数列与函数的关系

1、 数列与函数的关系数列与函数的关系如何理解这句话：1、若数列为无穷数列时，定义域为正整数集2、当数列为有穷数列时，定义域为形如1,2,3的集合1,2,3( )naf ny ffffff数列可以看成以正整数集N （或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，反过来对于函数 = (x)如果 (i)(i=1,2,3)有意义，那么我们可以得到一个数列 (1), (2), (3)(n)1(2)nnaan知识点一知识点一：概念间的关系（必修五P29）知识点二：数列的图象知识点二：数列的图象数列的图象是一列孤立的点，点的坐标的横坐标都是整数数列的图象是一列孤立的点，

2、点的坐标的横坐标都是整数知识点三：数列的单调性与最值知识点三：数列的单调性与最值解析解析1：若一个数列从第二项开始每一项都比前一：若一个数列从第二项开始每一项都比前一项大则此数列为递增数列，反之，若，项大则此数列为递增数列，反之，若， 则此函数为递减则此函数为递减数列数列1(2)nnaa n知识点三：数列的单调性与最值知识点三：数列的单调性与最值解析解析2：函数：函数y=f(x)为增函数，则其对应的数列为增函数，为增函数，则其对应的数列为增函数， 函数函数y=f(x)为减函数，则其对应的数列为减函数为减函数，则其对应的数列为减函数 但是，数列但是，数列 为递增数列其对应的函数不一定是增函数为递

3、增数列其对应的函数不一定是增函数( )naf n2111,000(1)()2221nadn+a -ddddn nddS = nadnann一、等差数列的单调性、等差数列的的通项公式可以变形为=故当时可看成是关于的一次函数，时数知识点四：等差数列与等比数列的列为递增数列时数列为递减数列2、等差数列的前n项和公式为可看出是关于n的不含常数项单调性的二次函数11111,10,(1),(2),00,(1),(2),0(1)111n1nx1nnaa =qqqaqqy=qqaqqaqqaqaaSqqq 二、等比数列的单调性1、等比数列的的通项公式为当0，时数列为摆动数列当 0且时可看成是一个指数型函数1数

4、列为递增数列1数列为递减数列1数列为递减数列1数列为递增数列2、等比数列的前知识点四：等差数列与等比数列n项的 调性为单和公式(1)nq q 也可看作关于n指数型函数典型例题例2 （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）下 面是关 于公差的等差数列的四个命题: （ ） 1:npa数列是递增数列；2:npna数列是递增数列；3:napn数 列是 递 增 数 列 ；4:3npand数列是递增数列；12342314.,.,.,.,A p pB ppC ppD p p A. . .nnaafn1,2,3nBCD例1、数列，是一个函数，则它的定义域为（ ）非负整数集正整数集正整数集或其子

5、集正整数集或例3.设 是公比为 的等比数列，则 是 为递增数列的（ ）A.充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件naq1q na 111d.0.0.0.0naana2A dB dC adD ad例4、设等差数列的公差为 ，若数列为递减数列，则（）例5（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题已知首项为 的等比数列不是递减数列, 其前n项和为 , 且 成等差数列. () 求数列的通项公式; () 设 , 求数列的最大项的值与最小项的值. 32(*)nS nN334455,Sa Sa Sa1(*)nnnTSnS N例6：已知数列 的通项公式

6、为 试问该数列有没有最大项？若有，求最大项的项数，若没有说明理由。 na10(1)() ()11nnannN1111111112391011121010910(2)()(1)()()11111111909090nnnnnnnnnnnnnnnnnnaannnaaaanaaaanaaaaaaaaaaa解：当时，即当时，即当时，即故，所以数列中最大项为9,10项。例7：已知数列 中若 求数列 中最大项和最小项的值若对任意 的都有 成立求的 取值范围 na11(,0)2(1)nanNaR aan 7a nanN8naaa*1234*56754111(,0),2(1)171.291( )291;1().

7、2,0.nnnnanNaRaanaanf xnaaaaaaaanNaaa 解：（）且，结合函数的单调性。可知数列中的最大项为最小项为*6112211+.22(1)2,12( )1+22256108.2nnaaannnNaaf xaxaa （ ）对任意的都有成立，并结合函数的单调性，例8：设等差数列 的前n项和为 ，若求 最小值及此时n的值求n的取值集合,使 nanS120090,0aSnSnnaS 21( )()812,xnnnnf xababPQf xalog f nnSanS已知函数， 为常数 的图象经过点（1，）和（4,8）求函数的解析式；记是正整数， 是数列的前 项和，求的最小值。 52422n 1nn1( ,111( )4 (4)832324842logn log 2n532aa2 n152n5 2;a32xx