对数式与对数函数复习课件(池)

1、一、对数式一、对数式1.1.对数的定义对数的定义 如果如果ax=N(a0且且a1)，那么数，那么数x叫做叫做以以a为底为底N的对数的对数,记记作作_,其中其中_叫做对数的底叫做对数的底数数,_叫做真数叫做真数. x x=log=loga aN Na aN N对数与指数的互化对数与指数的互化ax=Nx x=log=loga aN N推论：推论： =_;=_;logloga aa aN N=_(=_(a a00且且a a1).1). NaalogN NN N对数形式对数形式特点特点记法记法一般对数一般对数底数为底数为a a( (a a00且且a a1)1)_常用对数常用对数底数为底数为_自然对数自

2、然对数底数为底数为_logloga aN N1010lg lg N Ne eln ln N N2.2.几种常见对数几种常见对数一、对数式一、对数式一、对数式一、对数式3.3.对数的性质对数的性质 loga1=0(a0且且a1). logaa=1(a0且且a1) 零和负数没有对数。零和负数没有对数。4.4.对数的运算法则对数的运算法则 如果如果a a00且且a a1,1,M M0,0,N N0,0,那么那么 logloga a( (MNMN)=_;)=_; =_; =_;logloga aM M+log+loga aN Nlogloga aM M-log-loga aN NNMalog logl

3、oga aM Mn n= = _(_(n nR R);); n nlogloga aM M .loglogMmnManam一、对数式一、对数式换底公式换底公式: : ( (a a, ,b b均大于零且不等于均大于零且不等于1)1)； 推广推广logloga ab bloglogb bc cloglogc cd d=_.=_.5.5.对数的重要公式对数的重要公式bNNaablogloglog,log1logabbalogloga ad d二、对数函数二、对数函数1.1.对数函数的定义对数函数的定义 函数函数 y=logax(a0, 且且a 1)叫做叫做对对数函数数函数, 其中其中 x 是自变量是

4、自变量, 函数函数的定义域是的定义域是 .(0,(0,+) )说明说明：对数函数有以下特点：对数函数有以下特点：（1）自变量在真数上，且系数为）自变量在真数上，且系数为1；（2）底数是常数，且大于）底数是常数，且大于0不等于不等于1；（3）对数式前面的系数为）对数式前面的系数为1。 称以称以10为底的对数函数为底的对数函数y=lgx为为常用对数函数常用对数函数 称以无理数称以无理数e为底的对为底的对数函数数函数y=lnx为自然为自然对数对数函数函数2.2.对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质a a1100a a111时时,_,_当当00 x x111时时,_,_当当00 x x100y y

5、00y y000增函数增函数减函数减函数说明：说明：对数函数值域为R指的是真数取遍所有正实数题型一题型一 对数的化简与求值对数的化简与求值【例例1 1】(1)(1)化简化简: : (2)(2)化简化简: : (3)(3)已知已知logloga a2=2=m m,log,loga a3=3=n n, ,求求a a2 2m m+ +n n的值的值. . ;40lg50lg8lg5lg2lg;24log35 . 0解解 (1)(1)原式原式= =(2)(2)(3)(3)方法一方法一 logloga a2=2=m m,a am m=2.=2.logloga a3=3=n n,a an n=3.=3.故

6、故a a2 2m m+ +n n=(=(a am m) )2 2a an n=4=43=12.3=12.方法二方法二 logloga a2=2=m m,log,loga a3=3=n n, ,. 145lg45lg4050lg852lg. 241828282822241log4log4log4log34log322215 . 05 . 0.1212log3log2log22aaaaaanm探究提高探究提高 （1 1）在对数运算中）在对数运算中, ,先利用幂的运算把先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对

7、数运算法则化简合并，在的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化运算中要注意化同底和指数与对数互化. .(2)(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧. . 知能迁移知能迁移1 1 (1) (1)化简化简(log(log4 43+log3+log8 83)(log3)(log3 32+log2+log9 92)=2)= _. _. 解析解析 .45)2log23()3log65()22(log)33(log)2log212)(l

8、og3log313log21(32213312123322原式45(2)(2)已知已知3 3a a=5=5b b= =A A, ,且且 则则A A的值是的值是 （ ） A.15 B. C. D.225 A.15 B. C. D.225 解析解析 3 3a a=5=5b b= =A A,a a=log=log3 3A A, ,b b=log=log5 5A A, , =log =logA A3+log3+logA A5=log5=logA A15=2,15=2, A A2 2=15,=15,A A= = 或或A A= = （舍）（舍）. . , 211ba1515ba111515B题型二题型二

9、比较大小比较大小【例例2 2】设设a a=log=log2 2, , 则（则（ ） A. A.a a b b c c B.B.a a c c b b C. C.b b a a c c D.D.b b c c a a 解析解析 a a=log=log2 21,1, a a b b, ,a a c c. . b b c c,a a b b c c. . , 3log2b,2log3c, 12log21, 13log2132cb, 12lg3lg2log3log2232又探究提高探究提高 比较对数式的大小，或证明等式问题是比较对数式的大小，或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多对数中

10、常见题型，解决此类问题的方法很多, ,当底当底数相同时可直接利用对数函数的单调性比较数相同时可直接利用对数函数的单调性比较; ;若底若底数不同，真数相同数不同，真数相同, ,可转化为同底（利用换底公式）可转化为同底（利用换底公式）或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底，或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较不同真数，则可利用中间量进行比较. . 知能迁移知能迁移2 2 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小. . (1) (1) (2)log (2)log1.11.10.70.7与与loglog1.21.20.7;0.7; ;56log32log53

11、与解解 （1 1） loglog1=0, log5 51=0,1=0, 32log356log5.56log32log53(2)(2)方法一方法一 00.71,1.1log00.71,1.1log0.70.71.1log1.1log0.70.71.2,1.2,即由换底公式可得即由换底公式可得loglog1.11.10.7log0.7log1.21.20.7.0.7.方法二方法二 作出作出y y=log=log1.11.1x x与与y y=log=log1.21.2x x的图象的图象. .如图所示两图象与如图所示两图象与x x=0.7=0.7相相交可知交可知loglog1.11.10.7log0

12、.70,0,a a1)1)，如，如 果对于任意果对于任意x x33，+)+)都有都有| |f f( (x x)|1)|1成立，试求成立，试求 a a的取值范围的取值范围. . 解解 当当a a11时，对于任意时，对于任意x x33，+),+),都有都有f f( (x x)0.)0. 所以所以,|,|f f( (x x)|=)|=f f( (x x),), 而而f f( (x x)=log)=loga ax x在在33，+)+)上为增函数，上为增函数， 对于任意对于任意x x33，+),+),有有f f( (x x)log)loga a3. 3. 因此因此,要使要使|f(x)|1对于任意对于任意

13、x3，+)都成立都成立.只要只要loga31=logaa即可，即可，1a3. 当当0a1时，对于时，对于x3，+),有有f(x)0,|f(x)|=-f(x). f（x）=logax在在3，+)上为减函数，上为减函数，-f（x）在）在3，+)上为增函数上为增函数.对于任意对于任意x3，+)都有都有|f(x)|=-f(x)-loga3. 因此，要使因此，要使| |f f( (x x)|1)|1对于任意对于任意x x33，+)+)都成立都成立, ,只要只要-log-loga a3131成立即可，成立即可，综上综上,使使|f(x)|1对任意对任意x3，+)都成立的都成立的a的取的取值范围是值范围是(1

14、，3 ，1). . 131, 31,1log13logaaaaa即31 本题属于函数恒成立问题，即在本题属于函数恒成立问题，即在x x33，+)+)时时, ,函数函数f f( (x x) )的绝对值恒大于等于的绝对值恒大于等于1.1.恒成恒成立问题一般有两种思路立问题一般有两种思路: :一是利用图象转化为最值问一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题题；二是利用单调性转化为最值问题. .这里函数的底这里函数的底数为字母数为字母a a, ,因此需对参数因此需对参数a a分类讨论分类讨论. . 探究提高探究提高知能迁移知能迁移3 3 (1) (1)设设f f( (x x)= )=

15、是奇函数，则使是奇函数，则使 f f( (x x)0)0的的x x的取值范围是的取值范围是 （ ） A.(-1,0) B.(0,1)A.(-1,0) B.(0,1) C.(-,0) D.(-,0)(1,+) C.(-,0) D.(-,0)(1,+) )12lg(axA 解析解析 f f（x x）为奇函数，）为奇函数，f f（0 0）=0.=0. 解之，得解之，得a a=-1.=-1.f f( (x x)= )= 令令f f( (x x)0)0，则，则 x x(-1(-1，0). 0). .11lgxx, 1110 xx(2)(2)已知已知f f( (x x)=log)=loga a(3-(3-

16、a a) )x x- -a a 是其定义域上的增函数是其定义域上的增函数, , 那么那么a a的取值范围是的取值范围是 （ ） A.(0,1) B.(1,3)A.(0,1) B.(1,3) C.(0,1)(1,3) D.(3,+) C.(0,1)(1,3) D.(3,+)解析解析 记记u u=(3-=(3-a a) )x x- -a a, , 当当11a a333时，时，y y=log=loga au u在其定义域内为增函数，在其定义域内为增函数， 而而u u=(3-=(3-a a) )x x- -a a在其定义域内为减函数，在其定义域内为减函数，此时此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要

17、求在其定义域内为减函数，不符合要求. 当当0a1,1,x x2 21, 1, 则点则点A A、B B的纵坐标分别为的纵坐标分别为loglog8 8x x1 1、loglog8 8x x2 2. .因为因为A A、B B在过点在过点O O的直线上，的直线上， 所以所以 点点C C、D D的坐标分别为的坐标分别为( (x x1 1,log,log2 2x x1 1) )、( (x x2 2,log,log2 2x x2 2),),由于由于loglog2 2x x1 1= =3log= =3log8 8x x1 1,log,log2 2x x2 2=3log=3log8 8x x2 2, ,OCOC

18、的斜率为的斜率为k k1 1= = ODOD的斜率为的斜率为k k2 2= = 由此可知由此可知k k1 1= =k k2 2, ,即即O O、C C、D D在同一直线上在同一直线上. . ,loglog228118xxxx2loglog818x,log3log118112xxxx,log3log228222xxxx（2 2）解解 由于由于BCBC平行于平行于x x轴，知轴，知loglog2 2x x1 1=log=log8 8x x2 2，即得即得 代入代入x x2 2loglog8 8x x1 1= =x x1 1loglog8 8x x2 2, ,得得 由于由于x x1 11,1,知知l

19、oglog8 8x x1 10,0,故故 又因又因x x1 11,1,解得解得x x1 1= ,= ,于是点于是点A A的坐标为的坐标为 利用函数图象和解析几何的思想方法利用函数图象和解析几何的思想方法, ,突突出了本题的直观性出了本题的直观性. .将对数的运算融于几何问题，体将对数的运算融于几何问题，体现了数形结合的思想现了数形结合的思想. . ,log31log3122212xxxx,log3log1811831xxxx,3131xx 3).3log, 3(8探究提高探究提高知能迁移知能迁移4 4 已知函数已知函数 是奇函数是奇函数( (a a0,0, a a11）. . (1) (1)求求m m的值；的值； (2)(2)判断判断f f( (x x) )在区间在区间(1,+)(1,+)上的单调性并加以证明上的单调性并加以证明. . 解解 （1 1）f f（x x）是奇函数，）是奇函数， f f（- -x x）=-=-f f（x x）在其定义域内恒成立，）在其定义域内恒成立， 1-1-m m2 2x x2 2=1-=1-x x2 2恒成立，恒成立， m m=-1=-1或或m m=1=1