概率电子教案6

1、第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布6.1 6.1 随机样本随机样本6.2 6.2 抽样分布抽样分布6.1 6.1 随机样本随机样本总体总体 将将研究对象的某项数量指标的值的全体称为总体，研究对象的某项数量指标的值的全体称为总体，个体个体 每一个可能观察值称为个体每一个可能观察值称为个体总体根据其所含有个体数分为有限总体和无限总体总体根据其所含有个体数分为有限总体和无限总体. .有限总体和无限总体有限总体和无限总体总体总是与一个随机变量相对应总体总是与一个随机变量相对应这里研究的总体这里研究的总体, ,即研究对象的某数量指标即研究对象的某数量指标X, ,它的取值在客观上它的取值在客观上有

2、一定的分布有一定的分布, , X是一个随机变量是一个随机变量. .对总体的研究对总体的研究, ,就是对相应的就是对相应的随机变量随机变量X的分布的研究的分布的研究. .因此因此, , X的分布函数与数字特征的分布函数与数字特征, ,分别分别称为总体的分布函数与数字特征称为总体的分布函数与数字特征. .今后将不区分总体和相应的随今后将不区分总体和相应的随机变量机变量. .从数学意义看从数学意义看, ,总体是一个随机变量总体是一个随机变量, ,个体是这个随机变个体是这个随机变量的取值量的取值. .二、样本 从总体从总体 中，随机地抽取中，随机地抽取 个个体个个体 ，这，这样取得的样取得的 为总体为

3、总体 的一个的一个样本样本样本中个样本中个体的数目体的数目 称为称为样本容量样本容量。nXXXn12,XXXn12,Xn 在总体中抽取样本的目的在总体中抽取样本的目的, , 是为了对总体的分布规律是为了对总体的分布规律进行各种分析和推断，这就要求抽取的样本能够反映总体进行各种分析和推断，这就要求抽取的样本能够反映总体的特点，为此必须对随机抽取样本的方法提出如下要求：的特点，为此必须对随机抽取样本的方法提出如下要求：（1 1）独立性独立性，要求，要求 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量（2 2）代表性代表性，要求样本的每个分量，要求样本的每个分量 与总体与总体 具有相具有相同的分布满足以上

4、两个条件的样本称为同的分布满足以上两个条件的样本称为简单随机样本简单随机样本X XXn12,XiX一次抽取的结果是个具体的数据一次抽取的结果是个具体的数据 ，称为样本，称为样本 的一个观测值，简称的一个观测值，简称样本值样本值，不同的抽取，不同的抽取（每次（每次n n个）将得到不同的样本值个）将得到不同的样本值XXXn12,x xxn12, 设设 为总体为总体X 的一个简单随机样本，如果的一个简单随机样本，如果总体总体X 的分布函数为的分布函数为 ，则样本分布函数，则样本分布函数 ；如果总体概率密度为；如果总体概率密度为 则样本则样本 的概率密度的概率密度 XXXn12,F x( )Fx xx

5、F xniin*(,)()121f x( )XXXn12,fx xxf xniin*(,)()121 对于有限总体，采用放回抽样就可得到简单随机样对于有限总体，采用放回抽样就可得到简单随机样本当个体的总数本当个体的总数 比要得到的样本容量比要得到的样本容量 大得多时，在大得多时，在实际中可将不放回抽样近似地看作放回抽样来处理实际中可将不放回抽样近似地看作放回抽样来处理nN6.2 抽样分布抽样分布一、统计量一、统计量 样本是总体的代表和反映样本是总体的代表和反映, ,但在抽取样本后但在抽取样本后, ,并不能直接并不能直接利用样本进行推断利用样本进行推断, ,而需要对样本进行一番而需要对样本进行一

6、番“加工加工”和和“提炼提炼”, ,把样本中我们关心的事物的信息集中起来把样本中我们关心的事物的信息集中起来, ,即针对不同的问题即针对不同的问题构造样本的适当函数，并利用这些样本函数进行统计推断构造样本的适当函数，并利用这些样本函数进行统计推断, ,样样本函数叫做统计量本函数叫做统计量. .定义定义1 1 设设 为总体的一个样本，为总体的一个样本， 是是 的函数，如果的函数，如果g g 是连续函数并且是连续函数并且g g 中不含任中不含任何未知参数，则称何未知参数，则称 是一个统计量是一个统计量g X XXn(,)12g X XXn(,)12nXXX,21nXXX,21设设 是相应于样本是相

7、应于样本 的样本值，则的样本值，则称称 是是 的样本观察值的样本观察值. .nxxx,21g X XXn(,)12),(21nxxxgnXXX,21例如例如 总体总体 ，其中参数，其中参数 为未知参数，为未知参数， 是是 X 的样本，则的样本，则 , , 等均等均为统计量，而为统计量，而 等都不是统计等都不是统计量，因为它们含有未知参数量，因为它们含有未知参数XN( ,) 2 ,XXXn12,Xiin1Xiin211221Xiin1212()XX , 从统计量的定义可知，统计量是不含任何未知参数的从统计量的定义可知，统计量是不含任何未知参数的随机变量随机变量几个常用的统计量几个常用的统计量 定

8、义定义2 2 设设 是从总体是从总体 X 中抽取的容量为中抽取的容量为 n 的的 样本，那末统计量样本，那末统计量XXXn12,称为称为样本均值样本均值 称为称为样本方差样本方差 称为称为样本标准差样本标准差称为称为样本样本k阶原点矩阶原点矩称为称为样本样本k阶中心矩阶中心矩XnXiin11niiXXnS12211AnXkikin11BnXXkikin11()SnXXiin1121() 设设 是总体是总体 X 的一个样本，的一个样本， 是是这一样本的观察值这一样本的观察值XXXn12,仍称为仍称为样本均值样本均值仍称为仍称为样本方差样本方差仍称为仍称为样本标准差样本标准差仍称为仍称为样本样本k

9、阶原点矩阶原点矩仍称为仍称为样本样本k阶中心矩阶中心矩niixxns12211nxxx,21niixnx11niixxns1211 11nikikxna )(11nikikxxnb样本矩的性质样本矩的性质抽样分布抽样分布统计量是样本的函数统计量是样本的函数, , 它是一个随机变量它是一个随机变量. .统计量的分布统计量的分布称为抽样分布称为抽样分布. .1)1)若总体若总体X的的k阶矩阶矩 存在存在, , 则当则当 时时, , 2)2)kkXE )(nkpkA), 2 , 1(k),(),(2121npngAAAg其中为其中为 g 连续函数连续函数二、常用统计量的分布二、常用统计量的分布n (

10、 (一一) ) 分布分布设设 是来自总体是来自总体 的样本，的样本，则统计量则统计量 2XXXn12,212222XXXn服从自由度服从自由度 为的为的 分布记为分布记为 这里自由度这里自由度 表示相互独立的随机变量的个数表示相互独立的随机变量的个数. . 分布的概率密度为分布的概率密度为n222( )n2( )nf ynyeynny( )( )122002212其它dtett01)(其中)1 , 0( NX 的图形如图所示，的图形如图所示， 的形状与的形状与 有关有关. . 0 0 y y nf y( )1n5n15n)(yf)(yf, ,且且 与与 相互独立时相互独立时, ,(2)(2)如

11、果如果 ，(1)(1)设设 221 )(),(22221221nn 22 )(22n 分布的性质分布的性质则则EnDn()()222则有则有)(2122221nn 事实上，因事实上，因 ，故，故XNi( , )01E XD XE Xx edxiiix()()()244211232213)()()(2242iiiXEXEXD因此因此EEXE Xniiniin()()()22121DDXD Xniiniin()()()221212 分布的上分布的上 分位点分位点 满足满足 对于不同的对于不同的 n 与与 ， 分布的分布的 分位点的值见分位点的值见附表，当附表，当 40 40 时，有近似计算公式时，

12、有近似计算公式 其中其中 为分布为分布 的上的上 分位点分位点22)12(21nz2( )nx10)()()(222ndyyfnP2( )nnzN( , )01zz1设设 ， ，且，且 X 与与 Y 相互独立，则相互独立，则称随机变量称随机变量 服从自由度是服从自由度是 n 的的 t 分布，分布，记作记作 随机变量随机变量 t t 的概率密度函数为的概率密度函数为: : XN( , )01Yn( )2tntnnntfn,1)2/(2/ ) 1()(2/ ) 1(2( (二二)t)t分布分布)(nttnYXt n=10n=1f (t)n=(正态） 图6-30t它的图形如图，其形状与它的图形如图，

13、其形状与n有关，有关， 关于关于 对称对称f t ( )t 0lim( )ntf te12221)1)当当n充分大时，充分大时，t t 分布以标准正态分布为极限分布分布以标准正态分布为极限分布 2) 2)t 分布的上分布的上 分位点分位点 应满足应满足)(nt)()(1ntnt)()()(ntdttfnttP当当 n45 45 时时, ,znt)( 由于对称性知，由于对称性知， 其值可查表其值可查表设设 , , 且且 X X 与与 Y Y 相互独立，相互独立，则称随机变量则称随机变量 服从自由度是（服从自由度是（ ）的）的F F 分布，分布， Xn( )21Yn()22FX nY n12n n

14、12,FF n n(,)12F n n(,)12( (三三)F)F分布分布记作记作分布的概率密度函数为：分布的概率密度函数为：1112/2(/2) 11212()/21212()/ 2(/)( )(/ 2) (/ 2)1(/)nnFnnnnnnyfynnn y n由定义知，若由定义知，若 ，则，则FF n n(,)12121FF nn(,)0t其概率密度函数图形如图所示其概率密度函数图形如图所示f(t)25,1021nn5,1021nn点点 为为 分布的上分布的上 分位点，分位点，F分布的上分布的上 分位点有表可查。分位点有表可查。1)对于给定的对于给定的 ，称满足条件，称满足条件10,),(

15、2121)(),(nnFdyyfnnFFP),(21nnF),(21nnF2)2)F F分布的上分布的上 分位点有如下性质：分位点有如下性质：),(1),(12211nnFnnF首先给出一个重要的结论首先给出一个重要的结论设设 是总体是总体X的样本，的样本， 是样本均是样本均值值, ,那末那末 无论服从什么分布，都有无论服从什么分布，都有XXXXn12,E XE X()()niiXnX11nXDXD)()( ,（四）正态总体的样本均值与样本方差的分布（四）正态总体的样本均值与样本方差的分布由此得到结论由此得到结论若总体若总体 ，则，则),(2NX),(2nNXXnN201/( , )定理定理1

16、 1 定理定理2 2 设总体设总体 , , 是是 的样本，的样本， 是样本均值是样本均值, , 是样本是样本方差，则方差，则（1 1）（2 2） 与与 独立独立证明从略证明从略XN( ,)2XXXn12,XXnXiin11SnXXiin22111()()()XXnSniin21222211XS2定理定理3 3XN( ,) 2设总体设总体, , 是是X XXn12,的样本，则的样本，则XXSntn21/()即即 证毕证毕证明证明 因为因为XnN201/( , )nSn11222()且两者相互独立，所以由定义有且两者相互独立，所以由定义有XnnSnt n222111()() ()XSnt n21/ ()设总体设总体 且且X X 与与Y Y 相互独立，相互独立，( )( )是是X X 的样本，的样本， ( )( )是是Y Y 的的样本样本, , 分别是两个样本的样本方差，分别是两个样本的样本方差， 分别是分别是两个样本的样本均值，则两个样本的样本均值，则 XXXn12,Y YYn12,SS1222,X Y,当当 时，时，定理定理4 4222211)1)2)2),(211NX),(221NY) 1, 1(2122212221nnFSSXYnSnSnnnnt nn()()() ()12112222121212112112 证明证明 由于由于 , , 因而因而X