第二章()直线与平面平面与平面相对位置(平行相交)

1、12【习题集【习题集P12 3-14P12 3-14】求作一水平线与三直线求作一水平线与三直线ABAB、CDCD、EFEF均相交。均相交。ababde(f)ccdfe(g)kkllg12页页X3【习题集【习题集P12 3-16P12 3-16】过点C作直线CD与直线AB相交，交点距V面 20mm，且D点属于V面。Xcababddc20kk12页页4【习题集【习题集P13 3-17P13 3-17】已知对角线AC和点B的V面投影，试完成 菱形ABCD的两投影。cababddcX13页页5【习题集【习题集P13 3-18P13 3-18】矩形ABCD的对角线AC为水平线，试完成 该矩形的V面投影。

2、cabbddcXa13页页oo6【习题集【习题集P13 3-20P13 3-20】已知点C到直线AB的距离为35mm，求c。caacXbb3513页页7【习题集【习题集P13 3-21P13 3-21】已知AB垂直于BC，BC30mm，点C属于V面， 求bc、bc。caacXbbR30cc13页页8【习题集【习题集P13 3-22P13 3-22】已知等边三角形ABC一边BC属于EF，完成 此三角形的V、H投影。SCAD30abbcceffedd30X13页页910一、平面的一、平面的表示方法表示方法aabcbcbaacbcbaacbcabcabcdd1 1、用几何元、用几何元素表示平面有素表

3、示平面有五种形式：五种形式：不不在一直线上的在一直线上的三个点；三个点；一直一直线和直线外一线和直线外一点；点；相交二直相交二直线；线；平行二直平行二直线；线；任意平面任意平面图形。图形。aabcbc112 2、用平面的迹线表示平面、用平面的迹线表示平面VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ12aXZYHYWbcaabbcc 二、平面投影的获得二、平面投影的获得（求三个不在一直线上的点的投影）（求三个不在一直线上的点的投影）13平面的位置平面的位置一般位置平面一般位置平面倾斜于三个投影面倾斜于三个投影面特殊位置平面特殊位置平面投影面平行面投影面平行面平行于某一投影面的平面平行于某一投影面

4、的平面投影面垂直面投影面垂直面垂直于一个投影面的直线垂直于一个投影面的直线铅垂面铅垂面 H H正垂面正垂面 V V侧垂面侧垂面 W W水平面水平面 H H正平面正平面 V V 侧平面侧平面 W W三、各种位置的平面三、各种位置的平面14 投影特性：投影特性： a.a.在垂直的投影面上积聚为一斜线，并反映与另二投影面在垂直的投影面上积聚为一斜线，并反映与另二投影面 的倾角的真实大小。的倾角的真实大小。 b.b.另二投影是空间形体的类似形另二投影是空间形体的类似形 判断垂直面：判断垂直面： 在平面的三面投影中：在平面的三面投影中： 一个投影是斜线一个投影是斜线两个投影是图形两个投影是图形此面定为垂

5、直面此面定为垂直面垂直斜线所在面垂直斜线所在面投影面垂直面投影面垂直面 空间位置：空间位置：垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面15 投影特性：投影特性： a.a.在平行的投影面上反映实形（在平行的投影面上反映实形（SXSX） b.b.另二投影成二直线（垂直于一轴）另二投影成二直线（垂直于一轴） 判断平行面：判断平行面： 在平面的三面投影中：在平面的三面投影中： 投影面平行面投影面平行面 空间位置：空间位置：平行于一个投影面，垂直于另两个投影面平行于一个投影面，垂直于另两个投影面一个投影是图形一个投影是图形两个投影是直线两个投影是直线此面定为平行面此面定为平

6、行面平行图形所在面平行图形所在面16abcbacababbaccbacCAB 空间位置：空间位置：与三投影面都倾斜与三投影面都倾斜 投影特性：投影特性：三个投影都是类似形，都不反映空间形体的实形三个投影都是类似形，都不反映空间形体的实形(SX)(SX) 判断：判断：根据三投影中图形数量判断平面：根据三投影中图形数量判断平面： “一平，二垂，三一般一平，二垂，三一般”3 3、一般位置平面、一般位置平面17平面上的直线和点平面上的直线和点平面上的直线平面上的直线（属于平面的直线）（属于平面的直线） 直线在平面上的几何条件是：直线在平面上的几何条件是： 通过平面上的两点；通过平面上的两点； 通过平面

7、上的一点且平行于平面上的一条直线。通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。平面上的点平面上的点（属于平面的点）（属于平面的点） 点在平面上的几何条件是：点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。点在平面内的某一直线上。 ( (如果点在直线上，直线又在平面上，则点在平面上如果点在直线上，直线又在平面上，则点在平面上） 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题： a.a.判别已知点、线是否属于已知平面；判别已知点、线是

8、否属于已知平面； b.b.完成已知平面上的点和直线的投影；完成已知平面上的点和直线的投影； c.c.完成多边形的投影。完成多边形的投影。1 1、一般面上的一般线和点、一般面上的一般线和点182 2、属于垂直面（几何元素表示法）的点和直线、属于垂直面（几何元素表示法）的点和直线abcabc关键是看点和直线的投影是否在平面的积聚投影上关键是看点和直线的投影是否在平面的积聚投影上 k k123123 g gfeefnmmnEFEF属于属于ABCABCK K属于属于ABCABCG G不属于不属于MNMN不属于不属于19VHPPVPH4 4、属于平面的投影面平行线属于平面的投影面平行线 在一个平面上对在

9、一个平面上对V V、H H、W W投影面分别有三组投影面平行线。投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，既具有投影面平行线的投影性质，又与又与所属平面保持从属关系所属平面保持从属关系。平面上投影面平行线：平面上投影面平行线：既在平面上又平行于投既在平面上又平行于投影面的直线。影面的直线。20五、平面的最大斜度线五、平面的最大斜度线1. 1. : :平面上对某个投影面倾角最大的直线。平面上对某个投影面倾角最大的直线。2. 2. 它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。 最大斜度线几何意义最大斜度

10、线几何意义: :用来测定平面对投影面的角度。用来测定平面对投影面的角度。3. 3. 平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上 某投影面的平行线相互垂直。某投影面的平行线相互垂直。4. 4. 在平面内做一条平行线在平面内做一条平行线 根据直角投影定理作一直线垂直于平行线根据直角投影定理作一直线垂直于平行线 用所做的最大斜度线求倾角（直角三角形法）用所做的最大斜度线求倾角（直角三角形法）21直线与平面、平面与平面直线与平面、平面与平面相对位置综合分析相对位置综合分析（平行、相交）（平行、相交）221 1、直线与平面平行、直线与平面平行 几何条件几何条件: :若平

11、若平面外的一条直线与面外的一条直线与平面内的一条直线平面内的一条直线平行，则该直线与平行，则该直线与该平面平行。该平面平行。这是这是解决直线与平面平解决直线与平面平行作图问题的依据。行作图问题的依据。PCDBA一、直线与平面、平面与平面平行一、直线与平面、平面与平面平行 线面平行的作图问题有：线面平行的作图问题有：a.a.判别已知线面是否平行判别已知线面是否平行 b.b.作直线与已知平面平行作直线与已知平面平行 c.c.作平面与已知直线平行作平面与已知直线平行23【例【例2-12-1】 试判断直线试判断直线ABAB是否平行于定平面是否平行于定平面 ffbaabcededc结论：直线结论：直线A

12、BAB不平行于定平面不平行于定平面24 直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行mnmnppTL几何条件：几何条件： 若直线平行于特殊面，则平若直线平行于特殊面，则平面的积聚投影一定与直线的同面面的积聚投影一定与直线的同面投影平行；投影平行；反之，若特殊面的积反之，若特殊面的积聚投影与直线的同面投影平行，聚投影与直线的同面投影平行，则直线与该特殊面平行。则直线与该特殊面平行。 特殊平面的积聚投影与直线特殊平面的积聚投影与直线的同面投影之间的间距就是直线的同面投影之间的间距就是直线与特殊平面的距离。与特殊平面的距离。25【例【例2-22-2】试过点试过点K K作水平线作水平线ABAB平行于平

13、行于CDECDE平面平面 baaffbcededkkc262 2、平面与平面平行、平面与平面平行 几何条件：几何条件：若若一个平面内的相交一个平面内的相交二直线与另一个平二直线与另一个平面内的相交二直线面内的相交二直线对应平行，则此两对应平行，则此两平面平行。平面平行。这是平这是平面与平面平行的作面与平面平行的作图依据。图依据。PSEFDACB 两面平行的作图问题有：两面平行的作图问题有： a.a.判别两已知平面是否相互平行判别两已知平面是否相互平行 b.b.过一点或直线作一平面与已知平面平行过一点或直线作一平面与已知平面平行 c.c.已知两平面平行，完成其中一平面的投影已知两平面平行，完成其

14、中一平面的投影27【例【例2-32-3】试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行28【例【例2-42-4】试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行。结论：两平面平行结论：两平面平行efefsrsddcaacbbrPHSHTL29 两特殊平面平行两特殊平面平行几何条件：几何条件： 若两平面的积聚投影在同一投影面上且相互平行，若两平面的积聚投影在同一投影面上且相互平行，则此二平面必定在空间相互平行。则此二平面必定在空间相互平行。 两平面的同名迹线相互平行，则两平面平行。两平面的同名迹线相互平行，则两平面平行。 特殊平面的积聚投

15、影之间的间距就是两平面的距离。特殊平面的积聚投影之间的间距就是两平面的距离。VHPPVPXPHQVQHQXQQVQHQXPVPHPX30emnmnfefsrsrddcaacbbkk【例【例2-52-5】已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线ABAB和和CDCD给定。试过点给定。试过点K K作作 一平面平行于已知平面一平面平行于已知平面 。31(1) (1) 一般位置直线与平面平行一般位置直线与平面平行 一般位置直线与平面内一条直线平行。一般位置直线与平面内一条直线平行。(2) (2) 直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行 平面的积聚投影与直线的同面投影平行。平面的积聚投影与直线的

16、同面投影平行。(3) (3) 两一般位置平面平行两一般位置平面平行 两平面内有两条相交直线对应平行。两平面内有两条相交直线对应平行。(4) (4) 两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行 平面的同面积聚投影平行。平面的同面积聚投影平行。 （同面迹线相互平行，则两平面平行）（同面迹线相互平行，则两平面平行）32二、二、直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交 直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面、平面与平面不平行则必相交。 相交的实质就是共有。相交的实质就是共有。 直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平

17、面的共有点。上，因而交点是直线与平面的共有点。 两平面相交有交线，交线同时在两个平面上，它是两平面相交有交线，交线同时在两个平面上，它是两个平面的共有线。两个平面的共有线。 求线面相交的交点、面面相交的交线的实质是求共求线面相交的交点、面面相交的交线的实质是求共有点、共有线的投影。有点、共有线的投影。33直线与平面相交直线与平面相交P直线与平面相交只有一个交点，是直线与平面的共有点。直线与平面相交只有一个交点，是直线与平面的共有点。交点特性：交点特性：交点总是可见，且是可见与不可见的分界点。交点总是可见，且是可见与不可见的分界点。BKA34MBCA 平面与平面相交平面与平面相交FKNL两平面的

18、交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。交线特性：交线特性：交线总是可见的，是可见与不可见的分界线。交线总是可见的，是可见与不可见的分界线。35 直线与平面相交的特殊情况：直线与平面相交的特殊情况： 指线或面指线或面之一之一为特殊位置，其交点的投影可利为特殊位置，其交点的投影可利用直线或平面的积聚性投影直接求出。用直线或平面的积聚性投影直接求出。a a、一般位置直线与投影面垂直面相交、一般位置直线与投影面垂直面相交 交点的一个投影为平面积聚性投影与直线同面交点的一个投影为平面积聚性投影与直线同面投影的交点。投影的交点。b b、投影面垂直线与一般位

19、置平面相交、投影面垂直线与一般位置平面相交 交点的一个投影与直线的积聚性投影重合。交点的一个投影与直线的积聚性投影重合。 36bbaaccmmnna a、一般位置直线与投影面垂直面相交、一般位置直线与投影面垂直面相交VHPHPABCacbkNKMkk37判断可见性判断可见性VHPHPABCacbkNKMbbaaccmmnkkn 可见性判别的基本方法是交叉二直线重影点可见性判别。可见性判别的基本方法是交叉二直线重影点可见性判别。 对于特殊情况可以直接判断：如右图判别对于特殊情况可以直接判断：如右图判别V V投影的可见性，在投影的可见性，在H H投影图中投影图中去比较交点去比较交点K K左侧直线和

20、平面的前后，直线在平面之前，故左侧直线和平面的前后，直线在平面之前，故V V投影图中投影图中mkmk段可见，段可见， knkn段与平面重叠部分则不可见。段与平面重叠部分则不可见。 38b b、投影面垂直线与一般位置平面相交、投影面垂直线与一般位置平面相交ddabcabcek( k )( e)394-20 (2)cdceedaba(b)(k)k40ppabbakk4-20 (4)41 两平面相交的特殊情况：两平面相交的特殊情况：a a、一般位置平面与投影面垂直面相交、一般位置平面与投影面垂直面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题的问题, ,

21、由于由于特殊位置特殊位置平面的某些投影具有积聚性，平面的某些投影具有积聚性，可利用前述一般位置直线与可利用前述一般位置直线与特殊位置特殊位置平面求交点的平面求交点的方法，直接求出交线。方法，直接求出交线。 对于特殊位置平面来说，总有一个投影为积聚对于特殊位置平面来说，总有一个投影为积聚投影，其交线就在这个积聚投影上。投影，其交线就在这个积聚投影上。42投影面垂直面和一般位置平面相交投影面垂直面和一般位置平面相交nlmmlnbaccabfkfkVHMmnlPBCacbPHkfFK N L43可见性的判别可见性的判别bbacnlmcmalnfkfkVHMmnlBCackfFKNL交线总可见。两平面

22、图形投影重叠部分需判别可见性。基本方法依然是交叉二直交线总可见。两平面图形投影重叠部分需判别可见性。基本方法依然是交叉二直线重影点可见性的判别。较简单的方法是利用特殊位置平面的积聚性，如右图由线重影点可见性的判别。较简单的方法是利用特殊位置平面的积聚性，如右图由H H投影图得知投影图得知fkmfkm在特殊位置平面之后，故在特殊位置平面之后，故V V投影图上投影图上mkfmkf与与abcabc重叠重叠部分不可见，画虚线，部分不可见，画虚线，f klnf kln与与 abcabc重叠部分可见，画实线。重叠部分可见，画实线。44 一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交 一般位置

23、线面相交由于直线和平面的投影都没有积聚一般位置线面相交由于直线和平面的投影都没有积聚性，求交点时无积聚性投影可以利用，因此通常要采用性，求交点时无积聚性投影可以利用，因此通常要采用辅辅助平面法助平面法求一般位置线面的交点。一般位置线、面相交求求一般位置线面的交点。一般位置线、面相交求交点的步骤：交点的步骤：（l l）含已知直线作特殊位置的辅助平面；）含已知直线作特殊位置的辅助平面；（2 2）求辅助平面与已知平面的交线；）求辅助平面与已知平面的交线；（3 3）求交线与已知直线的交点，交点即为所求。）求交线与已知直线的交点，交点即为所求。（4 4）判别可见性。）判别可见性。45ABCQ过过MNMN

24、作平面作平面Q Q垂直于垂直于V V投影面投影面MN以正垂面为辅助平面求线面交点示意图以正垂面为辅助平面求线面交点示意图46feefbaacbc12【例【例2-62-6】以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤：步骤：(1)(1)过过EFEF作正作正垂平面垂平面Q Q。(2)(2)求求Q Q平面与平面与ABCABC的交的交线线。(3)(3)求交线求交线与与EFEF的交点的交点K K。47CAB过过MNMN作平面作平面P P垂直于垂直于H H投影面投影面NMPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点示意图4812【例【例2-72-7】以

25、铅垂面为辅助平面求线面交点以铅垂面为辅助平面求线面交点 。PH1feefbcaacb步骤步骤：(1) (1) 过过EFEF作铅作铅垂平面垂平面P P。(2)(2)求求P P平面与平面与ABCABC的交线的交线。(3)(3)求交线求交线与与EFEF的交的交点点K K。kk249HVabcceaABbCFEffkKke直线直线EFEF与平面与平面ABCABC相交，判别可见性示意图相交，判别可见性示意图1 (2)(4)3利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性50【例【例2-82-8】直线直线EFEF与平面与平面 ABCABC相交，判别可见性。相交，判别可见性。利用重影点利用重影点判别可见性判别可见

26、性( )feefac c ba b12432134（ ）kk51 两一般两一般位置位置平面相交平面相交 求两一般位置平面交线的问题可以看作是求两一般位置平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题求两个共有点的问题, , 因而可利用求一般位置因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。线即为两平面的交线。 利用利用“线面交点线面交点”的方法求交线的方法求交线 求出两个交点，连接交点得交线求出两个交点，连接交点得交线52FNLK利用利用“线面交点线面交点”的方法求交线的方法求交线 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两

27、个点，将其利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。连线即为两平面的交线。MBCAFKNLBCAM互交互交全交全交K53 求两一般位求两一般位置平面交线的作置平面交线的作图步骤：图步骤：(1) (1) 用直线与平用直线与平面求交点的方法面求交点的方法求出两平面的两求出两平面的两个共有点个共有点K K、E E。（尽量不选投影（尽量不选投影不重叠的边，尽不重叠的边，尽可能选各投影均可能选各投影均重叠较多的边）重叠较多的边）【例【例2-92-9】求两平面的交线求两平面的交线b caab cllnmmnPVQV1221kkee(2) (2) 连接两个共连接两个共有点，画出交线有点，画出交线KEKE。54利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性【例【例2-102-10】两平面相交，判别