电磁学9(5.22)

1、Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University PhysicsZhongfeng XuXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics磁场的高斯定理磁场的高斯定理0dSmSB磁场是无源场（涡旋场）磁场是无源场（涡旋场）安培环路定理安培环路定理 inside0diLIlB有旋场有旋场(1) 积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系满足右螺旋关系时满足右螺旋关系时 0iI反之反之 0iI(2) 磁场是有旋场磁场是有旋场LlBd 不代表

2、磁场力的功，仅是磁场与电流的关系不代表磁场力的功，仅是磁场与电流的关系 电流是磁场涡旋的轴心电流是磁场涡旋的轴心 (3) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想的一段载流导线不成立的一段载流导线不成立讨论讨论Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University PhysicsaILLlBdLlaIdcoscos4210如图载流直导线如图载流直导线, 设设 4/2112aaI222240220II0例例则则L的环流为的环流为:二二. 安培环路定理的应用安培环路定理的应用基本思路：基本

3、思路： 若电流分布具有某些对称性，则可用安培环路若电流分布具有某些对称性，则可用安培环路定理求电流产生的磁场。定理求电流产生的磁场。 iLIlB0dLIBi0Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例例: 求无限长圆柱面电流的磁场分布。求无限长圆柱面电流的磁场分布。 rPL解解系统具有轴对称性，圆周上各点的系统具有轴对称性，圆周上各点的 B 相相同同, P 点的磁感应强度沿圆周的切线方向点的磁感应强度沿圆周的切线方向 RIPIddIBddBRr When LlBdcosLlB drB 2I0rIB20Rr Wh

4、en LlBdcosrB 200B 无限长圆柱形载流直导线无限长圆柱形载流直导线Rr rIB20Rr rB 220rj202 RIrB2/ RIj Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University PhysicsoIN例例求螺绕环电流的磁场分布及通过螺绕环断求螺绕环电流的磁场分布及通过螺绕环断面的磁通量面的磁通量解解h1R2RSrdLlBdcosLlB drB2NI0rNIB2/0 若螺绕环的截面很小，若螺绕环的截面很小，rr IrNBin20nI0r 0iI0B螺绕环内的磁通量螺绕环内的磁通量SmSBdrhrNIRRd2210120

5、ln2RRhNI 若在外部再做一个环路，可得若在外部再做一个环路，可得 在螺绕环内部做一个环路，可得在螺绕环内部做一个环路，可得内部为均匀磁场内部为均匀磁场螺绕环与无限长螺线管一样，磁场全部集中在管内部。螺绕环与无限长螺线管一样，磁场全部集中在管内部。 Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例例 求无限大平面电流的磁场求无限大平面电流的磁场解解iBBPabcddacdbcablBlBlBlBlBdd ddddcbalBlBddabB2iab02/0iB面对称面对称 推广推广：有厚度的无限大平面电流问题有厚度的

6、无限大平面电流问题 jd2/0jdBjxB0 在外部在外部 在内部在内部 xXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例例 证明在没有电流的空间区域里，如果磁场线是一些同方向证明在没有电流的空间区域里，如果磁场线是一些同方向的平行直线，则磁场一定是均匀的。的平行直线，则磁场一定是均匀的。 abcd1B2B解解 由安培环路定理可知由安培环路定理可知LBBlBL)(d21iI0021BB 分析电流系分析电流系统的对称性统的对称性取合适的取合适的安培环路安培环路应用安培应用安培环路定理环路定理（有向闭合回路）（有向闭合

7、回路）（使（使 B 提出积分号）提出积分号）（适用于闭合电流）（适用于闭合电流）小结小结Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics9.5 磁场对载流导线的作用磁场对载流导线的作用载流导体产生磁场载流导体产生磁场磁场对电流有作用磁场对电流有作用一一. 安培力安培力大小大小：方向方向：sinddlBIF 由右手螺旋法则确定由右手螺旋法则确定 任意形状载流导线在外磁场中受到的安培力任意形状载流导线在外磁场中受到的安培力BlIFFdd(1) zyxFFFFd,d,dd(2) 若磁场为匀强场若磁场为匀强场 BlIFd在匀强

8、磁场中的闭合电流受力在匀强磁场中的闭合电流受力BlIFd0BlIF dd讨论：讨论： 磁场对电流磁场对电流(元元)有作用有作用各电流元所在处的各电流元所在处的 “当地当地 B”Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University PhysicsxyOAILB此段载流导线受的磁力。此段载流导线受的磁力。在电流上任取电流元在电流上任取电流元lIdlIBBlIFdddlIdFdsinddlIBFxyIBdxIBlIBFydcosdd0d00yIBFxIBLxIBFLy0d例例 在均匀磁场中放置一任意形状的导线，电流强度为在均匀磁场中放置一任意形

9、状的导线，电流强度为I求求解解相当于载流直导线相当于载流直导线F 在匀强磁场中受的力，方向沿在匀强磁场中受的力，方向沿 y 向。向。OABlIFFddBlIdBIOAXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例例 求两平行无限长直导线之间的相互作用求两平行无限长直导线之间的相互作用a2I1I1B12f解：解：aIB2101电流电流 2 处于电流处于电流 1 的磁场中的磁场中1212BIfaIIBIf2210212121faII2210电流电流 2 中单位长度上受的安培力中单位长度上受的安培力同理，电流同理，电流

10、1 中单位长度上受的安培力中单位长度上受的安培力 同向电流间的安培力为引力同向电流间的安培力为引力 反向电流间的安培力为斥力反向电流间的安培力为斥力 定义：定义：设在真空中，两根通有同值电流的无限长平行直导线，若设在真空中，两根通有同值电流的无限长平行直导线，若导线相距导线相距 1 米米，单位长度受力，单位长度受力 ，则导线中电流，则导线中电流为为1 安培安培。N7102Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics(1) 两通电直导线间相互作用的安两通电直导线间相互作用的安培力满足牛顿第三定律。培力满足牛顿第三定律

11、。1221ff(2) 两电流元之间的相互作用力两电流元之间的相互作用力22dlI11dlI12r312121101d4drrlIB讨论讨论21f12f312121122012212dd4dddrrlIlIBlIf同理同理321212211021121dd4dddrrlIlIBlIf 两电流元之间的相互作用力，一般不遵守牛顿第三定律。两电流元之间的相互作用力，一般不遵守牛顿第三定律。Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例例 圆电流在均匀磁场中的内部张力。圆电流在均匀磁场中的内部张力。B解：解： R 方法一方法

12、一: :取电流元取电流元lIIfTT整个闭合线圈在均匀磁场中受力为零整个闭合线圈在均匀磁场中受力为零 2sin2sinTTflIBf IBRTT IBRT2sin222 TIRBT 方法二方法二BITTFTF2RIB 2RXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例：例：求一载流导线框在非均匀磁场中的受力和运动趋势求一载流导线框在非均匀磁场中的受力和运动趋势解：解：1Iabd2I1234xo121bBIf dIbI2102323bBIf )2102daIbIx 轴负向轴负向x 轴正向轴正向aalBIf21222s

13、ind132xIxIaad22210向上向上24ff 整个线圈所受的合力：整个线圈所受的合力：4321ffffF线圈向左运动。线圈向左运动。4)2210dadIabIXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例：例： 在匀强磁场中，平行于磁场线插入一无限大载流平面板，在匀强磁场中，平行于磁场线插入一无限大载流平面板，求载流平面上单位面积所受的磁场力？求载流平面上单位面积所受的磁场力？放入后平面两侧的磁感应强度分别为放入后平面两侧的磁感应强度分别为1B2B和和如图所示。如图所示。1B2B解：解： j2/0jBBB右

14、左 载流大板所产生的磁场载流大板所产生的磁场 磁场叠加原理磁场叠加原理01BBB02BBB2/210BBB2/12BBB012BBj 在载流平面上取一面元在载流平面上取一面元 dSjdjddSjyxj取如图的坐标系取如图的坐标系xzyBlIf ddijdijdd00BSjByxjkd0SBjkdd0jBSffk212012BBBB磁压强磁压强(也适用于也适用于任意有限的曲面任意有限的曲面)k202122BB Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University PhysicsCDFABF二二. 磁场对载流线圈的作用磁场对载流线圈的作用B1

15、l2lDAFBCFDCBAIsin1BIlFFBCDA2BIlFFABCD0iF 线圈所受的力矩线圈所受的力矩sin2sin211lFlFMCDABsin21BIl ln 形成一对力偶形成一对力偶B+ +nA(B)D(C)（均匀磁场中的刚性矩形载流线圈）（均匀磁场中的刚性矩形载流线圈）大小相等，大小相等，方向相反方向相反nl lnSS21BpMmnISpmXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics0iFBpMm1l2lbacdBI 结论结论：在匀强磁场中，平面线圈所受的安培力为零，仅受磁力在匀强磁场中，平面线圈所

16、受的安培力为零，仅受磁力矩的作用矩的作用 只发生转动，不会发生平动。只发生转动，不会发生平动。讨论：讨论： 线圈所受的力矩线圈所受的力矩 运动趋势运动趋势00Mmax2MM 0M稳定平衡稳定平衡非稳定平衡非稳定平衡力矩最大力矩最大 一般在非均匀磁场中，一般在非均匀磁场中， 载流载流系统有平动和转动。系统有平动和转动。分析两载分析两载流线圈的流线圈的运动趋势运动趋势 磁力矩总是力图使线圈的磁矩转到和外磁场一致的方向上。磁力矩总是力图使线圈的磁矩转到和外磁场一致的方向上。 适用于任意形状的平面载流线圈适用于任意形状的平面载流线圈Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong Univers

17、ity, 2012University Physics例例 在均匀磁场中，有一总电量为在均匀磁场中，有一总电量为Q 的均匀带电圆盘，盘面与磁的均匀带电圆盘，盘面与磁感应强度之间的夹角为感应强度之间的夹角为 , 半径为半径为R, 当圆盘以当圆盘以w w 旋转时，求旋转时，求圆盘在磁场中所受的磁力矩圆盘在磁场中所受的磁力矩.Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例例 在均匀磁场中，有一总电量为在均匀磁场中，有一总电量为Q 的均匀带电圆盘，盘面与磁的均匀带电圆盘，盘面与磁感应强度之间的夹角为感应强度之间的夹角为 ,

18、 半径为半径为R, 当圆盘以当圆盘以w w 旋转时，求旋转时，求圆盘在磁场中所受的磁力矩圆盘在磁场中所受的磁力矩.mpRBw解解 带电圆盘旋转带电圆盘旋转 取一带电圆环取一带电圆环形成电流形成电流rrqd2dTrrId2d圆电流圆电流2d2rrwBpMmdISddISpmrr d3wRmmrrpp03ddw441RwcosBpMm241QRwQwcos412BQRM rrdwXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics三三. 磁力的功磁力的功1. 安培力对运动载流导线的功安培力对运动载流导线的功BIlFa ab bIBlF 方向向右方向向右 在有限过程中，磁力所作的功在有限过程中，磁力所作的功ddddbabababaISIBxIBllFASIBmI 安培力所做的功等于电流强度乘以导线所扫过的磁通量安培力所做的功等于电流强度乘以导线所扫过的磁通量2. 磁力矩对转动载流线圈的功磁力矩对转动载流线圈的功BpMmBIdn 在一元过程中，磁力矩所作的功在一元过程中，磁力矩所作的功sinISBM Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University PhysicsdsindB