复变函数与积分变换课件(PPT版)43泰勒级数

1、1第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 4.3 泰勒级数泰勒级数一、泰勒一、泰勒( (Taylor) )定理定理二、将函数展开为泰勒级数的方法二、将函数展开为泰勒级数的方法2第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 z0DC一、泰勒一、泰勒( (Taylor) )定理定理,)()(00 nnnzzazf则当则当 时，有时，有Rzz |0定理定理 设函数设函数 在区域在区域 D 内解析，内解析，)(zfC 为为 D 的边界，的边界，,0Dz , |min0zzRCz . )(!10)(zfnann 其中，其中，证明证明 ( (略略) ) R.d)()(2110 lnzzzzfil 为

2、为 D 内包围内包围 点的点的z0的任意一条闭曲线。的任意一条闭曲线。 l( (进入证明进入证明?)?)3第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 一、泰勒一、泰勒( (Taylor) )定理定理注注 (1) 为什么只能在圆域为什么只能在圆域 上展开为幂级数，上展开为幂级数，Rzz |0z0RDC而不是在整个解析区域而不是在整个解析区域 D 上展开？上展开？回答回答这是由于受到幂级数本身这是由于受到幂级数本身的收敛性质的限制：的收敛性质的限制： 幂级数的收敛域必须幂级数的收敛域必须是圆域。是圆域。 幂级数一旦收敛，其幂级数一旦收敛，其和函数和函数一定解析。一定解析。4第四章 解析函数的级数

3、表示 4.3 泰勒级数 一、泰勒一、泰勒( (Taylor) )定理定理注注 (2) 展开式中的系数展开式中的系数 还可以用下列方法直接给出。还可以用下列方法直接给出。na方法一方法一 101010)()()(nnzzazzaazf,)()(1010 nnnnzzazza, )()(!0)(0)(zpzzanzfnn ,!)(0)(nnanzf . )(!10)(zfnann 5第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 一、泰勒一、泰勒( (Taylor) )定理定理注注 (2) 展开式中的系数展开式中的系数 还可以用下列方法直接给出。还可以用下列方法直接给出。na方法二方法二. )(!1

4、d)()(210)(10zfnzzzzfianlnn 20110010)()()()(zzazzazzzfnnn,10 nnazza nnzzaazf)()(00z0RDCl,020 nai lnzzzzfd)()(106第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 一、泰勒一、泰勒( (Taylor) )定理定理注注 (3) 对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，其结果都是一样的，即具有唯一性。其结果都是一样的，即具有唯一性。将函数将函数 在在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。比如比如zzf 11)(0 z方法一方法一 利用已知的结果利用已知

5、的结果( (4.2 ) ):方法二方法二 利用泰勒定理利用泰勒定理 :. )1| (,1112 zzzz方法三方法三 利用长除法。利用长除法。.1!)0()( nfann( (长除法长除法) )7第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 一、泰勒一、泰勒( (Taylor) )定理定理注注 (4) 对于一个给定的函数，能不能在对于一个给定的函数，能不能在不具体不具体展开为幂级数展开为幂级数的情况下，就知道其收敛域？的情况下，就知道其收敛域？ 可以知道可以知道。函数函数 在在 点展开为泰勒级数，其收敛半径点展开为泰勒级数，其收敛半径)(zf0z结论结论等于从等于从 点到点到 的最近一个奇点的

6、最近一个奇点 的距离。的距离。0zz)(zf(1) 幂级数在收敛圆内解析，幂级数在收敛圆内解析， 因此奇点因此奇点 不可能不可能理由理由z在收敛圆内；在收敛圆内；(2) 奇点奇点 也也不可能在收敛圆外，不然收敛半径不可能在收敛圆外，不然收敛半径z还可以扩大，还可以扩大，故奇点故奇点 只能在收敛圆周上。只能在收敛圆周上。z8第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 二、将函数展开为泰勒级数的方法二、将函数展开为泰勒级数的方法1. 直接展开法直接展开法.!)0()(nfann 利用泰勒定理，直接计算展开系数利用泰勒定理，直接计算展开系数将函数将函数 在在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。例例z

7、zfe)( 0 z解解,1)0(0)(e zznf,!1!)0()(nnfann .| z9第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 二、将函数展开为泰勒级数的方法二、将函数展开为泰勒级数的方法1. 直接展开法直接展开法.!)0()(nfann 利用泰勒定理，直接计算展开系数利用泰勒定理，直接计算展开系数 02)!2()1(cosnnnnzz 012)!12()1(sinnnnnzz 同理可得同理可得.| z,! 4! 2142 zz,! 5! 353 zzz.| z10第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 二、将函数展开为泰勒级数的方法二、将函数展开为泰勒级数的方法2. 间接展开

8、法间接展开法 根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。 两个重要的已知展开式两个重要的已知展开式,! 3! 21!032e nnzzzznz.| z,111320zzzzznn .1| z11第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 .2|1 | iR故收敛半径故收敛半径函数函数 有奇点有奇点解解)(zf,1 z函数函数 有奇点有奇点故收敛半径故收敛半径)(zf.2|1 | iR,1 znniizi 0111 z11(1)iizi 11111,)1()(0

9、1 nnniiz.2| iz(2) zz11)1(12 111)1()(nnniizn,)()1(102nnnizin .2| iz)()1(1izi 12第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 zzfzd)(0 01,1)1()0()(nnnznfzfzzf 11)(1)解解将函数将函数 分别在分别在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。)1(ln)(zzf 例例1,0 zz)(11z ,)1(0 nnnz.1| z,d)1(00 nznnzz 01,1)1()(nnnznzf.1| z0013第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 zzfzd)(0 011,)1(112)1()1(

10、)(nnnnznfzfzzf 11)(2)解解将函数将函数 分别在分别在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。)1(ln)(zzf 例例1,0 zz)1(21 z.2| 1| z,d)1(2)1(001 nznnnzz 02)1()1(21nnnnz2/ )1(1121 z,) 1(2) 1(01 nnnnz11 011,)1(112)1(2ln)(nnnnznzf.2| 1| z14第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 (1)21 z21121z ,201 nnnz.2| z解解12)(2 zCzBzAzf,12212 zzz122 zz(2)(122zz ,)1()2(02 nnnzz

11、.1| z,)1()1(22)(0120201 nnnnnnnnnzzzzf.1| z15第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 ,4sin!)2()(0 nnnznnzf 00!)1(21!)1(21nnnnnnzniiznii解解izfz iz iz2)(eee )(21)1()1(eezizii .| z 0!)1()1(21nnnnzniii.| z16第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 )1sin(1cos)1cos(1sin zz 02)!2()1()1(1sinnnnnz)2cos1(21sin2zz 解解将函数将函数 在在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。zzf

12、2sin)( 例例0 z)! 6)2(! 4)2(! 2)2(1(121642 zzz,! 62)2(! 42)2(! 22)2(642 zzz.| z将函数将函数 在在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。zzfsin)( 例例1 z,)!12()1()1(1cos120 nznnn.| 1| z解解)1(1sinsin zz17第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 解解211)1(1)(ezzfz ,! 331! 23)(32eeee zzzzf.1| z,)1(1)(2zzf ,0)()()1(2 zfzfz,0)()32()()1(2 zfzzfz,0)(2)()54()()1(2

13、 zfzfzzfz,13)0(,3)0(,)0(,)0(eeee ffff将函数将函数 在在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。例例zzf 11e)(0 z*18第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 泰勒级数的应用举例泰勒级数的应用举例 计算斐波拉契数列的通项计算斐波拉契数列的通项1. 斐波拉契斐波拉契Leonardo Fibonacci，约约1170 约约1240，意大利业余数学家。意大利业余数学家。3. 斐波拉契数列斐波拉契数列2. 兔子问题兔子问题一对一对( (超级超级) )小兔，在它们出生的第三个月开始，每月又小兔，在它们出生的第三个月开始，每月又可生一对可生一对( (超级超级)

14、 )小兔，问小兔，问 n 个月后，共可得到多少对兔子？个月后，共可得到多少对兔子？.,21,13,8,5,3,2,1,1 na,1,11221nnnaaaaa . ),3,2,1( n19第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 4. 计算斐波拉契数列的通项计算斐波拉契数列的通项(1) 变换变换z令令,)(133221 nnnzazazazazf由由 ,12nnnaaa ,22122 nnnnnnzazaza有有,12111122 nnnnnnnnnzazzazza, )()()(21221zfzzazfzzazazf 将将 代入上式并求解得代入上式并求解得 121 aa.1)(2zzzz

15、f 泰勒级数的应用举例泰勒级数的应用举例 计算斐波拉契数列的通项计算斐波拉契数列的通项20第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 4. 计算斐波拉契数列的通项计算斐波拉契数列的通项(2) 泰勒级数展开泰勒级数展开21)(zzzzf ,11511151zz 其中，其中，,618. 0251,618. 1251 05)(nnnnzzf ,51 nnnnz 1.618. 01| z5nnna 泰勒级数的应用举例泰勒级数的应用举例 计算斐波拉契数列的通项计算斐波拉契数列的通项,52)51()51( nnn. ),3,2,1( n21第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 DCz0作圆作圆

16、G G ，附：附：泰勒定理的证明泰勒定理的证明RzrG Gz z由柯西积分公式有由柯西积分公式有 zfizf,d)(21)(由由 有有|00zzz z z,)()(0100 nnnzzzz z0001111zzzzz z zz zz z nnnfzzzizf.d)()()(21)(0100z z如图以如图以 为圆心，为圆心， 为半径为半径z0)(Rrr 证明证明设设 z 为为 G G 内任意一点。内任意一点。22第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 附：附：泰勒定理的证明泰勒定理的证明证明证明 nnnfzzzizfd)()()(21)(0100z z NNnnnzRfzzzi)(d)()()(2110100z z NnnnNfzzzizR.d)()()(21)(100z z其中，其中，na.0)(lim zRNN 下面需证明下面需证明 NnnNnzRzzzfi)()(d)()(2101010z z交换交换次序次序23第四章 解析函数的级数表示 4.3 泰勒级数 DCz0zrG Gz z附：附：泰勒定理的证明泰勒定理的证明证明证明 NnnnNfzzzizR.d)()()(21)(100z z由由 在在 D 内解析，内解析，)(zf)(zf连续，连续，)(zf有界，有界，即即,| )(|