复变函数课件1-4区域

1、第四节 区 域一、区域的概念二、单连通域与多连通域三、典型例题四、小结与思考2一、区域的概念一、区域的概念1. 邻域邻域:. : )( , 000的的邻邻域域内内部部的的点点的的集集合合称称为为的的圆圆为为半半径径任任意意的的正正数数为为中中心心平平面面上上以以zzzz 说明说明. , 0 , 点的邻域点的邻域称为无穷远称为无穷远其中实数其中实数所有点的集合所有点的集合的的且满足且满足包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内 MMz32.去心邻域去心邻域:. 0 00的的去去心心邻邻域域集集合合为为所所确确定定的的点点的的称称由由不不等等式式zzz 说明说明. . , , zMMz可可以以表表

2、示示为为域域称称为为无无穷穷远远点点的的去去心心邻邻的的所所有有点点的的集集合合仅仅满满足足内内不不包包括括无无穷穷远远点点自自身身在在43.内点内点:. , , . , 000的的内内点点称称为为那那末末于于该该邻邻域域内内的的所所有有点点都都属属的的一一个个邻邻域域存存在在如如果果中中任任意意一一点点为为为为一一平平面面点点集集设设GzGzGzG4.开集开集: 如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末G 称称为开集为开集. .55.区域区域: 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称则称它为一个区域它为一个区域. .(1) D是一个是

3、一个开集开集；(2) D是是连通的连通的, ,就是说就是说D中任何两点都可以用中任何两点都可以用完全属于完全属于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来.6.边界点、边界边界点、边界: 设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域, ,如果点如果点 P P 不不属于属于D, 但在但在 P P 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有D中的中的点点,这样的这样的 P P 点我们称为点我们称为D的的边界点边界点.6D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界. .说明说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的的点所组成的. (2) 区域区

4、域D与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域 .Dz 1C2C3Cz 1C2C3C7以上基以上基本概念本概念的图示的图示1z 2z 区域区域 0z 邻域邻域P 边界点边界点边界边界7.有界区域和无界区域有界区域和无界区域:. , , 0, , 界的界的否则称为无否则称为无称为有界的称为有界的那末那末点都满足点都满足使区域的每一个使区域的每一个即存在即存在为中心的圆里面为中心的圆里面点点可以被包含在一个以原可以被包含在一个以原如果一个区域如果一个区域DMzMD 8(1) 圆环域圆环域:;201rzzr 0z 2r1r课堂练习课堂练习判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2) 上半平

5、面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:;arg0 z(4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界.xyo9二、单连通域与多连通域二、单连通域与多连通域1. 连续曲线连续曲线:. , )( ),( , )( , )( )( 称为连续曲线称为连续曲线表一条平面曲线表一条平面曲线代代那末方程组那末方程组是两个连续的实变函数是两个连续的实变函数和和如果如果btatyytxxtytx 平面曲线的复数表示平面曲线的复数表示:)().()()(btatiytxtzz 102. 光滑曲线光滑曲线:.0, )( )( , , )( )( , 22称称这这

6、曲曲线线为为光光滑滑的的那那末末有有的的每每一一个个值值且且对对于于都都是是连连续续的的和和上上如如果果在在 tytxttytxbta 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线. .xyoxyo113. 简单曲线简单曲线:. )( )( , )()( :的的起起点点和和终终点点分分别别称称为为与与为为一一条条连连续续曲曲线线设设CbzazbtatzzC . )( , )()( , , 121212121的的重重点点称称为为曲曲线线点点时时而而有有当当与与的的对对于于满满足足Ctztztzttttbtabta 没有重点的曲线没有重点

7、的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线( (或若尔或若尔当曲线当曲线).).12. , )( )( , 为简单闭曲线为简单闭曲线那末称那末称即即的起点和终点重合的起点和终点重合如果简单曲线如果简单曲线CbzazC 换句话说换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质: 任意一条简单任意一条简单闭曲线闭曲线 C 将复平面将复平面唯一地分成三个互唯一地分成三个互不相交的点集不相交的点集.xyo内部内部外部外部边界边界13课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线?答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭

8、闭 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz 144. 单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一条简单闭曲线条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B, 就称为就称为单连通域单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称为就称为多连通域多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域15三、典型例题三、典型例题例例1 1 指明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是有界的还是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通

9、的. 111)5(; 411)4(; 31)3(;3arg)2(; 1)Re()1(2 zzzzzzz解解 , )1(时时当当iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).163arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).31)3( z,3131 zz, 31 ,的的圆圆的的外外部部半半径径为为是是以以原原点点为为中中心心无界的多连通域无界的多连通域. 17411)4( zz表示到表示到1, 1的距离之的距离之和为定值和为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 是椭圆是椭圆,411 z

10、z ,411表表示示该该椭椭圆圆内内部部 zz有界的单连通域有界的单连通域.18111)5( zz,sincos irrz 令令 111 zz边边界界1sin)1cos(sin)1cos(222222 rrrr1)1cos2)(1cos2(22 rrrr1)cos(4)1(222 rr ,2cos2 02 rr或或 , )( 2cos22也也称称双双纽纽线线是是双双叶叶玫玫瑰瑰线线 r ,111是其内部是其内部 zz有界的单连通域有界的单连通域.19例例2 2解解 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么, 如果是区域如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域?

11、, 3Im)1( z是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线, -3-2-1123x123456y不是区域不是区域., 2Re)2( z), 2Re ( 2Re zz不不包包括括直直线线为为左左界界的的半半平平面面以以单连通域单连通域.20, 210)3( iz, 2 , )1( 的的去去心心圆圆盘盘为为半半径径为为圆圆心心以以i 是多连通域是多连通域.,4)arg()4( iz), ( 1 , ii不包括端点不包括端点的半射线的半射线斜率为斜率为为端点为端点以以不是区域不是区域.21,4arg0)5( iziz , 时时当当iyxz iziz ,)1(2)1(1222222 yxxiyxyx 4arg0 知知由由 iziz0,)1(12222 yxyx0,)1(222 yxx22, 0)1( 22 yx因为因为 , 12, 01, 02 2222yxxyxx于于是是 . 2)1(, 1, 0 2222yxyxx, 2)1( 22集集部部且且属属于于左左半半平平