微分几何第一章曲线论第二节曲线的概念

1、2 曲线的概念1.1.曲线的概念；曲线的概念；2.2.光滑曲线，曲线的正常点；光滑曲线，曲线的正常点；3.3.曲线的切线和法面；曲线的切线和法面；4.4.曲线的弧长，自然参数曲线的弧长，自然参数. .2.1 曲线的概念曲线的概念定义定义映映射射）(是两个点集，是两个点集，和和设设EE ,Ex 若对若对与之相对应，与之相对应，都都Ey !的一个映射，的一个映射，到到则称给定了从则称给定了从EE EEf :记作记作.,),(EyExxfy 或或EE x y ,21Exx 若对若对),()(2121xfxfxx 是一一的（或单射）；是一一的（或单射）；则称则称fEE x y ,)(EEf 若若是在上

2、的（或满射）；是在上的（或满射）；则称则称f.叫一一映射叫一一映射一一的在上的映射一一的在上的映射f.:1EEff 有逆映射有逆映射此时此时定义定义连续映射）连续映射）(集，集，是欧氏空间中的两个点是欧氏空间中的两个点和和设设EE ,:EEf ,0Ex ,)()(, 0, 000 xfxfxx.0连续连续在点在点则称则称xf中的每一点都连续，中的每一点都连续，在在如果如果Ef.上连续上连续在在则称则称Ef.:是是连连续续的的简简称称EEf 定义定义)(同胚映射同胚映射，是是一一一一的的，双双方方连连续续的的若若映映射射EEf :在在上上的的映映射射，是是拓拓扑扑映映射射则则称称EEf :.或同

3、胚映射或同胚映射定义定义)(简单曲线简单曲线是是一一个个开开的的直直线线段段，设设I集，集，是三维欧氏空间中的点是三维欧氏空间中的点3)(EC ，若若存存在在同同胚胚映映射射)(:CIf.3中中的的简简单单曲曲线线是是则则称称EC.胚胚像像在在三三维维欧欧氏氏空空间间中中的的同同简简单单曲曲线线是是开开的的直直线线段段换换言言之之，例例如如：fxyzof开圆弧开圆弧圆柱螺线圆柱螺线)(bat )(trr .一元向量值函数一元向量值函数.参数方程参数方程.或参数表示或参数表示rOyzxM2e3e1e.参数表示参数表示叫做空间曲线的向量式叫做空间曲线的向量式.参数表示参数表示叫做空间曲线的坐标式叫

4、做空间曲线的坐标式)(bta 其中其中321)()()()(etzetyetxtrr )()()(tzztyytxx2.2 光滑曲线光滑曲线 曲线的正常点曲线的正常点定义定义),()()(btatrrC ：对于曲线对于曲线,)(kCtr 如果如果.类曲线类曲线则称曲线为则称曲线为kC.1类类曲曲线线称称为为光光滑滑曲曲线线C.0类类曲曲线线称称为为连连续续曲曲线线C定义定义),()(01trtrrC上的点上的点类曲线类曲线对于对于 , 0)(0 tr如果如果.点点则称该点为曲线的正常则称该点为曲线的正常.0)(0的的点点叫叫做做非非正正常常点点而而 tr常点，则称该曲线为常点，则称该曲线为如果

5、曲线上的点全是正如果曲线上的点全是正.正则曲线正则曲线注注.)(),(),(0)(1)0000至少有一个不为零至少有一个不为零表示表示tztytxtr .0)(2)是孤立的是孤立的的点是很特殊的，一般的点是很特殊的，一般 tr.(3)段上段上正常点总在一正则曲线正常点总在一正则曲线，在正常点在正常点曲线曲线)()(),(),()(4)0tPtztytxtrr 充充分分小小曲曲线线段段，总总存存在在包包含含该该点点的的一一个个形形式式的的方方程程表表示示：使使得得该该曲曲线线段段可可用用如如下下 )()(zyyzxx )()(xzzxyy或或 )()(yzzyxx或或,sin,cos)(btta

6、tatr 如如：对对于于圆圆柱柱螺螺线线, 0,cos,sin)( btatatr圆圆柱柱螺螺线线是是正正则则曲曲线线，圆圆柱柱螺螺线线的的方方程程可可写写为为bzaysin bzaxcos 2.3 曲线的切线和法面曲线的切线和法面 PQ T定义定义.)(点点的的切切线线在在叫叫做做曲曲线线的的极极限限位位置置割割线线PCPTPQ.叫叫做做切切点点定定点点P切切线线. 1方程方程，的的参参数数方方程程为为设设曲曲线线)()(trrC ，切切点点为为)(0tP.)()(0的的切切线线方方程程在在点点下下求求曲曲线线tPC PQ T O)(0tr)(0ttr ),()(00trttrPQ ,)()

7、(00ttrttrtPQPR .的的方方向向向向量量是是割割线线PQ PQ T O)(0tr)(0ttr 可可微微，则则在在若若0)(ttrr tPQPRPQPQ limlimttrttrt )()(lim000).(0tr 的的正正常常点点，是是曲曲线线若若点点)()(0CtP. 0)(0 tr则则是是切切线线的的方方向向向向量量，)(0tr 的的切切线线方方程程为为：在在点点故故曲曲线线)()(0tPC)()(00trtr ),(),(),()(tztytxtrr 若若),(),(),()(0000tztytxtr 则则,ZYX 设设则则切切线线的的标标准准方方程程为为：)()()()()

8、()(000000tztzZtytyYtxtxX 定义定义注注非零的切向量，非零的切向量，因为曲线在正常点总有因为曲线在正常点总有)1(),()(trrC ：对于曲线对于曲线.)(向向量量叫叫做做曲曲线线在在对对应应点点的的切切tr .唯一的切线唯一的切线从而曲线在正常点总有从而曲线在正常点总有.切线切线正则曲线处处有唯一的正则曲线处处有唯一的处是否有切线？处是否有切线？问题：曲线在非正常点问题：曲线在非正常点.)2(线的参数增值方向一致线的参数增值方向一致切向量的方向总是与曲切向量的方向总是与曲 T O)(0tr)(0ttr PQ0 tR0 t QR的的增增值值方方向向一一致致，的的参参数数

9、总总是是与与曲曲线线tCPR)(.)(lim0的的增增值值方方向向一一致致总总与与参参数数ttrPRPQ .正正向向的的增增值值方方向向也也叫叫曲曲线线的的参参数数t定义定义.,面面叫叫曲曲线线的的法法面面与与曲曲线线的的切切线线垂垂直直的的平平过过切切点点法法面面. 2 O)(0trTP)(C方程方程)(trr 0)()(00 trtr ),(),(),()(tztytxtrr 若若),(),(),()(0000tztytxtr 则则,ZYX 设设：则则法法面面的的点点法法式式方方程程为为0)()()()()()(000000 tztzZtytyYtxtxX一一般般方方程程为为：0)()()

10、(000 DZtzYtyXtx)()()()()()(000000tztztytytxtxD 其其中中例：例：.3,sin,cos)(切切线线及及法法面面方方程程处处的的在在求求圆圆柱柱螺螺线线 tbttatatr解：解：,sin,cos)(bttatatr ,cos,sin)(btatatr ,3,23,21)3(baar ,21,23)3(baar 故故切切线线方方程程为为：),3()3( rr ,21,233,23,21baabaa 即即.321232321bbzaayaax 或或法法面面方方程程为为：, 0)3()3( rr, 0)3()21)(23()23)(21( bbzaayaa

11、x 即即. 0321232 bbzayax 整整理理得得：2.4 曲线的弧长曲线的弧长 自然参数自然参数定义定义).,(,),()(:)(1bababattrrCC 类类曲曲线线给给定定曲曲线线的的弧弧长长. 1)(C)(trr 0P 1P 2P 1iP iP nP，折折线线之之和和 niiinPP11 存存在在，如如果果 niiiTlnTlPP110)(0)(limlim .0的的弧弧长长段段则则称称这这个个极极限限值值为为曲曲线线nPP存在性和计算公式存在性和计算公式,)(:)(1baCtrrC 对对于于曲曲线线存存在在， niiiTlnTlPP110)(0)(limlim .)(dttr

12、ba 且且自自然然参参数数. 2则则的的弧弧长长到到从从表表示示曲曲线线如如果果以以,)()()()(trarCt .)()(dttrtta ,at 上上式式中中. 0)( t ,)(0)()( attatatttss 令令.)()()( 时时时时即即atdttratdttrtsatta.)()(dttrtsta 总总之之,at可可以以大大于于此此时时,a也也可可以以小小于于,a也也可可以以等等于于. 000)(，也也可可以以等等于于，也也可可以以小小于于可可以以大大于于ts,)()(dttrtsta , 0)( ts是是单单调调递递增增函函数数，故故函函数数)(tss ，之之间间的的对对应应

13、是是一一一一对对应应与与ts的的参参数数，可可以以作作为为曲曲线线从从而而)(Cs.)(的的自自然然参参数数叫叫做做曲曲线线我我们们把把Cs，调调递递增增的的反反函函数数求求得得它它的的连连续续可可微微的的单单由由)()(stttss ,)()(得得的的方方程程代代入入曲曲线线trrC ),(strr ),(srr 简简记记为为：.)(的的自自然然参参数数方方程程叫叫做做曲曲线线 C程程为为：其其坐坐标标式式的的自自然然参参数数方方.)()()( szzsyysxx注注.)1(并不改变曲线的正向并不改变曲线的正向换为自然参数换为自然参数将一般参数将一般参数st事事实实上上，dsdtdtrdds

14、rd dtdsdtrd1 , 0)( tsdtds.同同向向与与dtrddsrd.即即曲曲线线的的正正向向不不变变. 1)()()(:)()2( trtrttrrC是单位向量，即是单位向量，即是自然参数是自然参数的参数的参数曲线曲线事事实实上上，为为自自然然参参数数，若若tdttrds)( 则则,)(dstr . 1)( tr反反之之，若若1)( tr则则有有dttrsta )( taatdt,ast .为为自自然然参参数数t.)3(的微商的微商”表示函数对自然参数”表示函数对自然参数以后用“点”代替“撇以后用“点”代替“撇, rdsrd 如如,22rdsrd .等等等等xdsdx 弧弧微微分分. 3, )()(trtss ,)(dttrds 222)(dttrds )()(dttrdttr ,2rdrdrd dttrrd)( 又又dttztytx)(),(),( ,dzdy