第七章 平面几何第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系第七章平面解析几何考考 纲纲 要要 求求1能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系系2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题能用直线和圆的方程解决一些简单的问题课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、点与圆的位置关系一、点与圆的位置关系若圆若圆(x-a)2+(y-b) 2=r2，那么点，那么点(x0，y0)在在圆上圆上_；圆外圆外_；圆内圆内_. 二、直线与圆的位置关系二、直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交有两种判直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交有两种判断方法：断方法： 1代

2、数法代数法(判别式法判别式法) D D0_；D D=0_；D D0_. 2几何法：圆心到直线的距离几何法：圆心到直线的距离 一般宜用几何法一般宜用几何法相交相交相切相切相离相离相交相交相切相切相离相离基础自测基础自测1(2011深圳市二模深圳市二模)直线直线l：mx-y+1-m=0与圆与圆C：x2+(y-1)2=5的位置关系是的位置关系是()A相交相交 B相切相切 C相离相离 D不确定不确定解析：解析：(法一法一)圆心圆心(0,1)到直线的距离到直线的距离d 1 .故故选选A.(法二法二)直线直线mxy1m0过定点过定点(1,1)，又点，又点(1,1)在圆在圆C的内部，所以直线的内部，所以直线

3、l与圆与圆C是相交的故选是相交的故选A.答案：答案：A52(2012大庆市铁人中学期末大庆市铁人中学期末)过点过点A(a，a)可作圆可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线，则实数的两条切线，则实数a的取值范围为的取值范围为()Aa-3或或1a B1aCa-3 D-3a3232323圆圆C与圆与圆x2+y2=1内切于第一象限，且圆内切于第一象限，且圆C与两坐标轴相与两坐标轴相切，则圆切，则圆C的半径为的半径为_解析：解析：依题意可设圆依题意可设圆C的方程为的方程为(xa)2(ya)2a2(a0)，作图可知，两圆的圆心距为作图可知，两圆的圆心距为 a，两圆内切，两圆内切， a1a，

4、解得解得a 1，即圆，即圆C的半径为的半径为 1.答案：答案：122224(2011株洲市模拟株洲市模拟)如图，如图，已知直线已知直线l：x-y+4=0与圆与圆C： =2，则圆，则圆C上各点到上各点到l的距离的最小值为的距离的最小值为_考考 点点 探探 究究考点一考点一直线与圆的位置关系的判定直线与圆的位置关系的判定【例【例1】(1)直线直线3x-4y-9=0与圆与圆x2+y2=4的位置关系是的位置关系是()A相交且过圆心相交且过圆心 B相切相切C相离相离 D相交但不过圆心相交但不过圆心(2)(2012九江市七校联考九江市七校联考)直线直线l：mx+y+2m2+1=0(mR但但m 0)与圆与圆

5、C: x2+(y-1)2=4的位置关系是的位置关系是()A相交相交 B相切相切C相离相离 D不确定不确定 解析解析：(1)因为圆心因为圆心(0,0)到直线到直线3x4y90的距离的距离d 2，所以直线，所以直线l与圆与圆C相相离故选离故选C. 答案答案：(1)D(2)C变式探究变式探究1(1)(2012聊城市五校期末联考聊城市五校期末联考)如果函数如果函数f(x)=- ln(x+1)的图象在的图象在x=1处的切线处的切线l过点过点 ，并且，并且l与圆与圆C：x2+y2=1相离，相离，则点则点(a，b)与圆与圆C的位置关系是的位置关系是()A在圆内在圆内 B在圆外在圆外C在圆上在圆上 D不能确定

6、不能确定(2)(2011烟台市烟台市“十一五十一五”课题调研课题调研)圆圆x2+y2-2x+4y-4=0与与直线直线2tx-y-2-2t=0(tR)的位置关系为的位置关系为()A相离相离 B相切相切 C相交相交 D都有可能都有可能2ab考点二考点二圆的最长弦、最短弦问题圆的最长弦、最短弦问题【例【例2】(2013西安市模拟西安市模拟)已知圆的方程为已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆中过点，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为的最长弦、最短弦分别为AC，BD，则以点则以点A，B，C，D为顶点的四边形为顶点的四边形ABCD的面积为的面积为()A10 B20 C30 D406

7、666 解析：解析：圆的方程：圆的方程：(x3)2(y4)225，半径半径r5.圆心圆心P(3,4)到最短弦到最短弦BD的距离的距离d|PM|1，最短弦长最短弦长|BD|4 .又最长弦长又最长弦长|AC|2r10，四边形的面积四边形的面积S |AC|BD|20 故选故选B.答案：答案：B6612变式探究变式探究2(2011天津市宝坻区模拟天津市宝坻区模拟)过点过点(1,1)的直线与圆的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于相交于A，B两点，则两点，则|AB|的最小值为的最小值为()A2 B4 C2 D535考点三考点三圆的切线问题圆的切线问题【例【例3】(1)求过点求过点M(2,4)向圆

8、向圆(x-1)2+(y+3)2=1 所引的切线所引的切线方程；方程；(2)过点过点M(2,4)向圆引两条切线，切点为向圆引两条切线，切点为P，Q，求，求P，Q所在所在直线方程直线方程(简称切点弦简称切点弦)思路点拨思路点拨：(1)用点斜式设直线方程时，要分斜率存在、不用点斜式设直线方程时，要分斜率存在、不存在两种情况讨论；存在两种情况讨论；(2)点点M，圆心，圆心C，切点，切点P，Q四点共圆，直线四点共圆，直线PQ为两圆公共为两圆公共弦，两圆方程相减即得公共弦方程弦，两圆方程相减即得公共弦方程解析解析：(1)当所求切线斜率存在时，设切线方程为当所求切线斜率存在时，设切线方程为y-4=k(x-2

9、)，即即kx-y+4-2k=0. =1.解得解得k= ，即切线方程为，即切线方程为24x-7y-20=0.当当k不存在时，切线方程为不存在时，切线方程为x=2.故所求切线方程为故所求切线方程为24x-7y-20=0或或x=2.(2)连接连接CP，CQ，则，则CPPM，CQQM.M，P，Q，C四点共圆，其圆是以四点共圆，其圆是以CM为直径的圆为直径的圆C(1，-3)，CM的中点为的中点为 ，|CM|=以以CM为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为 PQ的方程的方程为为(x-1)2+(y+3)2-1- =0，即，即x+7y+19=0.247变式探究变式探究3(2012哈尔滨六中期末哈尔滨六中期末)设

10、圆设圆x2+y2=4的一条切线与的一条切线与x轴，轴，y轴分别交于点轴分别交于点A，B，则，则|AB|的最小值为的最小值为_考点四考点四两圆的位置关系两圆的位置关系【例【例4】(1)(2011南宁市模拟南宁市模拟)圆圆O1：x2+y2-2x=0和圆和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是的位置关系是()A相离相离 B相交相交C外切外切 D内切内切(2)已知半径为已知半径为1的动圆与圆的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切，则动圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是圆心的轨迹方程是()A(x-5)2+(y+7)2=25B. (x-5)2+(y+7)2=25或或(x-5)2+(y+7)2=9C(

11、x-5)2+(y+7)2=9D. (x-5)2+(y+7)2=17或或(x-5)2+(y+7)2=15解析解析：(1)化成标准方程化成标准方程：O1：(x-1)2+y2=1，O2：x2+(y-2)2=4，则，则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|= ，又又 0的检验的检验5(2012株洲市检测株洲市检测)在直角坐标系在直角坐标系xOy中，以坐标原点中，以坐标原点O为圆心的圆与直线为圆心的圆与直线x y=4相切相切(1)求圆求圆O的方程；的方程；(2)若圆若圆O上有两点上有两点M，N关于直线关于直线x+2y=0对称，且对称，且|MN|=2 ，求直线，求直线MN的方程；的方程；(3)圆圆O

12、与与x轴相交于轴相交于A，B两点，圆内的动点两点，圆内的动点P使使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求成等比数列，求 的取值范围的取值范围变式探究变式探究33课时升华课时升华1直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交交判定方法有两种：判定方法有两种：(1)几何法：比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；几何法：比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；(2)代数法：看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个代数法：看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数数2解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平解决直线与圆的位置关系的有关问题，往

13、往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化面几何中圆的性质使问题简化一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定3当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形4求圆的切线方程主要可分为已知斜率求圆的切线方程主要可分为已知斜率

14、k或已知直线上一或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况一点两种情况5有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用用6在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用式等应熟练掌握，灵活运用.感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考1(2012天津卷天津卷)设设m，nR，若直线，若

15、直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切，则相切，则m+n的取值范围是的取值范围是()2(2012江苏卷江苏卷)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，圆中，圆C的方程为的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为上至少存在一点，使得以该点为圆心，圆心，1为半径的圆与圆为半径的圆与圆C有公共点，则有公共点，则k的最大值是的最大值是_高考预测高考预测1(2012安庆市二模安庆市二模)已知圆已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，直线，直线l：2x+y=0，则圆，则圆C上的点到直线上的点到直线l的距离最大值为的距离最大值为()A1 B2 C3 D4解析：解析：直线直线l：2xy0是确定的，