小学数学毕业总复习资料

1、数与代数一、数的认识（1）整数与自然数生产生活中，表示物体个数的0、1、2、3的数叫自然数。0是最小的自然数，没有最大的自然数。 自然数有两个作用：第一，表示物体的多少，叫基数。第二，表示事物的顺序，叫序数。 自然数都是整数，整数包括负整数、0和正整数。 整数的计数单位，从右到左即是从低位到高位，分别是一（个）十、百、千、万、十万整数的分级：整数从右到左，四位一级，分别是个级、万级、亿级。 整数的读法：从高位到低位一级一级往下读；个级怎么读，亿级万级就怎么读，只要在亿级和万级的末尾添上“亿”或“万”就可以了；每级中间有几个“0”，只读一个“零”；每级末尾

2、的“0”都不读。 整数的写法：从高到低一级一级往下写，每个数位上有几个单位就写上几，如果一个单位也没有就写“0”。  典型题型：1、一个数，亿位上是最大的一位数，万位上是最小的合数，百位上是最小的质数，其余各位上都是0，这个数写作（ ）读作（ ），省略万位后面的尾数约是（ ）。2、一个六位数省略万位后面的尾数是69万，这个数最大是（ ）最小是（ ）（2）小数的认识小数的意义表示把整数“1”平均分成10份、100份、1000份取其中的十分之几、百分之几、千分之几的数叫小数。 小数的数位和计数单位：小数的数位从小数点的右边第一位起，往右依次是从高到低；分别是

3、十分位、百分位、千分位计数单位分别是十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001小数的读写：整数部分按整数来读写；小数部分每一位上是几就读几，有几个单位就写成几。小数的分类：      有限小数    纯小数：整数部分是0的小数。如0.8、0.15。     （位数有限）  带小数：整数部分不是0的小数。如7.8、3.15。 小数     纯循环小数：从十分位起就循环。无限循环小数 

4、60;     无限小数             混循环小数：从百分位之后循环。    （位数无限） 无限不循环小数：（3.1415926）  循环小数：a 、循环小数的含义：一个小数从小数部的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数就叫循环小数。 b 、循环小数的两种写法：第一种，将循环节写两遍，然后添上“”。第二种，循环节只写一遍，在循环节的首数和

5、末数上各记一个点。循环节就是一个循环小数中重复出现的那几个数字。小数的基本性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。小数点位置的移动引起小数大小的变化：小数点向右移动一位、二位、三位，小数的值就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍；小数点向左移动一位、二位、三位，小数的值就缩小为原来的、如果需要将小数扩大或缩小整十整百倍，则只需相应地移动小数点就可以。小数乘除法规律一个数（0除外）乘大于1的数，        积大于这个数。 一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。

6、0;一个数（0除外）乘1，                 积等于这个数。 商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。 两数相除，除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商也随着扩大或缩小几倍。 两数相除，被除数不变，除数扩大几倍，商就缩小几倍。两数相除，被除数不变，除数缩小几倍，商就扩大几倍。 一个数（0除外）除以大于1的数，   

7、     商小于被除数 一个数（0除外）除以1，                商等于被除数 一个数（0除外）除以小于1的数（0除外）， 商大于被除数典型题型：1、一个小数，小数点向左移动三位，再扩大100倍后是0.25，原来的小数是（ ）。2、把下面的数按从大到小的顺序排列起来。. .3.14 3.142 3.14153、 5.994保留两位小数是（ ）。

8、7.3903保留三位小数是（ ）（3）分数和百分数分数的意义：表示把单位“1”平均分成若干份，取其中的一份或几份的数叫分数。 分数单位：一个分数分母是多少，它的分数单位的分母就是多少，分数单位的分子总是1。如的分数单位是，里有4个。 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于或等于1；分子不是分母的倍数的假分数可写成整数与分数合并成的数称为带分数。分数的基本性质：a、基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数，（0除外），分数的大小不变。b 、最简分数，分子分母是互质数的分数叫做最简分数。当一个分数的分子、分母只

9、有公因数1时，它就是归简分数。如、。c 、约分，分子和分母同时除以他们的最大公因数，通常除到最简分数为止；d 、通分，把异分分数的分母化成相同的数，即把所有异分母分数的最小公倍数作为公分母。倒数。乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1,0没有倒数。分数与除法的关系：被除数÷除数（a÷b= 被除数是分子，除数是分母。两个整数相除，除不尽时商可以用分数表示，如6÷7。） 百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数，百分数也叫百分率或百分比。 百分数与分数的区别：百分数是特殊的分数，它与分数相比有如下特点：它只能表示两个数量之

10、间的关系，不能带单位；它必须用“”来书写。数的互化：写成分母是10、100、1000的分数，再约分用分子除以分母小数分数小数分数百分数百分数小数点向右移动两位，添上百分号去掉百分号，小数点向作移动两位写成分数形式，并约分先化成小数或分母是100的分数，再化成百分数小数、分数和百分数的大小比较：a 、分数和分数。分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的分数，分母小的分数比较大；分子分母都不相同的，先通分，化成同分母分数再比较。b 、整数、小数、分数和百分数混合比较，一般化成小数的形式进行比较。(4)数的整除1、整除的意义：整数a 除以整数b （b0）除的商正好是整数而没有余数，我们就可表述

11、为：a 能被b 整除或b 能整除a 。倍数 公倍数 最小公倍数因数 公因数 最大公因数（质因数 合数） 奇数能否被2整除 偶数能被2、3、5整除的数的特征整数2、概念： 分解质因数因数和倍数：如果自然数a 和自然数b 的乘积是c ，即a× b =c ，那么a 和b 是c的因数，c 是a 和 b 倍数。2、5、3倍数的特征： 2的倍数：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数：个位上是0或5的数。 3的倍数：各个数位上数字的和是3的倍数的数。奇数和偶数：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）0是最小的偶数，没有最大的偶数；自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1，没

12、有最大的奇数。质数、合数：一个数如果只有1和它本身两个因数，叫做质数（或素数）；一个数如果除了1和它本身以外，还有别的因数，叫做合数；一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；分解质因数的方法：a 、质因数分解法（塔式分解），b 、短除法。加法：偶+奇=奇 偶+偶=偶 奇+奇 =偶减法：偶奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶乘法：奇×偶=偶 偶×偶=偶 奇×奇=奇 质数-只有两个因数自然数 合数-两个以上的因数（按因数个数分） 1-只有一个因数1既不是质数也不是合数互质数：只有公因数1的两个数叫做互质数。公因数和公倍数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大

13、的一个数叫做这几个数的最大公因数；几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个数叫做这几个数的最小公倍数找最大公因数和最小公倍数的方法最大公因数：a、如果两个数只有公因数1，两个数的最大公因数就是1。 b 、如果两个数是倍数关系，小的那个数就是他们的最大公因数。 c 、除a b 两种情况外，用短除法来找。最小公倍数：a、如果两个数只有公因数1，两个数的最小公倍数就是两数的乘积。 b 、如果两个数是倍数关系，大的那个数就是他们的最小公倍数。 c 、除a b 两种情况外，用短除法来找。二、数的运算（一）四则运算 的意义1、加法： 把两个数合并成一个数的运算叫做加法。&#

14、160;  相加的两个数叫加数，相加的结果叫做和。2、减法： 已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。相减的结果叫做差3、乘法： 求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 相同的加数叫做因数，相同加数的个数叫做另一个因数，乘得的结果叫做积。    4 、除法： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。   相除的结果叫做商。在除法里，0不能做除数。（二）四则运算 的法则1、加减法法则整数小数分数1、相同数位

15、对齐。2、从低位算起。3、加法中满十就向前一位进一；减法中哪一位不够减时，就从前一位借，借一当十。1、1、相同数位对齐。（小数点对齐）2、从低位算起。3、按整数加减法的法则进行计算。4、结果中的小数点和相加减的数里的小数点对齐。1、同分母分数加减法，分母不变，分子相加减。2、异分母分数加减法，先通分然后再计算。3、计算结果能约分的要约分。2、乘、除法法则整数分数小数乘法1、从个位乘起，依次用第二个因数每位上的数字去乘第一个因数。2、用第二个因数哪一位上的数去乘，得数的末位就和第二个因数的那一位对齐。3、再把几个乘得的数加起来。1、按整数乘法的法则先求出积。2、看因数中一共有几位小数，就从积的右

16、边起数出几位点上小数点。1、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。2、有整数的把整数看作分母是1的假分数。3、有带分数的，通常先把带分数化成假分数。除法从被除数的高位除起，除数是几位数，就先看被除数的前几位，如果不够除，就要多看一位，除到哪一位就要把商写到哪一位的上面。商的小数点要和被除数的小数点对齐。先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数，（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。甲数除以乙数（0除外）等于甲数除以乙数的倒数。（三）四则运算的运算顺序   整数四则运算的运算顺

17、序和小数、分数四则运算顺序都相同。 加法和减法叫做第一级运算。   乘法和除法叫做第二级运算。1、在没有括号的算式里: 同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。  2、在有括号的算式里: 先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。   （四）运算定律 ：名称字母表示含义加法交换律a+b=b+a两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。乘法交换律a×b=b×a两个数相乘，交换因数的位置，积不变。加法结合律a+b+c

18、=a+(b+c)三个数（或更多）连加，可以将前两个数先相加，也可以将后两个数先相加，和不变。乘法结合律a×b×c=a×(b×c)三个数（或更多）连乘，可以将前两个数先相乘，也可以将后两个数先相乘，积不变。乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c两个数的和（或差）与第三个数相乘，可以先将两个数分别同第三个相乘，再将两次相乘的积相加（或减），结果不变。(五)简便计算两个数相乘，其中一个因数接近整百整千数，就用整百整千数减几，然后用乘法分配律进行计算。如：54×99=54×（1001）。两个数相乘，其中一个因数

19、是整百整千数多几，就把这个因数分成整百整千加几，然后用乘法分配律进行计算。如：54×102=54×（100+2）。两个因数不接近整百整千数，就把其中一个数分成几乘几，然后用乘法结合律进行计算。如：25×24=25×4×6只有加减法且没有括号时，可以先换位置再计算。如：163+7263=16363+72只有乘除法且没有括号时，可以先换位置再计算。如：100×72÷25=100÷25×72连减的简便计算，先让后两个数相加，最后再相减。如：1385347=138（53+47）连除的简便计算，先让后两个数相乘，最

20、后再相除。如：100÷25÷4=100÷（25×4）（六）分数、小数四则混合运算的计算方法1、分数、小数加减混合运算，当分数能转化成有限小数时（分母只含有质因数2和5），一般把分数化成小数后计算比较简便；当有的分数不能化成有限小数时，就把小数化成分数计算。2、分数、小数乘法混合运算，如果小数与分数的分母能约分时，可直接运算或把小数化成分数后再计算比较简便，如果把分数化成小数后能进形简算，也可以把分数化成小数计算。3、有些题目不一定把全题统一化成分数或化成小数计算，可以根据运算顺序，分成几部分进行处理，选择合适的算法。（七）“0”和“1”在四则运算中的特殊

21、性1、“0”与一个数相加，和仍是这个数。（a+0=a）2、一个数减去“0”，仍得这个数；相同的两数相减，差为“0”。（a-0=a a-a=0）3、“0”与任何数相乘，积为“0”。（a×0=0）4、“0”除以任何数，商为“0”； “0”不能做除数。（0÷a=0,a0）5、“1”与一个数相乘，积仍是这个数；（1×a=a）6、“1”除一个数，商仍是这个数；相同的两数相除，商为1。(a÷1=a；a÷a=1；a 0)（八）列式计算1、列式计算实际上是四则混合运算的文字读法，它一般要求列综合算式或方程来计算，不用作答。 2、列式计算中文字的含义。

22、 “加（加上）、减（减去）、乘（乘以）、除以”分别表示用“+、×、÷”计算。“除（去除）”也表示用“÷”计算，但是要将“除”字后面的数除以前面的数，如“4除5”即是“5÷4”。 “和、差、积、商”出现在文字题的条件里（前面部分），除了表示分别用“+、-、×、÷”计算之外，还表示要先算（往往要用到括号），如“75与25的和除以它们的的差”即是“（75+25）÷（7525）”。“和、差、积、商”出现在问题里（最后部分），只表示最后一部分的计算符号。 “它、它们”指前面说过的一个数或几个数。3、列式计

23、算的解题方法。 如果条件中全是已知数，问题部分的样式是“和（差、积、商）是多少？”或“得多少？”，一般用算术式解，基本上是按运算顺序用合适的运算符号将数连接起来。 如果条件中有未知数（“一个数”、“某数”），问题部分的样式是“求这个数”或“求某数”，用设未知数代入题中，用方程解比较简单。 列算术式或方程时，要注意按题中所说的顺序，正确使用运算符号和括号。三、式与方程（一）用字母表示数 1、任何一个数（自然数、小数、分数、百分数等）都可以用字母表示，当某个算式中出现字母时，我们要明白它就代表一个数。 2、数学概念、运算定律、计算公式和数量关系都可

24、以用含有字母的 式子表示。 3、在用字母表示图形的有关计算公式时，字母通常都有固定的对应数量： “a”表示长方形（体）的“长”，平行四边形、三角形的“底”，正方形的“边长”，正方体的“棱长”，梯形的“上底”。 “b”表示长方形（体）的“宽”，梯形的“下底”。 “h”表示种类图形的“高”。 “d”表示圆的“直径”。 “r”表示圆的“半径”。 “C”表示种类平面图形的“周长”。 “O”表示“圆心”。 “S”表示种类平面图形的“面积”和立体图形的“表面积”。 “V”表示立体图形的“体积”。 

25、4、含有字母的乘法算式的书写格式： 含有字母的乘法算式有三种写法：用“×”连接或用“·”代替乘号连接或全部省略直接连接。如：a×b=a·b=ab 字母与数字相乘时，省略乘号，数字要放在最前面，如：a×4=4a，×3=3。“”与其他字母相乘时，省略乘号，要放到前面，因为是一个固定的数，如：d×= d。（二） 简 易 方 程 1、等式：表示左右两边大小相等的式子叫等式，用“=”连接。不是相等关系的不能用等号连接。 2、方程：含有未知数的等式

26、叫方程。 3、解方程：求方程中未知数的值的过程叫解方程。 4、方程的解：使方程左右相等的未知数的值叫方程的解。 5、解方程的方法与步骤： 读方程，看清运算符号，确定方程本身的运算顺序。 将方程中能先算出的部分计算出得数。按照方程本身的运算顺序是要先算的却因含有未知数而算不出来，就将它看成一个整体。 利用四则运算各部分之间的关系来解方程。加数=和-另一个加数        被减数=减数+差      

27、;  减数=被减数-差 因数=积÷另一个因数         被除数=除数×商         除数=被除数÷商 6、解方程的注意事项解方程时，首先要在原方程式的左下方写“解”，其次是等号要对齐，不能连等；未知数x 一般要写在等号的左边。做每一步运算时，都要明白这一步运算的依据。对方程式的解进行检验时，把求出的未知数的值代入原方程中x的值进行计算，

28、使方程左右两边相等。7、方程的检验：将方程的解代入到原方程中未知数的位置进行计算，如果方程左右相等，就说明方程的解是对的。四、比和比例 1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。比与除法算式及分数之间可以互相转化，如：a÷b=a：b= a÷b。因此，比的后项，除数，分数的分母都不能是0。 2、比例的意义：表示两个比相等的式子叫比例。比例里包含两个大小相等的比。判断两个比能否组成比例，一般是看它们的比值是否相等。 3、求比值的方法：前项除以后项，计算出得数。 4、比的基本性质与化简比： 比的前项与后项同时乘以或除以一

29、个不是0的数，比值不变，这是比的基本性质。化简比主要用到这个性质。 除以前项和后项的最大公因数先把小数化成整数，再除以前项和后项的最大公因数乘前项和后项分母的最小公倍数化简比的方法： 整数比 最简单整数比小数比 最简单整数比分数比 最简单整数比化简比的含义：将一个比化成最简单的整数比（前后项互为质数，与化简分数一样）。 5、比例的基本性质与解比例：在比例里，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，这是比例的基本性质。解比例时先运用这一性质将比例转化成乘法方程，再按解方程的基本方法进行计算。  6、比例尺： 比例尺实际上是一个比，它是图上距离与实际距离

30、的最简比。 同一幅图上，用图上距离与对应的实际距离的比，可跟比例尺组成比例。 比例尺的分类及其含义                             比 例 尺按书写形式分  图上一小段线段（1厘米）相当于实际对应的距离（线段端点上所标的数量），如 千米表示图上1

31、厘米相当于实际20千米。0 20按书写形式分缩小的比例尺（如地图上的比例尺）：表示图上距离是实际距离的若 干分之一，如1100表示图上距离是实际距离的，也可写作扩大的比例尺（如精密仪器放大图上比例尺）：表示图上长度是实际 长度的若干倍，如101表示图上长度是实际长度的10倍。数 值比例尺 图上1厘米相当于实际若干厘米，如1：100000表示图上1厘米相当于实际 100000厘米。  线 段比例尺            7、正比例和反比例

32、 （1）意义：  正比例（即真正的比例关系）：两种量之间用除法计算（商是第三种量），一种量扩大另一种量随着扩大相同倍数，而它们的商（比值）是一定的（不变），这两种量就是成正比例的量，它们之间的关系叫正比例关系。反比例（与正比例相反的意思）：两种量之间用乘法计算（积是第三种量），一种量扩大几倍另一种量就缩小相同倍数，而它们的乘积是一定的（不变），这两种量就是成反比例的量，它们之间的关系叫反比例关系。 （2）如何简单快捷地判断两种量是否成比例，成什么比例？看根据两种量用什么方法求第三种量。用除法可能成正比例，用乘法可能成反比例，用加减法或无法计算都不成比例。

33、 看根据两种量用乘、除法计算出的得数是否一定（或是一个固定的已知数）。商一定，两种量绝对成正比例；积一定，两种量绝对成等比例。8、按比例分配：把一个数量按照一定的比例进行分配，这样的问题称为按比例分配。关系式：总数=总数×=某项的数解按比例分配问题的一般步骤：找出或求出要分的总数。根据已知的比求出总分数。确定各部分量占总数的几分之几。总数量分别乘以各部分占总量的分率，分别求出每部分是多少。还可以用先求每一份数量的方法（总数量÷份数=每份量），再以它为标准，分别求出各部分。9、比、分数和除法三者之间的关系 对应部分名称举例区别相互关系比前项比号（：）后项比值3:4=

34、表示两个数的关系a、两者可以相互转化 b 、其性质的内涵相同分数分子分数线（）分母分数值是一个数除法被除数除号（÷）比值商3÷4=是一个运算10、比和比例的区别与联系比 比例意义两个数相除又叫两个数的比表示两个比相等的式子叫做比例项数两项：前项和后项四项:两个内项和两个外项性质比的前项和后项都乘或除以相同的数（0除外），比值不变。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积解法前项÷后项=比值内项=外项之积÷另一个内项外项=内项之积÷另一个外项区别一个除式一个等式11、比和比例的区别和联系名称正比例反比例意义相同点两种相关联的量，一种量变化，另一种量

35、也跟着变化不同点两种量中相对应的两个数的比值一定。两种量中相对应的两个数的积一定。关系式=k (k值一定)x y = k (k值一定)数学思考 （一）鸡兔同笼 1、特点。“鸡兔同笼”的问题，实际就是假设问题。其特点是：具有不同特征数（脚数）的事物混在一起，知道它们的总数，求每个数量各是多少。 2、解题方法。 （1）假设法。假设全是鸡。因为鸡的脚数少，所以实际脚数比假设脚数要多，多的脚就是每只兔多了两只脚。计算方法是：（实际脚数头数×2）÷鸡与兔的脚数之差=兔的只数，总头数兔数=鸡数。假设全是兔。因为兔的脚数多，所以实际脚数比假设脚数要

36、少，少的脚就是每只鸡少了两只脚。计算方法是：（头数×4实际脚数）÷鸡与兔的脚数之差=鸡的只数，总头数鸡数=兔数。 （2）列方程解。设鸡有X只，则兔有（头数X）只。根据脚数列方程为：2X+（头数X）×4=总脚数。或设兔有X只，则鸡有（头数X）只。根据脚数列方程为：4X（头数X）×2=总脚数。（3）“简单聪明”的方法。我们“命令”所有的鸡和兔都“抬”起一半的脚，而只另一半的脚立在地上，我们称这个体数为“站立脚数”。这样，“鸡兔同笼”就可以用下列公式进行心算：站立脚数=总脚数÷2，兔子只数=站立脚数-总头数，鸡的只数=总头数-兔子只数。&#

37、160;本方法仅适合“脚数”为2的倍数的“鸡”与“兔”。 3、典型题型（1）鸡兔同笼，数头为20，数脚为60。鸡兔各有多少只？（2）11张乒乓球台上正有30人在比赛。进行单打与双打的乒乓球台各有几张？（3）一个停车场，共停摩托车50辆，数轮子共130个。双轮摩托车与三轮摩托车各有多少辆？ （二）余数的学问1、找规律 几种图形按一定的规律重复排列，求第N个图形是哪种。用“N÷每组图形的个数=a（组）b（个）”，从每一组的第一个图形起数到第b 个，即是第N个图形。（如果没有余数，每组最后一个图形即是第N个图形） 典型题型：  第

38、100个图形是什么？ 4除以7，商的小数点后面第48位是什么数字？ 2013年5月2日是星期四，2014年5月2日是星期几？ 2、分配与抽取 （1）在整数范围内平均分配有余数时，其中至少有一份数必须要增加1。（在有余数的除法中，余数最小是1） 典型题型：17只鸽子飞进3个笼子，鸽子最多的笼子至少要进几只鸽子？为什么？30个同学，最多分成几组，可以保证有一组至少有8人？为什么?某校六年级有388名学生，至少有几人的生日在同一个月？生日在同一天的至少有几人？任意给出3个自然数，必定有两个数的差是2的倍数，为什么？任意给出4个自然数，必定有两个数的差

39、是3的倍数，为什么？（2）从几种不同特征的物品中，要保证抽取到2个同种物品时，至少要抽取（种类数+1）个物品。如果要保证抽取到指定种类的2个物品时，至少要抽取（其他种类的物品总数+2）个物品。第一种情况只与物品的种类数有关，第二种情况既与种类数有关还与每种物品的数量有关。 典型题型：4个红球、5个白球、6个黄球，保证摸出2个同色的球，至少要摸几个球？保证摸出2个红球，至少要摸几个球？ 小丽夏天的衣服中有3条裤子、4件上衣，可以有几种不同的搭配方式？小丽至少要穿多少天，能保证有2天穿的衣服完全相同？ （三）路桥问题 1、题型特点及解题方法。 列车

40、通过一定的距离（从车头接触到车尾离开）需要多少时间，是为路桥问题。 列车过桥（隧道、静止列车）的解题公式： （车长+桥长）÷车速=通过时间 列车与列车对开，从车头相遇到车尾离开的解题公式： （车长1+车长2）÷（车速1+车速2）=通过时间 快车在后，超过慢车，从车头相遇到车尾离开的解题公式： （快车长+慢车长）÷（快车速-慢车速）=超过时间 典型题型：一列火车长360米，以每秒24米的速度通过一座长600米的桥。这列火车从车头上桥到车尾下桥共需多少秒？ 甲火车长372米，每秒行26米；

41、乙火车长378米，每秒行24米。两车对开，从车头相遇到车尾离开共需多少秒？ 快车长300米，每秒行30米，慢车长400米，每秒行20米。两车在平行的轨道上行驶，慢车在前，快车在后。从快车车头与慢车车尾相遇到快车车尾离开慢车车头，需要多长时间？ （四） 植树问题 1、题型特点及解题方法。 研究全长、棵距（每段长度）、段数（平均分成的线段的数量）、棵数（点娄四种数量关系的应用题，叫植树问题。要解决植树问题，首先要牢记三要素：全长、棵距（每段长度）、棵数（点数）。只要知道其中任意两个要素，就可以求出第三个。植树问题有三种情况： 第一种：线路

42、两端都植树，则棵数比段数多1。全长、棵数、棵距之间的关系是： 棵数 = 段数 + 1 = 全长 ÷ 棵距 + 1         全长 = 棵距 ×（棵数 - 1）         棵距 = 全长 ÷

43、（棵数 - 1） 第二种：线路一端植树或线路封闭，则棵数与段数相等。全长、棵数、棵距之间的关系是：棵数 = 段数 = 全长 ÷ 棵距         全长 = 棵距 × 棵数         棵距 = 全长 ÷ 棵数&#

44、160;第三种：线路两端都不植树，则棵数比段数少1。全长、棵数、棵距之间的关系是： 棵数 = 段数  1 = 全长 ÷ 棵距 - 1 全长 = 棵距 ×（棵数 + 1）         棵距 = 全长 ÷（棵数 + 1） 植树问题实际上研究的是点与线

45、段的问题线段的全长、分点的个数和每段长度。还有很多应用题，虽然没有“植树”字样，但与植树问题的实质是一样的，都研究点与线段的问题，所以都可以按植树问题的方法来解决。比如在线路上插彩旗、竖电线杆、安路灯、摆鲜花和上楼梯、锯木头、剪绳子等问题。 典型题型：一根木头锯成3段要4分钟，锯成6段要几分钟？时钟4时敲4下，6秒钟敲完。那么12时敲12下，多少秒敲完？老师剪一根长13米的绳子，他先剪下0.5米损坏的部分，然后又剪了4次，剪成同样长的短绳。每根短绳长多少米？ 3米长的木棍，从一端开始，先锯30厘米长的一段，再锯20厘米长的一段，这样交替锯成小段，每锯一次要20秒钟，每锯完一

46、次休息15秒。全部锯完要多少秒？ 2、典型题型：两端都植树 一条公路长1920米，在公路两旁每隔6米种一棵树，两端都种。共需种多少棵树？ 某街道从起点到终点一边安装路灯共21盏，已知每两盏路灯之间的距离是相等的，量得第一盏灯到第七盏灯之间的距离是60米。这条街全长多少米？ 学校迎接检查，要在校园主干道的两旁摆188盆鲜花，两端都摆。已知主干道长186米，每边每隔多少米要摆一盆花？ 小明从一楼爬到三楼用了1分钟。照这样计算，他爬到十楼还要几分钟？一老人以等速在一条小路上散步，路边相邻的两棵树的距离相等。他从第1棵走到第10棵树用了11分钟，如果他

47、走了22分钟，从第1棵树走到了第几棵树？  一端植树或线路封闭典型题型：一个圆形花坛，直径50米，在花坛的边沿每隔3.14米种一棵铁树，共需种多少棵铁树？ 围棋盘是正方形的，每条边上可摆19个棋子。周围四条边全摆上，共需摆多少个棋子？如果每两个棋子之间的距离是2.5厘米，棋盘的周长是多少厘米？ 一块长方形地，长30米，宽24米，在地的四周种树，每隔6米种1棵，共种多少棵树？ 48个同学在操场上做游戏，他们站成一个正方形，第两个人之间的距离相等，4个顶点都有人，每边有多少人？如果每两人之间相距1.5米，站成的正方形周长多少米？ 在校园里

48、种树，王老师要把10棵树平均种成5行，每行有4棵，该怎么种？请你为王老师设计好。 （五）搭配方式 1、题型特点及解题方法。 搭配方式又称组合方式，就是几类物品中各选一种组合在一起，共有几种不同的搭配。 一般方法：一类物品种数×另一类物品种数=总搭配方式。 特殊情况下，要根据特殊要求，按一定的顺序将所有的搭配方式一一列举出来。 2、典型题型：有黑、蓝、灰三种颜色的裤子各一条，白、黄、粉三种颜色的上衣各一件。共有多少种不同的穿法？ 3个不同的电动玩具，5个不同的布娃娃，每样只准拿一个，有多少种不同的拿法？ 有

49、伍元人民币1张，壹元人民币5张，伍角人民币8张。要从其中拿出5元来，有几种不同的拿法？有一架天平和1克、2克、5克的砝码各一个，能几种重量不同的物品？ 16支球队进行篮球比赛，每两支球队之间要赛一场，共有多少场比赛？如果每两支球队之间要赛两场呢？ （六）简单的推理 1、题型特点及解题方法。 题目给出的条件很少，且不能从条件明显看出答案，也不能列式计算。需要根据每个条件作出肯定或否定的判断，然后根据条件与条件之间或相反或相同或相关联的关系，作出分析、比较、判断，推出答案，这就是简单的推理题。 2、典型题型：小明、小刚和小强三人赛跑，同学问三人的名

50、次。小明说：“我不是最后”。小刚说：“我比小明跑得快”。请你排出三人的名次。 甲、乙、丙三人中一位是牧师、一位是作家、一位是画家。已知牧师从不说谎话，作家总是说谎话，画家有时说谎话。甲说：“丙是牧师”，乙说：“甲是画家”，丙说：“乙是作家”。请确定三人的身份。 实践与综合运用（一）探索规律1、找数字排列的规律数字的规律蕴涵在相邻两数的和、差或倍数中。前后几项为一组，以组为单位找关系才可找到规律。需将数列本身分解，通过对比才能发现其规律。相邻两数的关系中隐含着规律。2、找图形排列的规律图形的对称（上下对称或左右对称）。图形中数的排列规律，通常用结合、对应等方法。图形从形状上的

51、变化规律，一般情况下是指图形按顺时针或逆时针或中心旋转性变化或成轴对称性变化。（二）简单运用题和一般复合运用题1、简单应用题    简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。   解题步骤：   a 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。   b选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，

52、要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。   C检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。2、 复合应用题   有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。   含有三个已知条件的两步计算的应用题。   求比两个数的和多（少）几个数的应用题。   比较

53、两数差与倍数关系的应用题。   含有两个已知条件的两步计算的应用题。   已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）。已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）。     解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。解答加法应用题：   a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。

54、0;  b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。   解答减法应用题：   a 求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。   b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。   c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。  解答乘法应用题：   a 求相同加数和的应用题：已知相同

55、的加数和相同加数的个数，求总数。   b 求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。   解答除法应用题：   a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。   b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。   c求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。 

56、0; d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。常见的数量关系：   总价= 单价×数量   路程= 速度×时间   工作总量=工作时间×工作效率   总产量=单产量×数量    3、典型应用题   具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。   平均数问题：平均数是等分除法的发

57、展。   解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。   算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。 数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。   加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。   数量关系式：（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。   差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和

58、的平均数。数量关系式： （大数小数）÷2=小数应得数  最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数       最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。   例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。    归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也

59、随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一）          总数量÷单一量=份数（反归一）   例 ：一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天？   归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个

60、数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。  数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量        例:修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？    和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。  &#

61、160;解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。   解题规律：（和差）÷2 = 大数        大数差=小数   （和差）÷2=小数          和小数= 大数   例： 某加工厂甲班和乙班共有工人 94

62、 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？ 和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。   解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。   解题规律： 和÷倍数和=标准数

63、   标准数×倍数=另一个数   例：汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？   差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各多少的应用题。   解题规律： 两个数的差÷（倍数1 ）= 标准数      标准数×倍数=另一

64、个数。   例：甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？   行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。   解题关键及规律： 

65、60; 同时同地相背而行：路程=速度和×时间。   同时相向而行：相遇时间=速度和×时间   同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。 同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。  例： 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙？  &

66、#160;流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。   船速：船在静水中航行的速度。  水速：水流动的速度。   顺水速度：船顺流航行的速度。   逆水速度：船逆流航行的速度。  顺速=船速水速  逆速=船速水速   解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答

67、。 解题时要以水流为线索。   解题规律： 船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2  流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2  路程=顺流速度× 顺流航行所需时间   路程=逆流速度×逆流航行所需时间   例： 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小

68、时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？  还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。   解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。   解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。   根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。   解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。   例 ：某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？   盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起