勾股定理及其推广与应用

1、 勾股定理及其推广勾股定理及其推广与应用与应用1.毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯(Pythagoras)定理(百牛定理)(文明的基础) ：直角三角形斜边长度的平方等于另两边长度的平方和.发现者：不详发现时间：不详评价：直到今天毕达哥拉斯定理仍旧是数学中最重要的一个J.Bronowski222cab 毕达哥拉斯定理的发现过程已无法考证了，但关于该定理的二次发现都有数不清的故事 几何原本第一册命题47：毕达哥拉斯定理 早在Euclid之前，甚至Pythagoras之前，Pythagoras定理就已经存在了：公元前1800年，巴比伦人的楔形文字泥板上就已经有了由15行毕达哥拉斯三元数组成的数

2、古印度人绳法经(约公元前500年公元前100年)中为宗教建筑的建造提供了相当多的几何知识中国现存最早的有关天文学和数学著作周髀算经(成书公元1世纪)书中文字可追溯到公元前1世纪，书中内容据说还要早十个世纪 (商高定理周公问商高，商高答) 传统上，人们认为斜边定律：勾三，股四，弦五(Pathagorean定理(西方)的第一个证明是由Pathagoras(约公元前569前475)于公元前550年给出的(证明已失传) ，这个说法是在其后500年首次提出，但事实并非如此，该定理的证明思想起源于古希腊时代，经历了几百年才形成的，这个这一阶段的顶峰是Euclid的几何原本 1940年，87岁的卢米斯收集了

3、370个证法吉尼斯世界纪录大全, 最近网站上的“毕达哥拉斯定理最新证法”一栏中显示的是一位发现了520种证法的希腊人 几个简单证明： 1.使用相似三角形证明. 2.Euclids面积证明. 3.通过重排证明. 4.代数证明. 5.用微分证明. 1876年4月1日，美国国会议员伽菲尔德(Garfield)在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的直观、简洁、易懂、明了的证明，后来就把这一证明称为勾股定理的“总统”(5年后成第20届总统)证法：ABECDbbaccaAEC的面积=CBD的面积=ACB的面积=而梯形ABDE的面积=12ab12ba212c1()()2ab ab因此，则勾股定理进一步发展

4、？221111()2222abbacab222cba2.推广与应用推广与应用欧几里得欧几里得(Eulid)公式公式： 若 ， 两两互素且 ，则 s.t 反之亦真 Ncba,),(cba222cba1),( ,pqpNq. , ,22222qpcqpbpqa值 的勾股数有 研究 的有理解：令 ，则 122yx100 ),13,12, 5( ),5 , 4 , 3(pqt .11 ,12222ttyttx丢番图（丢番图（Diophantus）乘积公式：）乘积公式：如果 ，则2222,dcnbam.)()(22bcadbdacmnDiophantus猜想：猜想：形如 的数不是两个整数的平方和.14

5、n费马费马(Fermat)关于平方和的猜想（关于平方和的猜想（1659）：）：一个无平方因子的整数是两个有理数的平方和当且仅当它是形如2, 的素数的积.4117,3213,215222222平方和：平方和：14 n非平方和数：非平方和数：3，7，11，19，23费马费马“关于有理三角形的基本定理关于有理三角形的基本定理” ：素数p是一个整数边直角三角形的斜边当且仅当它具有形式 .,2,2222yxbxyayxp证：由Eulid公式14 nEuler花了7年时间于1749年找到了一个完整的证明，关键：Eulid公式+无穷下降法.22bapGauss(1832)：).)(biabiap并由互反律以

6、及Zi中的唯一分解定理得. 整数中的素分解勾股定理的一个巨大成就是导致了无理数的发现：,)2(13,1122222三角恒等式：. 1cossin,cos,sin22cacb内积和矢量积:余弦定理(Law of Cosines):.,)sin(,cos2222ban.cos2222cabba它等价于勾股定理.Hilbert空间空间：把 推广到具有内积的无穷维完备空间.内积是有限维 中数量积 的推广.内积 满足三条公理：共轭对称性：nRnRyxyx,; 00, 0,xxxxx;,xyyx).,(),(,2121zyzxzyx三平方和三平方和：定理(Legendre,1798):一个正整数是三个整数

7、的平方和当且仅当它不是形如 的数.)78(4mn四平方和四平方和：定理(Lagrange,1772):每个正整数都是四个整数的平方和.立方和 ？高次方和？Hilbert空间的例子空间的例子：定义内积：.),( .11212iinxxxxl),(,2baLvu.)()(,dxxvxuvuba. 0),(vuvu.),(: .222badxfRbafLPythagorean定理：定理：若 ，则0),(vu.222vuvu若 两两正交，则.222222vuvuvu广义广义Pythagorean定理：定理：),(1nuu.1221iiiiuuParseval Identity：.21iiu（若 两两正

8、交且 ）),(1nuu.1221iiiiuu还可以定义内积：,*Bvuvu则有Pythagorean定理定理：,)(222uPIPuu这里 是Hermite正定矩阵, 即 且nnBBBBT* ., 0,0*TnuuBuuRu这里这里P是投影矩阵满足.*BPBP注意 是正交投影.还有一般的正交投影定理2121PBBP 中直角坐标系下弧长元素平面极坐标下弧长元素 ，则圆周长一般弯曲Riemann几何空间中的弧长元：其中 称为度量张量.3R.222dzdydxds222drdrds2020.2 rrddsL,1,njijiijddxgdsijg在微分几何中的应用：在微分几何中的应用：等周不等式：等周

9、不等式：其中L为简单闭曲线的长，A为闭曲线所围成的面积. .4)2(22rr,42LA 取等号的充要条件是边界曲线是圆周，此时所围的面积最大，为 Euler公式：公式：可用Fourier级数理论证明. 而Fourier级数理论最关键的是用了周期三角函数系 的正交性：nxnx sin,cos, 1.61212in2020202020.,0sinsin,0coscos,0sincos,0sin1,0cos1knkxdxnxknkxdxnxmxdxnxnxdxnxdx则2)(xf, )sincos(2)(, )sincos(2)(1010nnnmnnnmnxbnxaaxfnxbnxaaxS对以 为周期的函数 ，作和：.sin)(1,cos)(1 cos)(12020nt