机械波-机械振动例题

1、旋转矢量旋转矢量 与谐振动的对应关系与谐振动的对应关系A简谐振动振幅角频率初相振动周期位相位移加速度速度)cos(0 tAx)t(Aa02 cos)t(Av0 sin0 0t 例例:如图如图m=210-2kg, 弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cm t=0时时 x0=-9.8cm, v0=0 取开始振动时为计时零点，取开始振动时为计时零点， 写出振动方程；写出振动方程；（2）若取）若取x0=0，v00为计时零点，为计时零点， 写出振动方程写出振动方程,并计算振动频率。并计算振动频率。XOmx解：解： 确定平衡位置确定平衡位置 mg=k l 取为原取为原点点 k=mg/ l 令向下有

2、位移令向下有位移 x, 则则 f=mg-k( l +x)=-kx作谐振动作谐振动 设振动方程为设振动方程为)tcos(Ax0 s/rad.lgmk10098089 由初条件得由初条件得 ,)xv(arctg0000 mvxA09802020.)( 由由x0=Acos 0=-0.0980 cos 00 x0=Acos 0=0 , cos 0=0 0= /2 ,3 /2 v0=-A sin 0 , sin 0 0, 取取 0=3 /2 x=9.8 10-2cos(10t+3 /2) m对同一谐振动取不同的计时起点对同一谐振动取不同的计时起点 不同，但不同，但 、A不变不变Hzlg6 . 1212

3、XOmx固有频率固有频率例例:如图所示，振动系统由一倔强系数为如图所示，振动系统由一倔强系数为k的的 轻弹簧、轻弹簧、一半径为一半径为R、转动惯量为转动惯量为I的的 定滑轮和一质量为定滑轮和一质量为m的的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.TmTmga2F moxkJR解：取位移轴解：取位移轴ox，m在平在平衡位置时，设弹簧伸长量衡位置时，设弹簧伸长量为为 l，则则0 lkmg TmTmga2F moxkJR当当m有位移有位移x时时maTmg RaJRxlkT )(

4、联立得联立得aRJRkx 2 0222 xRJmkdtxd物体作简谐振动物体作简谐振动 22RJmk kRJmT222 例例 已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。图所示，试求其振动方程。431.431. 715.715. 01)(st)(1 cmsv解：方法解：方法1100715cms.sinAv )tcos(Ax0 设振动方程为设振动方程为0020 cosAa1431 cmsvAm. 2143171500.Avsin 6560或或0000 cos,a则则60 17151 cmsvt.2161 mvvAv )sin( 61167

5、61或 01001)cos(,a 则则 6761 1143 s. cmvAm10143431 . 故振动方程为故振动方程为cmtx)cos(610 方法方法2： 用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助求解。)cos( tAx)cos()sin(2 tvtAvm1431 cmsAvm. 0 tst1 2 vov的旋转矢量的旋转矢量与与v轴夹角表轴夹角表示示t 时刻相位时刻相位2 t由图知由图知 322 6 11 s cmvAm10143431 . cmtx)cos(610 动动能能221mvEk )t(sinkA02221 势势能能221kxEp )t(coskA02221 情况同动能。情况同动

6、能。pppEEE,minmax0min kE2411kAdtETETttkk 2max21kAEk 机械能机械能221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒 例例 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数簧的劲度系数 ，物体的质量，物体的质量 . . （1 1）把物体从平衡位置向右拉到）把物体从平衡位置向右拉到 处停处停下后再释放，求简谐运动方程；下后再释放，求简谐运动方程； 1mN72. 0kg20mm05. 0 xm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而

7、是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程. .2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；解解 （1）11s0 . 6kg02. 0mN72. 0mkm05. 0022020 xxAv0tan00 xv 0 或由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知 0)cos(tAx)s0 . 6cos()m05. 0(1t解解 )cos(tAx)cos(tA21)cos(Axt3 5 3或t3t由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知tAsinv1sm26. 0（负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）Ox2A （2 2）求

8、物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；解解 m0707. 022020vxA1tan00 xv4 3 4或 )cos(tAx4)s0 . 6cos()m0707. 0(1tm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程. .因为因为 ，由旋转矢量图可知，由旋转矢量图可知400v 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求：，求：kg10. 0m100 .

9、122sm0 . 4（1）振动的周期；振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T) tcos() tsin( ) cos(02 2200AdtxdaAdtdxvtAx（2）J100 . 23222maxmax,k2121AmmEv（3）max,kEE J100 . 23（4）pkEE 时，时，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x例例4.4 光滑水平面上的弹簧振子由

10、质量为光滑水平面上的弹簧振子由质量为M的木块和劲的木块和劲度系数为度系数为k 的清弹簧构成，现有一质量为的清弹簧构成，现有一质量为m，速度为速度为u0的子弹射入静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自由的子弹射入静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自由状态，状态，1）振动方程）振动方程2）x=A/2时系统的动能和势能时系统的动能和势能过程分析：首先碰撞过程分析：首先碰撞 动量守恒动量守恒 其次其次M,m作为振子一起振动作为振子一起振动振动曲线振动曲线波形曲线波形曲线图形图形研究研究对象对象物理物理意义意义特征特征注意：波形曲线与振动曲线比较注意：波形曲线与振动曲线比较某质点位移随时间变化某质点位移随

11、时间变化规律规律某时刻，波线上各质点位移某时刻，波线上各质点位移随位置变化规律随位置变化规律v由振动曲线可知由振动曲线可知某时刻某时刻其方向参看下一时刻状况其方向参看下一时刻状况初相初相周期周期T. 振幅振幅A 0 由波形曲线可知由波形曲线可知该时刻各质点位移该时刻各质点位移只有只有t=0时刻波形才能提供初相时刻波形才能提供初相波长波长 , 振幅振幅A某质点某质点 方向参看前一质点方向参看前一质点v对确定质点曲线形状一定对确定质点曲线形状一定曲线形状随曲线形状随t 向前平移向前平移例题例题 位于位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频两点的两个波源，振幅相等，频率都是率都是100赫兹，相位差为赫

12、兹，相位差为 ，其，其A、B相距相距30米，米，波速为波速为400米米/ /秒，求秒，求: :A、B连线之间因相干干涉连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。而静止的各点的位置。解：如图所示，取解：如图所示，取A点为坐标原点，点为坐标原点，A、B联线为联线为X轴，轴，取取A点的振动方程点的振动方程 : :)cos( tAyA在在X轴上轴上A点发出的行波方程：点发出的行波方程：)2cos( xtAyA B点的振动方程点的振动方程 : :) 0cos( tAyB BAXxm30 x30O)2cos( xtAyA B点的振动方程点的振动方程 : :)0cos( tAyB 在在X轴上轴上B B点发出的行

13、波方程：点发出的行波方程：)30(20cos xtAyB 因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：为静止的点满足： )()(123022 kxx,.2, 1, 0 kBAXxm30 x30O相干相消的点需满足：相干相消的点需满足：kx 230mu4 因为因为：,.2, 1, 0215 kkxmx29,27,25,.9 , 7 , 5 , 3, 1 )12()30(22 kxx,.2, 1, 0 kBAXxm30 x30O 例例 如图所示，如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波两点为同一介质中两相干波源源.其振幅皆为其振幅皆为5

14、cm，频率皆为频率皆为100Hz，但当点但当点 A 为波为波峰时，点峰时，点B 适为波谷适为波谷.设波速为设波速为10m/s，试写出由试写出由A、B发出的两列波传到点发出的两列波传到点P 时干涉的结果时干涉的结果.m25m201522BPm10. 0m10010u 设设 A 的相位较的相位较 B 超超前，则前，则 .BA2011 . 0152522APBPAB点点P 合振幅合振幅021AAA例题例题 位于位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频两点的两个波源，振幅相等，频率都是率都是100赫兹，相位差为赫兹，相位差为 ，其，其A、B相距相距30米，米，波速为波速为400米米/ /秒，求秒，求: :A、B连线之间因相干干涉连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。而静止的各点的位置。解：如图所示，取解：如图所示，取A点为坐标原点，点为坐标原点，A、B联线为联线为X轴，轴，取取A点的振动方程点的振动方程 : :)cos( tAyA在在X轴上轴上A点发出的行波方程：点发出的行波方程：)2cos( xtAyA B点的振动方程点的振动方程 : :) 0cos( tAyB BAXxm30 x30O)2cos( xtAyA B点的振动方程点的振动方程 : :)0cos( tAyB 在在X轴上轴上B B点发出的行波方程：点发出的行波