第7章1应力状态

1、 第七章 应力和应变分析 强度理论7.1 7.1 应力状态概述应力状态概述1 1、问题提出、问题提出M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸 P铸铁压缩1) 1)由轴向拉压和圆轴扭转试验，可测得由轴向拉压和圆轴扭转试验，可测得 和和 并建立强度条件；并建立强度条件； 2 2）构件内同一点处不同方位的截面上应力不同；）构件内同一点处不同方位的截面上应力不同；1 1）2 2、应力的三个概念、应力的三个概念FFA2 2） 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。的集合，称为这点的应力状态。3 3、一点应力状态的描述、一点应力状态的描述1

2、) 1)每个面上的应力均布，应力正负用箭头方向表示；每个面上的应力均布，应力正负用箭头方向表示；2)2)平行面上的应力大小相同、方向相反；平行面上的应力大小相同、方向相反；单元体：单元体：围绕构件内一点截取的微小正六面体。围绕构件内一点截取的微小正六面体。单元体的性质与特点：单元体的性质与特点：yxz xys sz s ss syx4 4、主应力及相关概念、主应力及相关概念1) 1)主平面：主平面：单元体上切应力为零的平面单元体上切应力为零的平面2)2)主单元体：主单元体：各面均为主平面的单元体，主单元体上有三对各面均为主平面的单元体，主单元体上有三对主平面；主平面；旋转旋转yxzs s2s

3、s3s s1s sxs sz xy xz zx zy yz yxs sy3)3)主应力：主应力：主平面上的正应力，用主平面上的正应力，用1 1、2 2、3 3表示，且表示，且1 1 2 2 3 3（按代数值排列）（按代数值排列）xyz3 3）主方向：）主方向： 主平面的法线方向。主平面的法线方向。1 1）三向（空间）应力状态：）三向（空间）应力状态：5 5、三种应力状态、三种应力状态三个主应力都不为零的应力状态。三个主应力都不为零的应力状态。一个主应力为零的应力状态。一个主应力为零的应力状态。一个主应力不为零的应力状态。一个主应力不为零的应力状态。FPl/2l/2I平面平面1231xs222x

4、s335432154321I平面平面2PF4PlFMz7.2 7.2 二向和三向应力状态实例二向和三向应力状态实例1 1、薄壁圆筒的应力状态、薄壁圆筒的应力状态lts sms s42DpsDmpsmsm42mDpDss4mpD0 xFplpDls2ts2tpD0yFststst (2 l )ppDllts sms ss4mpDs2tpDtt2 2、三向应力状态实例、三向应力状态实例滚珠与外环接触点；火车轮与钢轨的接触点等；滚珠与外环接触点；火车轮与钢轨的接触点等；MPatpD754ss 1 =75MPa,s 2 =150MPa, s 3 0 例例7.17.1由A3钢制成的蒸汽锅炉,t=10mm

5、, D=1m。p=3MPa。求三个主应力MPatpD1502s解：解：7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法1 1、单元体各面上的应力规、单元体各面上的应力规定定1 1） x x 面即外法线沿面即外法线沿x x方向的单元面；方向的单元面； 面表示外法线沿与面表示外法线沿与x x轴成轴成角角 的单元面；的单元面；2 2） 从从x x正向正向逆时针为正。逆时针为正。3 3）正应力）正应力s s 与截面外法线同向为正；与截面外法线同向为正；4 4）切应力）切应力 使单元体顺时针转为正；使单元体顺时针转为正； yxsysxs yx等等价价s sx xys syxyzxys sx

6、xys syOs sy xys sxs s xyOn2 2、任一斜截面上的应力计算公式、任一斜截面上的应力计算公式设：斜截面积为设：斜截面积为dAdA，由分离体平衡得：由分离体平衡得： Fn00cossinsinsincoscos22sssdAdAdAdAdAyxyxyxsssss2sin2cos22xyyxyxss2cos2sin2xyyx考虑剪应力互等和三角变换，得：考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：同理：s sy xys sxs s xyOn)sin(coscossin)(cossin2sincos2222ssssssxyyxxyyxsin2cossin2 引入22cos1cos222

7、cos1sin23 3、 应力极值应力极值02cos22sin:000sssxyyxdd令yxxyss22tg0和两各极值：）、（由此的两个驻点：20101极值正应力就是主应力 00）2222xyyxyxm inm ax s ss ss ss ss ss s （xys sx xys syO主主单元体单元体s s 在切应力相对的象限内，在切应力相对的象限内，且偏向于且偏向于s sx x 及及s sy y大的一侧。大的一侧。0dd:1令xyyxss22tg1222x yyxminmax s ss s ）（01045 , 4成即极值切应力面与主面min32max1; 0 ;sssss2s1s例例:

8、:图示单元体，试求：图示单元体，试求：=30=30o o斜截面上的应力；主应力并画斜截面上的应力；主应力并画出主单元体；极值切应力。出主单元体；极值切应力。403020单位：单位：MPa s s 402030 MPa3 .2060cos)20(60sin24030MPa8 .2960sin)20(60cos2403024030oooo s s MPa3 .45MPa3 .35202403024030 22s ss sMPa3 .402 s ss s 解：解：1) 1) =30=30o o斜截面上的应力斜截面上的应力2)2)主应力与主单元体主应力与主单元体3)3)极值切应力极值切应力14.9os

9、 s s s s s s s MPa3 .45 0MPa3 .35321 s ss ss ss ss s，主主单单元元体体如如上上o009 .144030202tan 204030 xyyxssq单元体上各点：单元体上各点：zxIMyszzxyIbSSF223122xyxxssss）（4 4、主应力迹线、主应力迹线主应力方向线的包络线主应力方向线的包络线 曲线上每一点的切线曲线上每一点的切线 都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位实线表示主拉应力迹线实线表示主拉应力迹线虚线表示主压应力迹线虚线表示主压应力迹线s s 5 5s s3 31 12 2s s

10、 s s3 30s s3 34 4s s 0s s3 3s s 3 34512345sssssss2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx由由Otto （1835-1918）德国工程师提出）德国工程师提出2222)2cos2sin2()2sin2cos2()2(sssssssxyyxxyyxyxOs s 2 2应力圆的绘制应力圆的绘制s sxs sx xy yx xy yxs sys syxyC2 2 0 B1 s s A1s s 2 2 s s , , E EG1 G2 D(s sy, yx)BAD(s sx, xy)n s s 1) )选定坐标及比例尺；选定坐标及比例尺；

11、2) )取取x面的两个应力值，定出面的两个应力值，定出D(s sx , xy)点，点，取取y面的两个应力值，定出面的两个应力值，定出D(s sy , yx)点；点；3) )连连DD交交s s 轴于轴于C点，以点，以C为圆心，为圆心，DD为直径作圆。为直径作圆。圆上点，体上面；两倍角，同向转；圆上点，体上面；两倍角，同向转；s sx xys syxyOns s Os s CA(s sx , xy)B(s sy , yx)x2 nD( s s , 例：单元体与应力圆的例：单元体与应力圆的 对应关系对应关系1 1） 面上的面上的应力应力( (s s ， ) ) 应力圆上一点应力圆上一点( (s s

12、， ) )2 2） 面的法线面的法线 应力圆的应力圆的半径半径3 3）两面夹角两面夹角 两半径夹角两半径夹角2 2 ；且转向一致。；且转向一致。四、应力极值四、应力极值A(s sx , xy)minmaxCOs s B(s sy , yx)x2 2 0 0s s1s s2s s3223122 xyyxyxROCssssss）（半径22minmax2xyyxRss）（半径例例: 图示单元体，试求：图示单元体，试求： =30o斜截面上斜截面上 的应力；主应力并画出主单元体；的应力；主应力并画出主单元体； 极值切应力。极值切应力。403020单位：单位：MPa s s 解：解：1) ) =30o斜截

13、面上的应力斜截面上的应力2) )主应力并画出主单元体主应力并画出主单元体s sO Dx(30,-20)Dy(-40,20)C60o(29.8,20.3)MPa3 .20MPa8 .29oo3030 s s，35.3-45.3MPa3 .450MPa3 .35321 s ss ss s，29.8ooo*019 .142/8 .29 s s轴夹角：轴夹角：与与x40203014.9os s s s s s s s MPa3 .40 3) )极值切应力：极值切应力：40.3-40.34020305 5、几种应力状态的应力圆、几种应力状态的应力圆1) 1)单向拉伸和压缩应力状态单向拉伸和压缩应力状态1

14、) )单向拉伸单向拉伸s ss s2) )单向压缩单向压缩s ss sOs s Cs sDD C s sEE 圆心圆心C：(s s/2,0)D(s s/2, s s/2)D(s s/2, -s s/2)极值切应力点：极值切应力点：主应力：主应力：0321 s ss ss ss s，圆心圆心C：(-s s/2,0)E(-s s/2, s s/2)E(-s s/2, -s s/2)极值切应力点：极值切应力点：主应力：主应力：s ss ss ss s 3210，2 2纯剪切应力状态纯剪切应力状态Os s C圆心圆心C：(0,0)D(0, )D(0, - )极值切应力点：极值切应力点：主应力：主应力：

15、 s ss s s s 3210，DDOs s pppp3 3两向均匀压两向均匀压( (拉拉) )应力状态应力状态s ss ss ss s主应力：主应力：s ss ss ss s 3210，Cs spppppppppp两向均匀压两向均匀压( (拉拉) )应力状态应力状态的应力圆为的应力圆为s s轴上的一点。轴上的一点。因此其任意方向均为主应因此其任意方向均为主应力方向，任意平面均为主力方向，任意平面均为主平面平面pp1 1、三向应力状态下的应力圆、三向应力状态下的应力圆s s3s s2s s1s s2s s3s s1s s2s s1s s3O s sC2C3s s1s s21) )平行平行s

16、s3斜截面上应力由斜截面上应力由s s1、 s s2作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定；2) )平行平行s s1斜截面上应力由斜截面上应力由s s2、 s s3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定；3) )平行平行s s2斜截面上应力由斜截面上应力由s s1、 s s3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定；s s3C1s sy=140 xy=150s sx=300A视视解解：1) )已知一个主应力：已知一个主应力：s sz=90MPa。2) )将单元体沿将单元体沿z方向投影，得到平面应力状态：方向投影，得到平面应力状态：例例: 试确定图示应力状态的主应力和最大切应力，试确定

17、图示应力状态的主应力和最大切应力， 并确定主平面和最大切应力作用面位置。并确定主平面和最大切应力作用面位置。xzy90300150140单位：单位：MPa1 1与与x x逆时针夹角为逆时针夹角为3131o o， 3 3与与x x轴夹角轴夹角121121o o，均在，均在xoyxoy平面内平面内最大切应力所在平面法线与主平面夹角最大切应力所在平面法线与主平面夹角4545o o即与即与x x轴夹角轴夹角7676o o或或-14-14o o。xzys s2y31o31os s1xs s3AMPa150MPa140MPa300 xyyxss，MPa170231maxsso0o012131，81522t

18、an0yxxyssMPa50MPa90MPa390321sss，MPa503902222xyyxyxssssss1 1、广义胡克定律、广义胡克定律1) 1)主应变：主应变：2)2)正应力只引起线应变，切应力只引起切应变；正应力只引起线应变，切应力只引起切应变；沿主应力方向的应变，分别用沿主应力方向的应变，分别用e e 1e e 2e e 3表表示；示；4)4)推导方法：推导方法：利用利用叠加原理叠加原理和第一章里讨论的和第一章里讨论的拉压和拉压和剪切胡克定律剪切胡克定律。3)3)广义胡克定律：广义胡克定律：应力与应变的关系，又称本构关系；应力与应变的关系，又称本构关系；s s1s s2s s3

19、s s1s s1Is s2s s2IIs s3IIIs s1 1方向上的应变：方向上的应变：s s2 2方向上的应变：方向上的应变：s s3 3方向上的应变：方向上的应变：EEE/2322212seseses)(1 )(1 )(1 213333313222223211111ssseeeessseeeessseeeeEEEs s1Is s1s s2IIs s2IIIs s3结论：结论：主应力与主应力与 主应变的系：主应变的系：EEE/ / / 3332313sesesesEEE/1312111seseses5) )一般情况：一般情况：GGGEEEzxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxx/

20、)(1)(1)(1sssesssessse，6) )用应变表用应变表 示应力：示应力：zxzxyzyzxyxyzzyxzyzyxyxzyxxGGGEEEEEEeeeeseeeeseeees，1)()21)(1 (1)()21)(1 (1)()21)(1 (在平面应力状态下：在平面应力状态下：GEEExyxyyxzxyyyxx/)()(1)(1ssessessexyxyxyyyxxGEEeesees)()1 ()()1 (222 2、体积应变与应力分量之间的关系、体积应变与应力分量之间的关系1) )长长a、宽、宽b、高、高c的单元体变的单元体变 形前体积：形前体积：1 1）体积应变）体积应变2) )在主应力在主应力s s1、 s s2、 s s3作作 用下，单元体体积变为：用下，单元体体积变为：3) )体积改变率体积改变率( (体积应变体积应变) )VVVVV 1 abcs s3a(1+e e1)s s1s s2b(1+e e2)c(1+e e3)321e ee ee e )1 ()1 ()1 (3211eeecbaVabcV )1 (321eee abc4) )体积应变的应力表达式：体积应变的应力表达式：KEEzyxm321)(21)(21sssssss代入胡克定律代入胡克定律33321mzyxs ss ss ss ss ss ss s 平均应力平均应力)