ChapterNine20071

1、THE LAPLACE TRANSFORM4. 双边拉普拉斯变换的性质；双边拉普拉斯变换的性质；本章基本内容：本章基本内容：1. 双边拉普拉斯变换；双边拉普拉斯变换；2. 双边拉普拉斯变换的收敛域；双边拉普拉斯变换的收敛域；5. 系统函数；系统函数；6. 单边拉普拉斯变换；单边拉普拉斯变换；3. 零极点图；零极点图；9.0 引言引言 Introduction 傅里叶变换是以复指数函数的特例傅里叶变换是以复指数函数的特例 和和 为基底分解信号的。对更一般的复指数函数为基底分解信号的。对更一般的复指数函数 和和 ，也理应能以此为基底对信号进行分解。，也理应能以此为基底对信号进行分解。jtejnes

2、tenz 傅里叶分析方法之所以在信号与傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析系统分析中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数复指数函数是一切函数是一切 LTI 系统的特征函数。系统的特征函数。 通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和变变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能仅能解决解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能分析问

3、题，而且还能用于用于傅里叶分析方法不适用的傅里叶分析方法不适用的许多方面。许多方面。拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与变换的分析方法是傅变换的分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。 将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。一章要讨论的中心问题。9.0 引言引言 Introduction 9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 复指数信号复指数信号 是一切是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。如果如果LTI系统的单位冲激响应为系统的单位冲激响应为 ，则系统对，则系统对 产生的响应是

4、产生的响应是: ste( )h tste( )( )sty tH s e( )( )stH sh t edt，其中，其中显然当显然当 时，就是连续时间傅里叶变换时，就是连续时间傅里叶变换。sjThe Laplace Transform一一. .双边拉氏变换的双边拉氏变换的定义：定义：( )( )stX sx t edt称为称为 的的双边拉氏变换双边拉氏变换，其中，其中 。 ( )x tsj若若 ， 则有则有: :0sj()( )j tXjx t edt 这这就是就是 的傅里叶变换的傅里叶变换。( )x t表明：表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在在

5、或是在或是在 轴上的特例。轴上的特例。0j9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 ( )( ) ( )tj ttj tX sx t eedtx t eedt ( )tx t e F 由于由于 所以所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广拉氏变换是对傅里叶变换的推广， 的的拉氏变换就是拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合的傅里叶变换。只要有合适的适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入条件的信号在引入 后满足该条件。即有些信后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明明拉氏变换比傅里叶变换有更

6、广泛的适用性。拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。( )x tte( )tx t e9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 一一. .双边拉氏变换的双边拉氏变换的定义：定义：( )( )atx teu t例例1.()001( )atsts a tX seedtedtsaRe sa 在在 时，积分收敛。时，积分收敛。当当 时，时， 的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在( )x t0a 01()atj tX jeedtaj(0)a 显然，在显然，在 时，拉氏变换收敛的区域为时，拉氏变换收敛的区域为 ，包括了，包括了 （即（即 轴）。轴）。0aRe sa 0j9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 一一. .双边

7、拉氏变换的双边拉氏变换的定义：定义：比较比较 和和 ，显然有，显然有 ()X j( )X s( )()sjX sX j当当 时，时，( )( )( )atx teu tu t0a 1( )u ts可知可知Re 0s 9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 一一. .双边拉氏变换的双边拉氏变换的定义：定义：()001( )atsts a tX seedtedtsa01()atj tX jeedtaj(0)a 例例2.( )()atx teut 00()1( )atsts a tX se e dtedts a Re sa 与例与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。比较，区别仅在于收敛域不同。9.1 拉普拉

8、斯变换拉普拉斯变换 一一. .双边拉氏变换的双边拉氏变换的定义：定义：由以上例子，可以看出由以上例子，可以看出: :1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上的任何复平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。数都能使拉氏变换收敛。2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称为拉氏的集合，称为拉氏变换的收敛域变换的收敛域 。拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域 ROC （Region of Convergence）对拉氏变换）对拉氏变换是非常重要的概念

9、。是非常重要的概念。9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 一一. .双边拉氏变换的双边拉氏变换的定义：定义：3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。式，只是它们的收敛域不同。j()( )s jX jX s5. 如果拉氏变换的如果拉氏变换的ROC包含包含 轴，则有轴，则有4. 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系能和信号建立一一对应的关系。9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 一一. .双边拉氏变换的双边拉氏变换的定义：定义：二二. . 拉氏变换的拉氏变换的ROC

10、及零极点图：及零极点图：2( )( )( )ttx te u teu t例例3.200( )tsttstX se edteedt1( ),1te u tsRe 1s 21( ),2teu tsRe 2s 1j2j9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 可见：可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。分。ROC总是以平行于总是以平行于 轴的直线作为边界的，轴的直线作为边界的，ROC的边界总是与的边界总是与 的分母的根相对应的。的分母的根相对应的。j( )X sRe 1s j2121123( ),1232sX sssss2( )( )( )ttx te u te

11、u t例例3.二二. . 拉氏变换的拉氏变换的ROC及零极点图：及零极点图： 分子多项式的根称为分子多项式的根称为零点零点，分母多项式的根称为，分母多项式的根称为极点极点。 将将 的全部零点和极点表示在的全部零点和极点表示在S平面上，平面上，就构成了就构成了零极点图零极点图。零极点图及其收敛域可以。零极点图及其收敛域可以表示一个表示一个 ，最多与真实的，最多与真实的 相差一个常相差一个常数因子数因子 。( )X s( )X s( )X sM因此，因此，零极点图是拉氏变换的图示方法零极点图是拉氏变换的图示方法。二二. . 拉氏变换的拉氏变换的ROC及零极点图：及零极点图：若若 是有理函数是有理函

12、数( )X s()( )( )( )()iiiisN sX sMD ss9.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域可以归纳出可以归纳出ROC的以下性质：的以下性质：The Region of Convergence for Laplace Transformsj4. 右边信号的右边信号的ROC位于位于S平面平面内一条平行于内一条平行于 轴的直线的右边。轴的直线的右边。3. 时限信号的时限信号的ROC是整个是整个 S 平面。平面。2. 在在ROC内无任何极点。内无任何极点。j1. ROC是是 S 平面上平行于平面上平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。5. 左边信号的左边信号的ROC位于位于S平面内

13、一条平行于平面内一条平行于 轴的直线的左边。轴的直线的左边。j6. 双边信号的双边信号的ROC如果存在，一定是如果存在，一定是 S 平面内平面内平行于平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。j0()()0( )11TatstTsa tsa TXseedtedtesa例例1.( )x t ate0其它其它0tT t9.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域有极点有极点sa ( )X s考查零点，令考查零点，令()1s a Te 有极点有极点sa ( )X s 显然显然 在在 也有一阶零点，由于零极也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个点相抵消，致使在整个S平面上无极点。平面上无极点。sa ( )X

14、 s2sajkT 得得（k为整数）为整数）9.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域0()()0( )11TatstTs a ts a TX seedtedtesa0()()0( )11TatstTs a ts a TX seedtedtesa例例1.9.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域当当 时，上述时，上述ROC有公共部分，有公共部分，0b11( )X ssbsbRe bsb 当当 时，上述时，上述 ROC 无公共部分，表明无公共部分，表明 不存在。不存在。0b ( )X s1(),bte utsb Re sb 1( ),bteu tsbRe sbbjb9.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收

15、敛域例例2.( )b tx te( )( )()btbtx teu te utbjb11( )X ssbsbRe bsb 例例2.( )b tx te 当当 是有理函数时，其是有理函数时，其ROC总是由总是由 的的极点分割的。极点分割的。ROC必然满足下列规律：必然满足下列规律：( )X s( )X s3. 双边信号的双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间可以是任意两相邻极点之间的带形区域。的带形区域。( )X s2. 左边信号的左边信号的ROC一定位于一定位于 最左边极点最左边极点的左边。的左边。( )X s1. 右边信号的右边信号的ROC一定位于一定位于 最右边极点最右边极点的右边。的右

16、边。9.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域例例3.21( )321112X sssss可以形成三种可以形成三种 ROC：1) ROC：2) ROC：3) ROC：Re 2s Re 1s 2Re 1s j12( )x t此时此时 是是右边信号右边信号。( )x t此时此时 是是左边信号左边信号。( )x t此时此时 是是双边信号双边信号。9.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域The Inverse Laplace Transform 一一. .定义：定义：由由( )( )stXsx t edt若若 在在ROC内，则有内，则有:sj()( ) ( )tj ttXjx t eedtx t eF1

17、( )()2tj tx t eXjed11( )()( )22tj tstx tXje e dX s e d9. 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 当当 从从 时时, , 从从sjj 由由sjdsjd得得 拉氏反变换表明拉氏反变换表明: : 可以被分解成复振幅为可以被分解成复振幅为 的复指数信号的复指数信号 的线性组合。的线性组合。( )x t1( )2X s dsjste1( )( )2jstjx tX s e dsj 的反变换的反变换( )X s9. 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换11( )()( )22tj tstx tXje e dX s e d( )( )stX sx t edt1

18、( )( )2jstjx tX s e dsj 拉氏反变换表明拉氏反变换表明: : 可以被分解成复振幅为可以被分解成复振幅为 的复指数信号的复指数信号 的线性组合。的线性组合。( )x t1( )2X s dsjste9. 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换二二. .拉氏反变换的求法拉氏反变换的求法: : 对有理函数形式的对有理函数形式的 求反变换一般有两种方求反变换一般有两种方法法, ,即即部分分式展开法部分分式展开法和和留数法留数法。( )X s 1. 将将 展开为部分分式。展开为部分分式。( )X sv 部分分式展开法：部分分式展开法：3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质利用常用信号

19、的变换对与拉氏变换的性质,对每一项进行反变换。对每一项进行反变换。( )X s2. 根据根据 的的ROC，确定每一项的，确定每一项的ROC 。9. 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换1,2ss 极点：极点：确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。1( )(1)(2)X sss例例1.右边信号右边信号12j左边信号左边信号12j双边信号双边信号12j9. 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换例例2.1( )(1)(2)X sssROC: 2Re 1s 11( )12Xsss1: Re 1()R1OCtse uts 21:Re 2ROC( )2tseu ts 2( )

20、( )()ttx teu te ut 9. 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换1. 求出求出 的全部极点。的全部极点。( )X sv 留数法留数法（当（当 是有理函数时）：是有理函数时）：( )X s( )stX s e( )x t3. 求出求出 在在 ROC 右边的所有极点处的留右边的所有极点处的留数之和，并加负号，它们构成了数之和，并加负号，它们构成了 的反因果的反因果部分。部分。( )stX s e( )x t2. 求出求出 在在 ROC 左边的所有极点处的留左边的所有极点处的留数之和，它们构成了数之和，它们构成了 的因果部分。的因果部分。9. 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换例例3.1(

21、 )12X sss: 2ReO1RCs 12( )Res( ),Res( ),ststx tX s esX s es 12211()( )21()( )ststsstteuteu tsse ute u t ( )X s 的极点的极点 位于位于ROC的右边，的右边， 位位于于ROC的左边。的左边。22s 11s 9. 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换可以用零极点图表示可以用零极点图表示 的特征的特征。当。当ROC包包括轴时，以括轴时，以 代入代入 ，就可以得，就可以得到到 。以此为基础可以用几何求值的方法。以此为基础可以用几何求值的方法从零极点图求得从零极点图求得 的特性。这在定性分析的特性。这

22、在定性分析系统频率特性时有很大用处。系统频率特性时有很大用处。( )X sjsj()X j()X j( )X sGeometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值( )X ssa1. 单零点情况：单零点情况： 矢量矢量 称为称为零点矢量零点矢量，它的长度，它的长度 表示表示 , ,其幅角即为其幅角即为 。1()X s1( )X s1sa 1|sa1sa0a1sj 零点零点 , , 要求出要求出 时的时的 ，可以，可以作两个矢量作两个矢量 和

23、和 ，则，则 。1ss11( )()X ssa 1( )X s1sasa1sa 9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值1( ),X ssa极点极点sa111()X ssa 11( )X ssa 直接由极点向直接由极点向 点作矢量（称为点作矢量（称为极点矢量极点矢量），），其长度的倒量为其长度的倒量为 , ,幅角的负值为幅角的负值为 。1s1( )X s1()X s2. 单极点情况：单极点情况：1sa0a1sj1sa 9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值 因此有因此有: :111( )iiiisX sMs 对有理函数形式的对有理函数形

24、式的( )X s( )( )( )iiiisN sX sMD ss111( )iiiisX sMs111( )iiiiX sss 3. 一般情况：一般情况：9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值 即：从所有零点向即：从所有零点向 点作点作零点矢量零点矢量，从所有极，从所有极点向点向 点作点作极点矢量极点矢量。所有零点矢量的长度之积。所有零点矢量的长度之积除以所有极点矢量的长度之积即为除以所有极点矢量的长度之积即为 。所有。所有零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和即为和即为 。1s1( )X s1( )X s1s 当

25、当 取为取为 轴上的点时，即为傅里叶变换的轴上的点时，即为傅里叶变换的几何求值。几何求值。考查考查 在在 轴上移动时所有零、极轴上移动时所有零、极点矢量的长度和幅角的变化点矢量的长度和幅角的变化，即可得出，即可得出 的的幅频特性和相频特性。幅频特性和相频特性。1s1sjj()X j9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值例例1. 一阶系统：一阶系统：1( )( ),th teu t1/( ),(1/ )H ss1Re s ( )( )( )dy ty tx tdt 随着随着 ， 单调下降，单调下降，()H j1时时, ,下降到最大值的下降到最大值的12最大值在最大值

26、在 时取得。时取得。0j1/11/|()|H j1/ 29.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值相位特性：当相位特性：当 时，时，()0H j0 随着随着 ， 趋向于趋向于 。()H j()H j/2/2则则 趋向趋向于于 。1/1/()H j9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值例例3. 全通系统：全通系统：考查零极点对称分布的系统考查零极点对称分布的系统( )saH ssa（一阶全通系统（一阶全通系统）v 该系统的该系统的 在任何时候都等于在任何时候都等于1 1，所以，所以 称为称为全通系统全通系统。()H j|()|H j1jaa

27、j19.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值v 其相位特性其相位特性111()()2H j全通系统的零极点分布呈四角对称特征全通系统的零极点分布呈四角对称特征。j三阶全通系统三阶全通系统全通系统被广泛用于对系统进行相位均衡。全通系统被广泛用于对系统进行相位均衡。9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值例例4. 最小相位系统：最小相位系统： 考察两个系统，它们的极点相同，零点分布关考察两个系统，它们的极点相同，零点分布关于于 轴对称。其中一个系统的零点均在左半平轴对称。其中一个系统的零点均在左半平面，另一个系统的零点均在右半平面。面，另一个

28、系统的零点均在右半平面。jjj9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值 显然这两个系统的幅频特性是相同的。但零显然这两个系统的幅频特性是相同的。但零点在左半平面的系统其相位总小于零点在右半点在左半平面的系统其相位总小于零点在右半平面的系统。因此将平面的系统。因此将零极点均位于左半平面的零极点均位于左半平面的系统称为最小相位系统。系统称为最小相位系统。 工程应用中设计的各种频率选择性滤波器，工程应用中设计的各种频率选择性滤波器，如：如：Butterworth 、Chebyshev、 Cauer滤波器滤波器都是最小相位系统。都是最小相位系统。9.4 由零极点图对傅里叶变

29、换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值 当工程应用中要求实现一个非最小相位系统当工程应用中要求实现一个非最小相位系统时，通常采用将一个最小相位系统和一个全通时，通常采用将一个最小相位系统和一个全通系统级联来实现。系统级联来实现。 从本质上讲从本质上讲系统的特性是由系统的零、极点系统的特性是由系统的零、极点分布决定的分布决定的。对系统进行优化设计，实质上就。对系统进行优化设计，实质上就是优化其零、极点的位置。是优化其零、极点的位置。最小相位系统最小相位系统全通系统全通系统9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值j最小相位系统最小相位系统j全通系统全通系统j非最小相位

30、系统非最小相位系统9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值Properties of the Laplace Transform1212( )( )( )( )ax tbx taXsbXs则则ROC至少是至少是12RR9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质v 拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于性质。这里只着重于ROC的讨论。的讨论。1. 线性（线性（Linearity ）：）：11( )( ),x tXs1ROC : R22( )( ),x tXs2ROC: R若若112( )1,11sX sss ROC:1 2

31、1( ),1XssROC:1 12( )( )1x tx tt而而ROC扩大为整个扩大为整个S平面。平面。 当当 与与 无交集时，表明无交集时，表明 不存在。不存在。1R2R( )X s例例. . 1( )tx tte u t 2( )tx te u t （原因是出现了零极点（原因是出现了零极点相抵消的现象）相抵消的现象）9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质2. 时移性质（时移性质（Time Shifting）:( )( ),x tX sROC:R若若00()( ),stx ttX s eROC不变不变则则3. S域平移（域平移（Shifting in the s-Domain）:( )( )

32、,x tX sROC:R若若则则00( )(),s tx t eX ss0ReROC:Rs 表明表明 的的ROC是将是将 的的ROC平移了平移了一个一个 。这里是指。这里是指ROC的边界的边界平移平移。0()X s s( )X s0Res9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质例例. . ( ),tx te u t1( ),1X ss1 23( )1(2)3ttx tee u tX ss显然显然ROC :3 9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质Re sa R 4. 时域尺度变换（时域尺度变换（Time Scaling）:ROC:R( )( ),x tX s若若1()()sx atXaaROC :

33、aR则则例例. . 1( )( ),1tx te u tX ss1 2( )2ttxe u t求求 的拉氏变换及的拉氏变换及ROC当当 时时 收敛，收敛， 时时 收敛收敛R( )sXaRRe sa( )X s9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质12( ),1212X sss1ROC:2 可见：可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的ROC在在S平面上作相反的尺度变换。平面上作相反的尺度变换。()(),xtXsROC :R特例特例5. 共轭对称共轭对称性性（Conjugation）：）：( )(),x tXsROC:R( )( ),x tX sROC:R若若则则

34、9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质 如果如果 是实信号，且是实信号，且 在在 有极点（或零有极点（或零点），则点），则 一定在一定在 也有极点（或零点）。这也有极点（或零点）。这表明：表明：实信号的拉氏变换其复数零、极点必共轭实信号的拉氏变换其复数零、极点必共轭成对出现。成对出现。( )x t( )X s0s( )X s0s当当 为实信号时，有：为实信号时，有：( )x t( )( )x tx t由此可得以下重要结论：由此可得以下重要结论：( )( )X sX s( )()XsX s或或9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质1212( )( )( )( )x tx tX s XsROC:12R

35、R包括包括 6. 卷积性质卷积性质:（Convolution Property）11( )( ),xtXs1R O C : R22( )( ),xtXs2ROC : R若若则则9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质121RR 显然有显然有:例例. .11( ),1X ss21( ),23sX sss1ROC:1R2ROC:2R 6. 卷积性质卷积性质:（Convolution Property）9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质121( )( ),23X s Xsss2, ROC扩大扩大 原因是原因是 与与 相乘时，发生了零极点相相乘时，发生了零极点相抵消的现象。当被抵消的极点恰好在抵消的现象

36、。当被抵消的极点恰好在ROC的边的边界上时，就会使收敛域扩大。界上时，就会使收敛域扩大。2( )X s1( )X s9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质例例. .11( ),1Xss21( ),23sXsss1ROC :1R 2ROC :2R 9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质7. 时域微分时域微分: :（Differentiation in theTime Domain）( )( ),dx tsX sdt( )( ),x tX sROC:RROC包括包括R, ,有可能扩大。有可能扩大。若若则则8. S域微分域微分:（Differentiation in the s-Domain）( )(

37、),x tXs( )( ),dXstx tds若若则则RO C : RRO C : R21( )()X ssaROC:a 例例. .求求( )x t211()()dsadssa ( )( )atx tteu t9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质 9. 时域积分时域积分:（Integration in the Time Domain ）( )( ),x tX sROC : R若若1( )( )txdXssROC :包括包括(Re 0)Rs 则则( )( )( )txdx tu t1( )( )txdX ssROC :包括包括(Re 0)Rs 9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质 如果如果 是因

38、果信号，且在是因果信号，且在 不包含奇异不包含奇异函数，则函数，则( )x t0t (0 )lim( )sxsX s初值定理初值定理 10. 初值与终值定理初值与终值定理:（The Initial- and Final- Value Theorems)9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质 如果如果 是因果信号，且在是因果信号，且在 不包含奇异不包含奇异函数，函数， 除了在除了在 可以有单阶极点外，其可以有单阶极点外，其余极点均在余极点均在S平面的左半边，则平面的左半边，则( )x t0t ( )X s0s0lim ( )lim( )tsx tsX s终值定理终值定理9.5 拉氏变换的性质拉氏变

39、换的性质)(lim)(lim0ssXtxst极点在极点在S平面的分布与信号终值的关系平面的分布与信号终值的关系9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质Some Laplace Transform Pairs9.6 常用拉氏变换对常用拉氏变换对 S1()ate utas1()ntut1!nsn)(t1)(0tt0ste()utS1( )ateu tas 1( )nt u t1!nsn)(t1)(0tt 0ste( )u tAnalysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform一一. . 系统函数的概念：系统函数的概念

40、： 以卷积特性为基础，可以建立以卷积特性为基础，可以建立LTI系统的拉系统的拉氏变换分析方法，即氏变换分析方法，即( )( )( )Y sX sH s 其中其中 是是 的拉氏变换，称为的拉氏变换，称为系统函数系统函数或或转移函数、传递函数转移函数、传递函数。( )H s( )h t9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统()()()Y jX jH j 这就是这就是LTI系统的傅里叶分析。系统的傅里叶分析。 即是系统即是系统的的频率响应频率响应。()H j 这些方法之所以成立的本质原因在于这些方法之所以成立的本质原因在于复指数函复指数函数是一切数是一切LTI系统的特征函数系

41、统的特征函数。当以。当以 为基底为基底分解信号时，分解信号时，LTI系统系统对输入信号的响应就是对输入信号的响应就是j te 如果如果 的的ROC包括包括 轴，则轴，则 和和 的的ROC必定包括必定包括 轴，以轴，以 代入，即有代入，即有j( )X s( )H sjsj( )Y s9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统 连同相应的连同相应的ROC也能完全描述一个也能完全描述一个LTI系系统。系统的许多重要特性在统。系统的许多重要特性在 及其及其ROC中一定中一定有具体的体现。有具体的体现。( )H s( )H s()()X jH jste( )( )X sH s ； 而

42、以而以 为基底分解信号时，系为基底分解信号时，系统的输出响应就是统的输出响应就是 。9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统 这些方法之所以成立的本质原因在于这些方法之所以成立的本质原因在于复指数函复指数函数是一切数是一切LTI系统的特征函数系统的特征函数。当以。当以 为基底为基底分解信号时，分解信号时，LTI系统系统对输入信号的响应就是对输入信号的响应就是j te二二. 用系统函数表征用系统函数表征LTI系统：系统：1. 因果性：因果性：如果如果 时时 ，则，则系统是因果的系统是因果的。0t ( )0h t 9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统

43、如果如果 时时 ，则，则系统是反因果的系统是反因果的。( )0h t 0t 因此，因此，因果系统因果系统的的 是右边信号，其是右边信号，其 的的ROC必是最右边极点的右边必是最右边极点的右边。由于。由于反因果系反因果系统统的的 是左边信号，是左边信号， 的的ROC必是最左必是最左边极点的左边。边极点的左边。( )H s( )h t( )h t( )H s 应该强调指出，由应该强调指出，由ROC的特征，反过来并不的特征，反过来并不能判定系统是否因果。能判定系统是否因果。ROC是最右边极点的右是最右边极点的右边并不一定系统因果。边并不一定系统因果。9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征L

44、TI系统系统( )H s只有只有当当 是有理函数时，逆命题才成立。是有理函数时，逆命题才成立。二二. 用系统函数表征用系统函数表征LTI系统：系统：1. 因果性：因果性：2. 稳定性：稳定性： 如果系统稳定，则有如果系统稳定，则有 。因。因此此 必存在。意味着必存在。意味着 的的ROC必然包必然包括括 轴。轴。( )h tdt ( )H s()H jj 综合以上两点，可以得到：综合以上两点，可以得到：因果稳定系统的因果稳定系统的 ，其全部极点必须位于，其全部极点必须位于S平面的左半边。平面的左半边。( )H s9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统例例1.某系统的某系统

45、的 显然该系统是因果的，确定系统的稳定性。显然该系统是因果的，确定系统的稳定性。2( )( )( )tth te u teu t21123( ),1232sH sssssROC:Re 1s 显然，显然，ROC是最右边极点的右边。是最右边极点的右边。ROC包括包括 轴轴j系统也是稳定的。系统也是稳定的。的全部极点都在的全部极点都在S平面的左半边。平面的左半边。( )H s9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统例例2. 若有若有( ),1seH ssRe 1s 的的ROC是最右边极点的右边，但是最右边极点的右边，但 是非有理函数，是非有理函数， ，系统是非因，系统是非因果的

46、。果的。( )H s( )H s(1)( )(1)th teu t 由于由于ROC包括包括 轴，该系统仍是稳定的。轴，该系统仍是稳定的。j而对系统而对系统( ),1seH ssRe 1s 仍是非有理函数，仍是非有理函数，ROC是最右边极点的右是最右边极点的右边，边，但由于但由于 ，系统是因果的。，系统是因果的。 ( )H s(1)( )(1)th teu t9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统结结 论论1. 如果如果LTI系统的系统的系统函数是有理函数系统函数是有理函数，且全部极点，且全部极点位于位于S平面的左半平面，则系统是因果、稳定的。平面的左半平面，则系统是因果

47、、稳定的。 2. 如果如果LTI系统的系统的系统函数是有理函数系统函数是有理函数，且系统因果，且系统因果，则系统函数的则系统函数的ROC是最右边极点的右边。若系统反是最右边极点的右边。若系统反因果，则系统函数的因果，则系统函数的ROC是最左边极点的左边。是最左边极点的左边。9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统 3.如果如果LTI系统是稳定的，则系统函数的系统是稳定的，则系统函数的ROC必然必然包括包括 轴。轴。j三三. 由由LCCDE描述的描述的LTI系统的系统函数：系统的系统函数：对对00( )( )kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt做拉氏变换，可

48、得做拉氏变换，可得00( )( )( ),( )( )NkkkNkkkb sY sN sH sX sD sa s是一个有理函数是一个有理函数9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统的的ROC需要由系统的相关特性来确定。需要由系统的相关特性来确定。( )H s1）如果）如果LCCDE具有一组全部为零的初始条件，具有一组全部为零的初始条件， 则则 的的ROC必是最右边极点的右边。必是最右边极点的右边。( )H s2）如果已知）如果已知LCCDE描述的系统是因果的，则描述的系统是因果的，则 的的ROC必是最右边极点的右边。必是最右边极点的右边。( )H s3）如果已知）如果已知

49、LCCDE描述的系统是稳定的，则描述的系统是稳定的，则 的的ROC 必包括必包括 轴。轴。( )H sj9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统四四. .系统特性与系统函数的关系系统特性与系统函数的关系: :自学。请关注例自学。请关注例9.25、9.26、9.27 五五. Butterworth滤波器滤波器: 通常通常Butterworth滤波器的特性由频率响应的滤波器的特性由频率响应的模平方函数给出。对模平方函数给出。对N阶阶 Butterworth低通滤波低通滤波器有：器有：221()1/NcB j （N为滤波器的阶数）为滤波器的阶数）9.7 用拉氏变换分析与表征用拉

50、氏变换分析与表征LTI系统系统由于由于2()()()B jB jBjButterworth滤波器的冲激响应应该是实信号，滤波器的冲激响应应该是实信号，()()BjBj将将 函数拓展到整个函数拓展到整个S平面有：平面有：2()B j21( )()1( /)NcB s Bssj共有共有2N个极点个极点12( 1)()kj sNkcksjs e (0,1,21)kN9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统 表明表明N阶阶Butterworth低通滤波器模平方函数的低通滤波器模平方函数的全部全部2N个极点均匀分布在半径为个极点均匀分布在半径为 的圆周上的圆周上。c极点分布的特征：

51、极点分布的特征： 极点分布总是关于原点对称的。极点分布总是关于原点对称的。/ N 相邻两极点之间的角度差为相邻两极点之间的角度差为 。j 轴上不会有极点。当轴上不会有极点。当N为奇数时在实轴上为奇数时在实轴上 有极点，有极点，N为偶数时实轴上无极点。为偶数时实轴上无极点。c 2N个极点等间隔均匀分布在半径为个极点等间隔均匀分布在半径为 的圆周的圆周上。上。 9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统 要实现的滤波器应该是因果稳定系统，因此要实现的滤波器应该是因果稳定系统，因此位于左半平面的位于左半平面的N个极点一定是属于个极点一定是属于 的。的。( )B s( )B s 据

52、此，确定出据此，确定出 后，也就可以综合出一个后，也就可以综合出一个Butterworth 滤波器。滤波器。9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统9.8 系统函数的代数属性与方框图表示系统函数的代数属性与方框图表示System Function Algebra and Block Diagram Representations一一. .系统互联时的系统函数：系统互联时的系统函数：1. 级联：级联：12( )( )( )H sH sHsROC :12RR包括包括3. 反馈联结：反馈联结：1( )( )( ) ( )X sX sG s Y s11( )( )( )Y sX

53、s H s1( )( ) ( )( )X sG s Y s H s2. 并联：并联：12( )( )( )H sH sHsROC:12RR包括包括11( )( )( )( )1( )( )Y sH sH sX sG s H sROC:12RR包括包括9.8 系统函数的代数属性与方框图表示系统函数的代数属性与方框图表示二二. . LTI系统的级联和并联型结构系统的级联和并联型结构：LTI系统可以由一个系统可以由一个LCCDE来描述。来描述。00( )( )kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt对其进行拉氏变换有：对其进行拉氏变换有：00( )( )NNkkkkkka s Y sb

54、s X s00( )( )( )( )( )NkkkNkkkb sY sN sH sX sD sa s是一个有理函数是一个有理函数( )H s9.8 系统函数的代数属性与方框图表示系统函数的代数属性与方框图表示1. 级联结构：级联结构：将将 的分子和分母多项式因式分解的分子和分母多项式因式分解( )H s221011221011()( )()PNPkkkNkkQNQNkkkkksssbH sasss 这表明：这表明：一个一个N阶的阶的LTI系统可以分解为若干系统可以分解为若干个二阶系统和一阶系统的级联。在个二阶系统和一阶系统的级联。在N为偶数时，为偶数时，可以全部组合成二阶系统的级联形式。可以

55、全部组合成二阶系统的级联形式。9.8 系统函数的代数属性与方框图表示系统函数的代数属性与方框图表示21( )( )NNkkNbH sHsa210210( )kkkkkssHsss其中其中如果如果N为奇数，则有一个一阶系统出现。为奇数，则有一个一阶系统出现。9.8 系统函数的代数属性与方框图表示系统函数的代数属性与方框图表示2. 并联结构：并联结构： 将将 展开为部分分式展开为部分分式 ( (假定假定 的分子阶的分子阶数不高于分母阶数，所有极点都是单阶的），数不高于分母阶数，所有极点都是单阶的），则有：则有：( )H s( )H s1( )NNkkNkbAH sas将共轭成对的复数极点所对应的两

56、项合并将共轭成对的复数极点所对应的两项合并: :21021110( )QNQNkkkkkNkkkbsAH sasss21( )NNkkNbHsa（N为偶数时）为偶数时）9.8 系统函数的代数属性与方框图表示系统函数的代数属性与方框图表示 N为偶数时又可将任意两个一阶项合并为二阶项，由此可得出系为偶数时又可将任意两个一阶项合并为二阶项，由此可得出系统的并联结构：统的并联结构：9.8 系统函数的代数属性与方框图表示系统函数的代数属性与方框图表示The Unilateral Laplace Transform 单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。也就是单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。也就是因果信号的

57、双边拉氏变换。单边拉氏变换对分析因果信号的双边拉氏变换。单边拉氏变换对分析LCCDE 描述的增量线性系统具有重要的意义。描述的增量线性系统具有重要的意义。一一. .定义定义: :0( )( )stsx t edt 如果如果 是因果信号，对其做双边拉氏变换是因果信号，对其做双边拉氏变换和做单边拉氏变换是完全相同的。和做单边拉氏变换是完全相同的。( )x t9.9 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 单边拉氏变换也同样存在单边拉氏变换也同样存在ROC 。其。其ROC必然必然遵从因果信号双边拉氏变换时的要求，即：遵从因果信号双边拉氏变换时的要求，即：一定一定位于最右边极点的右边。位于最右边极点的右边。

58、 正因为这一原因，在讨论单边拉氏变换时，一正因为这一原因，在讨论单边拉氏变换时，一般不再强调其般不再强调其ROC。1( )( )2jstjx ts e dsj 单边拉氏变换的反变换一定与双边拉氏变换的单边拉氏变换的反变换一定与双边拉氏变换的反变换相同。反变换相同。9.9 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换做单边拉氏变换：做单边拉氏变换：(1)0()0( )1a tstas a taseedteedtesaRe sa 例例1.(1)( )(1)a tx teu t做双边拉氏变换：做双边拉氏变换：1( )sX sesaRe sa 9.9 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换例例2.23( )2sss1( )22sss 21( )( )2 ( )(