CH75二阶常系数线性微分方程

1、),()(为常数为常数qpxfyqypy 二阶常系数二阶常系数 第五节第五节线性微分方程线性微分方程 基本思路基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子和它的导数只差常数因子,代入代入得得0)(2xre qprr02qrpr称称为微分方程为微分方程的的特征方程特征方程,1. 当当042qp时时, 有两个相异实根有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:,11xrey

2、 ,22xrey 因此方程的通解为因此方程的通解为xrxreCeCy2121( r 为待定常数为待定常数 ),xrer函数函数为常数时为常数时因为因为,所以令所以令的解为的解为 则微分则微分其根称为其根称为特征根特征根.2. 当当042qp时时, 特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解,2p.11xrey ),(2xy求求另另一一特特解解, )( )(12线性无关线性无关与与且且xyxy. )( )()(12常常数数即即 xuxyxy：求求)(xu)(12xuyy 设另一特解设另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:1xr

3、e)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意注意是特征方程的重根是特征方程的重根0 u取取 u = x , 则得则得,12xrexy 因此原方程的通解为因此原方程的通解为xrexCCy1)(21)(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru3. 当当042qp时时, 特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根irir21,这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyi

4、xexcosxexsin因此原方程的通解为因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx小结小结:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .例例1.032 yyy求方程求方程的通解的通解.解解: 特征方程特征方程, 0322rr特征根特征根:,3,121rr因此原方程的通解为因此原方程的通解为xxeCeCy321xrxre

5、CeCy212121rr 实根实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解例例2. 求解初值问题求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程特征方程0122rr有重根有重根,121 rr因此原方程的通解为因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为tets)24(22CxrxreCeCy212121rr 实根实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解

6、的的通通解解求求方方程程例例0223 yyy0222 rrir 128422 , 1)sincos(21xCxCeyx 解解写出特征方程写出特征方程通解通解xrxreCeCy212121rr 实根实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解内容小结内容小结),(0为常数qpyqypy 特征根特征根: :21, rr(1) (1) 当当时时, , 通解为通解为xrxreCeCy212121rr (2) (2) 当当时时, , 通解为通解为xrexCCy1)(2121rr (3) (3) 当当时时, , 通解为通解为)sincos

7、(21xCxCeyxir2, 1的的通通解解求求方方程程例例010364 yyyy解解写出特征方程写出特征方程0103623 特征根特征根:5,2,1321 rrr均为单重根，均为单重根，通解为通解为:xxxeCeCeCy53221 的的通通解解求求方方程程例例02225)4( yyyyy解解写出特征方程写出特征方程01222234 rr特征根特征根:,121 rr通解为通解为:xCxCexCCyxsincos)(4321 0)1()1(22 rr即即:,4,3ir 用代数法用代数法求常系数齐次线性微分方程通求常系数齐次线性微分方程通解的一般步骤解的一般步骤:（1）写出特征方程）写出特征方程;

8、（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的情况写出相应的通解。）根据特征根的情况写出相应的通解。一、一、 f(x) Pm(x)e x型型二、二、f(x) e xPl(x)cosw wx Pn(x)sinw wx型型二阶常系数非齐次线性微分方程 )(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法0 qyypy一、一、 型)(e)(xPxfmx 为实数为实数 ,)(xPm

9、设特解为设特解为, )(e*xQyx其中其中 为待定多项式为待定多项式 , )(xQ )()(e*xQxQyx )()(2)(e*2xQxQxQyx 代入原方程代入原方程 , 得得 )(xQ )()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为为 m 次多项式次多项式 .)(exQx )()2(xQp )()(2xQqp)(exPmx)(xfyqypy 上式两端都是关于上式两端都是关于x的多项式的多项式, 欲使两端相等欲使两端相等,首先必须使首先必须使两端多项式的次数相等两端多项式的次数相等.m 次多项式与次多项式与指数函数乘积指数函数乘积(1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根, , 02

10、qp 即即取取),(xQm从而得到特解从而得到特解 形式为形式为. )(e*xQymxQ (x) 为为 m 次待定系数多项式次待定系数多项式)(xQ )()2(xQp)()(2xQqp)(xPm 根据根据 r 与与特征根的关系特征根的关系, 分三种情况讨论分三种情况讨论 :故故次次多多项项式式是是而而右右端端次次数数相相同同的的多多项项式式顶顶式式的的左左端端是是一一个个与与.)(,)(mxPxQmQm(x) b0 xm b1xm 1 bm 1x bm (2) 若若 是特征方程的是特征方程的单根单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为为m 次多项式次多项式, 故特解形式为故特解形式为xmx

11、Qxye)(*(3) 若若 是特征方程的是特征方程的重根重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为xmxQxye)(*2小结小结 对方程对方程,)2, 1, 0(e)(*kxQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即即即当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解v结论结论 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程ypy qy Pm(x)e x有形如有形如y* xkQm(x)e x的特解的特解 其中

12、其中Qm(x)是与是与Pm(x)同次的多项式同次的多项式 而而k按按 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为征方程的重根依次取为0、1或或2 例例1.1332 xyyy求方程的一个特解的一个特解.解解: 本题本题而特征方程为而特征方程为,0322rr不是特征方程的根不是特征方程的根 .设所求特解为设所求特解为,*10bxby代入方程代入方程 :13233010 xbbxb比较系数比较系数, 得得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为于是所求特解为.31*xy0,0 型型, ,xnexPxf)()(1,021 rr特征

13、根特征根.22的的一一个个特特解解求求方方程程例例xyy 解解 写出对应齐次特征方程写出对应齐次特征方程02 rr是是特特征征方方程程的的根根因因为为0r故设特解形式为故设特解形式为)()(20cbxaxxxy 代入方程代入方程222326xcbxaxbax 整理整理22)2()26(3xcbxbaax 0202613cbbaa比较比较系数系数解得解得2, 1,31 cba)231()(20 xxxxy特解为特解为:例例3. xxyyy2e65 求方程的通解的通解. 解解: 本题本题特征方程为特征方程为,0652 rr其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xxCCY3221ee设

14、非齐次方程特解为设非齐次方程特解为xbxbxy210e)(*比较系数比较系数, 得得120 b0210bb1,2110bb因此特解为因此特解为.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得代入方程得xbbxb01022所求通解为所求通解为xxCCy3221ee.e)(2221xxx ,2 二、二、f(x) e x Pl (x)cos w w x Pn(x)sin w w x 型型 应用欧拉公式可得应用欧拉公式可得 f(x)ex Pl (x)cos w x Pn(x)sin w x ex Pl (x)2 xixieeww Pn(x) ieexixi2 ww 21Pl (x)i Pn(x)

15、e ( iw) x 21Pl (x) i Pn(x) e ( iw) x， P(x)e ( iw) x P(x)e ( iw) x，其中其中 P(x)21(Pl Pn i )，P(x)21(Pl Pn i )是互成共轭的是互成共轭的 m 次多项式次多项式mmaxl，n f(x) e x Pl (x)cos w w x Pn(x)sin w w x P(x)e ( iw w) x P(x)e ( iw w) x 设方程设方程y py qy P(x)e( iw w) x的特解的特解为为y1* xkQm(x)e( iw w) x，则方程则方程y py qy P(x)e( iw w) x的特的特解为解

16、为y2* xk Qm(x)e( iw w) x，其中其中k 按按 iw w不是特征方程的不是特征方程的根或是特征方程的根依次取根或是特征方程的根依次取0或或1 于是原方程于是原方程y py qy f(x)的特解为的特解为 y* xk Qm(x)e( iw w) x xk Q m (x)e( iw w) x xk e xQm(x)(cos w w x isin w w x) Q m(x)(cos w w x isin w w x) xk e xR(1)m(x)cos w w x R(2)m(x)sin w w x 我们有如下结论：我们有如下结论： 如果如果f(x) e x Pl(x)cos w

17、w x Pn(x)sin w w x ，则二阶常系则二阶常系数非齐次线性微分方程数非齐次线性微分方程y py qy f(x)的特解可设为的特解可设为y* xk e xR(1)m (x)cos w w x R(2)m (x)sin w w x，其中其中R(1)m (x)、R(2)m (x)是是m次多项式次多项式，m maxl，n，而而k 按按 iw w (或或 iw w)不是特征方程的根或是特征方程的单根依不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取次取0 0或或1 1特解形式：特解形式：型型sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxkw ww w 此时设特解为此时设特解为: w w

18、w w iik10不是特征根不是特征根是特征根是特征根m 次多项式次多项式,max nlm sin)(cos)()(xxPxxPexfnlxw ww w 例例4 4 求微分方程求微分方程y y xcos 2x的一个特解的一个特解 解解 f(x)是是e x Pl(x)cos w w x Pn(x)sin w w x 型的，型的，其中其中 0，w w 2，Pl(x) x，Pn(x) 0 与所给方程对应的齐次方程为与所给方程对应的齐次方程为 yy 0，它的特征方程为：它的特征方程为： r2 1 0 iw w 2i 不是特征方程的根，所以应设特解为不是特征方程的根，所以应设特解为y* xk e xR(

19、1)m (x)cos w w x R(2)m (x)sin w w x，31a，b0c0， 94d于是求得一个特解为于是求得一个特解为 y*31x cos 2x94sin 2x,0430304313adccbay* (ax b)cos 2x (cx d )sin 2x把它代入所给方程，得把它代入所给方程，得( 3ax 3b 4c)cos 2x (3cx 3d 4a)sin 2x xcos 2x比较两端同类项的系数，得比较两端同类项的系数，得y* xk e xR(1)m (x)cos w w x R(2)m (x)sin w w x， 例例4 4 求微分方程求微分方程y y xcos 2x的一个

20、特解的一个特解例例5. xxyy3sin303cos189 求方程求方程的通解的通解. 解解: 特征方程为特征方程为, 092r其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数比较系数, 得得,5a,3b因此特解为因此特解为)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根为特征方程的单根 ,3i)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为内容小结内容小

21、结xmxPyqypy e)(. 1 为特征方程的为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根重根,xmkxQxye)(*则设特解为则设特解为sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlxw ww w 为特征方程的为特征方程的 k (0, 1 )重根重根, iwxkxy e* 则设特解为则设特解为sin)(cos)()2()1(xxRxxRmmw ww w nlm,max3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.程程的的特特解解形形式式：练练习习：写写出出下下列列微微分分方方;sin44)0(sin3;522;296122xxyyaxyayeyyyxyyyx 、cbxaxy 2解：解：xaey air )1()