相似三角形三点定形证明(带答案)

1、相似三角形证明方法方法一：直接寻求相似三角形只要根据题目给定的条件寻找出线段成比例，或者角相等利用判定定理直接找出来.例1、如图：点G在平行四边形 ABCD的边DC的延长线上，AG交BC BD于点E、F,则 AGDs匕 EGC分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形， 利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系 列相等的角。本例除公共角/ G外，由BC/ AD可得/ 1 = /2,所以 AGDsEGG 再/ 1=7 2 （对顶角），由 AB/ DG 可得/ 4=/G,所以 EG3 EAR评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。（2

2、）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。例2、已知 ABC中，AB=AC, / A=36° , BD是角平分线,求证： AB8 BCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然/C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：A=36° , ABC是等腰三角形，/ ABC=Z C=72°又 BD 平分/ ABC,贝U/ DBC=36°在 ABC和ABCD中，/ C为公共角，/ A=/DBC=36° .ABCABCD方法二：利用中间线段代换当要证明的结论中的一条线

3、段与其他线段之间的关系难以确定时我们可以利用等线段代换，从而容易找到相应的关系。例1、4ABC中，在AC上截取AD,在CB延长线上截取 BE,使AD=BE,求证：DF?AC=BC?FEDF: FE=BC AC,再利用相似三角形或平例2:已知：如图，在 4ABC中，ZBAC=9C0,M是BC的中点,DMBC于点E,交BA的延分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及行线的性质进行证明：证明：过 D点作DK/ AB,交BC于K,1. DK/ AB,DF: FE=BK BE又,. AD=BE,DF: FE=BK AD,而 BK: AD=BC: AC即 DF: FE= BC AC,DF?AC=BC?

4、FEAE2 ME2MD长线于点Do求证：（1） MA2=MD?ME; （2） AD证明：（1） ./BAC=9C0, M 是 BC 的中点，MA=MC , /1 = /C,DM ± BC,Z C=Z D=90C- Z B,.1. / 1 = / D, - / 2=/ 2, .MAEAMDA,MA MEMD MA .MA2=MD?ME,(2) . MAEsMDA,AE MA AE ME一 ,ad md ad ma一 2一.AE MA c ME ME2-?ad2 md ma md评注：（1）通过一对相似三角形来证明比例线段， 是证比例线段的一种基本方法。本例 第（1）小题证明MA2=MD

5、?ME,经常可以把其中的 MA看作一对相似三角形的公共边，再 去寻觅与确定需证相似的三角形。（2）本例的关键是证明 MAEsMDA,这种具有特殊关系（有一个公共角和一条公 共边）的三角形的相似，在解题中应用很多，应从下面两个方面深刻理解：命题 1 如图，如果 /1 = /2,那么ABAACB AB2=AD?AC。命题 2 如图，如果 AB2=AD?aC,那么ABAACB, /1 = /2。例3:如图4ABC中，AD为中线，CF为任一直线， CF交AD于E,交AB于F,求证：AE:ED=2AF: FB。分析：图中没有现成的相似形， 也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相 似形。怎样

6、作？观察要证明的结论， 紧紧扣住结论中 “AEED1的特征，作DG/ BA交CF于G,2AF"Fb"AF 八，-相比较，显然问题转化为证1bf2一AE afAE得4AE匕ADEG, 一 一。与结论 一DE DGED-1DG FB。2证明：过D点作DG/ AB交FC于G则 AEM DEG （平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）AE AF一 一 （1）DE DGD为BC的中点，且DG/ BF.G为FC的中点1 _则DG为4CBF的中位线，DG -BF 2将（2）代入（1）得：AE AF 2AF”F 2评注：（1）为了得到比例式，通常用过一点作

7、某一直线的平行线的方法，在作平行线时必须注意紧扣与结论有关的线段。（2）在探索证题思路的过程中，我们可以采取做做比比，比比做做”的方法，即构造相似形，写出比例式时要始终注意待证结论中的有关线段，并及时与待证结论中的有关线段进行比较，以便确定下一步需要解决什么问题。方法三:证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”1 .横向定型法欲证些 BC,横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC ,三个字母找到一BE BF幕中4BEF的三个顶点.因止匕只需证AABC-AEBF .2 .纵向定型法欲证2B DE ,纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母 A, B , C恰为BC EF ABC的

8、顶点；右边的比两条线段是 DE和EF中的三个字母 D , E , F恰为 DEF的 三个顶点.因此只需证 ABCsDEF .3 .中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后， 再考虑运用三点定形法寻找相似三角形. 这种方法就是 等量代换法.在证明比例式时，常用到中间比.比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解.倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1,另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之.复合式的证明比较复杂

9、.通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明.【例题精讲】“三点定型”法一类：直接利用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定型”分析（第一种题型主要是通过观察就用三点定型中横向定形法找出对应线段成比例的） 例1,已知：/ ACB=90, CDL AB 求证：A（?=AD?ABAC AB 分析：要证 AC2=AD?AB,可先证 ,这时看等号的左边_A、C、D三点可确定一个AD AC三角形，而等号右边 A、C、B三点也可确定一个三角形， 即证 ACg ABC 都看上面的分子为 A、B、C及都看下 画的分母为A、C、D也可确定去证

10、 ACg AABQ例2,已知：等边三角形 ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交 AB、AC于M、N两点。求证：BP?PC=BMCN二类：当不能直接用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定形”时，如果有相等的线段 时，可用相等的线段去替换。例1, 已知；AD平分/ BAC EF垂直平分 AD与BC的延长线交于 F。求证：DF2=BF?CF分析：由已知可得 DF=AF,直接证 DU=BF?CF找不出相似三角形，可改证 AF2=BF?CF,一 一 AF CF即证，这时用“左看、右看”或“上看、下看”定出 abm cafBF AF例2,已知；在 RtABC中，/ A=90°,四边形

11、 DEF劭正方形。求证： EF2=BE?FC三类：既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量 来转化搭桥，充分体现了转化的思想在数学中的应用。例1,已知：梯形 ABCD中，AD/BC, AC与BD相交于。点，作BE/CD,交CA的延长线于点E.求证：OC2=OA.OECO,C,A,EOC思想，先证一OA样的方法确定证4OBOB，用“上看、下看”定出 OB6 ODC然后再证ODODOB9 ODCff 似即可。OE，用同OC分析：要证oc2=oa.oe,这时我们不论是“左看、右看”还是“上看、下看”都发现在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，怎么办呢？这时，我们

12、可以利用转化的数学例2,已知：BD、CE是4ABC的两个高，DGL BC,与CE交于F, GD的延长线与 BA的延长线交于H。求证：GD2=GF?GH一、等积式、比例式的证明：等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。例1、已知：如图， ABC中，/ ACB=9Q0, AB的垂直平分线交 AB于D,交BC延长线于F。求证：CD

13、2=DE- DF。（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似,则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线 或相似三角形。例2.如图，已知 ABC中，AB=AC, AD是BC边上的中线， CF/BA, BF交AD于P点，交AC于E点求证：BP2=PE PF。例3.如图，已知：在 ABC中，/BAC=900, ADdBC, E是AC的中点，ED交AB的延长线于 F求证:全等三角形证明方法中辅助线做法一、截长补短通过添加辅助线利用截长补短，从而达到改变线段之间的长短，达到构造全等三角形的条件1 .如图 1,在 ABC 中，Z ABC=60°

14、, AD、CE分别平分/ BAG / ACB.求证：AC=AE+CD分析：要证 AC=AE+CD AE、CD不在同一直线上.故在 AC上截取AF=AE)则只要证明CF=CD证明：在AC上截取AF=AE,连接OF. AD、CE分另1J平分/ BAC / ACB, Z ABC=60°.Z 1+7 2=60° , .4=Z6=Z 1 + 7 2=60° .显然， AE8AFO,/ 5=7 4=60° , / 7=180° (/ 4+/5) =60°在ADOC与FOC中，/ 6=/7=60° , /2=/3, OC=OC .DOX

15、AFOC, CF=CD . AC=AF+CF=AE+C D二、倍长中线（线段）造全等利用三角形的中位线，在很多题目中我们很能直接找出全等三角形，所以要通过画中位线可以很清楚的构造出来。2:如图， ABC中，E、F分别在 AB AC上，DE±DF, D是中点，试比较 BE+CF与EF的大小.解：延长FD于K,使得DK=DFDE± DF/ EDK=Z EDF=90o又 DK=DF ED为公共边EK=EF三、作平行线在遇到角平分线的时，可按照以下两种方式构造平行线，（1）过三角形的一个顶点作角平分线的平行线与另一边的延长线相交，（2）过三角形的一个顶点作一边的平行线的角的平行线。

16、3.如图3,在等腰 ABC中，AB=AC,在AB上截取BD,在AC延长线上截取 CE,且使 CE=BD连接 DE交BC于F.求证：DF=EF证明：作DH/AE交BC于H.DHB=Z ACB, , AB=AC, .B=Z ACB，/DHB=/ B, DH=BD CE=BD DH= CE又 DH/I AE, / HDF=Z E DFH=Z EFC (对顶角) . DFH EFC (AAS). . DF=EF四、补全图形,BD为/ABC的平分线.若 A点到直线BD4.如图 4,在 ABC中，AC=BC / B=90 的距离AD为a,求BE的长.证明：延长AD、BC相交于F.由BD为/ABC的平分线，BDXAF.易证 ADBA FDB ，FD= AD=a AF=2a/ F=Z BAD又/ BAD+Z ABD=90° , / F+Z FAC=90 ./ ABD=/ FAC BD 为/ ABC