复变函数课件四(北京理工大学)

1、S1 我们从导数与积分的角度研究解析函我们从导数与积分的角度研究解析函数均获得成功于是，我们自然会想从数数均获得成功于是，我们自然会想从数学分析中选取别的研究角度如学分析中选取别的研究角度如幂级数幂级数来讨来讨论解析函数实践证明，这种选择是成功论解析函数实践证明，这种选择是成功的的 S2第四章第四章 复级数复级数 首先介绍首先介绍复数列和复数项级数收敛复数列和复数项级数收敛的概念和判别法，以及的概念和判别法，以及幂级数幂级数的有关概的有关概念和性质。念和性质。 然后讨论解析函数的然后讨论解析函数的泰勒级数泰勒级数和和罗罗伦级数伦级数展开定理及其展开式的求法，它展开定理及其展开式的求法，它们是研

2、究解析函数的性质和计算其积分们是研究解析函数的性质和计算其积分的重要工具。的重要工具。S31 1 复数项级数和幂级数复数项级数和幂级数一、复数列的收敛性及其判别法一、复数列的收敛性及其判别法二、复数项级数的收敛性及其判别法二、复数项级数的收敛性及其判别法三、幂级数及其收敛半径三、幂级数及其收敛半径四四、幂级数的运算性质、幂级数的运算性质S4复数序列复数序列就是：就是：这里这里 是复常数，是复常数， ，该序，该序列简单记为列简单记为 。根据。根据 的有界性来定义的有界性来定义 的有界性。的有界性。研究级数和序列的基本性质，先从复数序列开始。研究级数和序列的基本性质，先从复数序列开始。一、一、复数

3、序列的收敛性及其判别法复数序列的收敛性及其判别法：nnzb Im ,222ibaz nz 12)1(nnninnn21| |nzi baznnn 111)1(nnnR 0101()()() ( )2( )kkkffzdzziz S5定义定义1 设设 一复常数，如果对任意一复常数，如果对任意 ，存在，存在 使得当使得当 时，有时，有则称则称 极限是极限是 ，或者，或者 收敛且收敛到收敛且收敛到 ，记作记作 1nn |nz0limaann 0 nnzaRe i baz000 0|z z R 110( )(), (1 ,2 ,3 )kk kfzcz zk .lim发发散散级级数数 10nnnn 复数

4、列的极限复数列的极限 nnzlim0|lim nnz定理定理1 1S6定理定理2 2 复数序列复数序列 收敛到收敛到 的充分必要条件是：的充分必要条件是： 并且并且11nnnnnnzczczz 011n0 , lim 0 nnnnzczcz 不不 妨妨 设设 0 0 . . 因因 为为 级级 数数收收 敛敛 有有 ， 121)1(nnn1C复数列收敛与实数列收敛的关系复数列收敛与实数列收敛的关系S7.lim0aann 那末对于任意给定的那末对于任意给定的, 0 能找到一个正整数能找到一个正整数 使得当使得当 )( )(00ibaibannn , Nn 证明：证明：如果如果in 从而有从而有)(

5、)(00bbiaann 即即,00 bbaann同理可证：同理可证：0 1 0| | |zzzz S8R 反之反之, , 如果如果 ，那么，那么当当 . 11也也都都收收敛敛及及 nnnnba.lim0bbnn 从而有从而有R R )1 (1 1是是否否收收敛敛？级级数数 nninR 该结论说明该结论说明: : 可将复数列的收敛性转化为判别两可将复数列的收敛性转化为判别两个实数列的收敛性个实数列的收敛性. .所以所以S9解解 (1)令令 ， 则则 ，显，显然然 ， 故当故当 ， 。 ibann1, 0 nnbann0n 0na1nb11( ),12f zzz R 例例1 1 判别下列数列的收敛

6、性和极限判别下列数列的收敛性和极限 （1） （2） （3）1 nnin R inne (2)(2)显然当显然当 时时 ， ，因此，因此R nnS 21 (3)由于由于 ，并且，并且 发散，所发散，所 以该数列发散以该数列发散。S10 所谓通项为复数所谓通项为复数 的的复数项级数复数项级数就是就是 .lim nn前前n项的和项的和 . 1121收收敛敛 nnnnb称为级数的称为级数的部分和部分和.二、二、 复数项级数的复数项级数的收敛性及其判别法收敛性及其判别法00()nnnc z z ,nni S11如果该部分和数列如果该部分和数列 收敛到收敛到S，则称上，则称上述述复数项级数收敛复数项级数收

7、敛，且称，且称 为该级数的和，为该级数的和，记为记为 如果该部分和数列如果该部分和数列 发散，则称发散，则称复数项复数项级数发散级数发散。 nnn00 11nnnnba收收敛敛的的必必要要条条件件是是和和因因为为实实数数项项级级数数01( )nnf z . 的的极极限限存存在在和和nn 级数收敛与发散的概念级数收敛与发散的概念说明说明：与实数项级数相同：与实数项级数相同, , 判别复数项级判别复数项级数敛散性的基本方法是数敛散性的基本方法是: : .lim SSnn 利利用用极极限限S1200lim,limbbaannnn ,)1(11 zzzn收收敛敛的的必必要要条条件件是是所所以以复复数数

8、项项级级数数 1nn ,1时时由由于于当当 znS .1 时时级级数数收收敛敛所所以以当当 z,0limlim innnne 因因为为S13复数项级数与实数项级数收敛的关系复数项级数与实数项级数收敛的关系( (定理定理3 3) ) 证明证明 因为因为ibannn : 极极限限存存在在的的充充要要条条件件根根据据nS 1收收敛敛的的充充要要条条件件是是即即， nn )()(2121nnbbbiaaa ()nfz定理定理3 3S14-121nnzzzs nS说明说明 复数项级数的收敛问题复数项级数的收敛问题.111绝绝对对收收敛敛与与绝绝对对收收敛敛 nnnnnnb a 两个实数项级数的收敛问题两

9、个实数项级数的收敛问题 1nn| S15102|RzzR 解解32 12sin1( 1)3! 5!(2 1)!nnzz zzzzn 101101( )()2()kkkCfd z ziz 所以原级数发散所以原级数发散. 练习练习S16级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件定理定理4 4 如果级数如果级数 收敛，那么当收敛，那么当 时时， z124Iici 120Iic . 1是是收收敛敛的的 nn 0lim nn S17注意注意：条件条件 ，该条件只是级数，该条件只是级数收敛的收敛的必要必要条件，而条件，而不是充分不是充分的，比如级数的，比如级数 尽管通项尽管通项 ，但是它是发散的。，但是它是发散

10、的。.0lim0lim nnnnba和和 12nniNn 重要推论重要推论:,11绝绝对对收收敛敛时时与与 nnnnba.1绝绝对对收收敛敛也也 nn 0lim nn 不满足必要条件不满足必要条件, 所以原级数发散所以原级数发散.判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时, , 可先考察可先考察, 22nnnnbaba 由由?S18 级数级数 绝对收敛绝对收敛： 如果级数如果级数 或或收敛，则称级数收敛，则称级数 绝对收敛绝对收敛。1 , nnczM 有有1() ()kkfz Sz (1.5)1() ()kkfz Sz ; 1 11发发散散因因为为 nnnna 1nn 绝对收敛级数的性质绝对收敛级数

11、的性质( (定理定理5 5) ) 定理定理5 5 如果如果 绝对收敛，那么绝对收敛，那么 收敛收敛。S19证明证明由于由于0,cos nnbna 而而01n nnnzzz2221根据实数项级数的绝对收敛性根据实数项级数的绝对收敛性, , 知知:1 nine例例如如，级级数数从而从而,1221 nnnnnba S20说明说明R nzR 0nnz所以所以R 综上可得综上可得:S21R S22例例1 1 当当 时，级数时，级数 绝对收敛绝对收敛 ，并且，并且例例2 2 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性 (2) (3)(2) (3)解解( (1)1)由由 不趋于零，故由推论得该级数不趋于零，故

12、由推论得该级数发发散。散。 (2)(2) , ,其绝对值级数的公比其绝对值级数的公比为为 ，故该级数不仅收敛而且是绝对收敛。故该级数不仅收敛而且是绝对收敛。(1)(1) (3)(3)其实部级数为其实部级数为 ，虚部级数为，虚部级数为)1.2(00()kkkc z z zzkk 11022202 202(1 ) 2( )c o s( )( )(2)!(1 )4 ( )(2)!nnnnnnnz iz iz in z iz in 0 ) ( NN, ,i baznnn nz0limbbnn | | | | | |21n ( ) , nfz A设设 为为区区域域 上上的的复复变变函函数数列列 则则0z

13、S23它们通项的绝对值当它们通项的绝对值当n时是单调下降，并且时是单调下降，并且趋于零，故由交错级数的判别法知它们是收敛的，趋于零，故由交错级数的判别法知它们是收敛的，从而原复数项级数是收敛的。从而原复数项级数是收敛的。S24R 例例3 3故原级数收敛故原级数收敛, , 且为绝对收敛且为绝对收敛. .R 因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知: :解解S251.1.函数项级数和幂级数的概念函数项级数和幂级数的概念),( )()(!)()(21021100 ndzzzzfinzfcCnnn 0()Sz称为称为复变函数项级数复变函数项级数。 0zA ,21 nx称为该级数

14、前称为该级数前n n项的项的部分和部分和. .级数前级数前n n项的和项的和三、三、幂级数及其收敛半径幂级数及其收敛半径1( )nnfz S26如果如果 在在 上每一点上每一点 ，级数，级数 收敛收敛( (于于 ) )，则称级数，则称级数 在在 上收敛上收敛( (于于 ），记为），记为 称称 为级数为级数 的的和函数和函数。 nnnnnz c z c z c c z c221 00R o0z10( )z z ,21nnnnx 1()nnf z y, 0 时时当当 z0R S27当当 时，得到的函数项级数就时，得到的函数项级数就是一幂级数，即是一幂级数，即幂级数幂级数为为 其中其中z是复变数，系

15、数是复变数，系数 是复常数是复常数. .(1.7)00()kkkc z z S28当当 时，时，00z 010kkkkkc zcc zc z 01,| | 1,1| | 1.kkzzzz 发发散散，例例 幂级数幂级数 收敛区域为收敛区域为z:|z|1。 在一般情况下，级数在一般情况下，级数 是否存在一是否存在一个圆个圆 在该圆外部发散，而在内部绝对收敛呢？在该圆外部发散，而在内部绝对收敛呢？00()kkkczz 0|,zzRS29AbelAbel第一定理第一定理定理定理6 6 如果幂级数如果幂级数 在在 处收敛，那处收敛，那么对于满足：么对于满足： 的任何点的任何点z，此幂级数在该点不仅收敛，

16、而且绝对收，此幂级数在该点不仅收敛，而且绝对收敛敛。 推论推论 若幂级数若幂级数 在点在点z1发散，则它在满足发散，则它在满足处发散处发散 nnnnnz c z c z c c z c221 00R 010| |zzzz .2,200 bbaann 1nninin 1nnininS30证明证明 .nMq 因而存在正数因而存在正数M, , )1.1(使对所有的使对所有的n, 11nn201(1 )1!2 !znnzezzn 0nnncz 由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知: :)|(| z15R 收敛收敛.0 .nnncz 故故 级级 数数绝绝 对对 收收 敛敛另一部分请课后完成另

17、一部分请课后完成S31收敛半径收敛半径与幂级数与幂级数 相对应，作一实系数的幂级数：相对应，作一实系数的幂级数：其中其中x为实数。为实数。定理定理7 7 设级数设级数 的收敛半径为的收敛半径为R, , 按照不按照不同情况，有：同情况，有：（i i）如果如果 ，那么当，那么当 时，级时，级数数 绝对收敛；当绝对收敛；当 时，级数时，级数 发散；发散；(1.6)11(1 )3(1 )3zzz 0R 2(2) i z 0|zzR0kkkc z 00()kkkczz 00()kkkczz 10 1: | |Dr zR S32（iiii）如果）如果 ，那么级数，那么级数 在复平在复平面上的每一点绝对收敛

18、；面上的每一点绝对收敛；（iiiiii）如果）如果 ，那么级数，那么级数 在复平在复平面上除去面上除去 外每点均发散。外每点均发散。R 00()kkkczz 0| |zz R 00()kkkczz 00()kkkczz S33 在定理在定理7 7 的情况（的情况（i i）中，当）中，当 时，级数时，级数 可能发散，也可能收敛。可能发散，也可能收敛。 定理定理7 7中的数中的数 称为级数称为级数 的的收敛半径收敛半径。 称为它的称为它的收敛圆盘收敛圆盘。 求级数求级数 的的收敛半径收敛半径归结为求级数归结为求级数 的的收敛半径收敛半径。0|zzR0|n 0|zzR00()kkkczz 00()k

19、kkczz 00()kkkczz 10 1: | |Dr zR S34 定理定理8 8 如果下列条件之一成立，那么如果下列条件之一成立，那么当当0 l +时，级数时，级数 的的收敛半径收敛半径 ；当当l=0，R=+；当当l=+时，时，R=0。(1)(2) (3), )() ( 00nnnz z cz fnnin)1(cos lim|kkklc lim|kkklc 00()kkkczz S35收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径由由Abel定理定理:级数在复平面内绝对收敛级数在复平面内绝对收敛. .例如例如, 级数级数nz对任意给定的对任意给定的 x , 则从某个则从某个n开始开始, 有有;, 级级

20、数数收收敛敛时时设设 z于是于是1( )nnfz 该级数对任意的实数该级数对任意的实数 x 均收敛均收敛.该级数在复平面内绝对收敛该级数在复平面内绝对收敛. .对于一个幂级数对于一个幂级数 , 其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:( )Sz(1) 对所有的正实数级数对所有的正实数级数 都收敛都收敛.10 1: | |Dr zR S36此时此时, 级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散. .例如例如, 级数级数R 0A通项不趋于零通项不趋于零, .,级级数数发发散散时时 z 如图如图:故级数发散故级数发散.(2) 对所有的正实数级数对所有的正实数级数 除除 z=0

21、 外都发散外都发散.10 1: | |Dr zR (3) 既存在使级数既存在使级数 发散的正实数发散的正实数, 也存在使也存在使级数级数 收敛的正实数收敛的正实数. 10 1: | |Dr zR 10 1: | |Dr zR S37 f 1 0 1: Czr 0110() ()( ) ()()mmmCCffdd zzz z .01( 3 )1nnzz .210(1 )( 2 ) s i n( 21 ) !nnnzzn 收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数011nn 的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域. 为为中中心心的的圆圆域域以以 a z 1 01() fzz .

22、S380zi 幂级数幂级数3104()( )z if zz 的收敛范围是的收敛范围是因此，因此，事实上，事实上，在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作不能作出一般的结论出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.问题：问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?S39例题例题求收敛域常应用到的方法求收敛域常应用到的方法变量替换法变量替换法。例例1 求下列幂级数的收敛圆及其收敛区域。求下列幂级数的收敛圆及其收敛区域。（1） （2）解解 （1）令令 ，则由于，则由于20(2)nnni z nnnnnz c z c z c c z

23、 c221 002121()nniz in ()10( 1 )!() !()1 !nnnnf z ncc z z 11 zS40得其收敛域为得其收敛域为 1, 即它的收敛圆即它的收敛圆域是域是 而且在收敛的圆周上处处发散的。而且在收敛的圆周上处处发散的。 nnnnnz c z c z c c z c221 00|1 22211( )nnnniizinn 211nn 容易发生的错误容易发生的错误：令：令 cn= (2+i)n，而得，而得S41（2 2）令）令 ，则得，则得由定理由定理8 8可求出：上式右端级数的收敛半径可求出：上式右端级数的收敛半径 ，并且在并且在 的内部是绝对收敛的，因此原的内

24、部是绝对收敛的，因此原级数在级数在 时是绝对收敛的，而在时是绝对收敛的，而在 时是发散的。时是发散的。另外，由于另外，由于 是收敛的，因此当是收敛的，因此当 时，时， 原级数原级数 绝对收敛。绝对收敛。| 1z i nc00()( )kkkc z zf z 0|zzR ,R|1z | |1zi 0nL R S42四四. .幂和函数在收敛圆盘内解析幂和函数在收敛圆盘内解析 由以上讨论知道，对于级数由以上讨论知道，对于级数 ，总有，总有一个收敛圆一个收敛圆( (或者仅仅为圆心点或者仅仅为圆心点) )存在，使得级数存在，使得级数在此圆内收敛，那么其和函数在收敛圆内是否解在此圆内收敛，那么其和函数在收

25、敛圆内是否解析呢？析呢？2| |2 | |i z S43定理定理8 8 设幂级数设幂级数 有收敛圆盘有收敛圆盘 , ,那么幂级数的和函数那么幂级数的和函数在在 内解析，并且可以微分任意多次，内解析，并且可以微分任意多次，即即上面右端级数的收敛半径仍为上面右端级数的收敛半径仍为R。证明证明：略。：略。R (0,1,2, )n 120nnnRAA 01|zzR R |( )|,nnf zA ( )g zS44 定理定理9 9 设幂级数设幂级数 有收敛圆盘有收敛圆盘 , ,那么在那么在 内幂级数的和函内幂级数的和函数数 可以逐项积分任意多次，可以逐项积分任意多次，并且每次积分所得到的新级数的收敛半径

26、并且每次积分所得到的新级数的收敛半径为为 即即证明证明：略。：略。( 1 . 8 )0|zzR0 01 000( ) ( ) ( )kkkkkczz cczz czz ( )2zfzz 0 1nAA A C101()d ( 0, 1, 2, )2 ()nnCfcniz 0nnA S45zii 0()nnniiziz 解答解答R 练习练习 试求幂级数试求幂级数0z i , 21 ) 2内内在在 z的收敛半径的收敛半径.2ln(1)z 210 xz S46 为了证明有关定理，首先介绍下面两个引理为了证明有关定理，首先介绍下面两个引理一、有关逐项积分的两个引理一、有关逐项积分的两个引理引理引理1 1

27、（函数项级数的逐项积分函数项级数的逐项积分）设函数设函数 和和 沿曲线沿曲线 可积，且在可积，且在 上处处有上处处有如果存在收敛的正项级数如果存在收敛的正项级数 使得在使得在 上有上有那么那么 2 2 泰勒泰勒(Taylor)级数级数0()()nnCCg zd z fzd z 0()()nnCCgzd zf zd z : )( 11收收敛敛的的充充要要条条件件是是级级数数 nnnnniba 0( )( )nng zfz (3. 1)0()()nnCCg zd z fzd z z 01zz 1 1, zqz 则则0, (0 , 1 , 2 , )kz c k S47证明证明： 由于由于 收敛，因

28、此当收敛，因此当 时，必有时，必有于是设曲线于是设曲线 的长度为的长度为 ，当，当 时，有时，有这就证明了该引理。这就证明了该引理。(0 ,1 ,2 ,)n 01|zzR 010() (),()nnnfzzMzr n R ()01()!nncfzn 0zR 1 R S48引理引理2 2 若若 在正向圆周在正向圆周 上连续，上连续，则则（1 1）对该圆内任一点）对该圆内任一点z有有 (2(2）对该圆外任一点）对该圆外任一点z有有UR 10z 20(1 )( 4 ) c o s( 2) !nnnzzn S49证明证明： （1）令令 ，由于，由于 ， 因此由等比级数的求和公式得：因此由等比级数的求和

29、公式得：对任意满足对任意满足 的点成立。的点成立。 由引理由引理1，只须对最后所得的函数项级数找出满，只须对最后所得的函数项级数找出满足引理条件的足引理条件的正项级数正项级数A0+A1+ +An+，然后，然后逐项积分就可得到所证结果。逐项积分就可得到所证结果。R 00|1|zzz R (| | 1 )z 1zz11()iizizziz 0:Czr R S50 事实上事实上，由函数，由函数f ()的连续性，可设的连续性，可设|f ()|在在圆周圆周|-z0|=r上的上界为正数上的上界为正数M，则对于固定的点，则对于固定的点z，在该圆周上处处有在该圆周上处处有而而 是收敛的，故所证等式成立。是收敛

30、的，故所证等式成立。| 1zi 11()()|kkknknCCfzd z fzd z S51（2）当当z 在圆周外时，显然在圆周外时，显然 对圆周对圆周 上的点上的点 成立。这时有成立。这时有同样由引理同样由引理1可得所证等式。可得所证等式。1001000()()() 1( )1nnnfzfzz zz zz z 00z 0z 0z r L01001( )()()2()nnnCfd z ziz ( )000( )()!nnnfzzzn S52二二. .解析函数的解析函数的Taylor展开定理展开定理定理定理1 1 设函数设函数f(z)在圆盘在圆盘 内解析，那么内解析，那么在在U内有内有 证明：设

31、证明：设 。以。以 为中心在为中心在 内作一圆内作一圆 ，使得，使得 z 属于其内部，此时由柯西积分公式有属于其内部，此时由柯西积分公式有又因又因 在在C上解析，也一定连续，所以由引理上解析，也一定连续，所以由引理2 2的结论（的结论（1 1）得）得 0:Czr 0()kkkczz . 0n ,111i baz 0zU0()()nnCCg zd z fzd z 1( )( )2Cff zdiz ( )f S53由于由于z是是U内的任意一点，证毕。内的任意一点，证毕。( )f z ( |1 )z 101) 1()1ln() 5 ( nnnznz0z z c R注注 定理定理1中的幂级数称为函数中

32、的幂级数称为函数f (z) 在点在点z0的的Taylor级数展开式级数展开式，可以写为可以写为 其中其中cn为展开式的为展开式的Taylor系数系数，可表示为，可表示为(0)RR )4.1(S54定理定理2 2 函数函数 在在 解析的充分必要条件是它在解析的充分必要条件是它在 的某个邻域有幂级数展开式。的某个邻域有幂级数展开式。 系系1 1 幂级数就是它的和函数幂级数就是它的和函数 在收敛圆盘中的在收敛圆盘中的Taylor展开式展开式，即，即系系2 2 ( (幂级数展开式的唯一性幂级数展开式的唯一性) )在定理在定理1 1中，幂级中，幂级数的和函数数的和函数f(z)在收敛圆盘在收敛圆盘U内不可

33、能有另一幂级内不可能有另一幂级数展开式。数展开式。0| |zz R 0| |zz R ()000()(),!nnfzcfzcn 0,1,2,n ( )f z( )f zS55三三. .初等函数的泰勒展开式初等函数的泰勒展开式1 直接展开法直接展开法：先求出：先求出 ，然后应用泰勒，然后应用泰勒定理写出定理写出泰勒泰勒级数及其收敛半径。级数及其收敛半径。 指数函数在指数函数在 处的处的泰勒（泰勒（Taylor）展开式）展开式 下列函数在下列函数在 处的处的泰勒展开式泰勒展开式 0nnnzc)1 ()1 )(6 (zLnez 0 ,1 ,2 0zi 0zi (| | 1)z ( )0( )!nnf

34、zcn 1| n 41|5z 41|5z 33100()(9)!()!9!nnnz ii nz izn 41|5z S56 为实常数为实常数当当 时，上式只有有限项，并且是在整时，上式只有有限项，并且是在整个复平面上成立。个复平面上成立。 22 100( 1)( 1)sin1()1()(2 )!(21)!nnnnnnz ishz ichz inn 3()z i ( 3 . 8 )1 (|1 ) S57 间接展开法间接展开法：它是根据函数在一点的泰勒级它是根据函数在一点的泰勒级 数展开式的唯一性给出的。在这里指从上面数展开式的唯一性给出的。在这里指从上面6个个 初等函数的泰勒级数展开式出发，利用

35、幂级数初等函数的泰勒级数展开式出发，利用幂级数的的 变量替换，逐项微分，逐项积分和四则运算等变量替换，逐项微分，逐项积分和四则运算等求求 出其出出其出泰勒泰勒级数及其收敛半径。级数及其收敛半径。如：应用如：应用 ，令，令 ，得，得2z (| | 1)z 0)(nnnazc3( ) sinf zz S58例题例题例例1 求下列函数在点求下列函数在点 处的处的泰勒泰勒级数展开式及级数展开式及其收敛半径。其收敛半径。（1） （2）（3） （4）解解 （1） 在在 处为唯一的奇点，并且当处为唯一的奇点，并且当 时，函数时，函数 ，所以函数在，所以函数在 处处的的泰勒泰勒级数展开式的收敛半径为级数展开式

36、的收敛半径为 |z1-z0|=|0-i|=1 ，从而在从而在 |z-i|1 时有时有令令 应用展开式应用展开式(6)可得：可得：110110()() ( )( )mmmCCffddzzzz 112() ()f zz i z R 1( )fz pnnnnnncc)1(limlim1 ，因因为为pnnc1 0| 0z z 3()z i . 11 R所以所以0zi 10(1 )()2nnnnnzii 101( 1 ) ( )2nnnnizi 101(9)!1()!9!nnninzzin 10( 1)()2nnnnniz izii S59（2 2）同理可得其）同理可得其在在 处的处的泰勒泰勒级数展开式

37、级数展开式的收敛半径为的收敛半径为 1。 由于由于 , 应用展开式（应用展开式（3）得）得所以当所以当 时时2C0( )()kkkf zczz 341( ) () ( )f zz i f z 1 1()iiz i zz i z s i nzs i ns i n ( )s i n () c o sc o s () s i nzzii zii zii 00z 1npnnz2CS60（3 3）由于）由于 在整个复平面上解析，故其收敛在整个复平面上解析，故其收敛半径为半径为 ，从而，从而应用展开式（应用展开式（2)(4)2)(4)得得用用直接法直接法也简单也简单，注意到，注意到0zi R sin2iz

38、izeezi 11rrRR (3.1)S61（4 4） ，其，其TaylorTaylor级数收敛半径为级数收敛半径为1 1，从而从而 在在 处的处的泰勒泰勒级数展开式两端同乘级数展开式两端同乘以以 即可得到即可得到 在在 处的处的泰勒泰勒级数级数展开式：展开式：注意注意：显然不必要将：显然不必要将 写成写成 的多项式再的多项式再来求来求 在在 处的处的泰勒泰勒级数展开式。级数展开式。0|rz zR ，因因为为pnnc1 R 1C1 01 01()( ) 1 zifz ziii NoImageR 1C10(1 )ln ( 1 ),| |11nnnn 0 0 1, , ,kzcc c 1 10(

39、1)()2nnnnniz iz ii S62解解 因为因为 是是 0:|U z zR ( )f z001000()()()kkkkkc z zc c z zc z z 可在可在 内展成泰勒级数，有内展成泰勒级数，有010000000()( )()()() 1( )()1nnnf zzfffzzzz zzzzz R 2z 11213zzzz 11( )kknknCCf zdsAds 例例2 2 试将试将 在点在点 展成泰勒级数。展成泰勒级数。C11(2 ) 3z 的唯一有限奇点，所以的唯一有限奇点，所以S63小结小结泰勒泰勒( (Taylor) )级数的形式？级数的形式？ 幂级数幂级数为为其中其

40、中z是复变数，系数是复变数，系数 是复常数。是复常数。 泰勒级数在收敛半径为泰勒级数在收敛半径为R的收敛圆内表示的收敛圆内表示了一个解析函数；了一个解析函数； 如果函数在半径为如果函数在半径为R的圆内解析，则它可的圆内解析，则它可在该圆内展成泰勒级数。在该圆内展成泰勒级数。R kCS643 3 罗朗罗朗( (Laurent) )级数级数 本节主要讨论函数在环域本节主要讨论函数在环域r|z-z0|R内的级数展开内的级数展开问题，并且讨论它在积分计算中的应用，这里问题，并且讨论它在积分计算中的应用，这里r可以可以为为0，而，而R可以为可以为+，并且称环域，并且称环域r|z-z0|r1R1NoIma

41、geS74由于由于f(z)在闭圆环在闭圆环 上解析，由上解析，由Cauchy积分积分公式得公式得221()2CfIdiz R 01()kkkczz 201001()()()2()kkkCfdzziz f (3 .6 )S75由由Taylor定理证明中的引理定理证明中的引理2 2（1 1） 若若 在正向圆周在正向圆周 上连续，则对上连续，则对该圆内一点该圆内一点z有有R 2()(1 )zefzzz ,lim nnD()f )2.1(NoImage11100(1 )(1 )(1 )(1 )33nnnnnnnnzz (3.7)11113 ( 1 )3 ( 1 )33zzz Rr211()1()( )

42、2 2CCf ffz d diziz (3.7)11113 ( 1 )3 ( 1 )33zzz RrDr1NoImageR1 1nn 0( )nnni zi |52ln ( 1 )zId zz nnkknS 2111()C S780 ,1 ,n ,11z ( )f z级数级数(3.4)(3.4)中，中， 称为该级数的称为该级数的解析部分解析部分，而而 称为该级数的称为该级数的主要部分主要部分。级数。级数(3.4)(3.4)称为称为 在圆环在圆环D内的内的罗朗展开式罗朗展开式。注意注意：由于在圆所围区域可能有：由于在圆所围区域可能有f( (z) )的奇点，因此，的奇点，因此，不能用不能用Cauc

43、hy公式把系数记为公式把系数记为： 1111( 1 )2 (1 ),1 333nnnnzz 01()nnnczz S79 二、罗朗级数的性质二、罗朗级数的性质定理定理2 2 若函数若函数 在圆环在圆环D: : 内解析，内解析，则该函数的罗朗级数展开式则该函数的罗朗级数展开式 在在D内处处绝对内处处绝对收敛、可以逐项微分和积分，其积分路径为收敛、可以逐项微分和积分，其积分路径为D内的内的任何简单闭路，并且其展开式的系数是唯一的，任何简单闭路，并且其展开式的系数是唯一的，即它的各项系数即它的各项系数 一定可以表示为式一定可以表示为式 的形式。的形式。 证明证明：略：略（见书（见书112112页页

44、）。）。:,0 nnz级级数数例例如如( )f z0|z z 2C f R 2CS80三、函数的三、函数的LaurentLaurent展开式展开式理论上应该有两种方法理论上应该有两种方法: : 直接法与间接法直接法与间接法 (1) 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数0( | |)zzR n然后写出然后写出02z 这种方法只有在找不到更好方法时才用。这种方法只有在找不到更好方法时才用。S81根据根据解析函数解析函数Laurent级数展开式的唯一性级数展开式的唯一性, , 从从已知的初等函数的泰勒级数出发，利用变量替换，已知的初等函数的泰勒级数出发，利用变量替换，泰勒级数

45、和罗朗级数的逐项微分或者积分运算等泰勒级数和罗朗级数的逐项微分或者积分运算等来求得所给函数来求得所给函数f (z)在环域在环域D的罗朗展开式的罗朗展开式. .(2) 间接展开法间接展开法这一方法成为这一方法成为Laurent 级数展开的常用方法。级数展开的常用方法。 S82例例 及及 在在 内的罗朗展开式。内的罗朗展开式。 nnnnzzc)(0 0()()nnnCCgzd zfzd z 2|z 1z zzSnnnn 11limlim例例 在在 内的罗朗展开式内的罗朗展开式R 0 | | z z解：解：此时用此时用sinz 的的Taylor展式展式,)!()(sin 012121nnnznzS8

46、3)1(1)(zzzf 例例1,1112 zzzzzn都不解析都不解析,而在圆环域而在圆环域zz 111及及 nzzzz211内都解析内都解析.2111nz zzz 则则)1(1)(zzzf .)1 ()1 ()1 (1)1 (121 nzzzz nzzzz) 1 () 1 ( ) 1 ( 1112)1(1)(zzzf )1(1111zzS84242sin(1)13 !5 !(21)!nnzzzzzn 也可以展开成级数也可以展开成级数：0z, 0 内内在在 z. )( 2级级数数展展成成将将Laurentzezfz ! 4! 3! 21432zzzzezS85给定函数给定函数ze与复平面内的一

47、点与复平面内的一点 ! 4 ! 3 ! 21143222z z zzz zez以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的函数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展展开式开式回答：回答：不矛盾不矛盾 .Laurent展开式是唯一的展开式是唯一的. .问题：问题：这与这与laurentlaurent展开式的唯一性是否相矛盾展开式的唯一性是否相矛盾?注意唯一性注意唯一性 : : 指函数在某一个给定指函数在某一个给定的圆环域内的的圆环域内的(包括包括Taylor展开式作为其特例展开式作为其特例).S86四、典型例题四、典型例题例例1 1 !4!3!211122zzzz: ) 2)(1(1)( 在

48、在圆圆环环域域函函数数 zzzf解解;10)1 z由已知函数由已知函数 的展开式的展开式; 21 ) 2 z可以直接得到可以直接得到.2)3 z12z 从从而而S87例例2 2 1,z 由由 于于1112212zz 22112222nnzzz ( )fz 所所 以以内解析内解析, , 把把 f(z) 在这些区域内展成在这些区域内展成Laurent级数级数. .解解2si nzz1 znnnzzc )(012(1)z z S88oxy1)(zf21 3 72 4 8z z 211224zz 22sin1 cos(2 )zz 2001 , | | 1 ,1(2 )| | 1 .n nnnni z

49、发发 散散 ，R 2 , 0 S891102(1)2ln (1),1nnnnzzn 12oxy12 z 2112121zz nnzzz22212122由由) ( z f于于是是 21111zzz 2222121 zz且仍有且仍有 842111121zzzzznn, 2 ) 3内内在在 zS902 z12 zzzz211121 24211zzz,121 zz此此时时2oxyzzz111111 由由 21111z zz此时此时)( zf故故S91 24211zzz 21111zzz仍有仍有.731432 zzz解解析析在在0)(zzf为为复复常常数数n )(zfnn为为函函数数 1nn S92 这一例子说明：这一例子说明：同一函数在不同的圆环内同一函数在不同的圆环内的罗朗展开式可是不同的！的罗朗展开式可是不同的！S93例例3 3 分别将下列函数在指定点分别将下列函数在指定点 的去心邻域内展开的去心邻域内展开成成Laurent级数级数0| | zzR （1 1） 22( )c o szizi 22222 2