第七章均匀平面波(定稿学时)

1、第第7 7章电磁波在均匀媒质中的传播章电磁波在均匀媒质中的传播 上一章里，我们已从上一章里，我们已从Maxswell方程组导出了无源波动方方程组导出了无源波动方程和有源波动方程。这些方程在一定的边界条件和初始条件程和有源波动方程。这些方程在一定的边界条件和初始条件下的解，表示电磁场在所给条件下的空间分布和随时间的变下的解，表示电磁场在所给条件下的空间分布和随时间的变化规律，即化规律，即电磁波的激发和传播规律电磁波的激发和传播规律。从本章开始，我们将。从本章开始，我们将讨论这些方程的求解，进而研究电磁波在各种条件下的传播讨论这些方程的求解，进而研究电磁波在各种条件下的传播问题。本章首先研究在问题

2、。本章首先研究在无界的线性均匀媒质中无界的线性均匀媒质中无源波动方程无源波动方程的解及波在这些媒质中的传播。至于有源波动方程的求解，的解及波在这些媒质中的传播。至于有源波动方程的求解，即电磁波的激发，将在即电磁波的激发，将在天线原理天线原理等课程中学习。等课程中学习。 波动方程最简单的解是平面波解。所谓波动方程最简单的解是平面波解。所谓“平面波平面波”，是指波阵面（等相位面）为无限大平面的波。如果在等相是指波阵面（等相位面）为无限大平面的波。如果在等相位面上场强的振幅也处处相等，则称为位面上场强的振幅也处处相等，则称为“均匀平面波均匀平面波”，它是电磁波最简单最基本的模式，许多复杂的波都可看作

3、它是电磁波最简单最基本的模式，许多复杂的波都可看作为若干均匀平面波的迭加。因此，我们先研究波动方程的为若干均匀平面波的迭加。因此，我们先研究波动方程的均匀平面波解，并讨论均匀平面波在各种无界媒质（理想均匀平面波解，并讨论均匀平面波在各种无界媒质（理想介质、导电介质、介质、导电介质、磁化等离子体、磁化铁氧体磁化等离子体、磁化铁氧体）中的传播）中的传播特性。特性。以下我们以下我们只讨论稳态时谐场只讨论稳态时谐场，因而所有的场量均用复，因而所有的场量均用复数表示。数表示。7.1无界理想介质中平面波的传播无界理想介质中平面波的传播7.1.1波动方程的解波动方程的解 在无源（在无源（=0、 =0）的均匀

4、理想介质（）的均匀理想介质（ ， ， ， 和和 均为实常数）中，稳态时谐场均为实常数）中，稳态时谐场 、 所满足所满足的波动方程为：的波动方程为：J000EH或或)11.7( 0)11.7( 022bHHaEE)21.7(0)21.7(0)21.7(0)21.7(02222bHkHaEkEdHcE 式中，。式中，。以下在直角坐标系中求解（以下在直角坐标系中求解（7.1-2）式。在直角坐标）式。在直角坐标系中，系中， 和的任一分量和的任一分量均满足标量亥姆霍兹方程：均满足标量亥姆霍兹方程：22kEH)31.7(02222222kzyx)()()()(zZyYxXr上式的解可用分离变量法求得，为此

5、，令：上式的解可用分离变量法求得，为此，令：代入（代入（7.1-3）式，得：）式，得：)41.7(000222222222aZkdzZdYkdyYdXkdxXdzyx其中，其中，)41 . 7(22222bkkkkzyx在无限大均匀理想介质中，（在无限大均匀理想介质中，（7.1-4a）中各方程分别有）中各方程分别有、 形式的特解。形式的特解。 如果取的特解为：如果取的特解为： xjkxeyjkyezjkze（7.1-5）zjkyjkxjkzyxeeer0)()(0zkykxkjzyxerkje0 式中，为常数，通常为复数。式中，为常数，通常为复数。 称为称为波矢量波矢量或或传播矢量传播矢量，而

6、为场点的位，而为场点的位置矢。置矢。 因为，故可取为因为，故可取为实矢量实矢量（即（即的各个分量、均为实数）。的各个分量、均为实数）。当然，在非均匀平当然，在非均匀平面波时，为复矢量面波时，为复矢量。令令 ( 为的单位矢量为的单位矢量)。这样，（。这样，（7.1-5）式表示）式表示一个沿方向传播的均匀平面波。设（一个沿方向传播的均匀平面波。设（7.1-5）式中的）式中的代表代表 的的X分量分量 ，将复振幅写为，则有：，将复振幅写为，则有： (7.1-6) （注：（注： 为复常数）为复常数）0zzyyxxkakakakzayaxarzyx22222kkkkkkzyxkxkykzkknkknknx

7、EE0 xExjxm0 xeEErnjkxxeErEr0)()(其瞬时值为：其瞬时值为：式中，。可见，上式表示一个向增加方向即方向式中，。可见，上式表示一个向增加方向即方向传播的传播的简谐波简谐波。式（。式（7.1-7）中，为相位，而为）中，为相位，而为初相。由于初相。由于等相位面的定义是等相位面的定义是：在任一固定时刻，相位相等在任一固定时刻，相位相等的点组成的面（平面或曲面）的点组成的面（平面或曲面），因此，（，因此，（7.1-7）式所表示的）式所表示的沿方向传播的简谐波的等相位面方程为沿方向传播的简谐波的等相位面方程为 =常数常数 即即 常数常数rn)71 .7()cos()cos(Re

8、),()(0 xxmxxmrnktjxxktErnktEeEtrEnxktxnxktrn可见，等相位面垂直于波的传播方向，故为平面波；同时，可见，等相位面垂直于波的传播方向，故为平面波；同时，由于在等位相面上振幅为常数，故又是均匀平面波。由于在等位相面上振幅为常数，故又是均匀平面波。在（在（7.1-6）式中，）式中， 由于由于 ： 而而 ： （为在（为在x方向的投影）方向的投影） （为在（为在y方向的投影）方向的投影） （为在（为在z方向的投影）方向的投影）式中，、式中，、 、为的、为的方向余弦方向余弦。nxmErnkrk)()(zayaxakakakazyxzzyyxxcoskankakkx

9、xxcoskankakkyyycoskankakkzzzxkkykzkkkcoscoscosn式（式（7.1-6）又可写为：）又可写为：)()coscoscos(zayaxaaaakrnkzyxzyx)coscoscos(zyxk)coscoscos(0)(zyxjkxxeErE注意，式（注意，式（7.1-5）是（）是（7.1-3）式的一个特解，实际上，）式的一个特解，实际上，也是它的一个特解，但这是沿方向传播的一个均匀平也是它的一个特解，但这是沿方向传播的一个均匀平面波。两个特解所表示的波，在无界媒质中具有完全相同面波。两个特解所表示的波，在无界媒质中具有完全相同的性质，故以下只取的性质，故

10、以下只取(7.1-5)的解。的解。rk je0n由于的任一直角坐标分量均有形如（由于的任一直角坐标分量均有形如（7.1-5）的解，）的解，故的亥姆霍兹方程（故的亥姆霍兹方程（7.1-2a）的解为）的解为:HE,E(7.1-8)式中，为不随位置而变的复常矢量，式中，为不随位置而变的复常矢量， 为为电场各分量的复振幅，均为复常数。电场各分量的复振幅，均为复常数。rk jrk jzzyyxxzzyyxxeEeEaEaEaEaEaEarE0000)(0E000,zyxEEErk jeErE0)(（7.1-8）式还需满足的条件后才是原问题的）式还需满足的条件后才是原问题的真解。将（真解。将（7.1-8）

11、式代入中，有：）式代入中，有：（7.1-9）0 E0 Erk jrk jrk jeEEeeEE000rk jeEE00为常矢zkykxkjzyxeE000EnjkEk jeEk jrk jrk jzyxrk jzkykxkjrk jek jzkykxkjeeezyx)(注：0En 此式说明，垂直于传播方向，即电场没有沿传播方向此式说明，垂直于传播方向，即电场没有沿传播方向的分量。的分量。 由由Maxswell方程组之一：可得：方程组之一：可得：（7.1-10）EnHjEEjH1000)(EeEejeEjrkjrkjrkjEnEk1EnEnkH即：即：可见，磁场与电场垂直，并也与传播方向垂直。即

12、和可见，磁场与电场垂直，并也与传播方向垂直。即和 都没有沿传播方向的分量，这样的波称为都没有沿传播方向的分量，这样的波称为横电磁波（横电磁波（TEM波）波）。式（式（7.1-8）、（）、（7.1-9）、（）、（7.1-10）是无界均匀理想介）是无界均匀理想介质中沿质中沿 方向传播的均匀平面波的一般表示式。实际上，我方向传播的均匀平面波的一般表示式。实际上，我们也可先求的亥姆霍兹方程（们也可先求的亥姆霍兹方程（7.1-1b）的均匀平面波解，）的均匀平面波解，并令其满足的条件后得到，这样，无界均匀理想介并令其满足的条件后得到，这样，无界均匀理想介质中沿方向传播的均匀平面波又可表示为：质中沿方向传播

13、的均匀平面波又可表示为：EH（7.1-11）0 HnHHnHnkEHneHHrk j00k 至此，已引出至此，已引出“平面波平面波”、“均匀平面波均匀平面波”、“横电磁波横电磁波（TEM波）波）”三个概念，请注意其区别：一般地，三个概念，请注意其区别：一般地，“平面波平面波”、“均匀平面波均匀平面波”这两个概念在无界空间中使用，而这两个概念在无界空间中使用，而“TEM波波” 却广泛应用于各种媒质中。并且，我们已得到这样的结论：却广泛应用于各种媒质中。并且，我们已得到这样的结论：无无界均匀理想介质中的平面波为均匀平面波，并且同时还是一个界均匀理想介质中的平面波为均匀平面波，并且同时还是一个横电磁

14、波横电磁波。例：已知例：已知真空真空中传播的均匀平面波的磁感应强度矢量为：中传播的均匀平面波的磁感应强度矢量为：263cos210,mWbzyxtaBaatrBzzyx求：（求：（a）波的传播方向和电磁波的频率）波的传播方向和电磁波的频率f;（b）的分量振幅值；）的分量振幅值；（c）电场矢量。）电场矢量。解：（解：（a）由，得：）由，得： 沿传播方向的单位矢为：沿传播方向的单位矢为：BzBtrE 、zyxtrkt3zyxaaak 30011 kkMHzfsrad15810939. 98、zyxaaakkn3111（b）由）由 ，或，可得：，或，可得： （c）将）将 写成复数形式：写成复数形式：

15、0zByBxBBzyx0Bn2610mWbBzB zyxjzyxeaaarB36210 zyxjzyxeaaaBnBnkHnkrE320000074111031 mVzyxtaaatrEzyx3cos7411300,7.1.2无界理想介质中平面波的传播特性无界理想介质中平面波的传播特性（7.1- 13） 在分析无界理想介质中均匀平面波的传播时，可设波在分析无界理想介质中均匀平面波的传播时，可设波沿沿z方向传播。因为对于各向同性的无界空间，可任意选定方向传播。因为对于各向同性的无界空间，可任意选定z方向，即取，所以。如果在方向，即取，所以。如果在xy平面上平面上 的方向始终平行于一固定直线，则可

16、以选取的方向始终平行于一固定直线，则可以选取x轴使其指向轴使其指向的方向，这样，由（的方向，这样，由（7.1-8）、（）、（7.1-10）可得：）可得：zan0zEEnEEjkzyjkzyzjkzxxxeHaeEkaEakHeEaEaE000（7.1-15）具有阻抗的量纲，称为具有阻抗的量纲，称为波阻抗波阻抗（或称（或称媒质的本质阻抗媒质的本质阻抗），），单位为。在理想介质中，由于、均为实数，故为实单位为。在理想介质中，由于、均为实数，故为实常数。常数。 真空中真空中由（由（7.1-13）得，理想介质中和的相位相同。）得，理想介质中和的相位相同。由（由（7.1-13）可以写出和的瞬时值表达式：

17、）可以写出和的瞬时值表达式： 式中，、分别为电场和磁场的复振幅，二者的比值为：式中，、分别为电场和磁场的复振幅，二者的比值为：（7.1-14）0E0HkHE0037712000EHEH0RecoscosjtxxmmyEa E ea EtkzEHatkz式中，为电场强度的振幅。上式表示一个式中，为电场强度的振幅。上式表示一个沿沿z方向传播的简谐均匀平面波。由的相位方向传播的简谐均匀平面波。由的相位可以看出，要保持相位不变，则当增加时，可以看出，要保持相位不变，则当增加时，z也必须也必须增加，即随时间增加，等相位面沿增加，即随时间增加，等相位面沿z方向移动，从而方向移动，从而形成形成行波行波。等相

18、位面为：（等相位面为：（7.1-16） 若将等相位面行进的速度称为若将等相位面行进的速度称为相速相速，记作，则：，记作，则：（7.1-17）0EeEjmmEE kzt常数kztPncckdtdzrrP1式中，式中，c为真空中的光速为真空中的光速（为），（为），n为为媒质折射率媒质折射率： （7.1-19） （7.1-18）由式（由式（7.1-15）决定的场，随时间）决定的场，随时间t和空间坐标和空间坐标z均作简均作简谐变化。如将谐变化。如将时间周期时间周期记作记作T，则因余弦函数的周期，则因余弦函数的周期为为 ，故，故sm8103为频率）（ffT1201oc rrPcn2T22mtkz 将将空

19、间周期空间周期记作，称为记作，称为波长波长。则：。则： 因此，因此，波长是同一时刻沿传播方向相位相差波长是同一时刻沿传播方向相位相差 的两点的两点间的距离间的距离，而，而k则表示沿传播方向移动单位距离时的相位变则表示沿传播方向移动单位距离时的相位变化，故化，故k也称为也称为相移常数（相移常数（rad/m）。以后我们把相移常数。以后我们把相移常数均记作，故在理想介质中均记作，故在理想介质中 。 于是：于是：或或 （7.1-20）（7.1-21）2k2k 2kfP22fP由式（由式（7.1-20）可见，）可见，k是在是在2的距离内完整的正弦波形的个的距离内完整的正弦波形的个数，故数，故k又称为又称

20、为波数波数。以上引出的、是描述以上引出的、是描述正弦波的重要参量正弦波的重要参量，三者，三者之间的关系可由（之间的关系可由（7.1-17）得到：）得到：（7.1-22）其中，由媒质特性决定，由波源的频率决定，因其中，由媒质特性决定，由波源的频率决定，因此由媒质特性和波源的频率共同决定此由媒质特性和波源的频率共同决定 ，也是如此。所，也是如此。所以，以，同一频率的均匀平面波，在不同媒质中传播时，相速度同一频率的均匀平面波，在不同媒质中传播时，相速度不相等，从而波长也不相等不相等，从而波长也不相等。PPkP、.constkzta）求传播常数）求传播常数k、波长、的瞬时值；、波长、的瞬时值；b) 若

21、频率不变，波在媒质中传播，求相速若频率不变，波在媒质中传播，求相速 、波长、波长、波阻抗和传播常数、波阻抗和传播常数k。 解：（解：（a）真空中，）真空中， 例：已知例：已知真空中真空中传播的均匀平面波的频率为：传播的均匀平面波的频率为：，电场为：，电场为：MHzHzf150105 . 18mVeaEjkzx310EH）、（04oPmfc220mradkk/200zjyzjyzeaeaEaH377101013030（b）在媒质中传播时：）在媒质中传播时： )/(cos103mVztatzEx、)/(cos377103mAztatzHy、）、（04osmckrP/105 . 118mr10rrf

22、cf0 5 .1880rrr0000102mkkr0000kkrr下面来看看能量的传播：下面来看看能量的传播：在理想介质中在理想介质中，平面波的能流密度瞬时值为：，平面波的能流密度瞬时值为：能流密度的瞬时值：能流密度的瞬时值： 复玻印廷矢量：复玻印廷矢量： 玻印廷矢量（能流密度）的时间平均值：玻印廷矢量（能流密度）的时间平均值：（7.1-23）kztEakztEatrHtrEtrSmymxcoscos,kztEamz2cos122trHtrEtrS, )()(21rHrErS HErSave21Re（7.1-25）可见，的方向与波的传播方向一致。可见，的方向与波的传播方向一致。(7.1-23)

23、式中的式中的常数项表示能流密度的时间平均值，即：常数项表示能流密度的时间平均值，即： （7.1-24）可见，可见， 与坐标无关，这是理想介质中没有传播损耗与坐标无关，这是理想介质中没有传播损耗的必然结果。的必然结果。电能密度和磁能密度的瞬时值分别为：电能密度和磁能密度的瞬时值分别为： SSzmaverageaES221aveSkztEkztHHwkztEkztEEwmmmmme2cos141cos21212cos141cos2121222222222由于，所以电能密度等于磁能密度：由于，所以电能密度等于磁能密度： （7.1-26）总的电磁能密度为：总的电磁能密度为：按定义，能流密度是单位时间内

24、通过与能量流动方向按定义，能流密度是单位时间内通过与能量流动方向垂直的单位面积的能量。所以，如果以垂直的单位面积的能量。所以，如果以 表示表示能量流动的速能量流动的速度度，则有：，则有： （7.1-27）mewwmmavemmeHEwkztEwww22221212cos121其平均值为：seeaveavevwSPmmaveaveeEEwS121222（7.1-29）可见，可见，在理想介质中，均匀平面波的能量传播速度等于相速。在理想介质中，均匀平面波的能量传播速度等于相速。此处强调一点：此处强调一点：我们所讲的我们所讲的相速相速、能量速度能量速度以及以后会讲以及以后会讲到的到的群速群速，不仅在定

25、义上有差别，且表示的物理意义也各不，不仅在定义上有差别，且表示的物理意义也各不相同。相同。无论在何处情况下，能量传播速度都可使用来计算。无论在何处情况下，能量传播速度都可使用来计算。PegeaveaveewS综上所述，综上所述，均匀平面波在理想介质中传播的特性可均匀平面波在理想介质中传播的特性可以归纳为：以归纳为：与垂直于传播方向，故为与垂直于传播方向，故为TEM波；波；与相互垂直，其复振幅之比称为波阻抗；与相互垂直，其复振幅之比称为波阻抗； 为实数，与同相；为实数，与同相；波无衰减地传播，能流密度矢量指向传播方向，波无衰减地传播，能流密度矢量指向传播方向，且能速等于相速；且能速等于相速；任一

26、时刻任意一点的电能密度等于磁能密度；任一时刻任意一点的电能密度等于磁能密度；波的极化状态在所有的空间点上都是相同的（原波的极化状态在所有的空间点上都是相同的（原因见下节）。因见下节）。EHEEHH7.2电磁波的极化电磁波的极化上节（上节（7.1-13）式是无界均匀理想介质中均匀平面波的解：）式是无界均匀理想介质中均匀平面波的解： 可见，其中电场矢量的取向，总是平行于某一固定直线可见，其中电场矢量的取向，总是平行于某一固定直线（此处是（此处是x轴），或者说空间固定点上的电场矢量总是在一轴），或者说空间固定点上的电场矢量总是在一条固定直线上振动，我们称这样的波为条固定直线上振动，我们称这样的波为“

27、线极化波线极化波”。上式。上式表示的即是沿表示的即是沿x轴方向的线极化波。轴方向的线极化波。 此处，所谓此处，所谓“极化极化”也叫也叫“偏振偏振”，是指空间任一固定，是指空间任一固定点上波的电场矢量的空间取向随时间变化的方式，点上波的电场矢量的空间取向随时间变化的方式，可以用可以用矢量的端点轨迹来描述矢量的端点轨迹来描述。 jkzyjkzyjkzxeEaeHaHeEaE000E如果的矢端轨迹为直线，波为如果的矢端轨迹为直线，波为“线极化线极化”；的矢端轨迹为；的矢端轨迹为圆，波为圆，波为“圆极化圆极化”；的矢端轨迹为椭圆，波为；的矢端轨迹为椭圆，波为“椭圆极椭圆极化化”。显然，。显然，对于均匀

28、平面波来说，在空间所有点上，波的极对于均匀平面波来说，在空间所有点上，波的极化状态都是相同的化状态都是相同的。 上节已得知，无界媒质中的均匀平面波为上节已得知，无界媒质中的均匀平面波为TEM波。波。TEM波的波的电场和磁场矢量均在垂直于传播方向的平面内。设波沿电场和磁场矢量均在垂直于传播方向的平面内。设波沿z方向方向传播，则和均在传播，则和均在z=常数常数的平面内。但是，在此平面内的的平面内。但是，在此平面内的取向可以是任意的，或者是随时间变化的。因为对取定的坐标取向可以是任意的，或者是随时间变化的。因为对取定的坐标系，一般有两个分量：系，一般有两个分量：（7.2-1） EEEEHEEjkzj

29、ymyjxmxjkzyyxxyyxxeeEaeEaeEaEaEaEaEyx 00其两个分量的瞬时值为：其两个分量的瞬时值为： 以下来研究（以下来研究（7.2-2）所示的平面波电场的两个分量）所示的平面波电场的两个分量取不同振幅和相位时，空间任一固定点处合成电场的矢取不同振幅和相位时，空间任一固定点处合成电场的矢量端点的轨迹，从而确定其极化状态。量端点的轨迹，从而确定其极化状态。 （7.2-2）yymyxxmxkztEEkztEEcoscos7.2.1线极化线极化如果和同相，则。在空间任取一固定如果和同相，则。在空间任取一固定点，例如点，例如z=0，则（，则（7.2-2）式变为：）式变为： xE

30、yE0yx00coscostEEtEEymyxmx消去消去t，得：，得：（7.2-3） 这是一直线方程，的矢端轨迹为直线，它与这是一直线方程，的矢端轨迹为直线，它与x轴轴 的夹角为：的夹角为： ymyxmxEEEEE常数 11xmymxyEEtgEEtg（7.2-4）故式（故式（7.2-2）所示的平面波，当时为线极化波，如）所示的平面波，当时为线极化波，如上图。显然，当时也为线极化波，与上图。显然，当时也为线极化波，与x轴的夹轴的夹角为：角为： yxyxxmymEEtg17.2.2圆极化圆极化如果和的振幅相等，即如果和的振幅相等，即 ，而相位差为，而相位差为，即。则在空间任取一固定点，例如，即

31、。则在空间任取一固定点，例如z=0处，式（处，式（7.2-2）变为：）变为： 消去消去t，即，即 （7.2-6） （7.2-5）xEyEmymxmEEE2/2/yxxmyxmxtEEtEEsincos122mymxEEEE此为圆方程，合成矢量端点轨迹为圆。与此为圆方程，合成矢量端点轨迹为圆。与x轴的夹角为：轴的夹角为： 对于的点，则：对于的点，则： （7.2-7b） 由（由（7.2-6）、（）、（7.2-7）式可知，合成电场矢量的大小不变，）式可知，合成电场矢量的大小不变，其矢端以角频率作圆周运动，即矢端轨迹为圆，故为圆极其矢端以角频率作圆周运动，即矢端轨迹为圆，故为圆极化波。化波。 （7.2

32、-7a）E0zxxxxyttttgEEtgcossin11)(xkztv当时，顺着电磁波传播方向看当时，顺着电磁波传播方向看去，顺时针旋转，这时旋转方向与传播方向呈右手螺旋关去，顺时针旋转，这时旋转方向与传播方向呈右手螺旋关系，故称为系，故称为右旋圆极化波右旋圆极化波，如下图，如下图a示。反之当时，示。反之当时，的旋转方向与波的传播方向呈左旋关系，故称之为，的旋转方向与波的传播方向呈左旋关系，故称之为左左旋圆极化波旋圆极化波，如下图，如下图b示。示。 2/yxxtE2/yxxtE左旋左旋注意，对于右旋圆极化波，由于注意，对于右旋圆极化波，由于, ,所以：所以： （7.2-8a）同理，对于左旋圆

33、极化波，由于同理，对于左旋圆极化波，由于, 所以：所以： （7.2-8b）以上所定义的左以上所定义的左/右旋圆极化波，是在空间固定一点处观右旋圆极化波，是在空间固定一点处观察电场随时间的变化而得到的。另一方面，如果在固定时间察电场随时间的变化而得到的。另一方面，如果在固定时间观察空间电场沿传播方向的变化（即电场沿观察空间电场沿传播方向的变化（即电场沿z轴的变化轨迹），轴的变化轨迹），它的大小和方向与某一垂直平面上（即固定它的大小和方向与某一垂直平面上（即固定z时）电场随时间时）电场随时间的变化情况刚好相反。（）的变化情况刚好相反。（） 2/yxymxmEEyxjEE yxxyyxxa jaEE

34、aEaE2/yxymxmEEyxjEEyxxajaEEkzt7.2.3椭圆极化椭圆极化更一般的情况是和及和间为任意关系。在更一般的情况是和及和间为任意关系。在z=0处，由式（处，由式（7.2-2）有）有消去消去t，得：，得：（7.2-9） xmEymExyyymyxxmxtEEtEEcoscos222sincos2ymyymxmyxxmxEEEEEEEE（7.2-10） 其中。这是一个椭圆方程。因为方程中不其中。这是一个椭圆方程。因为方程中不含或的一次项，故椭圆中心在坐标系原点，如图示。含或的一次项，故椭圆中心在坐标系原点，如图示。可见，在空间固定点上，不断改变其大小和方向，其可见，在空间固定

35、点上，不断改变其大小和方向，其矢端轨迹为椭圆，故为椭圆极化波。显然，圆极化和线矢端轨迹为椭圆，故为椭圆极化波。显然，圆极化和线极化均可视为椭圆极化的特例。极化均可视为椭圆极化的特例。 yxxEyEE轴比轴比: 20log(b/a)在椭圆极化时，与在椭圆极化时，与x轴的夹角为：轴的夹角为： 的矢端旋转速率为：的矢端旋转速率为： ExxmyymtEtEtgcoscos1（7.2-11） EyymxxmymxmtEtEEEdtd2222coscossin（7.2-12） yx其中：其中：可见，当时，（即可见，当时，（即 ）时，）时，0为为右旋椭圆极化右旋椭圆极化；反之，当时；反之，当时 ，100)时

36、，以上各式的误差时，以上各式的误差 1c,2j12222f2cp（7.3-20） 01. 0%5 . 0对于有耗介质，其介电常数为复数，并且在第对于有耗介质，其介电常数为复数，并且在第六章中曾经指出，导电媒质的电导率与有耗媒质的对六章中曾经指出，导电媒质的电导率与有耗媒质的对于损耗的作用相同。因此，我们可以将有耗介质等效看成具于损耗的作用相同。因此，我们可以将有耗介质等效看成具有电导率为的导电媒质来处理损耗问题及波的传播有电导率为的导电媒质来处理损耗问题及波的传播问题，只须将本节推出的公式中的换成，换成即问题，只须将本节推出的公式中的换成，换成即可。可。 损耗角正切为损耗角正切为 （7.3-2

37、1） 所以损耗介质的等效电导率为：所以损耗介质的等效电导率为： 前面定义出的良介质，前面定义出的良介质， ，等效于，等效于， je dccJJtg crctgtg011 1tg je即即:jc对于既有导电损耗、又有介质极化损耗的媒质，因为：对于既有导电损耗、又有介质极化损耗的媒质，因为：HEjjEjjE ej其等效复介电常数为：其等效复介电常数为：jc其与导电媒质的复介电常数的对应关系为：其与导电媒质的复介电常数的对应关系为：ejccdJtgJ其损耗角正切为：其损耗角正切为：crctgtg0因此，这种损耗介质的等效电导率为：因此，这种损耗介质的等效电导率为：7.4相速与群速相速与群速前面几节我

38、们研究了单一频率的稳态正弦波（即单色波）前面几节我们研究了单一频率的稳态正弦波（即单色波）在各种媒质中的传播特性。事实上，并不存在这种理想化的波，在各种媒质中的传播特性。事实上，并不存在这种理想化的波，而且这种波也不能携带任何信息。实际所能产生和应用的电磁而且这种波也不能携带任何信息。实际所能产生和应用的电磁波，都不是单一频率的，而是频率离散或连续地分布在一定范波，都不是单一频率的，而是频率离散或连续地分布在一定范围内。由于围内。由于Maxswell方程是线性的（线性媒质中），不同频率方程是线性的（线性媒质中），不同频率的波迭加后仍是方程的解。的波迭加后仍是方程的解。对于对于单色平面波单色平面

39、波，若沿给定方向（例如，若沿给定方向（例如Z方向）传播，其方向）传播，其表示式为：表示式为：式中式中A为任意的复振幅系数（可能是坐标的函数）。其等为任意的复振幅系数（可能是坐标的函数）。其等相位面方程为：相位面方程为： ztjAe.constzt可见，单色波的相速取决于相移常数，依据可见，单色波的相速取决于相移常数，依据 关关系的不同，相速可以是常数（为线性关系时），也可系的不同，相速可以是常数（为线性关系时），也可以是频率的函数。当，媒质为以是频率的函数。当，媒质为色散媒质色散媒质。非单色波。非单色波在色散媒质中传播时，其不同频率的分量具有不同的相速。在色散媒质中传播时，其不同频率的分量具有

40、不同的相速。波在传播过程中将改变各频率分量的相位关系，从而使波形波在传播过程中将改变各频率分量的相位关系，从而使波形发生变化发生变化。那么，这时波的传播速度如何计算呢？现举例说。那么，这时波的传播速度如何计算呢？现举例说明。明。（7.4-1）由此得到相速（单色波的相速）由此得到相速（单色波的相速）p pp设有两个振幅相等（均为）、频率相差不大的正弦波，设有两个振幅相等（均为）、频率相差不大的正弦波，其频率和相移常数分别为：其频率和相移常数分别为：则这两个正弦波可写成：则这两个正弦波可写成：及及 且且mA1122ztjztjmzjtjmztjztjmzjtjmeeAeeAeeAeeA21由（由（

41、7.4-2）式可见，可把合成波看成是正弦波，其振）式可见，可把合成波看成是正弦波，其振幅随时间缓慢变化（以变化）。固定时刻合成波的幅随时间缓慢变化（以变化）。固定时刻合成波的空间分布是一系列按一定周期排列的空间分布是一系列按一定周期排列的波群（包络波）波群（包络波）。随。随着着t的增加，整个波群（包络）向的增加，整个波群（包络）向Z方向传播。包络波的等方向传播。包络波的等相位面是：相位面是： 常数常数 包络波的推进速度为：包络波的推进速度为： （7.4-2）（7.4-3）ztjmztjmeAeztA21cos2mAztztAAmmcos2合成波为：合成波为：dtdzg上式就是包络波上某一恒定相

42、位点推进的速度。上式就是包络波上某一恒定相位点推进的速度。 在在的极限情况下，有的极限情况下，有（7.4-4）称为称为群速群速。可见，。可见，群速表示由若干个单色波组成的非群速表示由若干个单色波组成的非单色波的整个波群（包络）传播的速度单色波的整个波群（包络）传播的速度。01ddddggpppgddddddddddddpgppppp由上式可见，当与无关时（即在非色散媒质中由上式可见，当与无关时（即在非色散媒质中时），有，则，这时各频率分量的相速均相时），有，则，这时各频率分量的相速均相等，且等于群速，在传播过程中波形不会发生变化。等，且等于群速，在传播过程中波形不会发生变化。如果与有关，且增大

43、时减小，则，所如果与有关，且增大时减小，则，所以有，这时的色散为以有，这时的色散为正常色散正常色散；如果与有关，且增大时也增大，则，如果与有关，且增大时也增大，则，所以有，这时的色散称为所以有，这时的色散称为反常色散反常色散。（7.4-5）ddddpppg1p0ddppgpp0ddppgpp0ddppg思考题：导电媒质、良导体、良介质的色散特性思考题：导电媒质、良导体、良介质的色散特性群速是波群传播的速度。显然，从上面的推导过程可群速是波群传播的速度。显然，从上面的推导过程可以看出，在色散媒质中，只有当波群作为一个整体运动并以看出，在色散媒质中，只有当波群作为一个整体运动并在传播过程中变形足够

44、慢时，群速才有意义。这时可以用在传播过程中变形足够慢时，群速才有意义。这时可以用群速描述波的传播速度，但须满足：群速描述波的传播速度，但须满足：1. ，2.随变化很缓慢（即：频率的微小变化仅引起随变化很缓慢（即：频率的微小变化仅引起 的的 微小变化）。微小变化）。当不满足上述两个条件中的任意一个或两个时，波的当不满足上述两个条件中的任意一个或两个时，波的各频率分量将以显著不同的相速传播，因而在传播过程中各频率分量将以显著不同的相速传播，因而在传播过程中波形将发生剧烈畸变。在这种情况下，群速将失去意义。波形将发生剧烈畸变。在这种情况下，群速将失去意义。思考思考: UWB: UWB信号在空气、同轴

45、线、漏电介质、介质波导中传播时信号在空气、同轴线、漏电介质、介质波导中传播时, , 波形如何变化？波形如何变化？注意：不论何种情况下，能量传播速度都可注意：不论何种情况下，能量传播速度都可用同样方法计算：用同样方法计算：avavews7.5电磁波在不同媒质中的传播电磁波在不同媒质中的传播本章前面几节讨论了平面波在无界均匀媒质中的传播。从本章前面几节讨论了平面波在无界均匀媒质中的传播。从现在开始将研究平面波在两种不同媒质中的传播，且两种媒质现在开始将研究平面波在两种不同媒质中的传播，且两种媒质的分界面为无限大平面。实验表明，当电磁波由一种媒质射向的分界面为无限大平面。实验表明，当电磁波由一种媒质

46、射向另一种媒质时，在分界面处将发生另一种媒质时，在分界面处将发生反射和折射（透射）现象反射和折射（透射）现象，入射波的一部分能量由分界面反射回媒质入射波的一部分能量由分界面反射回媒质1，而另一部分能量，而另一部分能量透入媒质透入媒质2。于是，。于是，媒质媒质1中除入射波外还会有反射波，入射波中除入射波外还会有反射波，入射波与反射波迭加成为媒质与反射波迭加成为媒质1中的合成波。同时，媒质中的合成波。同时，媒质2中将有一透中将有一透射波（也常称为折射波）。射波（也常称为折射波）。事实上，事实上，只有当反射波、透射波和只有当反射波、透射波和入射波同时存在时，分界面处的边界条件才得以满足。入射波同时存

47、在时，分界面处的边界条件才得以满足。因此，研究存在几种媒质时电磁波的传播问题，就是因此，研究存在几种媒质时电磁波的传播问题，就是要找出满足给定分界面上边界条件的电磁场分布，因而要找出满足给定分界面上边界条件的电磁场分布，因而属属于电磁场边值问题于电磁场边值问题，而，而边界条件则是处理这类问题的基础边界条件则是处理这类问题的基础。 本节我们首先研究平面波在不同媒质界面处的反射和本节我们首先研究平面波在不同媒质界面处的反射和折射规律，从而得到折射规律，从而得到反、折射定律反、折射定律，然后分别讨论平面波，然后分别讨论平面波由一种媒质以不同角度射向另一种媒质时，各媒质中波的由一种媒质以不同角度射向另

48、一种媒质时，各媒质中波的传播特性。传播特性。 7.5.1平面波在分界面处的反射和折射定律平面波在分界面处的反射和折射定律设两种半无限大的设两种半无限大的理想介质理想介质的分界面为的分界面为z0平面。媒平面。媒质参数分别为和。设质参数分别为和。设平面电磁波平面电磁波由媒质由媒质1入射入射到分界面上，在该处产生反射波和折射波。到分界面上，在该处产生反射波和折射波。假设反射波和假设反射波和折射波也都可以表示为平面波折射波也都可以表示为平面波（这种假设是否正确，要根（这种假设是否正确，要根据是否满足分界面上边界条件来判定。实际上，对于分界据是否满足分界面上边界条件来判定。实际上，对于分界面为无限大平面

49、的情况，这种假设是能够满足边界条件的，面为无限大平面的情况，这种假设是能够满足边界条件的，因此假设是正确的）。设以下标和因此假设是正确的）。设以下标和t分别表示入射波、分别表示入射波、反射波和折射波，则它们的电场可写为：反射波和折射波，则它们的电场可写为：1, 12,2ri,（7.5-1） 式中，式中， 分别是入射波、反射波和折射波的波矢量。分别是入射波、反射波和折射波的波矢量。rktjttrktjrrrktjiittrriieEEeEEeEE00011iiiiinnkk11rrrrrnnkk22tttttnnkk媒质媒质1中的总电场为：中的总电场为：总磁场为：总磁场为：媒质媒质2中的总电场为

50、：中的总电场为：总磁场为：总磁场为：根据边界条件，在分界面处（根据边界条件，在分界面处（z0平面）电场和，平面）电场和，磁场和的切向分量应相等，磁场和的切向分量应相等，即：即：（下标表示切向分量）（下标表示切向分量）riEEE1riHHH1tEE2tHH21H2H000ztzrziEEE2E1E000irtzzzHHH 如将分界面上任一点的矢径记为如将分界面上任一点的矢径记为(在在z0平面上平面上)，则由上式可写出：则由上式可写出：上式要对任意时刻上式要对任意时刻t和分界面上任意一点均成立，式中和分界面上任意一点均成立，式中各指数应相等。由于各指数应相等。由于t和和 是互为独立的，所以有：是互

51、为独立的，所以有：（7.5-2）（7.5-3）以及以及BrBrBttBrrBiirktjtrktjrrktjieEeEeE000Brtri222111 kkkkktriBtBrBirkrkrkBr 如果设为如果设为分界面法向单位矢量分界面法向单位矢量，则由于，则由于（在（在z0平面上）平面上）代入到（代入到（7.5-3）式中，并利用矢量恒等式：）式中，并利用矢量恒等式：得：得： na0nBa r Br ()nnBnBnnBBaara r na a rr BACCBAinrntnkakaka（7.5-4）() ()() ()() ()nBinnBrnnBtnarkaarkaarka 由上式可以得

52、到三个结论：由上式可以得到三个结论：1.如果将与构成的平面称为如果将与构成的平面称为入射面入射面，则，则,均在均在入射面内，如图示。这是因为由决定的平面的法线、入射面内，如图示。这是因为由决定的平面的法线、由决定的平面的法线与入射面的法线平行，因此，由决定的平面的法线与入射面的法线平行，因此， 和共面。和共面。2.若令分别表示与的夹角，如图示，若令分别表示与的夹角，如图示，则由（则由（7.5-4）的得：）的得： 即即入射角等于反射角（反射定律）入射角等于反射角（反射定律）（7.5-5）ikrktkrnkatnkaikrktknatri,trikkk,nainrnk ak a rikksinsi

53、n11rina此即此即折射定律折射定律，也称，也称斯涅尔（斯涅尔（Snell）定律）定律。以上得到的结果是在假定媒质以上得到的结果是在假定媒质1和和2均为理想介质时得均为理想介质时得到的，到的，它们也适用于导电媒质它们也适用于导电媒质(因为在推导过程中因为在推导过程中,只用到只用到了电场的切向分量连续的边界条件了电场的切向分量连续的边界条件)，只是介电常数和传，只是介电常数和传播常数应该用复介电常数和复传播常数代替播常数应该用复介电常数和复传播常数代替。注意：注意：（1）当入射角给定时，可由折射定律（）当入射角给定时，可由折射定律（7.5-6）式决）式决定折射角，而均匀平面波的入射角为内的实角

54、；定折射角，而均匀平面波的入射角为内的实角；（7.5-6）3.由（由（7.5-4）式中的，得：）式中的，得：intnkakatitisinnsinn,sinksink2121或写成或写成20i（2）当或（和）为复数时，变为复数；）当或（和）为复数时，变为复数；（3）当和均为实数，但有）当和均为实数，但有 且且 时，时， 也变为复数，从而保证。也变为复数，从而保证。全反射全反射1k2kt1k2k12sinkkit1sint1k2k即即: :当电磁波从光密媒质射向光疏媒质、且入射角大于临界角时，发生全反射。当电磁波从光密媒质射向光疏媒质、且入射角大于临界角时，发生全反射。7.5.2平面波向媒质分界

55、面上垂直入射平面波向媒质分界面上垂直入射当垂直入射时，根据反射定律，即当垂直入射时，根据反射定律，即反射波和透射波也是垂直于分界面传播的。设入射波与反反射波和透射波也是垂直于分界面传播的。设入射波与反射波电场和的极化方向相同，均为射波电场和的极化方向相同，均为X轴方向，根据玻印轴方向，根据玻印廷定理可画出磁场的方向，如图示。这时媒质廷定理可画出磁场的方向，如图示。这时媒质1中中入射波和反射波：入射波和反射波：0i0triEzjkrxrzjkixieEaEeEaE1100zjkryrzjkiyieEaHeEaH11010111rEHES在分界面（在分界面（xy平面）处的边界条件要求电场与磁场的平

56、面）处的边界条件要求电场与磁场的切向分量连续，切向分量连续，即：即：z0处处 媒质媒质2中有透射波，中有透射波， （7.5-7）zjktxteEaE20zjktyteEaH2021201010000tritriEEEEEE注意：此处磁场切向分量连续的边界条件并不与第六章的结论矛盾，注意：此处磁场切向分量连续的边界条件并不与第六章的结论矛盾， 因为此时是将导电媒质等效看成是有极化损耗的介质，因此认为分界面上没有面自由电流。因为此时是将导电媒质等效看成是有极化损耗的介质，因此认为分界面上没有面自由电流。若定义：若定义：反射系数反射系数R R：媒质：媒质1中分界面处反射波电场的中分界面处反射波电场的

57、切向分量切向分量的振幅的振幅与入射波电场的与入射波电场的切向分量的振幅切向分量的振幅之比：之比：折射系数折射系数T T：媒质：媒质2中分界面处透射波电场的中分界面处透射波电场的切向分量切向分量的振幅的振幅与媒质与媒质1中分界面处的入射波电场的中分界面处的入射波电场的切向分量的振幅切向分量的振幅之比：之比：则可由（则可由（7.5-7）式得：）式得： （7.5-8）00irEE00itEE122001212002itirEETEER和和1R=T（7.5-9）式中，和分别为媒质式中，和分别为媒质1和媒质和媒质2的本质阻抗，分别为：的本质阻抗，分别为： ，且，且 （为复数）（为复数）由于媒质由于媒质2

58、的，故为复数，和也为复数，的，故为复数，和也为复数，且，这时媒质且，这时媒质2中的透射波场强为：中的透射波场强为：（7.5-10）12111222j20222kzjziytzjzixteeETaHeeETaE2002kj可见，这时媒质可见，这时媒质2中的波为衰减波，衰减速率由中的波为衰减波，衰减速率由决定。此外，还可引入另外一个表示透射波衰减特性的决定。此外，还可引入另外一个表示透射波衰减特性的量量穿透深度穿透深度（或称为（或称为趋肤厚度趋肤厚度），其定义为：透），其定义为：透射波的振幅衰减到表面处的时透入到媒质射波的振幅衰减到表面处的时透入到媒质2中的距离，中的距离，即：即： （7.5-11

59、）e111,20log8.6860ttEzedBeeEz 1以上的讨论适用于媒质以上的讨论适用于媒质2为一般导电媒质。下面研为一般导电媒质。下面研究三种特殊情况：媒质究三种特殊情况：媒质2分别为良导体、理想导体、理分别为良导体、理想导体、理想介质。想介质。 （A）媒质）媒质2为良导体时：为良导体时： 对于良导体（即），有对于良导体（即），有 所以穿透深度为：（所以穿透深度为：（7.5-12）由此可见，在满足的条件下，频率愈高、越由此可见，在满足的条件下，频率愈高、越大，大， 就越小。就越小。 1002ff121例如，电磁波透入铜（例如，电磁波透入铜（ ，）时，）时，当频率时，；而当当频率时，；

60、而当 时时。可见，当电磁波进入良导体的距离为几个穿透深度时，可见，当电磁波进入良导体的距离为几个穿透深度时，振幅即接近于零。故良导体中的电磁场和传导电流实际上仅振幅即接近于零。故良导体中的电磁场和传导电流实际上仅存在于导体表面处极薄的一层中。这种电磁场及电流集中于存在于导体表面处极薄的一层中。这种电磁场及电流集中于导体表面附近的现象，称为导体表面附近的现象，称为“趋肤效应趋肤效应”。00m/108 .57zf610m5106 . 6m7108 . 3zf10103由于很小，故由于很小，故在频率很高时，对于一切具有实际意在频率很高时，对于一切具有实际意义厚度的导体，电磁波都是不能透过的。义厚度的