空间任意力系的平衡、重心

1、1主矢与主矩的解析表达式主矢与主矩的解析表达式FR = FRx i + FRy j + FRzkFRx = FxiFRy = FyiFRz = FziMo = Mox i + Moy j + Moz k= Mox(Fi) i + Moy(Fi) j + Moz(Fi) k 3-6.空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡(1)空间任意力系平衡的必要和充分条件空间任意力系平衡的必要和充分条件:FR = 0 , Mo = 0= Mx(Fi) i + My(Fi) j + Mz(Fi) k2FR = 0 , Mo = 0(2)空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程: Mx(Fi) = 0 My(F

2、i) = 0 Mz(Fi) = 0 Fxi = 0 Fyi = 0 Fzi= 0(3-1)3(3)讨讨论论:(a)对于空间汇交力系对于空间汇交力系 Mx(Fi) = 0 , My(Fi) = 0 , Mz(Fi) = 0则其平衡方程为则其平衡方程为: (b)对于空间力偶系对于空间力偶系 Fxi = 0 , Fyi = 0 , Fzi = 0则则 其平衡方程其平衡方程 为为: Fxi= 0 Fyi = 0 Fzi = 0(3-2) Mx(Fi) = 0 My(Fi) = 0 Mz(Fi) = 0(3-3)4(c)对于空间平行力系对于空间平行力系 Fxi = 0 , Fyi = 0 , Mz(Fi

3、) = 0则其平衡则其平衡方方程程为为: Fzi = 0 Mx(Fi) = 0 My(Fi) = 0(3-4)5约束类型约束类型简图简图约束力约束力径向轴承径向轴承蝶形铰链蝶形铰链圆柱铰链圆柱铰链球形铰球形铰推力轴承推力轴承空间固定端空间固定端空间约束类型举例空间约束类型举例6GABCDabhxyzccE例题例题 1 三铰支架由三杆三铰支架由三杆AB，AC和和AD用球铰连接用球铰连接而成，分别用球铰支座而成，分别用球铰支座B、C和和D固定在地面上，如固定在地面上，如图所示。在铰图所示。在铰A上悬挂一重物上悬挂一重物E，重量为，重量为G=500N。已知已知: a=2m,b=3m,c=1.5m,h

4、=2.5m,各杆自重均不计，求各杆所受的力。各杆自重均不计，求各杆所受的力。7GABCDabhxyzccEFAD 解：选取铰解：选取铰A连同重物为研究对象，受力分析：连同重物为研究对象，受力分析：FACFAB空间汇交力系空间汇交力系 Fxi = 0 Fyi = 0 Fzi = 08GABCDabhxyzccEFAD FAD -FAD cos -FAD sincos -FAD sinsinFAC FAC cos -FACsincos -FAC sinsinFAB 0-FABcos -FABsin G00- GxzyFACFABMN9FAD -FAD cos -FAD sincos -FAD si

5、nsinFAC FAC cos -FACsincos -FAC sinsinFAB 0-FABcos -FABsin G00- Gxzy Fxi = 0-FAD cos + FAC cos =0 Fyi = 0-FAD sincos - FACsincos -FABcos =0 Fzi = 0-FAD sinsin -FAC sinsin -FABsin - G=0FAD=868.5N FAC=868.5N FAB=-1953N 106045FzxyPABCByFFAyAzFBzFAxF例例2图示传动系统，图示传动系统，A是止推轴承，是止推轴承，B是向心轴承，是向心轴承，在把手端部施加一力在把

6、手端部施加一力F=200N，方向如图所示，试求，方向如图所示，试求系统平衡时所需重物的重量系统平衡时所需重物的重量P以及以及A、B轴承的约束轴承的约束力。图中长度单位为力。图中长度单位为mm。11 0)(ixFM060sin25. 01 . 0FPNP433 0)(iyFM060sin175. 015. 025. 0FFPBzNFBz5201. 取研究对象：整体系统取研究对象：整体系统解：解：2.分析受力：如图所示分析受力：如图所示3.列平衡方程求解列平衡方程求解6045FzxyPABCByFFAyAzFBzFAxF12 0)(iFMz045sin60cos175. 045cos60cos25

7、. 015. 0FFFByNFBy4 .356045FzxyPABCByFFAyAzFBzFAxF 0 xiF045cos60cosFFAxNFAx7 .70 0yiF045sin60cosFFFByAyNFAy3 .35 0ziF060sinFPFFBzAzNFAz8 .86 13例例题题3 一不计重量的正方形薄板一不计重量的正方形薄板,由六根直杆支由六根直杆支持如图所示持如图所示 .假设这六根杆都可以看作二力杆假设这六根杆都可以看作二力杆 ,求求在力在力P作用下各杆的内力作用下各杆的内力.PaaADBCDABCa14解：取解：取薄薄板板为研究对象画受力图为研究对象画受力图PaaADBCDA

8、BCaF1F2F3F5F6F41)只有力只有力P和和F3能能投影到轴投影到轴AD上上. FiAD = 00223FPPF2315 2)由由于于F1 、 F4 和和F6均为铅垂方向均为铅垂方向,力力矩轴应选铅垂方向矩轴应选铅垂方向. MBB(Fi) = 03)力矩轴应选在过力矩轴应选在过另三个力线的交点另三个力线的交点B或或C .0225aFPaF5 = -P2 MCC(Fi) = 00222FaPaPF22PaaADBCDABCaF1F2F3F5F6F416 MAD(Fi) = 002263FaFaF6 = - P MCD(Fi) = 002221FaFaF1 = - PPaaADBCDABC

9、aF1F2F3F5F6F417 MBC(Fi) = 0F1 a + F4 a = 0F4 = PPaaADBCDABCaF1F2F3F5F6F418例例题题4 边长为边长为a的正方形薄板由六根连杆支持如图所示的正方形薄板由六根连杆支持如图所示.不计板的重量不计板的重量 ,并把连杆看作二力杆并把连杆看作二力杆.求当板上有一力求当板上有一力P和一力偶和一力偶M作用时各杆的内力作用时各杆的内力.aADBCDABC1 23456MP下例题可讲可不讲下例题可讲可不讲19aADBCDABC1 23456MP解解: 取薄板为研究对象画受力图取薄板为研究对象画受力图F1F2F3F4F5F620 Fyi = 0

10、022223PFF3 = - P MAA(Fi) = 00225FaMaMF25 MAD(Fi) = 00226aFPaPF226aADBCDABC1 23456MPF1F2F3F4F5F621 MMDD(Fi) = 0022222FaPaMaMPF22 MCD(Fi) = 00222221PaFaFaaMF1 MBC(Fi) = 0022431FaaFFaaMPF224aADBCDABC1 23456MPF1F2F3F4F5F622如果把微小块体的重力都看成为平行力系，则可用合力矩定理求整个物体重心的位置： iiCxPxP二、重心坐标公式二、重心坐标公式：由：同样对x轴：iiCyPyPP=P

11、i物体的重量3-7 3-7 物体的重心和形心物体的重心和形心一、物体的重心一、物体的重心)()(iPMyPMy得：23 为求Zc，将物体连同坐标系一起绕x轴顺时针方向旋转90，使y轴向下，于是各力与y轴平行，再对x 轴应用合力矩定理得：iiCzPPz综合上述得重心坐标公式重心坐标公式为：PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC , ,若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得质心公式质心公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC , ,24设 i表示第i个小部分每单位体积的重量，Vi第i个小体积。对于均质物体均质物体， =恒量恒量，则：VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC ,

12、,三、均质物体的重心坐标公式三、均质物体的重心坐标公式：Pi= Vi， P= Pi= Vi= Vi= V于是得：均质物体的重心与其重量无关，只与物体的体积（几何形状）有关，这个只由物体的几何形状决定的点称为物体的形心只由物体的几何形状决定的点称为物体的形心。上式又称为物体的形心公式形心公式。注意：（1）形心与重心是两个不同的概念。对于均质物体，重心和形心是重合的。25（2）有对称面（轴、点）的均质物体，其重心必在对称面（轴、点）上。令Vi0，则右式可写成积分形式积分形式：VxdVxVCVydVyVCVzdVzVCVzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC , ,26 （1） 利用对称性（对均质物体）利用对称性（对均质物体） 四、求物体重心的方法四、求物体重心的方法CCC27(2) 分割法和负面积法分割法和负面积法（对均质物体对均质物体）例题例题 求图示平面图形的形心。求图示平面图形的形心。5m5m15m15m20m28解解:(1)分割法分割法 取坐标如图且把平取坐标如图且把平面图形分为面图形分为 A和和 B两两部分部分.C1(2.5,7.5)C2(12.5,2.5)5 .75151555 .125155 .2155cx55151555.25155.7155cyx5m5m15m15m20myoC1AC2B29(2) 负负面积