高等数学第七版课件18函数的连续性与间断点

1、第八讲 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点一、函数的连续性一、函数的连续性（一）函数在一点处连续的概念（二）函数在区间上连续的概念一、函数的连续性一、函数的连续性（一）函数在一点处连续的概念（二）函数在区间上连续的概念（一）函数在一点处连续的概念（一）函数在一点处连续的概念1定义12定义23定义34左连续与右连续5性质（一）函数在一点处连续的概念（一）函数在一点处连续的概念1定义12定义23定义34左连续与右连续5性质xyoxoyxoyxoyxoyxoyxoyxoy

2、xyo12uuu 增量增量120uuu 120uuu 120uuu l注注(1)u 可正可负可正可负(2)u 是一个整体记号是一个整体记号 22uu 0 xxx 0)(xxf 0)(0 xf)(xf)()(00 xfxxfy 定义定义1 设函数设函数f ( (x) )在点在点x0 0的某一邻域内有定义，如果的某一邻域内有定义，如果0000limlim()()0 xxyf xxf x 那么就称函数那么就称函数f ( (x) )在点在点x0 0连续连续. .l注注在定义式中在定义式中,x为变量为变量, ,x0 0要视为常量要视为常量. .u例例1 证明证明xysin 在在)R(00 xx处连续处连

3、续. .（一）函数在一点处连续的概念（一）函数在一点处连续的概念1定义12定义23定义34左连续与右连续5性质（一）函数在一点处连续的概念（一）函数在一点处连续的概念1定义12定义23定义34左连续与右连续5性质l注注定义定义2 设函数设函数f ( (x) )在点在点x0 0的某一邻域内有定义，如果的某一邻域内有定义，如果那么称函数那么称函数f ( (x) )在点在点x0 0连续连续. .0 xxx 令令0 x 0000limlim()()0 xxyf xxf x 000lim()()xf xxf x 0 xx00lim( )()xxf xf x函数函数f ( (x) )在点在点x0 0连续的

4、要点：连续的要点：0lim( )xxf x0()f x0lim( )xxf x0()f xl注注定义定义2 设函数设函数f ( (x) )在点在点x0 0的某一邻域内有定义，如果的某一邻域内有定义，如果那么称函数那么称函数f ( (x) )在点在点x0 0连续连续. .0 xxx 令令0 x 0000limlim()()0 xxyf xxf x 000lim()()xf xxf x 0 xx00lim( )()xxf xf x函数函数f ( (x) )在点在点x0 0连续的要点：连续的要点：函数函数f ( (x) )在点在点x0 0的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义0lim( )xxf x0

5、()f xl注注定义定义2 设函数设函数f ( (x) )在点在点x0 0的某一邻域内有定义，如果的某一邻域内有定义，如果那么称函数那么称函数f ( (x) )在点在点x0 0连续连续. .0 xxx 令令0 x 0000limlim()()0 xxyf xxf x 000lim()()xf xxf x 0 xx00lim( )()xxf xf x函数函数f ( (x) )在点在点x0 0连续的要点：连续的要点：函数函数f ( (x) )在点在点x0 0的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义0lim( )xxf x存在存在0lim( )xxf x0()f xl注注定义定义2 设函数设函数f (

6、(x) )在点在点x0 0的某一邻域内有定义，如果的某一邻域内有定义，如果那么称函数那么称函数f ( (x) )在点在点x0 0连续连续. .0 xxx 令令0 x 0000limlim()()0 xxyf xxf x 000lim()()xf xxf x 0 xx00lim( )()xxf xf x函数函数f ( (x) )在点在点x0 0连续的要点：连续的要点：函数函数f ( (x) )在点在点x0 0的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义0lim( )xxf x存在存在00lim( )()xxf xf x（一）函数在一点处连续的概念（一）函数在一点处连续的概念1定义12定义23定义34左连

7、续与右连续5性质（一）函数在一点处连续的概念（一）函数在一点处连续的概念1定义12定义23定义34左连续与右连续5性质定义定义3 3l注注在上述定义中，不再要求在上述定义中，不再要求.xx 000 ,当当 0 xx时，恒有时，恒有 )()(0 xfxf设函数设函数f ( (x) )在点在点x0 0的某一邻域内有定义，如果的某一邻域内有定义，如果那么称函数那么称函数f ( (x) )在点在点x0 0连续连续（一）函数在一点处连续的概念（一）函数在一点处连续的概念1定义12定义23定义34左连续与右连续5性质（一）函数在一点处连续的概念（一）函数在一点处连续的概念1定义12定义23定义34左连续与

8、右连续5性质类似可得左连续的定义类似可得左连续的定义定理定理u例例2 2讨论函数讨论函数 0202xxxxxf)(在在0 x处的连续性处的连续性. .定义定义设函数设函数y= =f( (x) )在点在点x0 0的某右邻域内有定义，如果的某右邻域内有定义，如果那么称函数那么称函数f( (x) )在点在点x0 0右连续右连续. .00lim( )()xxf xf x 函数函数y= =f( (x) )在点在点x0 0连续连续y= =f( (x) )在点在点x0 0既左连续又右连续既左连续又右连续（一）函数在一点处连续的概念（一）函数在一点处连续的概念1定义12定义23定义34左连续与右连续5性质（一

9、）函数在一点处连续的概念（一）函数在一点处连续的概念1定义12定义23定义34左连续与右连续5性质定理定理函数函数)(xfy 在在0 x处连续的充要条件是：处连续的充要条件是：定理定理函数函数)(xfy 在在0 x处连续，处连续， 则则, 0 使使y= =f (x)在在 00 xx,内有界内有界. .定理定理函数函数)(xfy 在在0 x处连续处连续, ,且且, 0)(0 xf则则0 00 xx,内恒有内恒有 ( )0.f x使使y= =f (x)在在对于任意一个以对于任意一个以0 x为极限的数列为极限的数列 ,nx组成的数列组成的数列 )(nxf的极限都存在的极限都存在, ,且都等于且都等于

10、0().f x对应的函数值对应的函数值一、函数的连续性一、函数的连续性（一）函数在一点处连续的概念（二）函数在区间上连续的概念一、函数的连续性一、函数的连续性（一）函数在一点处连续的概念（二）函数在区间上连续的概念定义定义定义定义若函数若函数)(xfy 在在),(ba内的每一点处连续，内的每一点处连续， 则称函数则称函数)(xfy 在在),(ba内连续内连续. .则称函数则称函数)(xfy 在在,ba上连续上连续. .在在ax 处右连续处右连续, ,在在bx 处左连续，处左连续，若函数若函数)(xfy 在在),(ba内的每一点处连续，内的每一点处连续，函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一

11、、函数的连续性二、函数的间断点函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点二、函数的间断点（一）概念（二）分类（三）举例二、函数的间断点二、函数的间断点（一）概念（二）分类（三）举例定义定义设函数设函数)(xfy 在点在点0 x的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义, ,函数函数)(xfy 在在0 x处间断的情形处间断的情形在在没有定义没有定义; ;0 xx (1)(2)(3)则称函数则称函数)(xfy 在点在点0 x间断，间断，而点而点)(xfy 称为称为0 x的不连续点或间断点的不连续点或间断点. .若函数若函数)(xfy 在点在点0 x不连续

12、不连续, ,0lim ( )xxf x不存在不存在; ;虽在虽在有定义有定义, ,但但0 xx )()(lim00 xfxfxx 0lim ( )xxf x存在存在, ,但但虽在虽在有定义有定义, ,且且0 xx 二、函数的间断点二、函数的间断点（一）概念（二）分类（三）举例二、函数的间断点二、函数的间断点（一）概念（二）分类（三）举例间断点间断点和和)( 0 xf)( 0 xf都存在都存在第一类间断点第一类间断点和和)( 0 xf)( 0 xf至少一个不存在至少一个不存在第二类间断点第二类间断点)()( 00 xfxf可去间断点可去间断点)()( 00 xfxf跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点二、函数的间断点二、函数的间断点（一）概念（二）分类（三）举例二、函数的间断点二、函数的间断点（一）概念（二）分类（三）举例xytan) 1 (2 x为其无穷间断点为其无穷间断点. .0 x为其振荡间断点为其振荡间断点. .xy1sin) 2(1x为可去间断点为可去间断点. .11)3(2xxyxoy1xytan2xyoxyxy1sin0121) 1 (1)(lim1fxfx显然显然1x为其可去间断点