矩阵理论 课件 第4章第5节凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式

凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式4.5凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式凯莱-哈密顿定理矩阵多项式是一类重要的矩阵函数.与代数多项式类似,只需把代数多项式中的自变量换成相应的矩阵,自变量的零次幂换成单位矩阵即可得矩阵多项式.定义4.16设为数域上的阶矩阵,为数域上的次多项式,将多项式中的换成换成单位矩阵则多项式变为

这就是矩阵多项式,记为为其次数,记为显然,矩阵多项式仍为矩阵.引理4.5若存在可逆矩阵使得则即相似矩阵的多项式仍然相似,且相似变换矩阵不变.凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式引理4.6对角矩阵的多项式仍为对角矩阵,分块对角矩阵的多项式仍为分块对角矩阵：

引理4.7设

即为以0为对角线元素的阶Jordan块,则

凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式以上3个引理均可由矩阵的运算法则直接验证.定理4.17(Cayley-Hamilton定理)设为数域上的阶矩阵,则

证设的Jordan标准型为则存在可逆矩阵使得根据引理4.2,只需证明；根据引理4.3,只需证明对的任一Jordan块满足即可.设有个互异特征值其代数重数分别为则凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式设的某个对角块为其阶数为对角线元素为(为中的一个).由于特征多项式是所有初等因子的乘积,因此必有因为

并注意到的对角线元素为所以其阶数根据引理4.4,有

从而,例4.12设计算矩阵多项式解的特征多项式为设则由凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式解得由Cayley-Hamilton定理得故

例4.13设其中为虚数单位,计算解的特征多项式为

由Cayley-Hamilton定理得即

从而凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式由以上两个例子可见,对于阶矩阵的任一次数高于的多项式可以用的特征多项式去除得到一个次数低于的多项式即并且这样可以大大减小计算量.凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式矩阵的最小多项式由4.5.1节的例题可知,若所给矩阵的多项式取值为零,则此矩阵的高次多项式的值可通过一个低次多项式来计算.当然,这个取值为零的多项式的次数越低越好.矩阵的特征多项式就是这样的多项式,那么矩阵是否存在次数更低的取值为零的多项式呢？本节讨论这个问题．定义4.17设为数域上的阶方阵,为某一多项式(一般首项系数取为1),若则称为的一个零化多项式.根据Cayley-Hamilton定理,的特征多项式就是的一个零化多项式.因为零化多项式与任一多项式的乘积仍为零化多项式,所以矩阵的零化多项式有无穷多个.而且,矩阵的特征多项式不一定是次数最低的零化多项式.凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式例如,对于其特征多项式为故但对于多项式也有定义4.18矩阵的次数最低的首项系数为1(简称首1)的零化多项式称为的最小多项式,记为定理4.18任一阶方阵都存在最小多项式.证设阶矩阵因为含有个数,所以可把它看作维空间中的向量.对于向量组由于其中向量的个数大于维数,因此它们线性相关.设是使向量组线性相关的最低次数,即线性相关,则存在个不全为零的数使得

凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式其中,否则这与对的假设矛盾,故令则

定义以下多项式：

则

并且没有次数比它更低的多项式满足上式,因此,就是的最小多项式.凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式定理4.19设为数域上的阶矩阵,则的最小多项式能整除的任一零化多项式,且最小多项式是唯一的.证设为的任一零化多项式,假设不能整除则

其中,的次数低于的次数.由可知这与是的最小多项式矛盾.再证唯一性.设有两个不同的最小多项式与令则由与为首一多项式且次数相同可知,是比次数低的非零多项式,且

这与是的最小多项式矛盾.凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式定理4.20相似矩阵有相同的最小多项式．证设方阵与相似,即存在可逆矩阵使得与分别是与的最小多项式,则

根据定理4.15,可知同理,由

可得因为与都是首一多项式,所以注定理4.20的逆不成立.例如,对于矩阵

凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式它们的特征多项式分别为

由于它们的特征多项式不同,显然它们不相似,但它们有相同的最小多项式.下面介绍几种求最小多项式的方法.方法1利用待定系数法求最小多项式定理4.18的证明过程实际上就给出了求最小多项式的待定系数法,具体步骤如下.第一步：即试解看是否有解.若有解则最小多项式为

若无解,则进入下一步.第二步：即试解看是否有解.若有解和则最小多项式为

若无解,则进入下一步.凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式第三步：即试解看是否有解.若有解则最小多项式为

若无解,则进入下一步.依次试解,直到求出使矩阵方程成立.用代替代替1,即得所求的最小多项式例4.14求以下矩阵的最小多项式：解第一步：试解显然,此矩阵方程无解.凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式第二步：试解经过计算可知,此矩阵方程也无解.第三步：试解写出方程两端的矩阵,选择第一行来解的第一行为的第一行为

可得关于的方程组

解得经过验证,将上面解出的代入其余行也都成立.从而,矩阵方程成立.因此,的最小多项式为凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式方法2由不变因子求最小多项式定理4.21设为阶方阵,是的阶行列式因子,则的最小多项式为

其中,是的第个不变因子.例4.15求以下矩阵的最小多项式：

解容易计算的特征多项式为3阶行列式因子为故

即的最小多项式为其特征多项式.凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式方法3由特征多项式求最小多项式定理4.22方阵的最小多项式的根必是的特征值；反之,的特征值也必是的最小多项式的根.证因为的特征多项式是零化多项式,所以由定理4.19可知,可被

的最小多项式整除,即是的因式,故的根都是的根,即的最小多项式的根必是的特征值.反之,若是的任一特征值,且

又设的最小多项式为

则凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式又因为所以有

即的特征值是的根.这个定理反映了特征多项式与最小多项式之间的关系,提供了求最小多项式的又一种方法.设阶矩阵的所有互异特征值为且的特征多项式为

则的最小多项式具有如下形式：

其中,是使的最小次数.推论4.2若的特征值两两互异,则它的特征多项式就是最小多项式.凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式例4.16求以下矩阵的最小多项式：

解的特征多项式根据定理4.22,的最小多项式可能是

中的某个,通过计算得

故的最小多项式为凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式例4.17求以下矩阵的最小多项式：解的特征多项式根据定理4.22,的最小多项式可能是中的某个,通过计算可得

故的最小多项式为

凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式方法4利用Jordan标准型求最小多项式定理4.23设为阶矩阵,则的最小多项式可由

给出,其中,是的互异特征