全国部分地区大学生物理竞赛电磁学部分

1、2法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律dtdi 楞次定律闭合回路中感应电流的方向，总是使它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。第二页，共41页。3例：例：第三页，共41页。4第四页，共41页。5第五页，共41页。6Blv 整个导体回路或其中一部分，以及一段孤立导体在整个导体回路或其中一部分，以及一段孤立导体在稳恒磁场中运动时，所产生的感应电动势。稳恒磁场中运动时，所产生的感应电动势。ab 一、一、动生电动势动生电动势ab均均匀匀磁磁场场Bvl典型装置典型装置第六页，共41页。7建坐标如图建坐标如图设回路设回路L方向如图方向如图负号说明电动势方向与所设方向相反负号说明电动势方向与所设方

2、向相反，b点电势高点电势高(相当于正极相当于正极)，a点电势点电势低低(相当于负极相当于负极)。ab均均匀匀磁磁场场Bvl0 xL)(tBlx dtd dtdxBl Blv ab 第七页，共41页。8ab)(rBl dv baildBv)( 若整个导体回路均处于磁场中若整个导体回路均处于磁场中 lildBv)( 第八页，共41页。9vB OA例例 . 求长为求长为L的直导线在磁场中转动时的电动势。的直导线在磁场中转动时的电动势。l d解：解：l dBvd )( Bv 与与 反向反向Bv l dlBdlvBdld 2021BLBldldL OAAOUU 负号表示电动势方向与积分方向相反，即负号表

3、示电动势方向与积分方向相反，即llv Ao 第九页，共41页。10 半径为半径为 R 的铜盘，在均匀磁场中以角速度的铜盘，在均匀磁场中以角速度 转动，转动，求盘上沿半径方向产生的感应电动势。求盘上沿半径方向产生的感应电动势。 OA解：解：l dvl dBvdi )( lvBd llBd lBldi RlldB0 221BR 0感应电动势的方向感应电动势的方向 O AOA 第十页，共41页。11例：如图一矩形管，画斜线的前后两侧面为金属板，例：如图一矩形管，画斜线的前后两侧面为金属板，其他两面（上下面）为绝缘板，用导线将两金属板相其他两面（上下面）为绝缘板，用导线将两金属板相连，金属板和导线的电

4、阻可忽略不计。今有电阻率为连，金属板和导线的电阻可忽略不计。今有电阻率为 的水银流过矩形管，流速为的水银流过矩形管，流速为v0. 设管中水银的流速与设管中水银的流速与管两端压强差成正比，已知流速为管两端压强差成正比，已知流速为v0时的压强差为时的压强差为P0。在垂直于矩形管上下平面的方向上加均匀磁场，磁感在垂直于矩形管上下平面的方向上加均匀磁场，磁感应强度为应强度为B。求加磁场后水银的流速求加磁场后水银的流速vablB解：设加磁场后水银的流速解：设加磁场后水银的流速v水银中产生感生电动势水银中产生感生电动势Bva blaR 水水银银的的电电阻阻： BvblRI 感感应应电电流流第十一页，共41

5、页。12反反向向与与水水银银所所受受磁磁场场力力：vvablBBIaF 2 vlBabFP2 管管两两端端附附加加压压强强差差PP 0管管两两端端的的实实际际压压强强差差：vPlBPPPvv020001 据据题题设设02001PlBvvv 第十二页，共41页。13二、感生电动势二、感生电动势根据法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势感应电动势的一般表示的一般表示式为：式为： SSdBdtddtd SdtBS 如果回路如果回路L及其包围的面积保持不变，则及其包围的面积保持不变，则感生电动势：感生电动势：由于磁场随时由于磁场随时间变化而引起间变化而引起的感应电动势。的感应电动势。动

6、生电动势动生电动势: :导体在稳恒磁场导体在稳恒磁场中运动时中运动时, ,所产生所产生感应电动势。感应电动势。 LlEdk第十三页，共41页。14感生电场的计算感生电场的计算（1 1） 原则原则SdtBtl dESL dd感感生生（2 2） 特殊特殊空间均匀的磁场被限制在圆柱体内，磁感强度方向平行柱空间均匀的磁场被限制在圆柱体内，磁感强度方向平行柱轴，如长直螺线管内部的场。轴，如长直螺线管内部的场。磁场随时间变化磁场随时间变化 则感生电场具有则感生电场具有柱对称分布。柱对称分布。 B t 具有某具有某种对称性才有种对称性才有可能计算出来可能计算出来感生感生E第十四页，共41页。15B特殊情况下

7、感生电场的计算特殊情况下感生电场的计算解：设场点距轴心为解：设场点距轴心为 r , ,根据对称性，根据对称性，取以取以O为心，过场点的圆周环路为心，过场点的圆周环路L LrEl dEL 2感生感生 dtdBS 空间均匀的磁场限制在半径为空间均匀的磁场限制在半径为 R 的的圆柱内，圆柱内， 的方向平行柱轴，且有的方向平行柱轴，且有求：求：E 感生感生 分布分布BcdtdB rLdtdBrE2 感生dtdBrRE22 感生_ r RrEl dEL 2感生感生 dtdBR2 LSdtBtl dESL dd感感生生Or第十五页，共41页。160, 0 感感EdtdB0, 0 感感EdtdBdtdBrE

8、2 感生dtdBrRE22 感生BrLL_ r R第十六页，共41页。17ABBOALOOkktBtBdOO 求求：沿沿棍棍的的感感生生电电动动势势的的金金属属棍棍角角，长长为为成成现现在在空空腔腔中中放放一一与与为为常常数数）线线性性增增长长，即即随随时时间间设设磁磁感感应应强强度度匀匀磁磁场场的的方方向向，表表示示两两圆圆柱柱间间存存在在的的均均截截面面，用用的的图图中中所所示示为为垂垂直直于于轴轴线线两两圆圆柱柱轴轴间间距距离离间间，轴轴平平行行地地挖挖出出一一圆圆柱柱空空例例：一一无无限限长长圆圆柱柱，偏偏,60(,0 o. o ABd解：整个磁场可视为圆柱解：整个磁场可视为圆柱O内的

9、均内的均匀磁场匀磁场B和空腔内和空腔内 B 的叠加的叠加空腔内的空腔内的感应电场感应电场由这两部分产生由这两部分产生dtdBrE211 r1E1E2r2dtdBrE222 SddtBdldELS 第十七页，共41页。18r1E1E2r2OOy jEiEjEiEEEE cossincossin221121 xdtdBjrirjrir cos2sin2cos2sin22211jdtdBdE2 EO O EL Ll dE kLdLdtdBd4330cos20 第十八页，共41页。19例：例：第十九页，共41页。20第二十页，共41页。21第二十一页，共41页。22._,_(),(, outinEEC

10、dtditiinR管管外外的的感感生生电电场场强强度度则则管管内内的的感感生生电电场场强强度度常常量量），且且通通以以随随时时间间变变化化的的电电流流，单单位位长长度度内内的的匝匝数数为为管管的的半半径径为为例例：一一无无限限长长密密绕绕螺螺线线EinEout解：长直密绕螺线管内解：长直密绕螺线管内B=B= 0 0niniEBi产生涡旋电场产生涡旋电场变变变变SddtBdldELS SddtBdldELSin ）12022rnCrdtdBrEin rnCEin20 202)2outErnCRrnCREout220 Rrr第二十二页，共41页。23例：一金质圆环以其边缘为支点直立在两磁极间例：一

11、金质圆环以其边缘为支点直立在两磁极间, 环的底部受环的底部受两个固定挡的限制两个固定挡的限制, 使其不能滑动使其不能滑动, 现环受一扰动偏离竖直面现环受一扰动偏离竖直面0.1弧度弧度, 并开始倒下并开始倒下. 已知已知B=0.5T, 环半径环半径r1=4cm, 截面半径截面半径r2 =1mm, 金的电导率金的电导率 =4.0 107/m, 设环重设环重F=0.075N, 并可以认为环倒下的过程中重力矩时时都与并可以认为环倒下的过程中重力矩时时都与磁力矩平衡，求环倒下所需的时间磁力矩平衡，求环倒下所需的时间t.BSN 变变当当环环倒倒下下时时 dtd Ri BPMm sin121Br 时时当当）

12、dtdBrdtd cos221 ）221221223rrrrR ）dtdBrrRi 2cos4122 ）第二十三页，共41页。24)2sin(5 PBM） cosiSB dtdBrr 2cos2223122 时时与与磁磁力力矩矩平平衡衡环环倒倒下下过过程程中中重重力力矩矩时时）6 sin2cos12223122FrdtdBrr dFBrrtsin2cos222212221 .0 )11. 2s（ BSN n第二十四页，共41页。25例：在光滑的水平面上，有一可绕竖直的固定轴例：在光滑的水平面上，有一可绕竖直的固定轴O自由转动自由转动的刚性扇形封闭导体回路的刚性扇形封闭导体回路OABO,其半径其

13、半径OA=L，回路总电回路总电阻为阻为R，在在OMN区域内为均匀磁场区域内为均匀磁场B，方向如图，已知方向如图，已知OA边进入磁场时的角速度为边进入磁场时的角速度为 ，则此时导体回路内的电流，则此时导体回路内的电流 i =_,因此导体回路所受的电磁阻力矩因此导体回路所受的电磁阻力矩M=_. MNOBABl dBV )(1 ） LlBdldlVB0 dl22BL Ri )2A NBOBVBlidFd )3dFidlBdF ldFdM )4RLBiBldlML4420 方向：方向：OA第二十五页，共41页。261 1）在电路的任一节点处，流入的电流强度之和等于流）在电路的任一节点处，流入的电流强度

14、之和等于流出节点的电流强度之和出节点的电流强度之和 节点电流定律节点电流定律( (基尔霍夫第一定律基尔霍夫第一定律) )2 2）在稳恒电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的）在稳恒电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和等于零。代数和等于零。 回路电压定律回路电压定律( (基尔霍夫第二定律基尔霍夫第二定律) )欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式电阻率电阻率电导率电导率 1 EJSlSlR 直直 流流 电电 路路第二十六页，共41页。27例：在图面内两固定直导线正交，交点相连接，磁感例：在图面内两固定直导线正交，交点相连接，磁感应强度为应强度为B 的均匀磁场与图面垂直，一边长为的均匀磁场与

15、图面垂直，一边长为a的正的正方形导线框在正交直导线上以匀速方形导线框在正交直导线上以匀速 v 滑动，滑动时导滑动，滑动时导线框的线框的A, B 两点始终与水平直导线接触，竖直直导线两点始终与水平直导线接触，竖直直导线则与导线框的其他部分接触。已知直导线单位长的电则与导线框的其他部分接触。已知直导线单位长的电阻值均为阻值均为 r，试问：试问：1）导线框的）导线框的C, D两点移至竖直导两点移至竖直导线上时，流过竖直导线线上时，流过竖直导线CD段的感应电流是多少？段的感应电流是多少？2）此时导线框所受的总安培力为多大？此时导线框所受的总安培力为多大？BaABCDvaABCD右右左左II CD2ar

16、2arar2I左左I右右I第二十七页，共41页。28 CD2ar2arar2I左左I右右IvBavBa24cos2 势势均均为为解解：左左右右两两侧侧动动生生电电动动并并联联电电路路由由基基尔尔霍霍夫夫定定律律，或或串串 rvaBaIBF21222 2）导线框所受磁场力）导线框所受磁场力:根据根据 I左，左， I右右 各边受安培力计算：各边受安培力计算：022022 arIarIarIarIIII左左右右右右左左rrvBararvBaI2222 第二十八页，共41页。29例：半径为例：半径为20cm的圆柱形空间内的均匀磁场的圆柱形空间内的均匀磁场B随时间随时间作线性变化作线性变化B=kt(k=

17、225/ T/s). 用分别为用分别为 30 与与60 的的半圆弧形电阻接成圆环同轴地套在圆柱形空间外，下半圆弧形电阻接成圆环同轴地套在圆柱形空间外，下图为其截面图。两半圆弧电阻连接处图为其截面图。两半圆弧电阻连接处 M, N点用点用30 的的直电阻丝直电阻丝MON相连。相连。 求：求：1） 电势差电势差UMN; 2) 在环外用多大阻值的电阻丝连接在环外用多大阻值的电阻丝连接M,N点可使直电阻点可使直电阻丝丝MON上电流为零。上电流为零。 MN30 30 60 KO解：总的电动势解：总的电动势VRdtdBl dEL92 V5 . 421 SddtBdldELS 第二十九页，共41页。30 MN

18、30 30 60 KO1 2 30 60 30 MNR3 1) K 断开，电流方向如图断开，电流方向如图1I 2I 3I 0303003060121232213 IIIIIII VIUIMN9 . 0301505 . 422 解解出出：2) K 合上，令合上，令I2 = 0, I4 如图如图4I 60300023112 IIUIMN得得：由由6043314 IRIII SddtBdldELS 第三十页，共41页。31例：无限长密绕螺线管半径为例：无限长密绕螺线管半径为r，其中通有电流，在螺线管其中通有电流，在螺线管内部产生一均匀磁场内部产生一均匀磁场B，在螺线管外同轴地套一粗细均匀在螺线管外同

19、轴地套一粗细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，的金属圆环，金属环由两个半环组成，a、b为其分界面，为其分界面，半圆环电阻分别为半圆环电阻分别为R1 和和 R2，且且R1 R2,，如图，当如图，当B增大时，增大时，求求: Ua 0的空间，设线圈的自感为的空间，设线圈的自感为L，质量为质量为m，并设并设b足够长，足够长，求线圈的运动与时间的关系。（不考虑重力，框的电求线圈的运动与时间的关系。（不考虑重力，框的电阻不计）。阻不计）。bayxv0 解：线框进入磁场后解：线框进入磁场后vBa 动动生生电电动动势势y方方向向沿沿有有电电流流产产生生 ,xIaBF 方方向向：dtdvmIaBmaF ）（

20、方方向向反反产产生生变变变变 LIv第三十四页，共41页。3500 IRRL 圈圈由由全全电电路路欧欧姆姆定定律律，线线LvBadtdIdtdILvBa 022dtvdmdtdIaBdtdvmIaB vmLaBdtvd2222 由由上上两两式式：谐振动二阶微分方程谐振动二阶微分方程mLaB222 )cos( tAv)sin( tAx0, 0,0,00 vAvvxt时时由由初初始始条条件件：0)sin(0 xtvx 第三十五页，共41页。36例：一半径为例：一半径为 a 的小圆线圈，电阻为的小圆线圈，电阻为R，开始时与一个开始时与一个半径为半径为b（ba）的大线圈共面且同心，固定大线圈，并的大线

21、圈共面且同心，固定大线圈，并在其中维持恒定电流在其中维持恒定电流 I，使小线圈绕其直径以匀角速使小线圈绕其直径以匀角速 转转动如图（线圈的自感忽略）。动如图（线圈的自感忽略）。 求：求：1）小线圈中的电流；小线圈中的电流； 2）为使）为使小线圈保持匀角速转动，须对它施加的力矩小线圈保持匀角速转动，须对它施加的力矩 3）大线大线圈中的感应电动势圈中的感应电动势Iab 解：解：1) b a ，小线圈内的磁场近似均匀小线圈内的磁场近似均匀tabIBSSB cos2cos20 dtd1 tabI sin220 Ri1 tabRI sin220 第三十六页，共41页。372）当载流线圈所受外力矩等于磁力

22、矩，线圈匀速转动）当载流线圈所受外力矩等于磁力矩，线圈匀速转动BPMMm 磁磁外外2220sin2IatbR tiSBM sin外外3）当小线圈当小线圈 I 变化时，大线圈中有互感电动势变化时，大线圈中有互感电动势通过大线圈磁场在小线圈中的磁通量求互感系数通过大线圈磁场在小线圈中的磁通量求互感系数MtabIM cos220 过过大大线线圈圈的的磁磁通通量量小小线线圈圈电电流流的的磁磁场场，通通iM tab cos220 tabRI sin220 tRbIadtdiMdtd 2cos4224220 第三十七页，共41页。38例：两根电阻可略，平行放置的竖直固定金属长导轨相距例：两根电阻可略，平行放置的竖直固定金属长导轨相距l，上端与电动势为上端与电动势为 、内阻为、内阻为r的直流电源连接，电源