第25讲数字电路的数学基础

1、电工电子技术电工电子技术 张立宏、谭甜源张立宏、谭甜源 办公地点：办公地点：3 3教教33013301 手手 机：机：1592725685415927256854 E-Mail: E-Mail: QQ: QQ: 8238323582383235 QQ QQ群：群： 213738876213738876回顾YAYABYAB基本逻辑运算及符号基本逻辑运算及符号AYB&与：与：Y=AB或：或：AYB1Y=A+B非：非：AY1与非：与非：AB&Y或非：或非：AB1Y异或：异或：AB=1YYABABAB同或：同或：AB=1Y=ABYABAB6.1.3 6.1.3 逻辑定理与规则逻辑定理与

2、规则1.1.逻辑相等逻辑相等 真值表完全相同的两个逻辑函数，则称逻辑相等，真值表完全相同的两个逻辑函数，则称逻辑相等，即两个逻辑函数相等。即两个逻辑函数相等。2.2.公理公理00=0 1+0= 0+1=1 0+0=0 10 01 1+1=1 01=10 =0 11=13.3.基本定律基本定律自等律自等律01律律互补律互补律 重叠律重叠律交换律交换律结合律结合律分配律分配律1 AA0 AAAB= BA A+B=B+A ABC=（AB）CA+（B+C）=（A+B）+CA（B+C）=AB+AC（A+B）（）（A+C）= A+BCAA=AA+A=AA0=0A+1=1A1=AA+0=A证明：证明： =A

3、（1+C）+BC=AA+AB+AC+BC=A（1+B）+AC+BC=A+BC（A+B）（）（A+C）吸收吸收律律A（A+B）=AA+AB=A证明：证明：ABBA）（ABABABAA AABABA ABAB（）（BAA证明：证明：证明：A（A+B）A+AB =A（1+B） =ABABA A)BA(AABA ABAAABAB0=AA+AB =A+AB =A反演反演律律还原律还原律 变量取非，改变符号，函数取非变量取非，改变符号，函数取非。BABABABAAA BABA）（BBAA证明： AABAB0BABAAAAABBBABAAA 对偶定理对偶定理代入定理代入定理 如果两个逻辑式相等，那么它们的对

4、偶式也相等如果两个逻辑式相等，那么它们的对偶式也相等。ABA B已知ABCDA+B)(C)(AD)A已知(对于任何一个逻辑等式，如果把等式两边的某一变量都代入另外一个逻辑等式，则等式仍然成立。CDBCD B()ABACADA BCD例如：等式两边的变量A可以用C+D代替，即： 对于任意一个逻辑式Y，如果将式中的所有“.”换成“+”、“+”换成“.”、“0”换成“1”、“1”换成“0”，原、反变量保持不变，则所得到的新逻辑表达式称为函数Y的对偶式，记作Y/。例如：则根据对偶定理可得：6.1.4 6.1.4 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 数字电路用逻辑代数作分析时，将所有输入量数字电路用逻

5、辑代数作分析时，将所有输入量和输出量都看作和输出量都看作逻辑变量逻辑变量（非（非0 0即即1 1），我们用字），我们用字母母A A、B B、C C 表示，字母上面无反号的叫原变表示，字母上面无反号的叫原变量如量如A A，字母上面有反号的叫反变量如字母上面有反号的叫反变量如 逻辑函数与逻辑变量之间的关系，可以用逻辑函数与逻辑变量之间的关系，可以用逻辑真值（状态）表逻辑真值（状态）表、逻辑函数（表达）式逻辑函数（表达）式、逻辑图逻辑图、波形图波形图和和卡诺图卡诺图五种方法来表示，它五种方法来表示，它们之间可以相互转换。们之间可以相互转换。 其中：输入量是自变量，通称其中：输入量是自变量，通称逻辑变

6、量逻辑变量；输出量是因变量；即：输出量是因变量；即：逻辑函数逻辑函数。A 例例6-2：有：有一一T形走廊，在相会处有一路灯，在形走廊，在相会处有一路灯，在进入走廊的进入走廊的A，B，C三地各有控制开关，都能独三地各有控制开关，都能独立进行控制。任意闭合一个开关，灯亮；任意闭立进行控制。任意闭合一个开关，灯亮；任意闭合两个开关，灯灭；三个开关同时闭合，灯亮。合两个开关，灯灭；三个开关同时闭合，灯亮。 0 0 0 0 C 0 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1把输入、输出的所有逻辑状态以表格的形式表达。把输入、输出的所有逻辑状态以表格的形

7、式表达。 波形波形图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。F 0 0 0 0 C 0 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1 表达式表达式列写方法：将那列写方法：将那些使函数值为些使函数值为1的各个状态表的各个状态表示成全部变量（值为示成全部变量（值为1的表示的表示成原变量，值为成原变量，值为0的表示成反的表示成反变量）的与项（例如变量）的与项（例如A=0、B=1时函数时函数F的值为的值为1，则对

8、应，则对应的与项为的与项为AB）以后相加，以后相加，即即得到函数的与或表达式。得到函数的与或表达式。ABCCBACBACBAY 在逻辑表达式中，仅用在逻辑表达式中，仅用“+”连接起来的一串逻辑变量连接起来的一串逻辑变量（可以是原变量，也可以是反变量），称为（可以是原变量，也可以是反变量），称为“或项或项”。若干。若干“或项或项”进行进行“与与”运算构成的表达式，称为运算构成的表达式，称为“或或与与”表表达式。又称达式。又称“和之积和之积”形式。形式。在逻辑表达式中，仅用在逻辑表达式中，仅用“”连接起来的一串逻辑变量（可以是连接起来的一串逻辑变量（可以是原变量，也可以是反变量），称为原变量，也可

9、以是反变量），称为“与项与项”，亦称，亦称“积项积项”。若干若干“与项与项”进行进行“或或”运算构成的表达式，称为运算构成的表达式，称为“与与或或”表达式。表达式。 同一函数的同一函数的“与与或或”和和“或或与与”表达式不是唯一的，表达式不是唯一的，具有特征和代表意义的表达式是唯一的，此称为函数的具有特征和代表意义的表达式是唯一的，此称为函数的标准标准表达式表达式。在实际应用中，去研究某一函数某种形式的所有表。在实际应用中，去研究某一函数某种形式的所有表达式是没有意义的，而关心的是最有代表意义的表达式。达式是没有意义的，而关心的是最有代表意义的表达式。（1）基本形式）基本形式BACBAY）（1

10、）“与与或或”表达式表达式2）“或或与与”表达表达式式BCABCCABY常用的标准式多为最小项表达式。后面仅介绍最小项表达式。常用的标准式多为最小项表达式。后面仅介绍最小项表达式。（2 2）标准式）标准式1 1）最小项最小项和和最大项最大项表达式表达式 若函数的若函数的“与与或或”式中的式中的“与项与项”都是由所有变量（无都是由所有变量（无论是原变量形式还是反变量形式）组成的积式，这样的论是原变量形式还是反变量形式）组成的积式，这样的“与项与项”称为称为最小项最小项，这样的，这样的“与与或或”表达式称为表达式称为最小项表达式，最小项表达式，亦亦称标准称标准“与与或或”式式 。 若函数的若函数的

11、“或或与与”式中的式中的“或项或项”都是由所有变量（无都是由所有变量（无论是原变量形式还是反变量形式）组成的或式，这样的论是原变量形式还是反变量形式）组成的或式，这样的“或项或项”称为称为最大项最大项，这样的，这样的“或或与与”表达式称为标准表达式称为标准“或或与与”（最大项）表达式。（最大项）表达式。2 2）最小项的编号）最小项的编号 最小项用文字符号最小项用文字符号m mi i表示，如表示，如m m0 0 m m1 1 m m2 2 m m3 3 m m4 4 m m5 5 m m6 6 m m7 7。下标为其编号，其值为变量的状态构成的二进制数所对应下标为其编号，其值为变量的状态构成的二

12、进制数所对应的十进制数，的十进制数， 3 3）最小项表达式形式）最小项表达式形式除前面介绍的形式外，还可以如此表示除前面介绍的形式外，还可以如此表示ABC CBABCACBACBA YY Y（ABCABC）=（1 1，2 2，4 4，7 7） 但在实际应用中的某些逻辑问题中，其输入变量间存但在实际应用中的某些逻辑问题中，其输入变量间存在着某种相互制约或者问题的某些特殊限制，使得函数中在着某种相互制约或者问题的某些特殊限制，使得函数中某些最小项根本就不出现，或者既使出现也不影响函数的某些最小项根本就不出现，或者既使出现也不影响函数的功能，换句话说，逻辑函数并不是与它所有的最小项有关。功能，换句话

13、说，逻辑函数并不是与它所有的最小项有关。3 3）具有无关最小项的逻辑函数具有无关最小项的逻辑函数Y Y（A A，B B，C C，D D）=m=m（3 3，4 4，5 5，1010，1111，1212） +d +d（0 0，1 1，1414，1515） 逻辑函数对于所有的最小项都有确定的状态与之对应，逻辑函数对于所有的最小项都有确定的状态与之对应，这样的函数，我们叫做这样的函数，我们叫做函数与所有的最小项有关函数与所有的最小项有关。ijYmd（ij）例如有一个具有无关最小项逻辑函数例如有一个具有无关最小项逻辑函数无关最小项的状态记作无关最小项的状态记作“”其意为任意。其意为任意。 这类最小项称为

14、这类最小项称为无关最小项无关最小项，用，用d d表示。把具有这一特表示。把具有这一特征的函数称为征的函数称为具有无关最小项逻辑函数具有无关最小项逻辑函数。一般表示为。一般表示为ABCCBACBACBAY5 5卡诺卡诺（ Karnaugh ）图法图法（1）卡诺图结构及特点）卡诺图结构及特点 卡诺图是一个与函数的最小项一一对应、且按逻辑相邻卡诺图是一个与函数的最小项一一对应、且按逻辑相邻原则排列的原则排列的方格阵图方格阵图，它的方格数的多少与输入变量的个，它的方格数的多少与输入变量的个数有关。而方格间的关系是或的关系。数有关。而方格间的关系是或的关系。 CDAB 四变量卡诺图四变量卡诺图 BA二变

15、量二变量 BCA 三变量卡诺图三变量卡诺图 （2）卡诺图中最小项的排列）卡诺图中最小项的排列 卡诺图的特点是卡诺图的特点是逻辑相邻逻辑相邻，只有，只有一个变量一个变量的状态的状态不同不同的两个最小项，称为逻辑相邻。在卡诺图中几何相邻的方的两个最小项，称为逻辑相邻。在卡诺图中几何相邻的方格一定逻辑相邻，但是，逻辑相邻并不一定是几何相邻。格一定逻辑相邻，但是，逻辑相邻并不一定是几何相邻。 CDAB 四变量卡诺图四变量卡诺图00 01 11 10 00 01 11 10 m0m1m3m2m4m5m7 m6m12m13m15m14m8m9m11m10 BA二变量二变量 0 1 0 1 m0m1m2m3

16、 BCA 三变量卡诺图三变量卡诺图 00 01 11 10 0 1 m0m1m3m2m4m5m7m6 卡诺图的卡诺图的重要作用重要作用在于化简逻辑函数，因此首要的工在于化简逻辑函数，因此首要的工作是已知一个函数，要作是已知一个函数，要填填相应的相应的卡诺图卡诺图，而且已知函数不，而且已知函数不外呼两种情况：一为最小项表达式，其二、一般情况。以外呼两种情况：一为最小项表达式，其二、一般情况。以下介绍下介绍一般情况下一般情况下的的两种两种填卡诺图的方法。填卡诺图的方法。1 1）配项法求得最小项填卡诺图）配项法求得最小项填卡诺图求函数的最小项表达式。求函数的最小项表达式。，和根据A1A1AA（3 3

17、）卡诺图表示函数）卡诺图表示函数 卡诺图表示某函数，就是根据方格的状态来表示的。方卡诺图表示某函数，就是根据方格的状态来表示的。方格中格中“1”“1”表示函数表示函数存在存在该最小项，该最小项，“0”“0”或空白或空白则表示函数则表示函数不存在不存在该最小项。所有该最小项。所有“1”“1”的方格相加，即为函数的最小的方格相加，即为函数的最小项表达式。项表达式。Y = AC + AC + BC + BC YABC010001111011111100A(B+B)C +(A+A)BC Y=A(B+B)C +(A+A)BC + =(m1 , , m2 , ,m3 , ,m4 , ,m5 , ,m6 )

18、1111ADBCABCD0001111000011110FBACDAF11112 2）根据）根据“与与”的的公共性公共性、“或或”的的叠加性叠加性和和“非非”的的否否定性定性确定确定“1”“1”方格。方格。 注意：既然逻辑函数有五种表达形式，那么五种形式之间是可以互换的。逻辑状态表逻辑状态表逻辑式逻辑式逻辑图逻辑图卡诺图卡诺图6.1.5 6.1.5 逻辑函数的化简逻辑函数的化简CAABF)(BACACAABBACABACA 1 1代数化简法（公式法）代数化简法（公式法） 利用逻辑代数的基本定律和公式化简逻辑函数，需要利用逻辑代数的基本定律和公式化简逻辑函数，需要技巧和经验，需要熟练掌握和灵活应

19、用定理。技巧和经验，需要熟练掌握和灵活应用定理。1 1） 并项法并项法利用利用 AB+AB=A例例1：F1=ABCD+ABCD=A(BCD+BCD)=A例例2：F2=AB+ACD+AB+ACD=A(B+CD)+A(B+CD)=B+CD2 2） 消去法消去法利用利用 A+AB=A+B消去多余因子消去多余因子A例例1：F1=B+ABC=B+AC 例例2：F2=A+ACD+ABC=A+CD+ABC=A+CD+BC3 3） 吸收法吸收法利用利用 A+AB=A消去多余项消去多余项例：例：F=A+ABC (A+BC+D)+BC=A+(A+BC) (A+BC+D) +BC =(A+ BC)+ (A+BC)

20、(A+BC+D)=A+BC4 4） 配项法配项法利用利用 A+A=1消去多余项消去多余项例：例：F=AB+AC+BC=AB+AC+(A+A) BC =AB+AC+ABC+ABC=(AB+ABC)+(AC+ACB) =AB+AC2 2卡诺图化简法卡诺图化简法第一步第一步 将函数用卡诺图表示将函数用卡诺图表示 由于卡诺图满足逻辑相邻的特点，所以在卡诺图任何由于卡诺图满足逻辑相邻的特点，所以在卡诺图任何2i个标个标“1”（或（或“0”）的项可以）的项可以合并合并为一项，并为一项，并消去消去i个变个变量量。具体步骤为：。具体步骤为：第二步第二步 合并最小项，在卡诺图上画合并最小项，在卡诺图上画卡诺圈卡

21、诺圈。画卡诺。画卡诺圈的圈的原则原则是：是：卡诺圈必须是卡诺圈必须是2i逻辑相邻的逻辑相邻的“1”方格组成，（为方格组成，（为矩矩形形和和长方形长方形）。）。每个方格可以在（属于）多个卡诺圈。每个方格可以在（属于）多个卡诺圈。每画一个圈必须每画一个圈必须至少有一个至少有一个新（未被圈过）的新（未被圈过）的“1”方方格。格。第三步第三步 将卡诺图上所有的卡诺圈对应的将卡诺图上所有的卡诺圈对应的“与项与项”相相“或或”，即可得到函数的简化即可得到函数的简化“与与或或”表达式。表达式。111111111111（1）用卡诺图化简的步骤）用卡诺图化简的步骤举例举例F（A，B，C，D）=m（0，1，2，3

22、，4，5，6，7，8，11，14，15）111111111111ABCD0001111000011110ADBCF），（DCBAFABCCDDCB（2 2）特殊情况的处理）特殊情况的处理1 1）在卡诺图中圈）在卡诺图中圈0 0方格化简函数方格化简函数 在卡诺图中，如果在卡诺图中，如果1方格远比方格远比0方格多时，有时圈方格多时，有时圈0方格方格比圈比圈1方格简单。这种方法是先求出非函数，再对求非，其方格简单。这种方法是先求出非函数，再对求非，其结果与圈结果与圈1方格化简得到的函数是相同的，例如对例方格化简得到的函数是相同的，例如对例6-12采采用圈用圈0方格化简。方格化简。ABCD00 01

23、11 100001101100111111111111112）利用无关最小项画尽可能大的卡诺圈）利用无关最小项画尽可能大的卡诺圈 由于函数与无关最小项无关，所以，无关最小项可以由于函数与无关最小项无关，所以，无关最小项可以随意加到函数表达式中，或从表达式中去掉，都不会不影随意加到函数表达式中，或从表达式中去掉，都不会不影响函数的功能，换句话说，在真值表和卡诺图中，响函数的功能，换句话说，在真值表和卡诺图中，“”可以看作是可以看作是“1”“1”，也可以看作是，也可以看作是“0”“0”。如例。如例6-136-13。 ABCD00 01 11 10000110111 0011111003）多输出逻辑

24、函数的化简）多输出逻辑函数的化简 在实际应用中，常大量存在根据同一组相同的输入量在实际应用中，常大量存在根据同一组相同的输入量产生多个输出函数的情况，对于具有相同输入变量的多输产生多个输出函数的情况，对于具有相同输入变量的多输出的电路，必须保证整个电路为最简，所以在逻辑函数化出的电路，必须保证整个电路为最简，所以在逻辑函数化简时，要把多个输出函数当做一个整体考虑，简时，要把多个输出函数当做一个整体考虑，以整体最简以整体最简为目标为目标。因此，这就要。因此，这就要充分利用各输出函数共享部分充分利用各输出函数共享部分。 小结小结主要知识点：主要知识点：1.1.掌握掌握逻辑函数的表示方法逻辑函数的表

25、示方法2.2.能应用能应用应用逻辑代数运算法则应用逻辑代数运算法则和和卡诺图卡诺图化简逻化简逻辑函数辑函数3.3.掌握掌握与门与门、或门或门、非门非门、与非门与非门和和异或门异或门等的等的逻辑功能逻辑功能历届考题历届考题填空题填空题回顾回顾1.逻辑函数的描述方法有逻辑函数的描述方法有 、 、 、 等。等。逻辑真值（状态）表逻辑真值（状态）表逻辑表达式逻辑表达式卡诺图卡诺图波形图波形图逻辑图逻辑图思考题思考题计算题计算题回顾回顾一、用代数法把下式化简为最简与或式。一、用代数法把下式化简为最简与或式。 解：解：1FAC1FAABCDABCBCBC2()()FABCABC2FAB 1 1 1 00

26、AB L 01 10 11 CD 11 00 00 01 10 100 1111111110110CA思考题思考题计算题计算题回顾回顾二、用卡诺图化简逻辑函数。二、用卡诺图化简逻辑函数。 解：解：1FBCAC2FACABAD 1 1 1 00 AB L 01 10 11 CD 11 00 00 01 10 100 00111110100001FABCABCABC2FABCDABCDABADABC3( ,)(5,6,7,8,9)(10,11,12,13,14,15)F A B C Dmd4( ,)(1,2,5,6,9)(10,11,12,13,14,15)F A B C Dmd BCA 00 0

27、1 11 10 0 1 01100010ADACAB思考题思考题计算题计算题回顾回顾二、用卡诺图化简逻辑函数。二、用卡诺图化简逻辑函数。 解：解：4FCDCD3FABDBC 1 1 1 00 AB L 01 10 11 CD 11 00 00 01 10 01 0101 10101FABCABCABC2FABCDABCDABADABC3( ,)(5,6,7,8,9)(10,11,12,13,14,15)F A B C Dmd4( ,)(1,2,5,6,9)(10,11,12,13,14,15)F A B C DmdBDA 1 1 1 00 AB L 01 10 11 CD 11 00 00 0

28、1 10 00 0011 1110BCCDCD6.2 6.2 集成逻辑门电路集成逻辑门电路按导电机理分按导电机理分 能实现能实现“与与”、“或或”、“非非”、“与非与非”、“或非或非”等基本逻辑的电路，称逻辑门电路。等基本逻辑的电路，称逻辑门电路。按其生产工艺分按其生产工艺分 当今广泛应用的是集成逻辑门，当今广泛应用的是集成逻辑门，常用的数字集成电路有常用的数字集成电路有TTL（Transistor-Transistor Logic）和）和CMOS (Complementary Metal-Oxide Semiconductor )电路两种。电路两种。且以集成且以集成“与非与非”为最多。下面先

29、介绍为最多。下面先介绍TTL门电路。门电路。晶体管门电路晶体管门电路集成逻辑门电路集成逻辑门电路场效应管门电路场效应管门电路分立元件门电路分立元件门电路 在介绍在介绍门电路之前，先了解一下三极管开关工作状态的门电路之前，先了解一下三极管开关工作状态的特征。特征。6.2.0 6.2.0 晶体管的开关特性晶体管的开关特性 三极管的三极管的饱和饱和与与截止截止状态相当于一只电路开关的状态相当于一只电路开关的接通接通与与断开断开，这一特点称为三极管的开关特性。数字电路就是应用，这一特点称为三极管的开关特性。数字电路就是应用三极管的这一特点，模拟电路应用其放大特性。三极管的这一特点，模拟电路应用其放大特

30、性。（2 2）饱和与截止的特征（特点）饱和与截止的特征（特点）在数字电路中，三极管工作在深度饱和和可靠截止状态，其在数字电路中，三极管工作在深度饱和和可靠截止状态，其特征为：特征为：发射结发射结集电结集电结工作状态工作状态 特特 征征 正正 正正深度饱和深度饱和UCES =0.20. 3； IB 反反 反反可靠截止可靠截止UBE 00.1satCI（1 1）开关的意义）开关的意义 VD2为了限制为了限制V1的饱和深度、提高开关速度并减小由门的饱和深度、提高开关速度并减小由门电路间的连线引起的杂散信号之作用，对电路间的连线引起的杂散信号之作用，对u0与与ui的逻辑关的逻辑关系没有影响。系没有影响

31、。R1R2R4R3VD1VD2V1V2V4V3u0uiUCC5V6.2.1 6.2.1 TTL门电路门电路1 1TTLTTL反相器反相器 常用的常用的TTL逻辑门又分为逻辑门又分为TTL反相器、反相器、TTL“与非与非”门、门、 TTL三态输出三态输出“与非与非”门和门和TTL集电极开路集电极开路“与非与非”门几种。门几种。（1）电路结构）电路结构（2）工作原理）工作原理1）当输入为）当输入为“0” V1的基极电位约为的基极电位约为0.9V，它不足以使它不足以使V2和和V3导通，故导通，故V2和和V3截止。截止。VC2= VCC，因而因而V4和和VD1导通。导通。2 2）当输入为当输入为“1”“1”的情的情况况 V V1 1发射结反偏，电源经发射结反偏，电源经R R1 1、V V1 1集电结向集电结向V V2 2提供基极电流使提供基极电流使V V2 2饱和导通，饱和导通，V V3 3产生的压降为产生的压降为V V3 3提供基极电流，使之饱和导通，提供基极电流，使之饱和导通，输出端的电位为输出端的电位为U UCE3CE3（SAVSAV）U0=0.2V，即输出为即输出为“0” 。U0= VCCR2 IB4UBE4 UD1= 50.70.7=3.6V，即输出为即输出为“1” 。输出状态总