D67-2二重积分的计算

1、目录 上页 下页 返回 结束 第七节二、利用直角坐标计算二重积分二、利用直角坐标计算二重积分 三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算 第六章 一、曲顶柱体体积的计算一、曲顶柱体体积的计算目录 上页 下页 返回 结束 yyxfxxxbad),(d)()(21xbad 一、曲顶柱体体积的计算一、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱体的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),()(0 xA截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDO记作记

2、作 yyxfd),(0)()(0201xx),(0yxfz )(01xy)(02xyzy目录 上页 下页 返回 结束 ydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱体的底为DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcydOydcx)(2yx)(1yxy记作记作 二重积分二次积分(累次积分)曲顶柱体体积也可按如下计算目录 上页 下页 返回 结束 在D上连续, ),(yxf设被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd则O)(1xy)(2xyxbyDax二、利用直角坐标计算二重积分二、利

3、用直角坐标计算二重积分D称为 X - 型区域： 过D内部且平行于y轴的直线与D的边界最多交于两点。 O)(1xy)(2xyxbyaD积分区域D为目录 上页 下页 返回 结束 Oy)(1yx)(2yxxdc在D上连续, ),(yxf当被积函数积分区域D为dycyxyD)()(:21yxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则D为 Y - 型区域： 过D内部且平行于x轴的直线与D的边界最多交于两点。 yOy)(2yxxdc)(1yx目录 上页 下页 返回 结束 xyDO说明说明:Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.)(

4、2xyba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,(1) 二重积分要根据积分区域的特点，来计算。化为两次积分目录 上页 下页 返回 结束 xyO(3) 若积分域较复杂,2D1D3DX - 型域或Y - 型域 , 321DDDD则 (4) 设如果 dygxfD)()(分别在 a, b 和 c, d 上可积，,| ),(dycbxayxD)()(ygxf和则 )()(ygxf在 D上可积，且badxxf)(dcdyyg)(可将它分成若干目录 上页 下页 返回

5、 结束 例例1. 计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 例例2. 计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 2 xy及直线目录 上页 下页 返回 结束 21d y例例1. 计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法解法1. 将D看作X - 型区域, 则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将D看作Y - 型区域, 则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy1212xy xyO目录 上页 下页 返

6、回 结束 例例2. 计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便,将D看作Y - 型区域:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.解解:因此取D 为X - 型域 :00:xxyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺

7、序.00dsindyxxxxxxxyydsind0因为取D 为Y - 型域 无法计算， OxyDxxy 目录 上页 下页 返回 结束 xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图 例例4.目录 上页 下页 返回 结束 xy 222xxy 解解积分区域如图积分区域如图 例例5.),(211102 yydxyxfdy原式原式目录 上页 下页 返回 结束 例例5 5 求求 Dydxdyex22，其其中中 D 是是以以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(为为顶顶点点的的三三角角形形. dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示解解 积积分分时时必必须须考

8、考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例6.目录 上页 下页 返回 结束 P266 31(3)(4)(6)(7)(8)；32(3)(4)(5)；第二节 作业作业目录 上页 下页 返回 结束 1. 二重积分的极坐标形式二重积分的极坐标形式Ox以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。r用射线，及同心圆分划区域D。rr 假设从极点O出发的直线与区域D的边界至多交于两点。rrrO221r221)(rrrr小区域的面积为221rrr三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分目录 上页 下页 返回 结束 rrr

9、rf)sin,cos(lim0),(lim0yxfDyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(drrddrdO即极坐标下的面积元素为.ddrrdsin,cosryrx对应有在),(r内取点于是根据二重积分的定义，有目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数用极坐标变量表示简单。, r考虑用极坐标计算二重积分：例如： 被积函数含有 x2 +y2 项，积分区域D为 圆域，环域，扇形区域。圆域，环域，扇形区域。积分区域D 的边界用极坐标表示更方便；Dyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(目录 上页 下页 返回 结束 D)(1r)(2rOx)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)

10、()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d对)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf)(1r)(2rOxDdD)(rO2. 二重积分的极坐标计算二重积分的极坐标计算目录 上页 下页 返回 结束 )(rDOx对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d若 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd)(020drrd与定积分计算面积一致.目录 上页 下页 返回 结束 例例1 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试解解: .0问 r, 的变化范围是什么?(1)(2)22)(rD

11、yxO)(rDyxO)(0 r(1):D)(0 r:D(2)目录 上页 下页 返回 结束 cos2rx1O例例2 已知积分区域D是由解解: 积分域如图rIxyx222围成，则Ddxdyyxf)(22在极坐标下的二次积分？22dcos20)(rdrrf目录 上页 下页 返回 结束 例例3 求,1d22Dyx其中区域 D 是由, 122 yx解解: 在极坐标系下2010:rD原式=rrrd1110210212r) 12(220d故围成的。0, 0yxD目录 上页 下页 返回 结束 例例4 计算,dde22Dyxyx其中).0(:222aayxD解解: 在极坐标系下,200:arD原式Drrarde

12、02ar02e212)e1(2a2ex的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角2erddrr20d由于故坐标计算.xaOy目录 上页 下页 返回 结束 注注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式0de2xx222Rddeyxyxyxyxdede2220de42xxyxayxyxaddelim22222)e1 (lim2aa222Rddeyxyx又2yxayxyxdde22222)e1 (2a解一：解一： 目录 上页 下页 返回 结束 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有

13、21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2解二：解二： 目录 上页 下页 返回 结束 又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 1D2DSS1D2DRR2yxayxyxdde22222)e1 (2a目录 上页 下页 返回 结束 当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02

14、dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 1D2DSS1D2DRR2目录 上页 下页 返回 结束 1 yx122 yx解解 sincosryrx Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(例例5. 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则

15、)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O目录 上页 下页 返回 结束 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为ddrrD)(1r)(2rOx目录 上页 下页 返回 结束 xyO),(yxf设),(),(yxfyxf),(),(yxfyxfd),(Dyxf, 01D,d),(21Dyxf在有界闭区域D上连续,(1) 域域D 关于x 轴对称,D二重积分关于对称性的应二重积分关于对称性的应

16、用用的奇偶函数为yyxf),(),(),(yxfyxf),(),(yxfyxfd),(Dyxf, 0,d),(21Dyxf(2) 域域D 关于y 轴对称,的奇偶函数为xyxf),(.0|),(1yDyxD.0|),(1xDyxD目录 上页 下页 返回 结束 ),(),(yxfyxf),(),(yxfyxfd),(Dyxf, 0,d),(21Dyxf(3) 域域D 关于原点原点对称,的奇偶函数同时为yxyxf,),(.0|),(1yDyxD或,0|),(1xDyxD在第一象限部分, 则有1:,221 yxDD 为圆域例如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0D1D目

17、录 上页 下页 返回 结束 D(4) 域域D 关于 y=x 对称，则),(),(xyfyxf),(),(xyfyxfd),(Dyxf, 0,d),(21Dyxf,),( | ),(1xyDyxyxD1D目录 上页 下页 返回 结束 例例. 计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224目录 上页 下页 返回 结束 P267 32(3)

18、(4)(5)； 33(1)(3)(5)；第二节 作业作业 下节课习题课，做课后习题下节课习题课，做课后习题(A)(B);复习第五、六章内容，复习第五、六章内容，5月月8日日(周周3)进行期进行期中考试。中考试。目录 上页 下页 返回 结束 补充：利用二重积分求立体体积补充：利用二重积分求立体体积xyzO其上下顶面分别是曲面), (1yxfz),(2yxfz),(2yxfz),(1yxfz则该立方体的体积等于区域D上以曲面),(2yxfz为顶的曲顶柱体积D上以曲面减去区域D),(1yxfz为顶的曲顶柱体积。即12VVVDdyxf),(2Ddyxf),(1Ddyxfyxf),(),(12交线投影根

19、据二重积分的几何意义，我们可以利用二重积分计算立体体积。 如图，空间内一立方体。目录 上页 下页 返回 结束 DdyxfyxfV),(),(12xyzO), (1yxfz),(2yxfz D关键：关键： 分析得到积分区域分析得到积分区域 D 的表达式的表达式积分区域D是由两个曲面交线在xOy面上的投影曲线所围成。曲面交线：,),(),(21yxfzyxfz在xOy面上的投影曲线：00),(),(12zyxfyxf目录 上页 下页 返回 结束 224yxz例例 求曲面和所围成的有界体的体积。解：解：两旋转抛物面的交线为,42222yxzyxz其在xOy面上的投影为,042222zyxyx22yxzxyz所以在xOy面上积分区域, 2:2