第4章变动网络

1、2022-6-8第四章 变动网络1第第4章章 变动网络变动网络4.1 引言引言 变动网络主要讲述迭加原理和补偿原理变动网络主要讲述迭加原理和补偿原理迭加原理和补偿原理是线性网络分析的两个基本定理迭加原理和补偿原理是线性网络分析的两个基本定理从网络角度看：从网络角度看：迭加原理研究的是网络元的变化及分解补偿原理研究的是网络参数的变化及分解从网络方程角度看：从网络方程角度看：迭加原理研究的是方程右侧常数项的变化及分解补偿原理研究的是方程左侧系数矩阵的变化及分解2022-6-8第四章 变动网络2BAX ABAX1i1iBBKiKiXX1iiBAX1ki,2,14.2 4.2 迭加原理迭加原理若非常奇

2、异，其解为： 如果右边量可分解为：那么解向量为： 其中：对于线性方程组它是显然的和易证的 2022-6-8第四章 变动网络32022-6-8第四章 变动网络42022-6-8第四章 变动网络54.3 矩阵的矩阵的LDR分解分解矩阵LDR的分解是矩阵补偿算法的基础。矩阵LDR分解即把一个矩阵分解成三个矩阵相乘的形式。 ),(21qqnLLLL) 1( niLTqmq),(21rrrR)1 (mir),(21qqqddddiagD1） 引理：设引理：设为对角方矩阵经上述假设，三个矩阵相乘将具有以下形式：iiiqid rLLDR1为列向量 为行向量 2022-6-8第四章 变动网络621222112

3、11LLLaaaa21111aaL22122aaL2122211211rrRbbbb12111bbr22212bbr221100ddDiiiid rLLDR21222111rLrLdd2022-6-8第四章 变动网络7Pmn)(mnA)()()(mqqqqnmnRDLA中的非零元素个数）为A(p pq 定理定理4-1（矩阵的LDR分解定理）：对于任意的由个非零元素组成的阶矩阵，必有：DAqqRL,qnmqpq 其中是由的非零元素组成的阶对角线矩阵，分别是由1，0，-1，组成的阶和阶整数型矩阵，且2022-6-8第四章 变动网络8mnkA0kjida证明：设阶矩阵除元素外，其余元素均为零中，行第

4、 0100) 1(inkL00100)1 ( 列第 jkmr引入引入那么必有kkkkd rLA mn)(mnAPkPkmnAA1)(若阶矩阵，设它含有个非零元素，它显然满足 kA只含有一个非零元素2022-6-8第四章 变动网络9kkkkd rLA kkkPkd rLA1，即有 由于 kPkmnAA1)(LDRApq 由引理，得 且),(21ppnLLLLTpmp),(21rrrRiLir向量和中只含有一个1元素，其余都是0。 pddddiagD212022-6-8第四章 变动网络10证明pq 的情况 tsddts 若A矩阵中的两个不同元素tsLL tsrr 且且 ，或或 则有 pq tsdd

5、ts tsLL tsrr 证明：证明：不失一般性，设 tsLL sdtd说明与元素在同一行上 tsrr sdtd说明与元素在同一列上 两个元素可以同行或者同列。但决不能即同行也同列。若元素即同行也同列，则为一个元素。 2022-6-8第四章 变动网络11kkkPkd rLA1tttssskkkPLSkkdddrLrLrL,1)(,1tssskkkPLSkkddrrLrLRDLrLrLAiiqiiiiPidd111ppq1 2022-6-8第四章 变动网络12000232214131142aaaaaA1413aa 例题例题1 矩阵矩阵已知已知求LDR矩阵145134233222111adadad

6、adaddiag55D543210011011001LLLLL52L4321543214510000100010000100001rrrrrR141354aadd54LL 由于由于 13423322211144adadadaddiagD4321401101001LLLL2L432154321441100010000100001rrrrrR 2022-6-8第四章 变动网络13aKbKRL,4.4 在无受控源电网络中在无受控源电网络中与与的关系的关系aKbKRL,D无受控电网络节点导纳矩阵或回路阻抗矩阵的节点支路关联矩阵和回路支路关联矩阵可以看作是相应和的降阶的结果。 nnnJVY 一、节点导纳

7、矩阵方程TaeanKYKY 1eeZY为支路阻抗矩阵，具有对角线型。eZaKL TaKR eYD 2022-6-8第四章 变动网络14 二、回路阻抗矩阵方程 mmmEIZTbebmKZKZ为支路阻抗矩阵，具有对角线型。eZbKL TbKR eZD 2022-6-8第四章 变动网络15例题例题1321321333231232221131211JJJVVVyyyyyyyyynnn)( jiiji ijijiyyyy),(322331132112332211yyyyyyyyydiagD y32 y23 y31 y13 y21 y12 y33 y22 y111010001000100100100001

8、01001)93(L2022-6-8第四章 变动网络16010100100100001010001010001T)39( y32 y23 y31 y13 y21 y12 y33 y22 y11R110011101aKaTKRL),(321yyydiagD，2022-6-8第四章 变动网络174.5 矩阵补偿定理矩阵补偿定理 定理3-2（矩阵补偿定理）：对于线性方程组 BA)X(A00AAA0nn其中及都是阶非奇异矩阵，令 LDRA则解向量 0CXX Cnn0X为补偿矩阵，阶，是基解. RL)RAL(DAIC001111BAX001若令 LAF01RRF)F(DIC11I为单位矩阵 2022-6

9、-8第四章 变动网络18证明：由于BLDR)X(AA)X(A00令中间变量 DRXY YDRX1则 0YDRXBLYXA10写成矩阵形式有： 0BYXDRLA10由方程1解出X，得 LY)(BAX10代入第二个方程，有 0YDLY)(BRA011BRAL)RA(DY001111BRAL)RA(DLBAX000111112022-6-8第四章 变动网络19BAX00100000BRAL)RA(DLABAX111111考虑，整理即得证定理。BRAL)RA(DLBAX000111110000RXL)RA(DLAX1111 CXXRL)RA(DLAI00011112022-6-8第四章 变动网络204

10、.6 矩阵补偿原理在无受控源电网络中的应用矩阵补偿原理在无受控源电网络中的应用 、对于节点法对于节点法nnnJVY将导纳矩阵分解两相之和 nnnYYY0可得 nnnnJVYY)(00nY-网络参数变化前的节点导纳矩阵 nonnVCV RL)RAL(DAIC001111TTanalnnK)FKZ(FIC1nJYV1nonoaKYF1nonlZ-是变更支路导纳变化量的倒数是变更支路导纳变化量的倒数aK节点节点支路关联矩阵，只关于变更支路支路关联矩阵，只关于变更支路 2022-6-8第四章 变动网络21lZaKnnnJVY0nnnnnnJVYYVY)(0和和变化前变化前 变化后变化后 的解释的解释由

11、电工理论的， TaanKYKYLTaanKYKY00LLY变化后支路导纳组成的对角方矩阵 0LY变化前支路导纳组成的对角方矩阵 0nnnYYYLY由变更支路导纳变化参数组成的对角方矩阵由变更支路导纳变化参数组成的对角方矩阵 aK-只关于变更支路只关于变更支路 TaaKYYK)(0LLTaaKYKLTaaKYKL2022-6-8第四章 变动网络22TaaTaaTaannnKYKKYKKYYKYYYLLLL)(00jijj00000000ii00000jiL j i TaaKYKTaaTaaKYKKYKLL矩阵运算法则 jjiiLYjijijijiaK2022-6-8第四章 变动网络231)Y(D

12、ZL1laKLTaaTaaTaannnKYKKYKKYYKYYYLLLL)(00LYD T)K(RanonnVCV RL)RAL(DAIC001111nC0nYA0nYLDR分解为：T1TanalnK)FKZ(FILAF01na1KY02022-6-8第四章 变动网络24例4.5 采用补偿原理求当图4-5网络支路1-3开断后的节点电压解。 在1-3支路末开断前有311131113noY001nJ4141210012141414121414141211nnonoJYV对于开断支路1-3，有101aK131YZL110)(1)13(0)13(LLYY2022-6-8第四章 变动网络2541041101214141412141414121a1nonKYF23021010210231TTanalnnK)FKZ(FIC8141854141212303101021023noVCVnn2022-6-8第四章 变动网络26二、回路法二、回路法当利用回路法分析