合工大静止电荷的电场

1、7-1 物质的电结构物质的电结构 库仑定律库仑定律7-2 静电场静电场 电场强度电场强度7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理7-4 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势7-5 电场强度与电势梯度的关系电场强度与电势梯度的关系7-6 静电场中的导体静电场中的导体7-7 电容器的电容电容器的电容7-8 静电场中的电介质静电场中的电介质7-9 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移7-10 静电场的能量静电场的能量第七章第七章 静止电荷的电场静止电荷的电场7-1 物质的电结构物质的电结构 库仑定律库仑定律一、电荷一、电荷最初对电的认识：摩擦起电和雷电最初对电的认识：摩擦起电

2、和雷电两种电荷（两种电荷（charge）：正电荷和负电荷）：正电荷和负电荷电性力：同号相斥、异号相吸电性力：同号相斥、异号相吸电荷量电荷量(electric quantity)：物体带电：物体带电的多少。的多少。 在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论进在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论进行怎样的物理过程，系统内正、负电荷量的代数和行怎样的物理过程，系统内正、负电荷量的代数和总是保持不变。总是保持不变。 二、电荷守恒定律二、电荷守恒定律HeThU422349023892ee放射性衰变过程：放射性衰变过程：电子偶的产生和湮没：电子偶的产生和湮没：2ee（重核附近）（重核附近） 电荷的相对论不

3、变性。电荷的相对论不变性。起电机起电机三、电荷的量子化三、电荷的量子化夸克夸克（Quark）模型与分数电荷：）模型与分数电荷：ee31:bs,d,32: tc,u, 1913年，密立根进行液滴实验，证明了微小油滴年，密立根进行液滴实验，证明了微小油滴所带电荷量的变化不连续，即为元电荷所带电荷量的变化不连续，即为元电荷e的整数倍。的整数倍。 当物体所带电荷量较多时，如宏观带电体，电荷量当物体所带电荷量较多时，如宏观带电体，电荷量可以按连续量处理。可以按连续量处理。密立根密立根Robert Andrews Millikan Robert Andrews Millikan 1868-19531868

4、-1953美国物理学家美国物理学家 191.602 10eC最小电量：最小电量：qne1, 2, 3,n 夸克理论夸克理论)du()du()uddn()uud(p)cc (/J 四、库仑定律四、库仑定律“点电荷点电荷”模型模型条件：条件：当带电体的大小和形状可以忽略时。当带电体的大小和形状可以忽略时。. Plrlr(a). Pr(b) 对于有限分布带电体，可以看作无限对于有限分布带电体，可以看作无限多点电荷的集合。多点电荷的集合。讨论讨论库仑生平库仑生平库仑库仑(Charles-Augustin (Charles-Augustin de Coulomb,1736de Coulomb,17361

5、806)1806)法国工程师、物理学家。法国工程师、物理学家。17361736年年6 6月月1414日生于法国昂日生于法国昂古莱姆。就读于美西也尔古莱姆。就读于美西也尔工程学校，后进入皇家军工程学校，后进入皇家军事工程队当工程师。事工程队当工程师。 1773 1773年发表有关材料强度年发表有关材料强度的论文。的论文。17771777年开始研究静电年开始研究静电和磁力问题，发明扭秤。和磁力问题，发明扭秤。 17791779年对摩擦力进行分析，提年对摩擦力进行分析，提出有关润滑剂的科学理论。出有关润滑剂的科学理论。1785-17891785-1789年，用扭秤测量静年，用扭秤测量静电力和磁力，导

6、出著名的库仑电力和磁力，导出著名的库仑定律。定律。科学成就科学成就 123211222112rrqqkerqqkFr真空介电常量真空介电常量0 = 8.8510-12 C2 N-1m-2 库仑定律：库仑定律：真空中两个静止点电荷相互作用力（真空中两个静止点电荷相互作用力（静静电力电力）的大小与这两个点电荷所带电荷量）的大小与这两个点电荷所带电荷量q1和和q2的乘的乘积成正比，与它们之间的距离积成正比，与它们之间的距离r 的平方成反比。作用的平方成反比。作用力的方向沿它们的连线方向，同号相斥，异号相吸。力的方向沿它们的连线方向，同号相斥，异号相吸。q1q212F12r21F2290/CmN109

7、41k12321012221021124141rrqqerqqFFr3. 静电力叠加原理静电力叠加原理 设有设有n个点电荷组成的点电荷系，点电荷个点电荷组成的点电荷系，点电荷q受到其他点电荷受到其他点电荷iq作用的总静电力为作用的总静电力为 iiiiiirrqqFF3041iqqirm1010:715r讨论讨论1. 适用于点电荷，适用于点电荷，2. 距离平方反比关系，指数距离平方反比关系，指数2的误差的误差l303044ypyqlEB304ypEB中垂线上任一点中垂线上任一点:3. 电荷连续分布带电体的电场强度电荷连续分布带电体的电场强度rerqE204dd电荷元电荷元dq在在P点的电场强度：

8、点的电场强度：带电体在带电体在P点的电场强度：点的电场强度：rerqEE204dd线电荷：线电荷： dq =dl面电荷：面电荷：dq=dS体电荷：体电荷：dq =dVPrEdqPsdEdrqldEdrP例：求一均匀带电直线在例：求一均匀带电直线在P P点的电场。点的电场。 解：解：建立直角坐标系建立直角坐标系 取线元取线元 dx 带电带电dqdx2014dxdEr201cos4xdxdEr201sin4ydxdEr201cos4xEdxr201sin4yEdxr将将投影到坐标轴上投影到坐标轴上dE xdxyPEd21arxo o 积分变量代换积分变量代换/sinraxactg 2cscdxad

9、 代入积分表达式代入积分表达式212220coscsc4cscxEada 21dcos40a)sin(sin4120a 同理可算出同理可算出)cos(cos4210aEyxdxyPEd21arxo o当直线长度当直线长度无限长均匀带电直线的场强：无限长均匀带电直线的场强：讨论：讨论：120(coscos)4yEa210(sinsin)4xEa0 xEaaEy0022402yEEaL012xqyxzoPRr2014 dldErrlqdd) 2(Rq 例例：求一均匀带电圆环轴线上任一点求一均匀带电圆环轴线上任一点x x处的电场。处的电场。解：解：xqyxzoRrlqdd2014 dldErrP)

10、2(Rqdd cosxllEEE204dlrxr23004Rx dlr223 204()qxxR223 204()qxExRxqyxzoRrlqddPE讨论讨论Rx（1 1）20 4xqE（点电荷电场强度）（点电荷电场强度）0,00Ex（2 2）RxxE22,0dd（3 3）R22R22Eox23220)( 4 RxxqE20 RqEdRRqd2d例：均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度例：均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度. . 有一半径为有一半径为 , ,电荷均匀分布的薄圆盘电荷均匀分布的薄圆盘, ,其电荷面其电荷面密度为密度为 。求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点。求通过盘心且垂直盘面的轴线上任

11、意一点处的电场强度。处的电场强度。0RxPRRd2/122)(Rx 23220)( 4 ddRxxqEx23220)(d2RxRxRxyzo0R解：解：由上例由上例xEEd2200(1-)2xExR0RxyzoEdRPRd002/3220)(d2RRxRRx23220)(d2dRxRxREx0Rx 02E0Rx 204xqE（点电荷电场强度）（点电荷电场强度）讨讨 论论22021220211)1 (xRxR无限大均匀带电无限大均匀带电平面的电场强度平面的电场强度2200(1)2xExR四、电场线四、电场线 电场强度通量电场强度通量电场线：电场线： 描述电场分布的一系列有向曲线。描述电场分布的一

12、系列有向曲线。SNEddE1. 曲线上每一点的曲线上每一点的切线方向切线方向表示该点电场强度表示该点电场强度 的方向的方向E2. 曲线的曲线的疏密疏密表示该点处场强表示该点处场强 的的大小大小。即：。即：通过垂直单位面积的电场线条数，在数值上就通过垂直单位面积的电场线条数，在数值上就等于该点处电场强度的大小等于该点处电场强度的大小ESd几种常见的电场线：几种常见的电场线：静电场中电场线的特点：静电场中电场线的特点：3. 电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱。电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱。1. 电场线起始于正电荷，终止于负电荷。电场线起始于正电荷，终止于负电荷。2. 电场线不闭合，不

13、相交。电场线不闭合，不相交。注意注意: 电场线并不是实际存在的电场线并不是实际存在的, 只是形象描述电场的几何方法。只是形象描述电场的几何方法。电场强度通量电场强度通量 E ：通过电场中任一曲面的电场线条数。通过电场中任一曲面的电场线条数。1. 均匀电场中通过平面均匀电场中通过平面S的电场强度通量的电场强度通量ESESEESEcos2.非均匀电场的电场强度通量非均匀电场的电场强度通量SESEEddcosdSSESESEddcosSEEdd的正、负取决于面的正、负取决于面元的法线方向与电元的法线方向与电场强度方向的关系场强度方向的关系SdE如图所示：如图所示：0d SE若面元法向相反：若面元法向

14、相反：0dSEdS对闭合曲面的电通量：对闭合曲面的电通量：SSESESEdcosd规定闭合曲面以外法线方向为正规定闭合曲面以外法线方向为正（1）当）当 90时：时： 电场线穿入闭合曲面，电场线穿入闭合曲面，对电场强度对电场强度通量的贡献通量的贡献为负为负（3）当）当 = 90时：时： 电场线与曲面相切，电场线与曲面相切，对电场强度对电场强度通量的贡献通量的贡献为零为零Sne高高 斯斯Carl Friedrich Carl Friedrich Gauss Gauss 德国德国1777177718551855数学家、天文学家数学家、天文学家物理学家物理学家 1795 179517981798年在哥

15、廷根大学学习年在哥廷根大学学习 一生中共发表一生中共发表323323篇（种）著作；篇（种）著作；提出提出404404项科学创见（发表项科学创见（发表178178项）；完成项）；完成4 4项意义重大的发明：项意义重大的发明：（日光）、回照器（日光）、回照器(1820)(1820)、光度、光度计计(1821)(1821)、电报、电报(1832)(1832)和磁强计和磁强计(1837)(1837)。 1799 1799年获得博士学位年获得博士学位 1807 1807年开始任哥廷根大学数年开始任哥廷根大学数学教授和天文台台长学教授和天文台台长高斯生平：高斯生平：7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理

16、 天文学和大地测量学。天文学和大地测量学。主要成就：主要成就： 物理学和地磁学。物理学和地磁学。 利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。像，建立高斯光学。 发展了概率统计理论和误差理论；发明最小二发展了概率统计理论和误差理论；发明最小二乘法；引入高斯误差曲线。纯数学方面对数论、乘法；引入高斯误差曲线。纯数学方面对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严格证明（如代数、几何学的若干基本定理作出严格证明（如自然数为素数乘积定理、二项式定理、散度定理自然数为素数乘积定理、二项式定理、散度定理等）。等）。 高斯高斯定理定理高斯定理的导出高斯

17、定理的导出库仑定律库仑定律电场强度叠加原理电场强度叠加原理高斯定理推导分三步高斯定理推导分三步： 点电荷在球形高斯面的圆心处点电荷在球形高斯面的圆心处 点电荷（系）在任意形状的高斯面内点电荷（系）在任意形状的高斯面内 点点电荷电荷q 在闭合曲面以外在闭合曲面以外一、静电场的高斯定理一、静电场的高斯定理请思考：请思考：1 1）高斯面上的高斯面上的 与那些电荷有关与那些电荷有关 ？ Es2 2）哪些电荷对闭合曲面哪些电荷对闭合曲面 的的 有贡献有贡献 ？e 点电荷在球形高斯面的圆心处点电荷在球形高斯面的圆心处204RqE球面场强：球面场强：204dd0cosdRSqSEE022020444dqRR

18、qRSqSES 点电荷（系）在任意形状的高斯面内点电荷（系）在任意形状的高斯面内 通过球面通过球面S 的电场线也必通的电场线也必通过任意曲面过任意曲面 S ，即它们的电场，即它们的电场强度通量相等，为强度通量相等，为 q / 0。+ +S0dqSESE SniiSESESE1ddniiq10 点电荷点电荷q 在闭合曲面以外在闭合曲面以外 穿进曲面的电场线条数等穿进曲面的电场线条数等于穿出曲面的电场线条数。于穿出曲面的电场线条数。0dSESE高斯定理：高斯定理： 静电场中，通过任一闭合曲面的电场强度通量等静电场中，通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷量的代数和的于该曲面所包围

19、的所有电荷量的代数和的1/ 0倍。倍。niiSqSE101d内内VSVSEd1d02. 闭合面内、外电荷对闭合面内、外电荷对 都有贡献，都有贡献，但但对电场强度通量的贡献有差别。对电场强度通量的贡献有差别。只有闭合面内的电荷对电场强度通量有贡献只有闭合面内的电荷对电场强度通量有贡献! !+2q+q+q+2q-2q 1. 物理意义：物理意义： 静电场是有源场静电场是有源场!niiSEqSE101d内讨论讨论E1S2S3Sqq1e10dSqES02e03eq 在点电荷在点电荷 和和 的静电场中，做如下的三个的静电场中，做如下的三个闭合面闭合面 求求通过各闭合面的电通量。通过各闭合面的电通量。,32

20、1SSSqq讨论讨论 将将 从从 移到移到 点点 点点电场强度是否变化电场强度是否变化？穿过高穿过高斯面斯面 的的 有否变化有否变化？2qABePs2q2qABs1qP*二、高斯定理的应用二、高斯定理的应用从从对称对称的源电荷分布求场强分布的源电荷分布求场强分布0diSEqSE 常见的高对称电荷分布有常见的高对称电荷分布有 （1）球对称性球对称性：均匀带电的球体、球面和点电荷。：均匀带电的球体、球面和点电荷。（2）柱对称性柱对称性：均匀带电的无限长的柱体、柱面：均匀带电的无限长的柱体、柱面和带电直线。和带电直线。（3）平面对称性平面对称性：均匀带电的无限大平板和平面。：均匀带电的无限大平板和平

21、面。带电体的电荷带电体的电荷(场强场强)分布要具有高度的分布要具有高度的对称性。对称性。2+OR例：均匀带电球壳的电场强度例：均匀带电球壳的电场强度1d0SES0E20dSQESr1S20 4rQE02 4QErr2s 一半径为一半径为 , 均匀带电均匀带电 的薄的薄球壳球壳 . 求球壳内外任意点的电场强求球壳内外任意点的电场强 度度.RQ20 4RQrRoE解（解（1）Rr 0Rr（2）电场分布也应有球对称性，方向沿径向。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为作同心且半径为r r的高斯面的高斯面24SE dSEr0q解：解：204qErRr例：均匀带电球体的电场。球半径为例：均匀

22、带电球体的电场。球半径为R R，球的介电，球的介电常数为常数为 ，体电荷密度为，体电荷密度为 ，总电量为，总电量为 Q Q 。0Rrr r R R 时，高斯面内电荷时，高斯面内电荷343qdVr03Err r R R 时，高斯面内电荷时，高斯面内电荷343qR32013REr302044QrrRREQrRr均匀带电球体的电场分布均匀带电球体的电场分布E EOrR03RRr（1 1），三个三个区域内的场强分布；区域内的场强分布；（2 2）若）若 时时情况如何？画出此情况情况如何？画出此情况的的r r曲线。曲线。21QQ思考题：思考题： 在半径为在半径为 和和 的两个同心球面上，分别的两个同心球面

23、上，分别均匀地分布着电荷均匀地分布着电荷 和和 ，求：求： 1R2R1Q2Q1R2R+oxyz例：无限长均匀带电直线的电场强度例：无限长均匀带电直线的电场强度( ssE dSE dS上底）下底）选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为电荷线密度为 ，求距直线为，求距直线为 处的电场强度处的电场强度. .r对称性分析：对称性分析：轴对称轴对称解解h(dSsESE dS柱面）(dsES柱面）neneneE+r0h02Er02hrhE(ddSsESE S柱面）+oxyzhneE+rrOE 无限长均匀带电柱面

24、的电场分布无限长均匀带电柱面的电场分布002rRErRr: : 视为视为无限长均匀带电直无限长均匀带电直线的集合；线的集合；rddEEo选同轴圆柱型选同轴圆柱型；PEddEEORr 求无限长、求无限长、 均匀带电柱体的电场分布时，高斯面均匀带电柱体的电场分布时，高斯面如何选取？结果如何？如何选取？结果如何？高高斯斯面面lr高高斯斯面面lr 当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时，能当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时，能否用高斯定理求电场分布？否用高斯定理求电场分布？+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

25、 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 例：无限大均匀带电平面的电场强度例：无限大均匀带电平面的电场强度 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为荷面密度为 ，求距平面为，求距平面为 处的电场强度处的电场强度. .r选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面02E对称性分析：对称性分析： 垂直平面垂直平面E解解0dSSES底面积底面积+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

26、 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + SEESSS20SE 02EEEEEEO)0(x000000讨讨 论论无无限限大大带带电电平平面面的的电电场场叠叠加加问问题题7-4 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势一、静电场力做功一、静电场力做功qq0bardr ldEr lEqlEqAdcosdd00204rqErrqqlrqqAd4dcos4d200200barrabrrqqrrqqAba114d4002001. 点电荷的静电场中点电荷的静电场中 点电荷场力做功与具体路径无关！点电荷场力做功与具体路径无关！2. 一般一般电荷分

27、布电荷分布的静电场中的静电场中baablEqAd)(0baiilEqd)(0ibailEqd)(0因因 与路径无关，则与路径无关，则 Aab 与路径无关！与路径无关！bailEqd)(0 试验电荷在静电场中移动时，电场力所做的功只试验电荷在静电场中移动时，电场力所做的功只与试验电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无与试验电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无关，关，即静电场力是保守力。即静电场力是保守力。0d0llEqA保守力做功的特点：保守力做功的特点：0d0llEqA0d llE00q静电场中电场强度静电场中电场强度 的环流为零的环流为零, 称称静电场的环流定理。静电场的环流定理。E静电场

28、为有源无旋保守力场。静电场为有源无旋保守力场。高斯定理和环路定理是静电场的基本方程；高斯定理和环路定理是静电场的基本方程；讨论讨论二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理E12AB三、电势三、电势静电场力是静电场力是保守力，静保守力，静电场是电场是保守场保守场. .静电场力所做静电场力所做的功就等于电荷的功就等于电荷电势能增量电势能增量的的负值负值. .0()BABBAAAq E dlWW ABA0,BAWW0,BAWW电势能的大小是相对的，电势能的差是绝对的电势能的大小是相对的，电势能的差是绝对的. .令令0BW 0BAAWq E dl 试验电荷试验电荷 在电场中某点的电势能，在数值上在电场

29、中某点的电势能，在数值上就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功. .0q0BW （）00()BBAAWWE dlqq ( (积分大小与积分大小与 无关无关) )0q电势电势E0qABBABAVE dlV0AAWVq点电势点电势A0BBWVq点电势点电势B0()BBAAq E dlWW 0BAAWq E dl（ 为为参考电势参考电势，值任选），值任选）BV令令0BVBAAVE dl 电势零点选择方法：电势零点选择方法：有限有限带电体以带电体以无穷远无穷远为电势零为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零点，实际问题中常选择地球电势为零. .dAAV

30、ElBABABAAUVVVE dl电势差电势差0VAAVE dl点 物理意义物理意义 把单位正试验电荷从点把单位正试验电荷从点 移到无穷远移到无穷远时，静电场力所作的功时，静电场力所作的功. . ABABAVE dlV( (将将单位正电荷单位正电荷从从 移到移到 电场力作的功电场力作的功.).)AB 电势差是电势差是绝对绝对的，与电势零点的选择的，与电势零点的选择无关无关；电势大小是电势大小是相对相对的，与电势零点的选择的，与电势零点的选择有关有关. .注意注意000ABABBAAqVqVqU 静电场力的功静电场力的功1911.602 10eVJ注：注：原子物理中原子物理中能量能量单位单位 单

31、位：单位：伏特伏特）（VBABABAUVVE dl电势差电势差四、电势的计算四、电势的计算 电势计算的电势计算的两种方法两种方法: :（一）已知电场强度分布（一）已知电场强度分布, 由由电势的定义电势的定义计算计算:0dPPPlEV积分路径可任意选取一个方便的路径。积分路径可任意选取一个方便的路径。（二）从点电荷的电势出发（二）从点电荷的电势出发, 应用应用电势叠加原理电势叠加原理计计算任何有限分布电荷系统的电势。算任何有限分布电荷系统的电势。1. 点电荷的电势点电荷的电势rPqErrqlEVrPPd4d20rqVP04点电荷的电势是球对称的，对称中心在点电荷处。点电荷的电势是球对称的，对称中

32、心在点电荷处。电势是标量，正负与电荷及电势零点选择有关。电势是标量，正负与电荷及电势零点选择有关。2. 点电荷系的电势点电荷系的电势qnq1q2q3Pr1r2r3rnE PiiPPlElEVddPnPPlElElEddd21电势叠加原理电势叠加原理iiinPrqVVVV02143. 连续分布电荷的电势连续分布电荷的电势rqVP04d4. 多个带电体的总电势多个带电体的总电势iiPVV例例 计算电偶极子电场中任一点的电势。计算电偶极子电场中任一点的电势。rqrqVP0044设电偶极子如图放置，电偶极设电偶极子如图放置，电偶极子的电场中任一点子的电场中任一点P的电势为的电势为cos2lrrcos2

33、lrr解解 ：302044cosrrprqlVP由于由于 r l，2200cos2cos41cos2cos241lrqllrqlrqVP例例 均匀带电圆环，电荷量为均匀带电圆环，电荷量为q，半径为，半径为a，求轴线，求轴线上任意一点的上任意一点的P电势。电势。解：解：laqlqd2ddrqV04ddPxxarrqrqVVLP0044dd2204axq解法一：解法一：解法二：解法二：23220)(41axqxExxPaxxxqlEV23220)(d4d2204axqPxxar例例 半径为半径为R的均匀带电球面，电荷量为的均匀带电球面，电荷量为q。求电势分。求电势分布。布。qRr解：解： 按高斯定

34、理可得场分布按高斯定理可得场分布)(0)(420RrRrerqErRRrrErEVdd211Rq04 r R时：时：rqrrqrEVrr020224d4d rR时：时：rVOR球内为等势区。球内为等势区。例例 设两球面同心放置，半径分别为设两球面同心放置，半径分别为R1和和R2 ，电荷分，电荷分别为别为q1、 q2，求其电势分布。，求其电势分布。解：解：按高斯定理可得电场强度分布按高斯定理可得电场强度分布2211ddd3211RRRRrrErErEV20210144RqRq r0dV0 等势面等势面 1 1 上上 P1 P1 点的单位法向矢量为点的单位法向矢量为 与等势面与等势面 2 2 正交

35、于正交于 P2 P2 点。点。 在等势面在等势面 2 2 任取一点任取一点 P3 P3 ，设设1213,p pdnp pdl则则cos,cosdVdVdndldldn7-5 电场强度与电势梯度的关系电场强度与电势梯度的关系V+dV1V2P1P2P3 定义电势梯度定义电势梯度dVgradVVndn u 方向与等势面垂直，并指方向与等势面垂直，并指向电势升高的方向。向电势升高的方向。u 其量值为该点电势增加率其量值为该点电势增加率的最大值。的最大值。EE n 场强也与等势面垂直，但指场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。向电势降低的方向。 电荷电荷 q q 从等势面从等势面 1 1 移动到等势

36、面移动到等势面 2 2，电场力做，电场力做功功dAqE dl 电场力做功等于电势能的减少量电场力做功等于电势能的减少量ddAqV dVEdn 1V2P1P2P3V+dVnEcosqE dlqE dn 方向方向 与与 相反，由相反，由高高电势处指向电势处指向低低电势电势nddVEn大小大小 写成矢量形式写成矢量形式dVEngradVVdn 在直角坐标系中在直角坐标系中()VVVEijkxyz 1V2P1P2P3 V+dVnE（电势负梯度）（电势负梯度） 电场线与等势面处处正交；电场线与等势面处处正交； 空间某点电场强度的大小取决于该点附近电势的空空间某点电场强度的大小取决于该点附近电势的空间变化

37、率；间变化率； 电场强度的方向恒指向电势降落的方向。电场强度的方向恒指向电势降落的方向。小结：小结： 等势面密处电场强度大，等势面疏处电场强度小；等势面密处电场强度大，等势面疏处电场强度小；实际问题中常常先由实验测得等势面分布，再通实际问题中常常先由实验测得等势面分布，再通过电场线与等势面的关系得出电场线分布。过电场线与等势面的关系得出电场线分布。作心电图时作心电图时人体的等势人体的等势面分布面分布电偶极子的电场线电偶极子的电场线和等势面和等势面 1 1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？ 2 2） 的地方，的地方， 吗吗 ？ 3 3） 相等的

38、地方，相等的地方， 一定相等吗？等势面上一定相等吗？等势面上 一定相等吗一定相等吗 ？0V0EVEE思考思考求求 的三种方法的三种方法E利用电场强度叠加原理利用电场强度叠加原理利用高斯定理利用高斯定理利用电势与电场强度的关系利用电势与电场强度的关系 场强与电势梯度的关系应用场强与电势梯度的关系应用电势叠加为标量叠加可先算出电势，再应用场强电势叠加为标量叠加可先算出电势，再应用场强与电势梯度的关系算出场强。与电势梯度的关系算出场强。电偶极子较远处的电场电偶极子较远处的电场均匀带电圆环轴线上的电场均匀带电圆环轴线上的电场均匀带电圆盘轴线上的电场均匀带电圆盘轴线上的电场例：求电偶极子电场中任意一点例

39、：求电偶极子电场中任意一点 的电势和电场强度。的电势和电场强度。Aqq0rrrxy解解Ar04rrqVVVr r 0rr0cosrrr2r rr 014qVr014qVr 04qVVVrrr r 0204cosqrr201cos4pr2014pVr2014pVr 0V 02qq0rrrxyAr201cos4pVrqq0rrrxyAr22 3/204()pxxyxVEx 22225/2024()pyxxy yVEy 22 5/2034()pxyxy22yxEEE22 1/22220(4)4()pxyxyqq0rrrxyAr22225/2024()xpyxExy 225/2034()ypxyExy

40、讨论讨论在在X X轴上，轴上，y = 0y = 0，则，则3024xPEx0yE与用叠加原理得到的结果一致与用叠加原理得到的结果一致304xPEy 0yE在在Y Y轴上，轴上，x = 0 x = 0，则，则3024pEx轴线上304pEy 中垂线上 例：求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度。例：求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度。 解解xqyxzoRrlqddPExVEEx22 1 204()qVxR223 204()qxxRVE22 1 204()qxxR 解：解：例：计算均匀带电圆盘轴线上的电场。例：计算均匀带电圆盘轴线上的电场。R Rxyxzor2dqrdr P22 1 204

41、()qdVxr22 1 202()rdrxr0RVdV22 1 2002()Rrdrxr220()2Rxx220()2VRxxxVEEx 220(1)2xRx与用叠加原理得到的结果一致与用叠加原理得到的结果一致当当R R时，时，02E即无穷大均匀带电平面的电场。即无穷大均匀带电平面的电场。R Rxyxzor2dqrdr P从电场力做从电场力做功引入电势功引入电势能、电势差、能、电势差、电势；环路电势；环路定理定理真空中静电场结构图真空中静电场结构图出发点：出发点：库仑定律库仑定律叠加原理叠加原理电场强度电场强度的计算的计算电势的计电势的计算算从受力引入从受力引入电场强度；电场强度；场强叠加原场

42、强叠加原理；理；高斯定高斯定理理电场电场强度强度与电与电势的势的关系关系电电场场强强度度的的计计算算101dniSiESq高斯定理：对称性电荷分布高斯定理：对称性电荷分布202020444lSVdlrrdsrrdVrr场场强强叠叠加加法法点电荷点电荷的电场的电场204qrr点电荷点电荷系的电系的电场场204iiiqrr 电荷连电荷连续分布续分布的情况的情况204dqrr电电势势的的计计算算000444lSVdlrdsrdVr点电荷的点电荷的电势电势04qr点电荷系点电荷系的电势的电势04iiqr 电荷连电荷连续分布的续分布的情况情况04dqr电电势势叠叠加加法法高斯高斯定理定理场强场强积分积分

43、法法0VAAVE dl点电场电场强度强度与电与电势的势的关系关系0VAAVE dl点VE101dniSiESq静电场的静电场的高斯定理高斯定理0dllE静电场的静电场的环路定理环路定理 记住一些典型的电荷分布的电场分布记住一些典型的电荷分布的电场分布 理论基础为静电场的高斯定理与环路定理理论基础为静电场的高斯定理与环路定理 静电场与物质的相互作用问题：静电场与物质的相互作用问题：（1）物质在静电场中要受到电场的作用，表现出）物质在静电场中要受到电场的作用，表现出宏观电学性质；宏观电学性质；（2）物质的电学行为也会影响电场分布，最后达）物质的电学行为也会影响电场分布，最后达到静电平衡状态。到静电

44、平衡状态。0d iiSqSE0d LlE7-6 静电场中的导体静电场中的导体 在外电场影响下，导体表面不同部在外电场影响下，导体表面不同部分出现正负电荷的现象。分出现正负电荷的现象。 感应电荷产生的附加电场与外加电感应电荷产生的附加电场与外加电场在导体内部相抵消。此时，导体内部和表面没有场在导体内部相抵消。此时，导体内部和表面没有电荷的宏观定向运动。电荷的宏观定向运动。一、导体的静电平衡一、导体的静电平衡静电感应现象：静电感应现象：静电平衡状态：静电平衡状态：EEE0i0感应电荷将影响外电场的分布感应电荷将影响外电场的分布 导体的静电平衡性质导体的静电平衡性质2. 导体内部的电场强度处处为零。

45、导体表面的电导体内部的电场强度处处为零。导体表面的电场强度垂直于导体的表面。场强度垂直于导体的表面。1. 导体内部和导体表面处处电势相等，整个导体是导体内部和导体表面处处电势相等，整个导体是个等势体，导体表面成为等势面。个等势体，导体表面成为等势面。 0d lE表面0gradVE二、静电平衡下导体上的电荷分布二、静电平衡下导体上的电荷分布1. 在静电平衡下，导体所带的电荷只能分布在导体在静电平衡下，导体所带的电荷只能分布在导体的外表面，导体内部没有净电荷。的外表面，导体内部没有净电荷。iSqSE01d00iqE2. 静电平衡下的孤立导体，其表面处电荷面密度静电平衡下的孤立导体，其表面处电荷面密

46、度 与该表面曲率有关，曲率（与该表面曲率有关，曲率（1/R）越大的地方电荷）越大的地方电荷面面密度也越大，曲率越小的地方电荷密度也越大，曲率越小的地方电荷面面密度也小。密度也小。当当表面凹进，曲率为负值时，电荷面密度更小。表面凹进，曲率为负值时，电荷面密度更小。 孤立的带电导体球、孤立的带电导体球、 长直圆柱、长直圆柱、 无限大平板表无限大平板表面电荷均匀分布。面电荷均匀分布。 特例：特例：相距很远的大小导体球用导线相连接相距很远的大小导体球用导线相连接电势相等：电势相等：rqRQ0044RrrqRQ2221/Q,R, 1q,r, 2+3. 处于静电平衡的导体，其表面上各点的电荷密度处于静电平

47、衡的导体，其表面上各点的电荷密度与表面邻近处场强的大小成正比。与表面邻近处场强的大小成正比。由高斯定理：由高斯定理：0dSSESES0En0eE21EEE来自电荷来自电荷 dS的贡献的贡献其他电荷贡献其他电荷贡献 尖端放电尖端放电 避雷针避雷针 电晕电晕 静电除尘静电除尘+-+-+ 导体与静电场相互作用问题计算基本原则导体与静电场相互作用问题计算基本原则0导体内部EqSES01d LlE0d iiq常量导体静电平衡的条件导体静电平衡的条件 静电场基本方程静电场基本方程电荷守恒定律电荷守恒定律例例7-19 两块大导体平板，面积为两块大导体平板，面积为S，分别带电荷，分别带电荷q1和和q2，两极板

48、间距远小于平板的线度。求平板各表面的电荷两极板间距远小于平板的线度。求平板各表面的电荷密度。密度。解：解： 2 3 4 1q1q2BA电荷守恒电荷守恒243121qSSqSS由静电平衡条件，导体板内由静电平衡条件，导体板内 E = 0 。02222022220403020104030201BAEESqq22141Sqq22132 2 3 4 1q1q2BA三、空腔导体内外的静电场与静电屏蔽三、空腔导体内外的静电场与静电屏蔽1. 空腔内无电荷空腔内无电荷 导体内部场强处处为零导体内部场强处处为零, 空空腔腔内场强处处为零。内场强处处为零。 导体壳与导体壳与空腔形成空腔形成等势区等势区。 空腔内表

49、面无电荷空腔内表面无电荷。 空腔导体外的电场由空腔导空腔导体外的电场由空腔导体外表面的电荷分布和其他带体外表面的电荷分布和其他带电体的电荷分布共同决定。电体的电荷分布共同决定。2. 空腔内有电荷空腔内有电荷q 导体内部场强处处为零。导体壳为等势体。导体内部场强处处为零。导体壳为等势体。 空腔内场强不再为零，空腔内不再为等势区。腔内空腔内场强不再为零，空腔内不再为等势区。腔内场强由腔内带电体和空腔内表面的电荷分布所决定，场强由腔内带电体和空腔内表面的电荷分布所决定，而与腔外（包括空腔外表面）电荷分布无关。而与腔外（包括空腔外表面）电荷分布无关。 电荷分布在导体内外两个表面，内表面感应电荷电荷分布

50、在导体内外两个表面，内表面感应电荷 - -q。外表面电荷分布与实心导体相同。外表面电荷分布与实心导体相同。（1）空腔导体起到屏）空腔导体起到屏蔽外电场的作用。蔽外电场的作用。根据导体空腔的电学性质；可以利用空腔导体对根据导体空腔的电学性质；可以利用空腔导体对腔内、外进行静电隔离。腔内、外进行静电隔离。-3.静电屏蔽静电屏蔽精密仪器精密仪器+实质是：导体外表面上的实质是：导体外表面上的感应电荷抵消外部带电体感应电荷抵消外部带电体在腔内空间激发的电场。在腔内空间激发的电场。（2）接地的空腔导体）接地的空腔导体可以屏蔽内、外电场的可以屏蔽内、外电场的影响。影响。-+ + + + +电器电器+实质是导

51、体内表面上的感实质是导体内表面上的感应电荷抵消内部带电体在应电荷抵消内部带电体在腔外空间激发的电场。腔外空间激发的电场。例例7-20 金属球金属球A与金属球壳与金属球壳B同心放置。同心放置。已知球已知球A半径半径为为R1，带电荷为，带电荷为q，金属壳，金属壳B内外半径分别为内外半径分别为R2，R3，带电荷为带电荷为Q。求。求：(1)系统的电荷分布；系统的电荷分布；(2)空间电势分空间电势分布及球布及球A和壳和壳B的电势；的电势；(3)若若B接地，结果又如何？接地，结果又如何？ABqQ解：解： （1）静电平衡时，）静电平衡时，导体（净）电导体（净）电荷只能分布在导体表面上。荷只能分布在导体表面上

52、。球球A的电荷只可能在球的表面。的电荷只可能在球的表面。壳壳B有两个表面，电荷分布在内、外有两个表面，电荷分布在内、外两个表面。两个表面。由于由于A、B对称中心重合，电荷及场对称中心重合，电荷及场分布应该对该中心是球分布应该对该中心是球对称。对称。 电荷在导体表面均匀分布电荷在导体表面均匀分布qQqq按照高斯定理和电荷守恒定律，按照高斯定理和电荷守恒定律，电荷分布如图所示。电荷分布如图所示。可以等效为真空中三个中心相可以等效为真空中三个中心相互重合的均匀带电球面。互重合的均匀带电球面。（2）利用叠加原理求电势）利用叠加原理求电势rqV0I4rq04rqQ04rqQ04qqqQ O1R2R3RI

53、IIABrqV0II423IIIBRrRrVVV204Rq304RqQ1IIARrVV304RqQ302010444RqQRqRq2010BA44RqRqVVqqqQ O1R2R3RIIIAB（3）若）若B接地，接地，球壳外表面的电荷将消失。球壳外表面的电荷将消失。04400IrqrqV200II44RqrqV2010IIA441RqRqVVRr03IBRrVVqq O1R2R3RIIIAB2010BA44RqRqVV思考：若思考：若A、B用导线连接，结果如何？用导线连接，结果如何？例例7-21 接地导体球附近有一点电荷接地导体球附近有一点电荷, ,如图所示，求导如图所示，求导体上感应电荷的电

54、荷量。体上感应电荷的电荷量。解：解：04400lqRQqlRQ接地接地 即即 V = 0设：感应电荷量为设：感应电荷量为Q，由于导体是个等势体由于导体是个等势体球心球心的电势为的电势为0，则则 qROlQ电荷量相同时不同形状和大小的孤立导体电势不同，电荷量相同时不同形状和大小的孤立导体电势不同，但是但是7-7 电容器的电容电容器的电容一、孤立导体的电容一、孤立导体的电容电容只与导体的几何因素（及周围介质）有关，反电容只与导体的几何因素（及周围介质）有关，反映导体带电多少的本领映导体带电多少的本领固有的容电本领固有的容电本领 SI：F(法拉法拉) )qV 孤立导体的电势与电荷量有关；孤立导体的电

55、势与电荷量有关；VqC 定义定义 孤立导体的电容孤立导体的电容 pF10F10F1126 真空中孤立导体球的电容真空中孤立导体球的电容RqV04VqC设导体球半径为设导体球半径为R，带电荷为，带电荷为q。导体球电势为导体球电势为 导体球电容为导体球电容为 R04对半径如地球一样的导体球，其电容为对半径如地球一样的导体球，其电容为 E0E4RCF1011. 74R二、电容器的电容二、电容器的电容ABBAVqVVqC定义：定义：一般情况下，导体并不是孤立的，而是多个导体一般情况下，导体并不是孤立的，而是多个导体组成的导体组组成的导体组电容器电容器基本单元：两导体组（基本单元：两导体组（A、B）电容

56、器）电容器) ,(ABVq 电容器电容只与导体组的几何构形（及周围空间电容器电容只与导体组的几何构形（及周围空间介质）有关，与带电多少无关。介质）有关，与带电多少无关。几种常见电容器几种常见电容器球形电容器球形电容器1R2RBA平板电容器平板电容器dSAB圆柱形电容器圆柱形电容器1R2RABl电容器的符号：电容器的符号：电容器电容的计算：电容器电容的计算： 先假设电容器带电先假设电容器带电 q，求出两个极板的电势，求出两个极板的电势差差 VAB，按定义求，按定义求电容电容C。1. 平板电容器平板电容器SqE00SqdEdlEVVd00BAd电容：电容：dSVVqC0BAdCSC1可变电容器可变

57、电容器RARBqq2. 球形电容器球形电容器204rqEBA0201144BARRqrqdrVRRABBA04RRRRVqCA0B4,RCRlRARB3.圆柱形电容器圆柱形电容器hlqrhE02由高斯定理：由高斯定理：rrlqE0022BABA02ddRRRRlrrqrEVhlqrhE02hr)(ln2AB0RRlVqC电容：电容：+q-q 如果两极板间如果两极板间充满相对电容率为充满相对电容率为 r的的电介质，电介质，各种电容器的电容各种电容器的电容C 为为 dSCr0平板电容器：平板电容器：球形电容器：球形电容器：ABBAr04RRRRC圆柱形电容器：圆柱形电容器：)(ln2ABr0RRl

58、C 实验证明，充满电介质时电容器的电容实验证明，充满电介质时电容器的电容C为为两极板间为真空时两极板间为真空时电容电容C0的的 r倍倍：0rCC r称为介质的称为介质的相对电容率相对电容率或或相对介电常量。相对介电常量。（适用于任何形状的电容器）（适用于任何形状的电容器）三、电容器的串联和并联三、电容器的串联和并联1. 电容器的并联电容器的并联,2211UCqUCq总电荷总电荷 ：UCCCqqqqnn2121等效电容：等效电容：niinCCCCUqC121电容器的性能指标：电容和耐压，如电容器的性能指标：电容和耐压，如100 F/25 V。2.电容器的串联电容器的串联设各电容器带电荷量为设各电

59、容器带电荷量为q,2211CqUCqUqCCCUUUUnn1112121等效电容：等效电容：niinCCCCqUC121111117-8 静电场中的电介质静电场中的电介质*一、一、 电介质的电结构电介质的电结构分子的正、负电荷中心在无外场时不重分子的正、负电荷中心在无外场时不重合，分子存在固有电偶极矩。合，分子存在固有电偶极矩。有极分子：有极分子：分子的正、负电荷中心在无外场时重合。分子的正、负电荷中心在无外场时重合。不存在固有分子电偶极矩。不存在固有分子电偶极矩。无极分子：无极分子：-q+qp 在无外电场时，无论哪种电介质，整体都呈现在无外电场时，无论哪种电介质，整体都呈现电中性。电中性。1

60、. 无极分子电介质的位移极化无极分子电介质的位移极化 在外电场作用下，介质表面在外电场作用下，介质表面(甚至体内甚至体内)出现净电荷出现净电荷（称（称极化电荷极化电荷或或束缚电荷束缚电荷）的现象称）的现象称电介质的极化。电介质的极化。 无极分子在外场的作用下正负电荷中心发生偏无极分子在外场的作用下正负电荷中心发生偏移而产生的极化称为移而产生的极化称为位移极化位移极化。二、电介质的极化二、电介质的极化2. 有极分子电介质的取向极化有极分子电介质的取向极化 有极分子在外场中发生偏转而产生的极化称有极分子在外场中发生偏转而产生的极化称为为取向极化。取向极化。EpM家用微波炉家用微波炉加热的原理加热的