷试验电荷 线度足够小，可以看成点电荷；电量足够小，小到把线度足够小，可以看成点电荷；电量足够小，小到把它放入电场中后，原来的电场几乎没有什么变化。它放入电场中后，原来的电场几乎没有什么变化。2. 假想实验假想实验F大小大小与与r 有关，而且还与试验电荷有关，而且还与试验电荷 q0有关。有关。 电场

10、强度是电场的属性，与试验电荷的存在与否无电场强度是电场的属性，与试验电荷的存在与否无关，并不因无试验电荷而不存在，但可由试验电荷受到关，并不因无试验电荷而不存在，但可由试验电荷受到的力来反映。的力来反映。0qFE单位：单位：N.C-1或或V.m-13. 3. 电场强度电场强度 试验电荷受到源电荷的作用力与试验电荷电量的比试验电荷受到源电荷的作用力与试验电荷电量的比值值F/q0 则与试验电荷无关，反映了电场本身的性质，用则与试验电荷无关，反映了电场本身的性质，用这个物理量作为描写电场的场量，称为这个物理量作为描写电场的场量，称为电场强度电场强度。 电场中某点的电场强度在数值上等于位于该点的单位电

11、场中某点的电场强度在数值上等于位于该点的单位正试验电荷所受的电场力。正试验电荷所受的电场力。电荷电荷q在电场在电场E中的电场力：中的电场力：q0时，电场力方向与电场强度方向相同；时，电场力方向与电场强度方向相同； q0，电场强度，电场强度E与径向同与径向同;Q lr+= r- r+-QQ1.轴线延长线上轴线延长线上 A 的场强的场强302rpELr 21214220)Lr()Lr(qEEE 2220424)Lr(rLq q q r2LAoEEL+dEdq rerdqEdE204 dVdQdVreEVr，204dSdQdSreESr，204dldQdlreESr，2042. 电荷连续分布电荷连续

12、分布(A Continuous Charge Distribution) 将带电区域分成许多电荷元将带电区域分成许多电荷元dq电荷体分布电荷体分布,dq=dV电荷面分布电荷面分布,dq=dS电荷线分布电荷线分布,dq=dlrrer2 xao1 yP 例例2. 均匀带电细棒的电场。已知：电荷线密度均匀带电细棒的电场。已知：电荷线密度 ，场，场 点点 求：求： ),a(P21 PE解：解：建立坐标系建立坐标系xyo xqdd 取取rrqE304dd方向：与方向：与+x 夹角为夹角为 大小：大小：204ddrxE qdEdr各电荷元在各电荷元在P 点场强方向不同，应该用分量积分：点场强方向不同，应该

13、用分量积分： sindd cosddEEEEyx sin4ddcos4dd2020 rxEErxEEyyxx统一变量：统一变量： 222222cscd cscd ctg axaraxax 2 xao1 yP qdEdr xEdyEd2 xao1 yP qdEdr xEdyEd)(aaE)(aaEyx21001200coscos4dsin4sinsin4dcos42121 xyyxPEExEEEarctg 22 夹夹与与得：得：讨论：讨论：对靠近直线场点如何？对靠近直线场点如何？aEEEayx0212 0 . 0 . 棒棒长长Eg:试计算均匀带电细棒中垂线上任一给定点处试计算均匀带电细棒中垂线上

14、任一给定点处P的场强，的场强，棒长为棒长为L，带电量为，带电量为q，P点距棒中心的距离为点距棒中心的距离为x。Edx/EdEdLdEE0 0LL/dEcosdEE 2 20 04 4rdQdE EEE/rx204rdQ3 30 04 4rdQxL xQ23220/4RxixQEErEdEdEd/2）R x02iE无限大带电平面场强无限大带电平面场强22RQrdr例：例：求电量求电量Q ；半径；半径R 均匀带电圆盘轴线上的场强。均匀带电圆盘轴线上的场强。结论：结论：1. 无限大带电平面产生与平面垂直的均匀电场无限大带电平面产生与平面垂直的均匀电场02 E EE EE2. 两平行无限大带电平面（两

15、平行无限大带电平面（ ）的电场）的电场 , E+ += = EE EE两平面间两平面间两平面外侧两平面外侧 EEE00 电场强度的计算方法电场强度的计算方法点电荷系：点电荷系：riierQEE 204 连续带电体：连续带电体： rerdqEdE204 1) 选合适的坐标系；选合适的坐标系；2) 任取任取dq，写，写dE的大小、画的大小、画dE的方向；的方向；3) 写写dE的分量表达式的分量表达式: dEx, dEy, dEz;4) 积分求积分求Ex, Ey, Ez;5) 写总电场写总电场E的矢量式的矢量式(或或E的大小和方向的大小和方向).rrer电场强度小结：电场强度小结：电场强度的定义：电

16、场强度的定义：0qFE定量研究电场：对给定场源电荷求其分布函数定量研究电场：对给定场源电荷求其分布函数 。E基本方法：基本方法： 点电荷（或典型电荷）电场公式点电荷（或典型电荷）电场公式 场强叠场强叠 加原理加原理iiEErrqE;430yyxxyxEEEEEEEEEqdd d)d , d( dd典型带电体典型带电体 分布：分布：E均匀带电圆环轴线上：均匀带电圆环轴线上：23220)(4RxiqxE无限长均匀带电直线无限长均匀带电直线：垂直于带电直线垂直于带电直线rE02 无限大均匀带电平面：无限大均匀带电平面：垂直于带电面垂直于带电面02 E点电荷电场点电荷电场:304rrqE10-3 高斯

17、定理高斯定理一、电力线：一、电力线：其上每点切向其上每点切向: 该点该点 方向方向E电电场场线线通过垂直通过垂直 的单位面积的条数等于场强的大小的单位面积的条数等于场强的大小E2.电力线的电力线的性质性质1)电力线起始于正电荷电力线起始于正电荷(或无穷远处或无穷远处)，终止于负电荷，不会，终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；在没有电荷处中断；2)两条电场线不会相交；两条电场线不会相交；3)电力线不会形成闭合曲线。电力线不会形成闭合曲线。5) 电场线越密的地方，场强越大；电场线越疏的地方，场强电场线越密的地方，场强越大；电场线越疏的地方，场强越小。越小。即其疏密与场强的大小成正比即其疏密与场强的

18、大小成正比 . 图几种常见电场的电场线点电荷的电场线)(a的平行板电场线一对带等量异号电荷)(b线两个同号点电荷的电场)(c线两个异号点电荷的电场)(d角时成与ESneESES时：时：SEESESnecosES nES nn S面的电场线总数，在电场中穿过任一给定通量）称为通过该面的电通量Ee(1. 均匀场强，平面均匀场强，平面S cosS投影面积二、电通量二、电通量(Electric Flux)(Electric Flux)SdsEsdEdecossdEdsESssecos:dsnE2020202.非均匀场强，曲面非均匀场强，曲面的选取有关正负与法线不闭合曲面，电通量的n向外规定法线n3）通

19、过封闭曲面的电通量）通过封闭曲面的电通量SeSdESEEnn 2/0 2/ 规定：封闭曲面外法向为正规定：封闭曲面外法向为正穿入的电场线穿入的电场线穿出的电场线穿出的电场线00ee高斯（高斯（Carl Friedrich Gauss 17771855） 德国德国数学家数学家、天文学家天文学家和和物理学物理学家。高斯在数学家。高斯在数学上的建树颇丰，有上的建树颇丰，有“数学王子数学王子”美称。美称。 长期从事数学、并将数学应用于物理学、天文学长期从事数学、并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究。主要成就：和大地测量学等领域的研究。主要成就：电学和地磁学电学和地磁学：关于静电学、温差

20、电和摩擦电的研究、利用绝对：关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。论研究。2) 光学光学：利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高：利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。斯光学。3) 天文学和大地测量学天文学和大地测量学：如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理：如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。论研究等。4) 试验数据处理试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差：结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差

21、理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。 5) 高斯还创立了高斯还创立了电磁量的绝对单位制电磁量的绝对单位制。:,)(,0即除以围的自由电荷的代数和等于这个闭合曲面所包通量的电称为高斯面通过任一闭合曲面在静电场中內SieqS三三. 高斯定理高斯定理(GaussLaw)1.高斯定理内容与数学表达式（真空中）高斯定理内容与数学表达式（真空中）内SiSeqSdE01SSqSdE0内内高斯面，封闭曲面高斯面，封闭曲面 :S真空电容率真空电容率:0 S 内的净内的净电荷电荷 ：内内 q通过通过S的电通量，的电通量， 只有只有S内电荷内电荷有贡献有贡献 :eS上

22、各点的上各点的总场总场，S 内外所有电荷内外所有电荷均有贡献均有贡献:E式中各项的含义：式中各项的含义：处于球心的球面包围，且被半径为点qrq电荷(1)0220441：球面高斯面qrESdEeEdsSdEedrqESqSSE2. 直观证明直观证明(2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面曲面为包围电荷的任意封闭曲面qSES S qSE00qSdESdEqSSSe的电通量均为曲面通过包围点电荷的任意(3) 通过不包含电荷的任意闭合曲面通过不包含电荷的任意闭合曲面S”的电通量恒的电通量恒为零为零EqS” 电场线不会在没有电荷的地方中断电场线不会在没有电荷的地方中断,从某个地从某个地方穿入方穿入S”的电场

23、线必定从其它地方穿出去的电场线必定从其它地方穿出去.面外。高斯面上：在面內在、设SqqqSqqqknnnn,)4(21, 2, 1)()(11outEEinEEEknnnSknnnSSdEEEEESdE)(1210000201nqqqSdESdESdESdESknSnSnS110)(內Siq1) 高斯定理是反映静电场性质高斯定理是反映静电场性质(有源性有源性)的一条基本定理；的一条基本定理；2) 高斯定理是在高斯定理是在库仑定律库仑定律的基础上得出的，但它的应用范围比库的基础上得出的，但它的应用范围比库仑定律更为广泛；仑定律更为广泛；3) 高斯定理中的高斯定理中的电场强度是封闭曲面内和曲面外的

24、电荷共同产生电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产生的，并非只有曲面内的电荷确定；的，并非只有曲面内的电荷确定；4) 若高斯面内的电荷的电量为零，则通过高斯面的电通量为零，若高斯面内的电荷的电量为零，则通过高斯面的电通量为零，但高斯面上各点的电场强度并不一定为零；但高斯面上各点的电场强度并不一定为零；5) 通过任意闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷的代数和，通过任意闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷的代数和，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合面上各点处的场强大小和方向；合面上各点处的场强大小和方向；iSe

25、qSdE01三、关于高斯定理的说明三、关于高斯定理的说明四、高斯定理解题步骤四、高斯定理解题步骤：(1)进行对称性分析进行对称性分析：由电荷分布的对称性，分析场：由电荷分布的对称性，分析场 强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布。常见的对称性有度的分布。常见的对称性有球对称性、轴对称性、球对称性、轴对称性、面对称性面对称性等。等。(2)根据场强分布的特点，作根据场强分布的特点，作适当的高斯面适当的高斯面，要求：，要求：待求场强的场点应在此高斯面上；待求场强的场点应在此高斯面上；穿过该高斯面的电通量容易计算。穿过该高斯面的电通量容易计算。

26、(3)计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。最后由高斯定理求出场强。 Eg:教材例题教材例题104Eg:求均匀带电球壳内、外的场强分布，设球壳带正电求均匀带电球壳内、外的场强分布，设球壳带正电Q， 半径半径R。Eg:教材例题教材例题105（实心球体）（实心球体）E例：例：求电荷面密度为求电荷面密度为 无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面的场强分布。的场强分布。解：解： 选择高斯面选择高斯面与平面正交对称的柱面。与平面正交对称的柱面。SdE侧面侧面:底面底面:SeSdE0 0 SSE 2 20 02 2 E+ + + + + +

27、 + + + + SdSd,且大小相等且大小相等ESdE/Eg:两个均匀带电同心球面，半径分别为两个均匀带电同心球面，半径分别为 ，带电总量分别为，带电总量分别为+Q 和和-Q，求空间各区域场强分布。，求空间各区域场强分布。21RR 和Eg:如图所示，一半径为如图所示，一半径为R的无限长带电圆柱体，其电荷体密度为的无限长带电圆柱体，其电荷体密度为 ，求：，求： 圆柱体内外的场强分布圆柱体内外的场强分布 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系一、静电场属于保守场一、静电场属于保守场可见静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关，可见静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关，

28、与所通过的路径无关与所通过的路径无关.此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场.)11(44dd00200QPLrrrrqqrrqqAAQP2003004d4dddrrqqrlrqqlFA场源电荷：场源电荷：检验电荷：检验电荷：0qqEqF0rPbarrQFq0Lqldrdr 1、静电力的功：、静电力的功：bqa0qarbrl ddrFrdrr 点电荷系点电荷系 如果场源电荷不是点电荷，而是一个点电荷系。如果场源电荷不是点电荷，而是一个点电荷系。 baabl dEqA0baniil dEq10nibail dEq10nibiaiirrqq1001

29、14 仍与路径无关仍与路径无关! 实验电荷在任何静电场中移动时，电场实验电荷在任何静电场中移动时，电场力所做的功，仅与实验电荷量及其始、末位力所做的功，仅与实验电荷量及其始、末位置有关。即静电场力是置有关。即静电场力是保守力保守力。nibaiiil drrqq10200400l dE 静电场强沿任一闭合环路的线积分恒等于零。静电场强沿任一闭合环路的线积分恒等于零。2. 静电场的环路定理静电场的环路定理l dEqA0abbal dEql dEq00babal dEql dEq00abbaabldEqA0参考点PPl dEqW0三、电势能、电势差和电势三、电势能、电势差和电势 静电场力作功与路径无

30、关。这说明静电场是保守静电场力作功与路径无关。这说明静电场是保守场。可以引进与位置有关的标量函数场。可以引进与位置有关的标量函数-势能。势能。 q0在静电场中某点在静电场中某点P的静电势能定义为：的静电势能定义为： bal dEql dEq参考点参考点00参考点参考点abl dEql dEq00 类似于重力势能，类似于重力势能，静电场力从静电场力从a到到b作功应该等于作功应该等于a、b两点的电势能差两点的电势能差，即，即a、b两点的静电势能差为：两点的静电势能差为：abWW 1、电势能、电势能定义：定义：a、b两点的电势差为两点的电势差为:00qAl dEqWUabbaabab2、电势差、电势

31、差电场中电场中a、b两点的电势差在数值上等于将单位正两点的电势差在数值上等于将单位正电荷从电荷从a移到移到b电场力所做的功。电场力所做的功。沿电场线方向电势降低，逆电场线方向电势升高。沿电场线方向电势降低，逆电场线方向电势升高。 E=F/q0是一个只与电场有关而与实验电荷无关是一个只与电场有关而与实验电荷无关的量，它反映电场的的量，它反映电场的力力方面的性质。方面的性质。 Wab /q0也与也与q0无关，完全由电场无关，完全由电场a、b两点的性两点的性质决定，它反映了电场质决定，它反映了电场能能方面的性质。方面的性质。1）定义：）定义：参考点PPl dEUbababaabUUl dEl dEl

32、 dEU参考点参考点babaabUUql dEqA00PPPUql dEqW00参考点q0在电势为在电势为Up的某点的某点P的静电势能为：的静电势能为：3、电势、电势2）电势与电势差：）电势与电势差： 电场中某点的电势高低，由零电势点的选择而定。电场中某点的电势高低，由零电势点的选择而定。但任意两点间的电势差但任意两点间的电势差 Uab 却与零电势点的选择无关。却与零电势点的选择无关。3) 电场力作功：电场力作功：1）零电势点允许有一定的）零电势点允许有一定的任意性任意性。但要保。但要保证电势的表达式有意义。证电势的表达式有意义。2）一般选）一般选无限远处无限远处或者选大地电势为零。或者选大地

33、电势为零。3、零电势点的选择、零电势点的选择三、电势的计算三、电势的计算1. 点电荷的电势点电荷的电势(选无限远处的电势为零选无限远处的电势为零)PPPrql dEU04. 0, 00, 0PPUqUq；1q2q3qiqnqP1) 点电荷系的电势：点电荷系的电势：niiiniirqU1014 即，一个点电荷系的电场中某点的电势，即，一个点电荷系的电场中某点的电势，等于各个点电荷单独存在时在该点所产生电势等于各个点电荷单独存在时在该点所产生电势的的代数和代数和。niPildE1 PniiPPl dEl dEU12、电势叠加原理、电势叠加原理Eg:如图，如图， ，圆弧，圆弧OCD是以是以B为圆心，

34、为圆心，L为半径为半径的半圆，的半圆，A点有一正电荷点有一正电荷 ，B点有一负电荷点有一负电荷 ，求：，求：1）把单位正电荷从）把单位正电荷从O点沿圆弧点沿圆弧OCD移至移至D点，电场力对点，电场力对它作的功；它作的功；2）把单位负电荷从）把单位负电荷从D点沿点沿AD延长线移到无穷延长线移到无穷远处，电场力的功。远处，电场力的功。LBA2qq2) 连续带电体的电势：连续带电体的电势：rdqUP04dVdqdsdqdldq,(1) 先求出场强分布先求出场强分布(高斯定理高斯定理)，再由下面公式计算：，再由下面公式计算： (2) 由电势叠加原理计算。由电势叠加原理计算。rdqdUP04rdqqP3

35、) 电势的计算方法：电势的计算方法：PPl dEU注意：注意：1、 U 为空间标量函数为空间标量函数2、U 具有相对意义，其值与零势点选取有关具有相对意义，其值与零势点选取有关,但但 与零势点选取无关与零势点选取无关.abU3、U 遵从叠加原理遵从叠加原理 （零势点相同）（零势点相同） ： 即点电荷系场中任一点的电势等于各点即点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的电势的电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和代数和. iUU例：例：求总电量求总电量Q,半径半径R的均匀带电圆环轴线上的电势的均匀带电圆环轴线上的电势Rrx0P解解：QrdQU0 04 4 QdQr0 04 41

36、1 rQ0 04 4 2 22 20 04 4xRQU rdQdU0 04 4 dQxxxrdEUxxRQxdx2322042204xRQU23220/4RxixQEER212204rxdQdUrxrdrRQdQ 2 22 2RrxrdrRQU02122202例例: 求电量求电量Q ,半径半径R 的均匀带电圆盘轴线上的电势的均匀带电圆盘轴线上的电势.22202xRxRQU当当x RxQU04X = 0 22RQrdrU02RU xEg:求均匀带电球体内、外的电势分布，设球体带正电求均匀带电球体内、外的电势分布，设球体带正电Q，半径，半径R。Eg:两个均匀带电同心球面，半径分别为两个均匀带电同心

37、球面，半径分别为 ，带电总量分别为，带电总量分别为+Q 和和-Q，求空间各区域场强和电势的分布。，求空间各区域场强和电势的分布。21RR 和Eg:如图所示，一半径为如图所示，一半径为R的无限长带电圆柱体，其电荷体密度为的无限长带电圆柱体，其电荷体密度为 ，求：，求： 1）圆柱体内外的场强分布；）圆柱体内外的场强分布；2）以圆柱体轴心为零电势，圆柱体内外）以圆柱体轴心为零电势，圆柱体内外 的电势分布；的电势分布；3）以圆柱面的电势为零点，求电势分布。）以圆柱面的电势为零点，求电势分布。Eg:求无限长均匀带电直线外任一点求无限长均匀带电直线外任一点P的电势，已知电荷线密度的电势，已知电荷线密度 。

38、Eg:求均匀带电球壳内、外的电势分布，设球壳带正电求均匀带电球壳内、外的电势分布，设球壳带正电Q，半径，半径R。典型带电体的电势分布典型带电体的电势分布21)(4220 xRqU 3、均匀带电圆环轴线上的电势分布：、均匀带电圆环轴线上的电势分布：恒恒量量内内 RqU04 rrqU14 0 外外rqU04 1、点电荷、点电荷 场中的电势分布：场中的电势分布：q2、均匀带电球面场中电势分布：、均匀带电球面场中电势分布：四、等势面四、等势面把电场中电势相等的点连起来所形成的一系列曲面，称为把电场中电势相等的点连起来所形成的一系列曲面，称为等势面等势面。常见带电体的等势面与电力线常见带电体的等势面与电

39、力线点电荷点电荷q的电场的电场rqU04无限大带电平面的电场无限大带电平面的电场常见带电体的等势面与电场线常见带电体的等势面与电场线等势面的性质：等势面的性质：2) 等势面与电场线处处正交。等势面与电场线处处正交。3) 电场线总是由高电位等势面指向低电位等势面。电场线总是由高电位等势面指向低电位等势面。4) 等势面密集处场强大，等势面密集处场强大，电场线也密集。电场线也密集。等势面稀疏等势面稀疏处场强小。处场强小。dVqdA0(当规定相邻两等势面的电势差为定值当规定相邻两等势面的电势差为定值)1）电荷沿等势面移动，电场力不做功。）电荷沿等势面移动，电场力不做功。0dV0A0cos00Edlql

40、 dEqdA2, 0cos即UdUU 1S2S1Pn2Pnd3Pl dcosdndl cosdndUdldUEEUndndUgradU 电势梯度是一个矢量，方向与该点电势增电势梯度是一个矢量，方向与该点电势增加率最大的方向相同，大小等于沿该方向上的电加率最大的方向相同，大小等于沿该方向上的电势增加率。势增加率。三、电势与电场强度的关系三、电势与电场强度的关系1、电势梯度、电势梯度dUdUUUdnEndnEndndUEn 结论结论UgradUndndUEdldUdndUgradUEcoszUEyUExUEzyxkzUjyUixUE2、电场强度与电势梯度的关系、电场强度与电势梯度的关系jikzUj

41、yUixUE6666 解解：RdQrx0Px例：例：求电量求电量Q ,半径半径R 均匀带电圆环轴线上均匀带电圆环轴线上电势电势与与场强。场强。rdQdU0 04 4 解：解：QrdQU0 04 4 QdQr0 04 41 1 rQ042204xRQU例：例：已知电势函数已知电势函数 ,计算点计算点(2,3,0)处处的电场强度。的电场强度。 )(76622SIyyxxURdQrx0PxxUEx0yUEy0zUEz2 23 32 22 20 04 4RxxQ E小小 结：结：一、静电场环路定理：一、静电场环路定理：LlE0d 静电场强沿任意闭合路径的线积分为零静电场强沿任意闭合路径的线积分为零.反

42、映了反映了静电场是保守力场，是有势场静电场是保守力场，是有势场.二、电势、电势能、电势差二、电势、电势能、电势差零势点aalEqWd0零势点aalEUd电电 势：势：电势差：电势差：babaablEUUUd电势能：电势能：三、三、 电势的计算（两种基本方法）电势的计算（两种基本方法）1、场强积分法（由定义求）、场强积分法（由定义求）1确定确定 分布分布E路径上各点的总场强，若路径上路径上各点的总场强，若路径上各段的表达式不同，应分段积分各段的表达式不同，应分段积分3由电势定义由电势定义零势点零势点计算aaaaUlElEU dcosd2选零势点和便于计算的积分路径选零势点和便于计算的积分路径 选

43、取零势点的原则：使场中电势分布有确定值选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值 2、叠加法、叠加法1将带电体划分为电荷元将带电体划分为电荷元qd3由叠加原理由叠加原理： UUUUd d或或2选零势点，写出选零势点，写出 在场点的电势在场点的电势Udqd给出又一种求给出又一种求 的方法：的方法：E)(kzUjyUixUEUEgrad四、电场强度与电势的关系四、电场强度与电势的关系五、典型带电体的电势分布五、典型带电体的电势分布21)(4220 xRqU 3、均匀带电圆环轴线上的电势分布：、均匀带电圆环轴线上的电势分布：恒恒量量内内 RqU04 rrqU14 0 外外rqU04 1、点电荷、点电荷

44、 场中的电势分布：场中的电势分布：q2、均匀带电球面场中电势分布：、均匀带电球面场中电势分布：2、金属导体与电场的相互作用、金属导体与电场的相互作用特征：体内存在大量的自由电子特征：体内存在大量的自由电子无外场时自由无外场时自由电子无规运动：电子无规运动： “电子气电子气”在外场在外场 中中 1. 无规运动；无规运动；2. 宏观定向运动宏观定向运动0E0EE 导体内电荷重新分导体内电荷重新分布出现附加电场布出现附加电场 直至静电平衡直至静电平衡EE 0E00 EEE内内10-5 静电场中的金属导体静电场中的金属导体一、金属导体的静电平衡一、金属导体的静电平衡1、静电感应：、静电感应：在静电场力

45、作用下，导体中自由电子在电场力的作用下作在静电场力作用下，导体中自由电子在电场力的作用下作宏观定向运动，使电荷产生重新分布的现象。宏观定向运动，使电荷产生重新分布的现象。静电平衡：静电平衡：导体内部及表面均无电荷定向运动，导体内部及表面均无电荷定向运动，导体上电荷及空间电场分布达到稳定导体上电荷及空间电场分布达到稳定.空间电场：空间电场： 0表面表面内EEEEE 0 -静电平衡条件：静电平衡条件： 000表面表面内EEEEEE或或:导体是等势体导体是等势体导体表面是等势面导体表面是等势面. .ab0dlEUbaab证明：证明：0cos0或E3、静电平衡时导体上的电荷分布、静电平衡时导体上的电荷

46、分布A、导体内无净电荷（、导体内无净电荷（ ），电荷只分布于导体表面），电荷只分布于导体表面.0 1）实心导体（即只有外表面的导体）实心导体（即只有外表面的导体）s高斯面高斯面 S（宏观小，微观大）（宏观小，微观大）0d11d00VqSEs内内0内E静电平衡条件静电平衡条件0 净电荷只分布于外表面净电荷只分布于外表面.导体表面电荷密度与表面曲率半径有关导体表面电荷密度与表面曲率半径有关.对于孤立的带电体，导体表面的电荷分布规律为：对于孤立的带电体，导体表面的电荷分布规律为：二、导体表面的电荷和电场二、导体表面的电荷和电场尖锐尖锐处处，曲率大处曲率大处(曲率半径小曲率半径小)，面电荷，面电荷密度

47、大。密度大。平缓平缓处处，曲率小处曲率小处(曲率半径大曲率半径大)，面电荷，面电荷密度小。密度小。凹陷凹陷处处，电荷面密度很小，甚至电荷面密度很小，甚至为零。为零。静电平衡时导体表面电荷面密度与表面紧邻处场强成正比静电平衡时导体表面电荷面密度与表面紧邻处场强成正比.EPSS 0 ES过表面紧邻处过表面紧邻处P 作平行于表面作平行于表面的面元的面元 ,以以 为底，过为底，过P的的法向为轴，作如图高斯面法向为轴，作如图高斯面S 。S S SSESESESESEsSSS01 dddd侧0内E0cos nEE00 接静电接静电起电机起电机尖端放电：尖端放电：带电体尖端附近的场强较大，大到一带电体尖端附

48、近的场强较大，大到一定的程度，可以使空气电离，产生尖端放电现象。定的程度，可以使空气电离，产生尖端放电现象。1）空腔导体（有内、外表面），腔内无电荷）空腔导体（有内、外表面），腔内无电荷sS同上，作高斯面同上，作高斯面S ，可证明导体内可证明导体内0 紧贴内表面作高斯面紧贴内表面作高斯面S0d11d00内表面内内内SqSEs若若.,q0 0 内内内内 s则必然有则必然有 处，处，电场线由电场线由 沿电场线方向电势降低，沿电场线方向电势降低，导体内表面有电势差，与静电平衡条件：导体导体内表面有电势差，与静电平衡条件：导体表面为等势面矛盾表面为等势面矛盾.所以所以 净电荷只能分布于外表面净电荷只能

49、分布于外表面. . 0 内内 00 ,三、导体空腔三、导体空腔净电荷只能分布于外表面净电荷只能分布于外表面,0;0 内内 电场线不能进入腔内，即：电场线不能进入腔内，即：静电屏蔽静电屏蔽. 00 EE-+高高压压带带电电作作业业2）空腔导体，腔内有电荷）空腔导体，腔内有电荷空腔外空腔外表面电荷由电荷守恒决定表面电荷由电荷守恒决定.空腔内空腔内表面电荷与腔内电荷等值异号表面电荷与腔内电荷等值异号.紧贴内表面作高斯面紧贴内表面作高斯面S01d0内内qSEs0 内内qSq q思考：思考：(1)空腔原不带电，腔内电荷空腔原不带电，腔内电荷q ，腔内、外表面电量？，腔内、外表面电量？(2)空腔原带电空腔

50、原带电Q, 腔内电荷腔内电荷q ，腔内、外表面电量？，腔内、外表面电量？(1)空腔原不带电，腔内电荷空腔原不带电，腔内电荷q ，腔内、外表面电量？，腔内、外表面电量？(2)空腔原带电空腔原带电Q, 腔内电荷腔内电荷q ，腔内、外表面电量？，腔内、外表面电量？ qq q -qqqq 外外内内qQqqq 外外内内 q q -qQ -(3）空腔能屏蔽腔内电荷）空腔能屏蔽腔内电荷q的电场吗？的电场吗？ 有什么办法能实现这种屏蔽？有什么办法能实现这种屏蔽？qq 腔接地：腔接地：内外电场互不影响内外电场互不影响. 腔不接地：腔不接地：腔内不受腔外电荷影响腔内不受腔外电荷影响 腔外要受腔内电荷影响腔外要受腔

51、内电荷影响 qq q -例：例：两个半径分别为两个半径分别为R 和和r 的球形导体的球形导体(R r),用一用一根很长的细导线连接起来根很长的细导线连接起来,使这个导体组带电，电使这个导体组带电，电势为势为V，求两球表面电荷面密度与曲率的关系。，求两球表面电荷面密度与曲率的关系。Q解解:两个导体所组成的整体可看成是一个孤立导体系，在两个导体所组成的整体可看成是一个孤立导体系，在静电平衡时有一定的电势值。设这两个球相距很远，每个静电平衡时有一定的电势值。设这两个球相距很远，每个球面上分布的电荷在另一球所激发的电场可忽略。细线的球面上分布的电荷在另一球所激发的电场可忽略。细线的作用是使两球保持等电

52、势。因此，每个球又可近似的看作作用是使两球保持等电势。因此，每个球又可近似的看作为孤立导体，在两球表面上的电荷分布各自都是均匀的。为孤立导体，在两球表面上的电荷分布各自都是均匀的。设大球所带电荷量为设大球所带电荷量为Q，小球为，小球为q，则两球的电势为，则两球的电势为:rqRQV004141 rRqQ 可见大球所带电量可见大球所带电量Q比小球所带电量比小球所带电量q多。多。两两球的电荷密度分别为球的电荷密度分别为:24,24rqRQrR 可见电荷面密度和半径成反比，即曲率半径愈可见电荷面密度和半径成反比，即曲率半径愈小（或曲率愈大），电荷面密度愈大。小（或曲率愈大），电荷面密度愈大。例一例一

53、相距很近的平行导体板相距很近的平行导体板 ，分别带电，分别带电 求电荷分布求电荷分布. b,abaQ,Q 4321 baQQabS解：解：设平板面积为设平板面积为S 由电荷守恒：由电荷守恒：baQSSQSS 4321 （1 1）（2 2）由静电平衡条件：由静电平衡条件：0222204030201 内内aE（3 3）0222204030201 内内bE（4 4）由由（1）、（）、（2）、（）、（3）、（）、（4）解得：解得：即：即：相背面相背面 等大同号，等大同号， 相对面相对面 等大异号等大异号.SQQSQQbaba2 23241 4321 baQQabS练习：练习： 若若A 带电带电 ，B

54、带电带电 ，求：，求： 1q2q1图中图中1，2，3，4 各区域的各区域的 和和 分布，分布， 并画出并画出 和和 曲线曲线.UE rE rU 2若将球与球壳用导线连接，情况如何？若将球与球壳用导线连接，情况如何？3若将外球壳接地，情况如何？若将外球壳接地，情况如何？BA1R2R3R12 qq4321202143201214040rqqEErqEErqqURqqRqrqURqqURqqRqRqU2104321211023210332121110141 ;)(4141;)(412111qqqqqqqBBA 外外内内BA1R2R3R432111 qq 21qq UErro1R2R3RrUrE ,

55、曲线曲线若将球与球壳用导线连接，情况如何？若将球与球壳用导线连接，情况如何？2021432140rqqEEEErqqURqqUUU2104302132141421;0qqqqqBBA 外外内内BA1R2R3R12 qq 4321 导线将球与球壳连接后，两者成为一个整体，构成新导体，导体静电平衡，所有净电荷分布于导体外表面。rUrE , 曲线曲线 UErro1R2R3R若将外球壳接地，情况如何？若将外球壳接地，情况如何？04043220121 EErqEE 0 0)(41)(414321102211101UURqrqURqRqU011 外外内内BBAqqqqqBA1R2R3R432111 - q

56、qrUrE , 曲线曲线 UErro1R2R3R如图，孤立球体的电势为如图，孤立球体的电势为:RqU04RUq04( (与与q q无关无关) ) 实验表明，对于孤立导体有实验表明，对于孤立导体有: 定义：定义：UqC 10-6 电容和电容器电容和电容器一、孤立导体的电容一、孤立导体的电容 物理含义：物理含义：导体升高单位电势所加电量。只决定于导体导体升高单位电势所加电量。只决定于导体自身的几何因素，而与所带电荷和电势无关的常量，反映自身的几何因素，而与所带电荷和电势无关的常量，反映了孤立导体储存电荷和电能的能力。了孤立导体储存电荷和电能的能力。CUqBAqAAqMN 对于非孤立导体对于非孤立导

57、体BAAUUQCC 称为电容器的电容，称为电容器的电容，A、B为两个极，由于为两个极，由于 增大增大一倍，一倍， 的值也增大一倍，故知的值也增大一倍，故知C为一个常数。为一个常数。即即C与极板电量的多少及是否带电无关。与极板电量的多少及是否带电无关。BAUUAq 电容器电容器:带等量异号电荷的导体系统带等量异号电荷的导体系统 二、电容器二、电容器 1、平行板电容器、平行板电容器(忽略边缘效应即忽略边缘效应即S很大很大, d很小很小)SqddEdUUBA00dSCCdSUUqCBA0000:真空中，dABqqr0 三、电容器的计算三、电容器的计算0BAEEE设设A极电荷面密度为极电荷面密度为2、

58、球形电容器、球形电容器 设设A带电带电 q ，则，则BARrRrqE204BAABBARRBARRRRqRRqrdEUUBA4114ABBABARRRRUUqC4ARBRABOq-q3、圆柱形电容器、圆柱形电容器ABARBRLABABRRBABARRLqrdrldEUUBAln2200ABBARRLUUqCln20设设A极电荷线密度为极电荷线密度为 ，则，则BArrrrE02ABRRL （1）设正极带电）设正极带电 q ，写出两极间的电场强度，写出两极间的电场强度 表达表达 式（一般由高斯定理求出）。式（一般由高斯定理求出）。（2）由公式）由公式 ，求出，求出 。BABArdEUUBAUU （

59、3）由公式）由公式 ，求出电容，求出电容C。BAUUqC电容器的计算过程如下：电容器的计算过程如下：Eg:教材例题教材例题109四、电容器的联接：四、电容器的联接：1、串联：、串联：niiCC11总2、并联：、并联：ninCC总10-7 静电场中的电介质静电场中的电介质 介质中的高斯定理介质中的高斯定理 一、电介质的分类一、电介质的分类 有极分子：有极分子：分子正电荷中心与负电荷中心不重合分子正电荷中心与负电荷中心不重合+H+HOl负电荷中心负电荷中心正电荷中心正电荷中心 无极分子：无极分子：分子的正电荷中心与负电荷中心重合分子的正电荷中心与负电荷中心重合如如H2, HCl4, CO2, N2

60、, O2等等 如如H2O, HCl, CO, SO2, NH3等等1、电介质：所有绝缘体、电介质：所有绝缘体2、电介质分子类型：、电介质分子类型：3、极化机制：、极化机制：无极分子电介质：无极分子电介质：在外电场作用下，分子正、负电荷重心沿电场方向发在外电场作用下，分子正、负电荷重心沿电场方向发生相对位移，成为电偶极子，产生分子电矩，宏观上生相对位移，成为电偶极子，产生分子电矩，宏观上表现为电介质表面出现极化，这种极化机制称为：表现为电介质表面出现极化，这种极化机制称为：电电子位移极化子位移极化。有极分子电介质：有极分子电介质：当受到外电场作用时，分子电矩在一定程度上转向当受到外电场作用时，分