构成空间几何体的基本元素

1、1.1.1构成空间几何体的基本元素构成空间几何体的基本元素在在巴黎圣母院巴黎圣母院中，加西莫多有着丑到中，加西莫多有着丑到极点的相貌：极点的相貌：几何形几何形的脸，的脸，四面体四面体的鼻子，的鼻子，马蹄形马蹄形的嘴，参差不齐的牙齿，独眼，耳的嘴，参差不齐的牙齿，独眼，耳聋，驼背聋，驼背似乎上帝将所有的不幸都降似乎上帝将所有的不幸都降临在了他的身上。雨果用极其夸张的手法临在了他的身上。雨果用极其夸张的手法把一个世界文学中外貌最丑的人物形象生把一个世界文学中外貌最丑的人物形象生动地展现在了读者的面前。动地展现在了读者的面前。 他，有着一张梨形的脸，中部深嵌着他，有着一张梨形的脸，中部深嵌着两颗三角

2、形的眼，半个圆锥似的鼻子倒扣两颗三角形的眼，半个圆锥似的鼻子倒扣在两眼之间，鼻孔像两个深挖过的球，厚在两眼之间，鼻孔像两个深挖过的球，厚厚的嘴唇紧合着绝对是一个撑开的梯形，厚的嘴唇紧合着绝对是一个撑开的梯形，或者就是马鞍或者就是马鞍“主体造型如倒置的梯形，以几何构成的主体造型如倒置的梯形，以几何构成的手法将梁、枋、檩等长方形为主的造型单手法将梁、枋、檩等长方形为主的造型单位巧妙地经纬交织，叠加组合。建筑语言位巧妙地经纬交织，叠加组合。建筑语言简练直率，对称均衡，简约笔直的外轮廓简练直率，对称均衡，简约笔直的外轮廓呈现出平衡与稳重感，充分体现了现代建呈现出平衡与稳重感，充分体现了现代建筑的结构美

3、，形式感得以强化。筑的结构美，形式感得以强化。”立体几何初步立体几何初步空间几何的分类及特征空间几何的分类及特征空间几何的度量空间几何的度量构成元素间的位置关系构成元素间的位置关系本章主要研究的内容本章主要研究的内容立体几何初步立体几何初步空间想象能力空间想象能力运用三种语言的转化进行严运用三种语言的转化进行严密逻辑（演绎）推理密逻辑（演绎）推理本章主要形成的能力本章主要形成的能力 一切物体都占据着空间的一部分，如果只考虑一切物体都占据着空间的一部分，如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这个空间部分叫做空间几何体。这个空间部分叫做空间几何体

4、。(含内部）含内部）一、空间几何体一、空间几何体二、构成空间几何体的基本元素二、构成空间几何体的基本元素长方体的面长方体的面长方体的棱长方体的棱长方体的顶点长方体的顶点通过观察发现：通过观察发现：构成长方体的基本元素是点、线、构成长方体的基本元素是点、线、面面. 1长方体由六个矩形（包括它的内部）长方体由六个矩形（包括它的内部）围成；围成； 2围成长方体的各个矩形，叫做长方围成长方体的各个矩形，叫做长方体的体的面面； 3相邻的两个面的公共边，叫做长方相邻的两个面的公共边，叫做长方体的体的棱棱； 4棱和棱的公共点，叫做长方体的棱和棱的公共点，叫做长方体的顶顶点点； 5长方体共有长方体共有( 8个

5、顶点，个顶点，12条棱，条棱，6个面；个面；三三. 平面平面 1平面的概念：平面是处处平直的面，平面的概念：平面是处处平直的面，这是一个原始的描述性的概念。这是一个原始的描述性的概念。 平面是平面是无限延展的。无限延展的。 A B C D 2平面的表示法平面的表示法（1）图形表示：通常用一个）图形表示：通常用一个平行四边形平行四边形表示一个平面；表示一个平面；（2）符号表示：平面一般用一个小写的）符号表示：平面一般用一个小写的希腊字母表示，如希腊字母表示，如平面平面、平面平面、平面平面 等，等， 还可以用表示它的平行四边形的对角还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来表示，如顶点的字母来表

6、示，如平面平面ABCD 或或平平面面AC等。等。点、直线、平面的特征及表示方法点、直线、平面的特征及表示方法名称特征图形表示符号表示点直线平面 无大小无大小无粗细、无粗细、无限延伸无限延伸A BlABCDA点点A面面面面ABCD或面或面ACl直线直线AB直线直线 处处平直、处处平直、无厚度、无厚度、无限延伸无限延伸四四. 空间图形间的基本关系空间图形间的基本关系 用用运动运动的观点来看：的观点来看：（1）点动成线点动成线：把线看成是点运动的轨：把线看成是点运动的轨迹迹! 如果点运动的方向始终不变，那么它如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹是一条直线或线段，如果点运动的轨迹是一条直线或线段，如

7、果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段。条曲线或曲线的一段。（2）线动成面线动成面：直线平行移动，可以：直线平行移动，可以形成平面或曲面；直线绕定点转动，可形成平面或曲面；直线绕定点转动，可以形成锥面。以形成锥面。（3）面动成体面动成体：面运动的轨迹（经过：面运动的轨迹（经过的空间部分）可以形成一个几何体。的空间部分）可以形成一个几何体。五五. 长方体的表示长方体的表示 （1）如图中的长方体（水平放置），通）如图中的长方体（水平放置），通常记作常记作ABCDA1B1C1D1. D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A（2）这个长方体

8、，可看成是矩形）这个长方体，可看成是矩形ABCD 上各点沿上各点沿铅垂线向上移动铅垂线向上移动相同距离到矩相同距离到矩形形A1B1C1D1所形成的几何体。所形成的几何体。长方体对角线的一个长方体对角线的一个性质性质：长方体的一条长方体的一条对角线的长的平方对角线的长的平方等于一等于一个顶点上的三条棱的长的平方和。个顶点上的三条棱的长的平方和。即即 BD12=BA2+BC2+BB12 。六：相关概念六：相关概念 1异面直线异面直线： 不在同一平面内，既不相交又不平行的不在同一平面内，既不相交又不平行的两条直线叫做异面直线。如长方体两条直线叫做异面直线。如长方体ABCDA1B1C1D1中的边中的边

9、AA1和边和边BC所在的直线。所在的直线。 由此我们可以知道，空间的任意两条直由此我们可以知道，空间的任意两条直线的位置关系有三种：相交线的位置关系有三种：相交,平行和异面。平行和异面。D1C1B1A1DCBA长方体中的异面直线长方体中的异面直线ba 异面直线异面直线a，b2直线和平面平行直线和平面平行：如果直线和平面没有公共点，我们就说直如果直线和平面没有公共点，我们就说直线和平面平行。线和平面平行。如直线如直线A1B1平行于平面平行于平面ABCD。记作记作A1B1/平面平面ABCD.3直线与平面垂直：直线与平面垂直：观察直线观察直线AA1和平面和平面ABCD，我们看到直，我们看到直线线AA

10、1和平面内的两条相交直和平面内的两条相交直AB、AD 都都垂直，容易想象，当直线垂直，容易想象，当直线AD在平面在平面AC内内绕点绕点A旋转到任何位置时，都会和旋转到任何位置时，都会和AA1垂垂直。直。 这时我们说直线这时我们说直线AA1与平面与平面AC垂直，垂直，A为垂足，为垂足，记作直线记作直线AA1平面平面AC，直线，直线AA1称作平称作平面面AC的垂线。的垂线。4点到平面的距离点到平面的距离：容易验证，线段容易验证，线段AA1为点为点A1与平面与平面AC内的内的点所连线段中最短的一条。点所连线段中最短的一条。 线段线段AA1的长的长称作点称作点A1到平面到平面AC的距离。的距离。5两个

11、平面互相垂直两个平面互相垂直：如果两个平面相交，：如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的垂线，并且其中一个平面通过另一个平面的垂线，这时，我们说两平面互相垂直。这时，我们说两平面互相垂直。 如平面如平面ABB1A1平面平面ABCD。6两个平面互相平行两个平面互相平行：如果两个平面没：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行。有公共点，则说这两个平面互相平行。如平面如平面ABCD平行平面平行平面A1B1C1D1，可以记，可以记作作“平面平面ABCD/平面平面A1B1C1D1. 以上概念只要求在形象感觉的基础上以上概念只要求在形象感觉的基础上理解即可，在后面的各个小节中还会具体理

12、解即可，在后面的各个小节中还会具体地进行研究和学习地进行研究和学习.例例1下列不属于构成几何体的基本元素下列不属于构成几何体的基本元素的是（的是（ ） （A）点）点 （B）线段）线段 （C）曲面）曲面 （D）多边形（不含内部的点）多边形（不含内部的点）D解：由于一个几何体是由点、线、面组成解：由于一个几何体是由点、线、面组成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，故而只有曲面之分，故而只有D不属于构成几何体不属于构成几何体的基本元素。的基本元素。例例2下面说法中正确的是（下面说法中正确的是（ ）（A）任何一个平面图形都是一个平面）任何一个平面图形都是一

13、个平面 （B）平静的太平洋面是平面）平静的太平洋面是平面 （C）平面就是平行四边形）平面就是平行四边形（D）平面多边形和圆、椭圆都可以表示）平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面一个平面 D解：解：A不正确；平面图形是有大小的，不不正确；平面图形是有大小的，不可以无限延展的，它只是平面的一部分；可以无限延展的，它只是平面的一部分；B不正确；太平洋面即使再平静也不是平不正确；太平洋面即使再平静也不是平的（因为地球是圆的），更不可能是无限的（因为地球是圆的），更不可能是无限延展的；延展的；C不正确；不正确； 平面是无限延展的，我们仅仅平面是无限延展的，我们仅仅是用平行四边形来表示平面；是用平行四边

14、形来表示平面；D正确；正确； 它符合平面表示方法的规定。它符合平面表示方法的规定。例例3在空间中，下列说法正确的是（在空间中，下列说法正确的是（ ）（A）一个点运动形成直线）一个点运动形成直线 （B）直线平行移动形成平面或曲面）直线平行移动形成平面或曲面 （C）直线绕定点运动形成锥面）直线绕定点运动形成锥面 （D）矩形上各点沿同一方向移动形成长方）矩形上各点沿同一方向移动形成长方体体B解：解：A错误，一个点运动形成线，错误，一个点运动形成线， 若运若运动方向保持不变则形成直线，运动方向动方向保持不变则形成直线，运动方向发生变化则形成曲线；发生变化则形成曲线；C错误，直线绕定点转动形成锥面，而不

15、错误，直线绕定点转动形成锥面，而不是直线绕定点是直线绕定点“ 运动运动”形成锥面；形成锥面；D错误，矩形上各点沿同一方向移动，错误，矩形上各点沿同一方向移动，没有具体说明移动的具体方向及移动的没有具体说明移动的具体方向及移动的距离的大小，故而不一定形成长方体。距离的大小，故而不一定形成长方体。 故选故选B例例4下列关于长方体的说法中，正确的下列关于长方体的说法中，正确的是是 。（1）长方体是由六个平面围成的几何体；）长方体是由六个平面围成的几何体；（2）长方体可以看作一个水平放置的矩）长方体可以看作一个水平放置的矩形形ABCD上各点沿铅垂方向向上移动相同上各点沿铅垂方向向上移动相同的距离到矩形

16、的距离到矩形A1B1C1D1所形成的几何体；所形成的几何体；（3）长方体一个面上任一点到对面的距）长方体一个面上任一点到对面的距离相等。离相等。(2)、(3)解：（解：（1）不正确；）不正确； 因为长方体是由六个因为长方体是由六个矩形（包括它的内部）围成的，注意矩形（包括它的内部）围成的，注意“ 平面平面”与与“矩形矩形”的本质区别；的本质区别；（2）、（）、（3）正确。）正确。例例5 用一个平面去截一个正方体，截面用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是边数最多是 条。条。6例例6 有一种骰子，每一面上都有一个英有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，下图是从文字母，下图是从3个不同的角度看同

17、粒个不同的角度看同粒骰子的情形，则骰子的情形，则H对面的字母是对面的字母是 。 O练习题：练习题：1以下结论不正确的是（以下结论不正确的是（ ）（A）平面上一定有直线）平面上一定有直线 （B）平面上一定有曲线）平面上一定有曲线 （C）曲面上一定无直线）曲面上一定无直线 （D）曲面上一定有曲线）曲面上一定有曲线C2. 有以下结论：平面是处处平直的面；有以下结论：平面是处处平直的面； 平面是无限延展的；平面是无限延展的； 平面的形状是平面的形状是平行四边形；平行四边形； 一个平面的厚度可以为一个平面的厚度可以为0.01mm。其中正确的结论的个数是。其中正确的结论的个数是（ ） （A）1个个 （B）2个个 （C）3个个 （D）4个个B3一条直线平行移动，生成的面一定一条直