第9节闭区间上连续函数的性质

1、高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室一.最大值和最小值定理二.介值定理高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室 , , 00 xfxfxfxf 都都有有使使得得若若上上有有定定义义在在区区间间设设,0IxIxIxf . 最最小小值值最最大大值值 上上的的在在区区间间是是函函数数则则称称Ixfxf0最值：最值： 最大值和最小值定理高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室设 f (x) C ( a, b ), 则 (i) f (x) 在 a, b 上为以下四种单调函数时 aObxyaObxyOab xyO

2、abxy高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室y = f (x) a, b , y = f (x) a, b , . )()(max,bfxfbax, )()(min,afxfbax， )()(max,afxfbax. )()(min,bfxfbax此时, 函数 f (x) 恰好在 a, b 的 端点 a 和 b 处取到最大值和最小值.则则高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室 (ii) y = f (x) 为一般的连续函数时,maxmax654321,baaaaaaabaxmmmmmmmm,minmin654321,baaaaa

3、aabaxmmmmmmmmxya a1a2a3a4a5a6bmamby = f (x)O1am2am3am4am5am6am高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室(最大值和最小值定理)若 f (x) C ( a, b ) , 则它在该闭区间上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 .高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室 .,值值内内既既无无最最大大值值又又无无最最小小但但在在内内连连续续在在babaxy 21110 311 xxxxxxfy , 12 0 x上上有有间间断断点点，在在.2 , 0大大值值又又无无最最小小值值上上既既

4、无无最最它它在在闭闭区区间间.定定有有最最大大值值或或最最小小值值则则函函数数在在该该区区间间上上不不一一,在定理中 闭区间的条件是很重要的.若函数在开区间内连续 或在闭区间上有间断点，注注。.1122oxy例例高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室若 f (x)C( a, b ), 则 f (x) 在 a, b 上有界. xya a1a2a3a4a5a6bmamby = f (x)O1am2am3am4am5am6am 看图就知道如何证明了.高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室 f (x) 在 a, b 上可取到它的最大值 M

5、 和 f (x)C ( a, b )故 m f (x) M , xa, b,| f (x) | M* , xa, b,令 M* = max |m|, | M| , 则即 f (x) 在 a, b 上有界.最小值 m ,证高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室二.介值定理axyy = f (x)f (a)bf (b)Of (x)C ( a, b ),f (a) f (b) 0, f ( )0.先看一个图 描述一下这个现象高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室(根存在定理或零点定理)则至少存在一点 (a, b), 使得 f ( )0.

6、设 f (x) C ( a, b ), 且 f (a) f (b) 0,axyy = f (x)f (a)bf (b)O高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室f (a) =Af (b) =Byy = f (x)Cy f ( ) = C下面看看, 坐标平移会产生什么效果.xxxxOabxabxO如何描述这个现象?高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室(介值定理)设 f (x)C ( a, b ), f (a)A, f (b)B,且 A B, 则对于 A, B 之间的任意一个数 C, 至少存在一点 (a, b), 使得 f () =

7、C.高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室令 (x) = f (x) C 故由根存在定理, 至少存在一点 (a, b) 使 则 (x)C ( a, b ) C 在 A, B 之间 (a) (b) = ( f (a) C )( f (b) C )= ( A C ) ( B C ) 0yBCAOabbxx证 ( )= 0, 即 f ( ) = C .高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室最大、最小值定理介质定理？ 引入设 f (x) C ( a, b ), 则 f (x) 取得值 m 之间的任何一个值. 推论推论介于其在 a, b 上

8、的最大值 M 和最小高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室证证 ,1 , 0上上连连续续是是多多项项式式，在在闭闭区区间间xf . 021 , 010 ff且且 . 0,1 , 0 , f使使得得至至少少存存在在一一点点由由介介值值定定理理知知 .1 , 001423 内内至至少少有有一一个个根根在在区区间间即即方方程程 xx .1 , 001423内内至至少少有有一一个个根根在在证证明明方方程程 xx例例 1423 xxxf设设高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室证明方程 x5 3x =1, 在 x =1 与 x =2 之间令 f (x) = x5 3x 1, x1, 2,则 f (x)C( 1, 2 ),又 f (1) = 3, f (2) = 25, f (1) f (2) 0,即 方程在 x =1 与 x =2 之间至少有一根.故 至少存在一个 (1, 2), 使得 f ( ) = 0,至少有一根.例2证高等数学电子教案高等数学电子教案 城市学院数学教研城市学院数学教研室室.)()()()(21nxfxfxffn设 f (x)C ( a, b ), 证明: 至少存在一点 x1 , xn , 使得例1a x1 x2 xn 0, b 0 )