信息光学-1.2脉冲函数1.3卷积1.4相关

1、1.2 d d -Function 一、定义一、定义 fn(x)可以是Nrect(Nx), Nsinc(Nx), NGaus(Nx), 二维圆域函数等等. 物理系统已无法分辨更窄的函数-dxxx x1)( 0 , 0)( dd定义1.定义2. 基于函数系列的极限)( )( lim 1)( 0 ,0)( lim :nnnxxfdxxfx xfn-nd则若存在函数系列满足:可描述:单位质量的质点的密度,单位电量的点电荷的电荷密度,单位光通量的点光源的发光度,单位能量的无限窄电脉冲的瞬时功率等.0 xd (x)110 xd (x,y)yd -函数的图示:定义3: 设任意函数f(x)在x = 0点连续

2、, 则-dxxxx x)0( )( )( 0 , 0)( ffddf(x)称为检验函数.二、性质二、性质1. 筛选性质 sifting (由定义3直接可证) 设f(x)在x0点连续, 则)( )()( 00 xdxxxxfdf证明思路:二者对检验函数在积分中的作用相同.)( 1)( xaaxdd推论: d (x)是偶函数2. 缩放性质 scaling通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值.3. 乘积性质设f (x)在x0点连续, 则: f (x)d (x-x0) = f (x0)d (x-x0) 任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数三、三、 d d -函数函数 的阵列的

3、阵列-梳状函数梳状函数 comb(x)表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列.例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅.)( )(combnnxxd定义: n为整数梳状函数与普通函数的乘积:)-( )()( )()(comb1)(nnnxnfnxxfxxfddf(x)0 x=x0 xcomb(x).0利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样.xy二维梳状函数: comb(x,y)= comb(x) comb(y)1.3 卷积卷积 convolution一、概念的引入一、概念的引入物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果.

4、 需用卷积运算来描述f(x)成像xx 0 x1f(x 1)h(x-x 1)x2f(x 2)h(x-x 2)f(0)h(x)x)()( ) () ()(xhxfdxhfxgxxx二、定义二、定义若f(x)与h(x)有界且可积, 定义xxxdxhfxhxfxg) () ( )()()(*: 卷积符号 g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.对于给定的x,第一个函数的贡献是f(x),则第二个函数的贡献是h(x- x).需要对任何可能的x求和. xxxddyxhfyxhyxfyxg ),(),(),(),(),(g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积.二维函数的卷积:三、性质1. 卷积满

5、足交换律 Commutative Propertyf(x)*h(x) = h (x)* f (x) 2. 卷积满足分配律 Distributive Propertyv(x) + w(x) * h(x) = v(x)* h (x) + w(x )* f (x) 3.卷积满足结合律 Associative Property v(x) * w(x)*h(x) = v(x) * h(x) *w(x)= v(x)*w(x)* h(x)4. 卷积的位移不变性 Shift invariance 若f(x)*h(x) = g(x), 则 f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) 或 f(x) *

6、 h(x - x0) = g(x - x0) 5. 卷积的缩放性质 Scaling 若f(x)*h(x) = g(x), 则 bxgbbxhbxf五、包含脉冲函数的卷积五、包含脉冲函数的卷积即任意函数与d(x) 卷积后不变)()()()()(xfdxfxxfxxdxd根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平移到脉冲所在的位置. f(x)*d(x - x0) = f (x - x0) =*利用卷积的位移不变性可得:1.4 相关相关 correlation信息处理中的重要运算信息处理中的重要运算一、互相关一、互相关 cross c

7、orrelation考虑两个复函数f(x)与g(x), 定义：作变量替换x+x =x , 则 ) () (*)()()(xxxdgxfxgxfxrfg(2)(1) 和 (2)两个定义式是完全等价的.为函数f(x)与g(x)的互相关函数.(1)xxxdxgfxgxfxrfg)()(*)()()(互相关是两个函数间存在相似性的量度.与卷积的关系与卷积的关系由(2)式易见：(3)(*)()()(*)(xfxgdgxfxrfgxxx 1. 当且仅当f*(-x)=f(x) f(x)是厄米的, 相关才和卷积相同. 一般情况下,相关运算与卷积是不同的运算.2. 互相关不满足交换律rfg(x)=f(x) g(x) g(x) f(x) = rgf (x)相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭.二、自相