数字逻辑电路

1、2.1 逻辑代数中的几个概念逻辑代数中的几个概念2.2 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算2.3 逻辑代数的基本定理及规则逻辑代数的基本定理及规则2.4 逻辑函数的性质逻辑函数的性质2.5 逻辑函数的化简逻辑函数的化简第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础Fundamentals of Boolean Algebar布尔代数布尔代数 Boolean algebra： 用一种用一种数学运算数学运算的代数系统描述的代数系统描述人的人的逻辑思维规律和推理过程。逻辑思维规律和推理过程。1854年，由英国数学家年，由英国数学家George Boole在在他的一篇论

2、文他的一篇论文思维规律的研究思维规律的研究（A investigation of the laws of thought）中提出，建立了计算机的）中提出，建立了计算机的计算符号语言计算符号语言中进行中进行逻辑推理的基本逻辑推理的基本规律规律。逻辑代数逻辑代数 Switching algebra： 在在1938年，由贝尔实验室的研年，由贝尔实验室的研究人员究人员Claude E.Shannon指出如何将布尔代数的一些基本前提和定理指出如何将布尔代数的一些基本前提和定理应应用于继电器用于继电器的分析与描述的分析与描述，称为，称为二值布尔代数二值布尔代数，或，或开关代数开关代数。继电器是。继电器是当

3、时最常用的数字逻辑元件，继电器的接触状态（打开或闭合）用当时最常用的数字逻辑元件，继电器的接触状态（打开或闭合）用0或或1表示。表示。逻辑代数是二值逻辑运算中的基本数学工具逻辑代数是二值逻辑运算中的基本数学工具逻辑代数广泛应用于数字系统的分析和设计逻辑代数广泛应用于数字系统的分析和设计在在现代逻辑分析技术现代逻辑分析技术中，逻辑值对应于各种广泛的物中，逻辑值对应于各种广泛的物理条件：电压的高或低、灯光的明或暗、电容器的充电或理条件：电压的高或低、灯光的明或暗、电容器的充电或放电、熔丝的断开或接通，等等。下表给出了放电、熔丝的断开或接通，等等。下表给出了不同的计算不同的计算机逻辑和存储技术中表示

4、位值的物理状态机逻辑和存储技术中表示位值的物理状态。表表 示示 位位 值值 的的 状状 态态技术技术01气动逻辑气动逻辑继电器逻辑继电器逻辑CMOS逻辑逻辑TTL逻辑逻辑光纤光纤动态存储动态存储非易失的可擦存储器非易失的可擦存储器双极只读存储器双极只读存储器磁泡存储器磁泡存储器磁带存储器磁带存储器聚合体存储器聚合体存储器只读压缩盘只读压缩盘可重写压缩盘可重写压缩盘低压流动低压流动电路断开电路断开01.5V00.8V暗暗电容放电电容放电电子捕获电子捕获熔丝烧断熔丝烧断无磁泡无磁泡磁通朝磁通朝“北北”分子处于状态分子处于状态A无凹陷无凹陷晶态染色晶态染色高压流动高压流动电路闭合电路闭合3.55.0

5、V2.05.0V亮亮电容充电电容充电电子释放电子释放熔丝完好熔丝完好有磁泡有磁泡磁通朝磁通朝“南南”分子处于状态分子处于状态B凹陷凹陷非晶态染色非晶态染色2.1 逻辑代数中的几个概念逻辑代数中的几个概念 1. 逻辑状态逻辑状态 Logic State： 当事物的某些特性表现为两种当事物的某些特性表现为两种互不相容互不相容的状态，即的状态，即 某一时刻必出现且仅出现一种状态某一时刻必出现且仅出现一种状态 一种状态是另一种状态的反状态一种状态是另一种状态的反状态 则用符号则用符号0、1分别表示这两种状态，称逻辑状态。分别表示这两种状态，称逻辑状态。即：即：0 状态状态 (0state) 和和 1

6、状态状态 (1state) 一般，一般，0状态状态逻辑条件的假或无效，逻辑条件的假或无效， 1状态状态逻辑条件的真或有效。逻辑条件的真或有效。 (两种状态无大小之分两种状态无大小之分) 2. 逻辑变量逻辑变量 Logic Value ：用于表示事物的逻辑状态随逻辑条件的变化而变化，取值用于表示事物的逻辑状态随逻辑条件的变化而变化，取值“0” 或或“1” 。 逻辑常量逻辑常量 Logic Constant ：逻辑状态保持不变，取值逻辑状态保持不变，取值“0” 或或“1”。 3. 逻辑电平逻辑电平 Logic Voltage：在二值逻辑电路在二值逻辑电路(开关电路开关电路)中，将物理器件的物理量中

7、，将物理器件的物理量离散离散为两种电平：为两种电平：高电平高电平(用用H表示表示)、低电平低电平(用用L表示表示)抽象化的高、低电平抽象化的高、低电平忽略忽略其物理量值的实际含义，实际上其物理量值的实际含义，实际上它们是代表着它们是代表着一定范围一定范围的物理量。参见下页。的物理量。参见下页。在高、低电平之间有一逻辑不确定区，称为在高、低电平之间有一逻辑不确定区，称为“噪音区噪音区”。若电平稳定于噪音区称为逻辑模糊，这在逻辑电路中不允若电平稳定于噪音区称为逻辑模糊，这在逻辑电路中不允许。许。表表21不同工艺器件定义的逻辑电平不同工艺器件定义的逻辑电平 工艺工艺 逻辑电平（电源电压为逻辑电平（电

8、源电压为5V） L H TTL 00.40V 3.0 5.0V CMOS 0 0.80V 2.0 5.0V图图2-1 脉冲的逻辑电平表示脉冲的逻辑电平表示LHLH4. 逻辑约定逻辑约定 Logic Assumpsit： 规定规定 逻辑电平逻辑电平（表示物理器件的输入、输出物理量）（表示物理器件的输入、输出物理量） 与与 逻辑状态逻辑状态（表示物理器件的逻辑功能）（表示物理器件的逻辑功能） 之间的之间的 关系关系，即，即逻辑规定（约定）逻辑规定（约定）。 这一规定过程称为这一规定过程称为逻辑化过程逻辑化过程。 逻辑约定逻辑约定有两种：有两种：正逻辑正逻辑规定（约定）规定（约定） 和和 负逻辑负逻

9、辑规定（约定），如下：规定（约定），如下：正逻辑正逻辑规定（约定）规定（约定）负逻辑负逻辑规定（约定）规定（约定）01LH逻辑状态逻辑状态逻辑电平逻辑电平(a)(a)正逻辑规定（约定）正逻辑规定（约定）注：本书均采用正逻辑约定。H H电平电平L L电平电平1状态0状态10LH逻辑状态逻辑状态逻辑电平逻辑电平(b)(b)负逻辑规定（约定）负逻辑规定（约定）H H电平电平L L电平电平0状态1状态 逻辑电路逻辑电路Logic Circuit： 由实现逻辑变量之间逻辑关系的物理器件所构成的由实现逻辑变量之间逻辑关系的物理器件所构成的电路称为逻辑电路，即二值逻辑电路。电路称为逻辑电路，即二值逻辑电路。

10、5. 逻辑代数逻辑代数 Logic Algebar ： 用代数形式表现逻辑变量之间的因果关系。用代数形式表现逻辑变量之间的因果关系。 用代数运算对这些逻辑变量进行逻辑推理。用代数运算对这些逻辑变量进行逻辑推理。 因此，逻辑代数是因此，逻辑代数是一个集合一个集合：逻辑：逻辑变量变量集、集、常量常量0和和1、 “与与”、“或或”和和“非非”三种逻辑三种逻辑运算运算。 运算顺序是：运算顺序是：“非非”最高，最高，“与与”次之，次之，“或或”最低。最低。6. 逻辑函数逻辑函数 Logic Function： 输入逻辑变量输入逻辑变量 A1，A2， , An；输出逻辑变量；输出逻辑变量F；记为：记为：F

11、 = f (A1，A2， , An )，关系如下图所示：，关系如下图所示：F = f (A1, A2, , An)实现f (A1，A2， , An )的逻辑网络A1A2 AnF6. 逻辑函数的表示法逻辑函数的表示法 Representation：主要有四种主要有四种 真值表真值表(穷举法穷举法) Truth TableA BF0 00 11 01 10001真值表例真值表例表达式例：表达式例：F = A B 逻辑表达式逻辑表达式 Algebraic Forms of Switching Functions 卡诺图卡诺图 Karnaugh MAP (文氏图文氏图 Venn Diagrams) 时

12、间图时间图 (信号波形图信号波形图 ) TimingVenn图图全集全集 为为 1引入变量引入变量B，将已有区域将已有区域再分别一分再分别一分为二为二引入变量引入变量A，将，将 区域区域 一分为二一分为二2.2 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算“与与”运算运算(逻辑逻辑乘乘)Logic Multiplication“或或”运算运算(逻辑逻辑加加)Logic Addition“非非”运算运算(逻辑逻辑非非)Logic Negation运算运算结果结果逻辑逻辑积积 Logic Product逻辑逻辑和和 Logic Sum求求补补Complement示意示意电路电路真值真值表表FABFABFA

13、RA BF0 00 11 01 10001A BF0 00 11 01 10111AF0 1 10“与与”运算运算(逻辑逻辑乘乘)Logic Multiplication“或或”运算运算(逻辑逻辑加加)Logic Addition“非非”运算运算(逻辑逻辑非非)Logic Negation代数代数式式F = A B = A BF = ABF = A逻辑逻辑符号符号波形波形图图文氏文氏图图(F为为阴影阴影)&DABCFDABCF1DABCFFDABC1AFAFABFABFAFA2.3 逻辑代数的基本定理及规则逻辑代数的基本定理及规则基本运算：基本运算： 1 = 0 0 = 11 1 = 1 0

14、+ 0 = 00 1 = 1 0 = 0 1 + 0 = 0 + 1 = 10 0 = 0 1 + 1 = 1 (10)2.3.1 布尔代数的基本公理布尔代数的基本公理 Basic Postulates 公理是基本的假设，是客观存在，无需证明。可以用公理是基本的假设，是客观存在，无需证明。可以用真真值表验证等式值表验证等式成立，当然等式两边还具有相同的卡诺图，体成立，当然等式两边还具有相同的卡诺图，体现了表达式的多样性。现了表达式的多样性。 运算的优先顺序：括号，非，与，或运算的优先顺序：括号，非，与，或。01 律律 0 and 1 elements for and operators A +

15、 0 = A A 1 = A A + 1 = 1 A 0 = 0 用用VENN图验证图验证Commutativity of the and operations交换律交换律 A B = B A A B = B A结合律结合律 A(BC) = (AB)C A ( B C ) = ( A B ) C Distributivity of the and operations分配律分配律 AB C = (AB)(AC) A (BC) = A BA C用真值表证明用真值表证明A B C（A+B)(A+C) B C A+BCA+B A+C0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0

16、1 1 1 0 1 1 10001000100011111001111110101111100011111可以用同样的方法证明可以用同样的方法证明 A (B+C) = A B+ A C 成立。成立。由此证明由此证明 A+BC = (A+B)(A+C) 成立成立。例：证明例：证明 分配律分配律 AB C = (AB)(AC) 成立。成立。 用真值表证明，如下用真值表证明，如下：重叠律重叠律 Idempotency A + A = A A A = A 上述三条基本公理可以用上述三条基本公理可以用Venn图验证。如下所示：图验证。如下所示：问题：问题：若若 A + B = 1 ，则，则 A 与与 B

17、 互补吗？互补吗？ 若若 A B = 0 ，则，则 A 与与 B 互补吗？互补吗？互补律互补律 Complement A + A = 1 A A = 0全集全集 = 1引入变量引入变量A，将全集分为两个互补相容，将全集分为两个互补相容的部分：的部分： A 区域区域 和和 A 区域区域AVenn图图A对合律对合律 involution A = A2.3.2 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理 Fundamental Theorems右边右边 = A + 1 B （01律）律） = A +（ A + A ) B （互补律）（互补律） = A + AB + A B （分配律）（分配律） = A +

18、 AB （吸收律）（吸收律） = A + B例例 ：证明：证明 A + A B = A + B ，可以用，可以用公理公理来来证明证明。吸收律吸收律 AbsorptionA + A B = A + B A ( A + B ) = A BA B + A B = A ( A + B )( A+B ) = AA + AB = A A ( A + B ) = A = 左边左边 证明成立证明成立A + B = A B A B = A + B反演律反演律 DeMorgans Theorem (摩根定理摩根定理) = A + 1 （互补律）（互补律） = 1 （01律）律）例例 ：证明：证明 A B = A

19、+ B 成立，可以用函数的互补性来证明成立，可以用函数的互补性来证明设：设：X = A B Y = A + B X + Y = AB + A + B = A + B + B （吸收律）（吸收律）又又 X Y = AB（ A + B） = A B A + AB B (分配律）分配律） = 0 A + 0 B (互补律）互补律） = 0 + 0 (01律）律） = 0 (基本运算）基本运算） X 与与 Y 互补，互补，X = Y，Y = X 。证明摩根定理成立。证明摩根定理成立。A1 + A2 + + An = A1 A2 An A1 A2 An = A1 + A2 + + An 摩根定理的作用摩

20、根定理的作用：进行函数化简和逻辑变换。：进行函数化简和逻辑变换。N变量的摩根定理：变量的摩根定理：（此定理证明见代入规则。）（此定理证明见代入规则。） = 右边 证明成立 A B + AC + BC = AB + AC (A + B) (A + C) (B + C) = (A + B) (A + C) 例 ：证明 A B + AC + BC = AB + AC左边 = A B + AC + BC 1 （01律） = AB + AC + ABC + ABC （分配律） = AB + ABC + AC + ACB （交换律） = AB（1+C） + AC（1+B） （分配律） = AB 1 + A

21、C 1 （ 01律） = AB + AC （ 01律）包含包含律律 Consensus (也称多余项定理也称多余项定理) = A B + AC + BC（ A + A ) （互补律）1. 代入规则：代入规则：又又 逻辑函数逻辑函数 h 取值取值也是也是仅有仅有 0 或或 1已知已知 f ( x1 , x2 , , xi , , xn ) = g ( x1 , x2 , , xi , , xn ) 有任意函数有任意函数 h ，令：，令： xi = h则则 f ( x1 , x2 , , h , , xn ) = g ( x1 , x2 , ,h , , xn ) 依然成立。依然成立。证明：证明：

22、 xi 取值取值(只有只有) 0 或或 1，使等式成立，使等式成立 代入规则成立。代入规则成立。2.3.4 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 Basic FormulasA1 + A2 + + An = A1 A2 An 令令 X = A2 + Y 代入代入 A1 + X = A1 X (摩根定理摩根定理)令令 Y = A3 + Z 代入代入则则 A1 + A2 + A3 + Z = A1 A 2 (A3 + Z) 依次类推，则推出依次类推，则推出N变量的摩根定理。变量的摩根定理。证明证明N变量的摩根定理：变量的摩根定理： 则则 A1 + A2 + Y = A1 ( A 2 + Y ) =

23、 A1 A2 Y (摩根定理摩根定理)= A1 A2 A3 Z (摩根定理摩根定理)用代入规则证明N变量的摩根定理，如下：这是反演律和代入规则的推广使用，是对互补函数的完善说明。这是反演律和代入规则的推广使用，是对互补函数的完善说明。已知原函数已知原函数 f ( x1 , x2 , , xn, 0 , 1, +, ) 则反函数则反函数 f ( x1 , x2 , , xn , 0 , 1, +, ) = f ( x1 , x2 , , xn , 1 , 0, , + ) 注意：注意：必须保持原有的运算次序（必要时加各种括号来标必须保持原有的运算次序（必要时加各种括号来标 识运算次序）。识运算次

24、序）。2. 反演规则反演规则(香农定理香农定理) Shannons expansion theorem例例： F = A B + (CD + E) G 则反函数则反函数 F = A + B (C+D) E+ G 反函数同样也可用反演律（摩根定律）来获得。反函数同样也可用反演律（摩根定律）来获得。例例： F = A B + (CD + E) G = A + B (C+D) E+ G F = A B + (CD + E) G = A + B + (CD + E) G = A + B (CD + E) G = A + B (CD + E) + G = A + B CD E + G 又例：又例： F

25、= A (AC + B + CD) E + G ( C + AE) F = ? 已知原函数已知原函数 f ( x1 , x2 , , xn, 0 , 1, +, )则对偶函数则对偶函数 f ( x1 , x2 , , xn , 0 , 1, +, ) = f ( x1 , x2 , , xn , 1 , 0, , + ) 结论：结论：1. （f ) = f3. 对偶规则对偶规则 Dual expansion theorem借助于借助于对偶规则，对偶规则，可以减少记忆公式的数目可以减少记忆公式的数目(见公式见公式) 。2. 若若 f1 = f2 则则 f1 = f2 2.4 逻辑函数的性质逻辑函

26、数的性质 2.4.1 复合逻辑复合逻辑与与、或或、非非三种基本逻辑运算组合起来可以实现任何逻三种基本逻辑运算组合起来可以实现任何逻辑函数。辑函数。与门、或门、非门三种基本逻辑运算与门、或门、非门三种基本逻辑运算(门门)组合起来可以组合起来可以构成实现任何逻辑功能的逻辑电路，称此三门构成了一构成实现任何逻辑功能的逻辑电路，称此三门构成了一个个逻辑完备组逻辑完备组若实现一个较复杂的逻辑功能，尤其在大规模集成电路若实现一个较复杂的逻辑功能，尤其在大规模集成电路快速发展的今天，必须增加门电路的功能，以简化电路。快速发展的今天，必须增加门电路的功能，以简化电路。1. 与非逻辑与非逻辑(NAND) 逻辑表

27、达式为: F = A B CA B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 111111110&FA B CFB CA与非与非逻辑真值表 与非门与非门的逻辑符号可以用与非门实现三种基本运算： 与运算与运算 F1 = AB&AF3B& 或运算或运算 F3= AA BB = A B = A B&AF1B& 非运算非运算 F2 = AA = A&F2A2. 或非逻辑或非逻辑(NOR) 逻辑表达式为: F = A B CA B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 110000000或非或非逻辑真值表 或非门或非门的

28、逻辑符号11FA B CFBCA可以用或非门实现三种基本运算： 或运算或运算 F2 = AB1F3A非运算非运算 F3 =AA = AAF1B111 与运算与运算 F1 = AA BB = AB = ABAF2B113. 与或非逻辑与或非逻辑(AOI) 逻辑表达式为: F = AB CD EF与或非与或非门的逻辑符号11FAB CD E F&FBCAFDE4. 异或逻辑异或逻辑(XOR) 逻辑表达式为: F = A B = A B A B异或异或逻辑真值表 异或异或门门的逻辑符号A BF0 00 11 01 101101 1FA BFBAFA B5. 同或逻辑同或逻辑 逻辑表达式为: F =

29、A B = A B A B同或同或逻辑真值表 同或同或门门的逻辑符号A BF0 00 11 01 110011 1FA BFBAFA B异或运算与同或运算的关系异或运算与同或运算的关系1. A B = A B A B = A B 2. (A B) = A B (A B) = A B 3. A B C = A B C例：证明例：证明 A B = A B A B = A B A B = ( A B )( A B) = A B A B = A B 证明证明 (A B) = (A B A B) = ( A B )( A B ) = A B A B = A B证明证明 A B C = A ( B C )

30、 A ( B C ) = A ( B C ) A ( B C ) = A ( B C BC ) A ( B C BC ) = A B C A B C A B C A B C 由上式可知，任意个变量的异或运算，只要输入为由上式可知，任意个变量的异或运算，只要输入为 1 的的个数是奇数时，输出必为个数是奇数时，输出必为1，即为，即为奇校验逻辑奇校验逻辑。证明证明 A B C = A ( B C ) A ( B C ) = A ( B C ) A ( B C ) = A ( B C BC ) A ( B C BC ) = A B C A B C A B C A B C 所以：当所以：当变量为变量为2

31、时，时，同或运算同或运算与与异或运算异或运算的之间具有的之间具有互补互补关系；关系； 当当变量为变量为3时，时，同或运算同或运算与与异或运算异或运算的之间具有的之间具有相等相等关系。关系。由代入规则可以证明：由代入规则可以证明：当当变量为偶数变量为偶数时，时，同或运算同或运算与与异或运算异或运算之间具有之间具有互补互补关系关系；当当变量为奇数变量为奇数时，时，同或运算同或运算与与异或运算异或运算之间具有之间具有相等关系相等关系。即：即：A1 A2 A3 An = A1 A2 A3 An n 为偶数为偶数A1 A2 A3 An = A1 A2 A3 An n 为奇数为奇数异或运算和同或运算的基本

32、代数性质异或运算和同或运算的基本代数性质01律律 (a) A 0 =A A 1 =A (b) A 0 =A A 1 =A交换律交换律 (a) A B =B A (b) A B =B A分配律分配律 (a) A(B C) =AB AC (b) A(B C) =(AB) (AC)结合律结合律 (a) A (B C) = (A B) C (b) A (B C) =(A B ) C调换律调换律 (a)若若 A B = C 则则 A C = B ， C B = A (b) 若若A B = C 则则 A C = B ， C B = A 依照逻辑运算的规则，一个逻辑命题可以用多种依照逻辑运算的规则，一个逻辑

33、命题可以用多种形式的逻辑函数来描述，而这些逻辑函数的真值表形式的逻辑函数来描述，而这些逻辑函数的真值表都是相同的。如：都是相同的。如： F = A B2.4.2 逻辑函数的基本表达式逻辑函数的基本表达式 Algebraic Forms of Switching Functions = A B AB 与非式与非式= ( AB ) ( AB ) 或非式或非式= A B A B 与或非式与或非式= = ( AB )( AB ) 或与式或与式 POS= A B A B 与或式与或式 SOPF2.4.3 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 Canonical Forms of Switching Fu

34、nctions 一个逻辑命题的三种表示法：一个逻辑命题的三种表示法：真值表真值表 表达式表达式 卡诺图卡诺图三者之间的关系：三者之间的关系：真值表是逻辑函数最基本的表达方式，具有唯一性；真值表是逻辑函数最基本的表达方式，具有唯一性；由真值表可以导出逻辑表达式和卡诺图；由真值表可以导出逻辑表达式和卡诺图；由真值表导出逻辑表达式的两种标准形式：由真值表导出逻辑表达式的两种标准形式： 最小项之和最小项之和 The canonical SOP(the Sum Of Products) 最大项之积最大项之积 The canonical POS(Product Of Sums)1. 最小项最小项 mint

35、erm设有设有 n 个变量，它们组成的个变量，它们组成的与项与项中每个变量或以原变中每个变量或以原变量或以反变量形式出现一次，且仅出现一次，此与项称之量或以反变量形式出现一次，且仅出现一次，此与项称之为为 n 个变量的最小项。个变量的最小项。对于对于 n 个变量就可构成个变量就可构成 2n个最小项，个最小项，分别记为分别记为 mi 。其中其中下标值下标值 I为：当各个最小项变量按一定顺序排好为：当各个最小项变量按一定顺序排好后，用后，用 1 代替其中的原变量，代替其中的原变量， 0 代替其中的反变量，便得代替其中的反变量，便得一个一个二进制数二进制数，该二进制数的，该二进制数的等值十进制等值十

36、进制即为即为 i 的值。的值。 例如：例如： 3 变量的变量的 8 个最小项可以表示为：个最小项可以表示为：ABC = m0 ABC = m1 ABC = m2 ABC = m3ABC = m4 ABC = m5 ABC = m6 ABC = m7 为区别不同为区别不同 n 值的相同值的相同 mi ，可记为：，可记为： m i n2. 最大项最大项 maxterm设有设有 n 个逻辑变量，它们组成的个逻辑变量，它们组成的或项或项中，每个变量或中，每个变量或以原变量形式或以反变量形式出现一次，且仅出现一次，以原变量形式或以反变量形式出现一次，且仅出现一次，此或项称为此或项称为 n 变量的最大项。

37、变量的最大项。对于对于 n 个变量可以构成个变量可以构成2n个最大项，分别记为个最大项，分别记为 Mi 。其中其中下标值下标值 i的取值规则与最小项中的取值规则与最小项中 i的取值规则相反，的取值规则相反，即将各变量按一定次序排好后，用即将各变量按一定次序排好后，用 0 代替其中的原变量，代替其中的原变量，用用 1 代替其中的反变量，得到一个代替其中的反变量，得到一个二进制数二进制数，该二进制数，该二进制数的的等值十进制等值十进制即为即为 i 的值。的值。 例如，三变量的最大项记为：例如，三变量的最大项记为：ABC = M0 ABC = M1 ABC = M2 ABC = M3 ABC = M

38、4 ABC = M5ABC = M6 ABC = M7 为区别不同为区别不同 n 值的相同值的相同 Mi ，可记为：，可记为： M i n3. 最小项与最大项的性质最小项与最大项的性质例：一个三变量函数例：一个三变量函数 F(A，B，C)，它的真值表及其，它的真值表及其最小项及最大项的对应关系如下表。最小项及最大项的对应关系如下表。行号行号A B CF(A，B，C) 最小项及代号最小项及代号 最大项及代号最大项及代号01234567000001010011100101110111F( 0,0,0)=1F( 0,0,1)=0F( 0,1,0)=0F( 0,1,1)=1F( 1,0,0)=1F(

39、1,0,1)=0F( 1,1,0)=1F( 1,1,1)=1A B C = m0A B C = m1A B C = m2A B C = m3A B C = m4A B C = m5A B C = m6A B C = m7A+B+C = M0A+B+C = M1A+B+C = M2A+B+C = M3A+B+C = M4A+B+C = M5A+B+C = M6A+B+C = M7最小项与最大项具有如下性质：最小项与最大项具有如下性质： 对于任意对于任意最小项最小项，只有一组只有一组变量组合取值可使其值变量组合取值可使其值为为1；对于任意对于任意最大项最大项，只有一组只有一组变量组合取值可使其值变

40、量组合取值可使其值为为0。(用用Venn图示意出图示意出m i 和和M i 的区域的区域) 任意两个最小项之积必为任意两个最小项之积必为0，即，即： mi mj = 0(ij) 任意两个最大项之和必为任意两个最大项之和必为1，即，即： MiMj=1(ij) n变量的所有最小项之和必为变量的所有最小项之和必为1，记为：，记为： n变量的所有最大项之积必为变量的所有最大项之积必为0，记为：，记为：m i = = 12n -1i = 0M i = = 02n -1i = 0由上表可知，最小项与最大项具有如下性质由上表可知，最小项与最大项具有如下性质 同变量数下标相同的最小项和最大项互为反函数同变量数

41、下标相同的最小项和最大项互为反函数 即：即： m i = M i M i = m i 则：则： m i M i = 0 且且 m iM i = 14. 函数的最小项标准式函数的最小项标准式逻辑函数被表达成一系列逻辑函数被表达成一系列乘积项之和乘积项之和，则称之为，则称之为积积之和之和表达式表达式(SOP)，或称为，或称为与或表达式与或表达式。如果构成函数的积之和表达式中如果构成函数的积之和表达式中每一个乘积项每一个乘积项(与项与项)均为最小项均为最小项时，则这种表达式称之为时，则这种表达式称之为最小项标准式最小项标准式(The canonical SOP)，且这种表示是且这种表示是唯一唯一的。

42、的。如如：F(A,B,C) = AC + AB + BC = ABC + ABC + ABC + ABC = m2 m3 m5 m7 = m3(2,3,5,7)写出逻辑函数的最小项标准式的方法：写出逻辑函数的最小项标准式的方法： 如果给定的函数为如果给定的函数为一般的与或表达式一般的与或表达式，可以反复应用，可以反复应用公式公式X=X(YY) 代入缺少某变量代入缺少某变量(Y)的与项中，形成最小项之的与项中，形成最小项之和的形式。和的形式。 例例： F = AC AB BC = AC( BB ) AB( CC ) ( AA )BC = ABCABCABCABCABCABC = ABCABCAB

43、CABC = m3(3,4,5,7) 如果给定函数用真值表表示，显然如果给定函数用真值表表示，显然真值表每一行真值表每一行变量的组变量的组合合对应一个最小项对应一个最小项。如果对应该行的。如果对应该行的函数值为函数值为 1 ，则函数，则函数的最小项表达式中的最小项表达式中应包含应包含该行对应的最小项；如果该行的该行对应的最小项；如果该行的函数值为函数值为 0，则函数的最小项表达式中，则函数的最小项表达式中不包含不包含对应该行的对应该行的最小项。最小项。例：对应前表例：对应前表(P40 表表2.6 )中的中的F(A,B,C)，其最小，其最小项表达式应为：项表达式应为： F(A,B,C) = m0

44、 m3 m4 m6 m7 = m3( 0,3,4,6,7 )显然显然 F(A,B,C) = m1 m2 m5 = m3( 1,2,5 ) 如果给定函数用卡诺图表示，则如果给定函数用卡诺图表示，则卡诺图上的每一块区域卡诺图上的每一块区域对对应应一个最小项一个最小项。如果对应该区域的函数值为。如果对应该区域的函数值为 1 ，则函数的，则函数的最小项表达式中应包含该区域对应的最小项；如果该区域最小项表达式中应包含该区域对应的最小项；如果该区域的函数值为的函数值为 0，则函数的最小项表达式中不包含对应该区，则函数的最小项表达式中不包含对应该区域的最小项。域的最小项。例：参见例：参见2.5.2 “卡诺图

45、法卡诺图法”。最小项与原函数、反函数的关系最小项与原函数、反函数的关系 对于对于 n 个变量的函数个变量的函数 F ，它共有，它共有2n个最小项，这些最小项个最小项，这些最小项不是包含在原函数不是包含在原函数 F 的最小项表达式中，就是包含在反函数的最小项表达式中，就是包含在反函数 F的最小项表达式中。的最小项表达式中。 用逻辑代数可以证明：用逻辑代数可以证明：F(x1,x2,x3, ,xn) F(x1,x2,x3, ,xn) =m i = = 12n -1i = 05. 函数的最大项标准式函数的最大项标准式 逻辑函数被表达成一系列逻辑函数被表达成一系列和项之积和项之积，则称为，则称为和之积表

46、达和之积表达式式(POS)，或称为，或称为或与表达式或与表达式。 如果构成函数的或与表达式中的如果构成函数的或与表达式中的每一个和项每一个和项均为均为最大项最大项，则这种表达式称为则这种表达式称为最大项标准式最大项标准式 ( The Canonical POS)，且这且这种表示是种表示是唯一唯一的。的。如如：F(A,B,C) = (A + C) (A + B) = (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) = M0 M2 M4 M5 = M3( 0,2,4,5 )写出逻辑函数的最大项标准式的方法：写出逻辑函数的最大项标准式的方法： 如果给定的函数是如果给定的函数是一般的或

47、与表达式一般的或与表达式，可以反复应，可以反复应 用用公式：公式：X = X + YY = (X +Y)(X +Y) 代入缺少某变量代入缺少某变量(Y)的的和项中以形成最大项之积的形式。和项中以形成最大项之积的形式。例：例： F = (A + C) (A + B) = (A + C + B B) (A + B + C C) = (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) = M0 M2 M4 M5 = M3( 0,2,4,5 )如果给定函数用真值表表示，显然如果给定函数用真值表表示，显然真值表每一行变量真值表每一行变量的组合的组合对应对应一个最大项一个最大项。如果对应该行的

48、。如果对应该行的函数值为函数值为 0 ，则函数的最，则函数的最大项表达式中大项表达式中应包含应包含该行对应的最大项；如果该行的该行对应的最大项；如果该行的函数值函数值为为 1 ，则函数的最大项表达式中，则函数的最大项表达式中不包含不包含对应该行的最大项。对应该行的最大项。例：对应前表例：对应前表(P40 表表2.6)中的中的F(A,B,C)，其最大项表达式，其最大项表达式应为：应为： F(A,B,C) = M1 M2 M5 = M3( 1,2,5 )显然显然 F(A,B,C) = M0 M3 M4 M6 M7 = M3( 0,3,4,6,7 ) 如果给定函数用卡诺图表示，则函数的最大项表达式如

49、果给定函数用卡诺图表示，则函数的最大项表达式可以通过卡诺图得到。可以通过卡诺图得到。例：参见例：参见2.5.2 “卡诺图法卡诺图法”。最大项与原函数、反函数的关系最大项与原函数、反函数的关系 对于对于 n 个变量的函数个变量的函数 F ，它共有，它共有2n个最大项，个最大项，这些最大项不是包含在原函数这些最大项不是包含在原函数 F 的最大项表达式的最大项表达式中，就是包含在反函数中，就是包含在反函数 F 的最大项表达式中。的最大项表达式中。 可以证明：可以证明：F(x1,x2,x3, ,xn) F(x1,x2,x3, ,xn) =M i = = 02n -1i = 0同一函数的最小项标准式与其

50、最大项标准式的关系同一函数的最小项标准式与其最大项标准式的关系: 同一逻辑函数的一种标准式变换成另一种标准式同一逻辑函数的一种标准式变换成另一种标准式时，互换时，互换mn 和和Mn 的符号，并在符号后的符号，并在符号后列出列出原式原式中中缺少缺少的那些数字。且这两种标准式都是的那些数字。且这两种标准式都是唯一唯一的。的。例：例： F = m3( 0,2,3 ) = M 3( 1,4,5,6,7 )证明：证明： F = m3( 0,2,3 ) 则则 F = m3 ( 1,4,5,6,7 ) = m1 m4 m5 m6 m7 F = F = m1 m4 m5 m6 m7 = m1 m4 m5 m6

51、 m7 = M1 M4 M5 M6 M7 = M 3( 1,4,5,6,7 )2.5 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 Simplification of Switching Expression 一个逻辑函数对应着一个实现其逻辑功能的逻辑一个逻辑函数对应着一个实现其逻辑功能的逻辑电路，当使该函数最简意味着使这个电路也最简。电路，当使该函数最简意味着使这个电路也最简。 最简逻辑电路：最简逻辑电路：门数最少；门的输入端最少；门数最少；门的输入端最少； 门的级数最少。门的级数最少。 最简与或式：最简与或式：与项的数目最少；每个与项的变量与项的数目最少；每个与项的变量 个数最少。个数最少。 最简或与式：

52、最简或与式：或项的数目最少；每个或项的变量或项的数目最少；每个或项的变量 个数最少。个数最少。例： F = AB ( BC ) AC BC = AB C对应两种逻辑电路图，如下11111ABCCABABB+CACB CAB(B+C)F=AB(B+C)+AC+BC&1ABABF=AB+C&C2.5.1 代数化简法：代数化简法： 要求要求熟记熟记化简化简公式公式、定理定理； 技巧性强技巧性强，可谓熟能生巧。特别是采用，可谓熟能生巧。特别是采用“配项配项法法”，要先找出，要先找出“配项配项” ，使表达式，使表达式 “由简变由简变繁繁”，再消除多余项，以达到化简。，再消除多余项，以达到化简。 代数化简

53、的代数化简的过程和结果呈多样性过程和结果呈多样性，且不易发现出，且不易发现出错，也不易判断是否最简。错，也不易判断是否最简。 上述问题在用上述问题在用卡诺图法化简卡诺图法化简时，均可得到较好的时，均可得到较好的解决解决。一、与或式的化简一、与或式的化简与或式化简常用的公式主要有四个：与或式化简常用的公式主要有四个： A + A = 1 A + AB = A + BAB + AB = A AB + AC + BC = AB + AC 所谓化简过程就是运用代入规则，把某一子函所谓化简过程就是运用代入规则，把某一子函数看成一个变量，进而应用公式简化，在这一过程数看成一个变量，进而应用公式简化，在这一

54、过程中经常需要变换子函数的形式，以便能够应用公式中经常需要变换子函数的形式，以便能够应用公式进行简化，最终将函数化简为进行简化，最终将函数化简为最简与或式最简与或式 (minimizing SOP) ，常用的方法有如下几种：，常用的方法有如下几种：1. 吸收法吸收法 利用公式：利用公式：A+AB=A 消去多余变量消去多余变量。例：。例： F AB+AB (C+D) E AB 利用公式：利用公式： A + AB = A + B 消去反变量消去反变量。例：。例： F = AB + AC + BC = AB + (A + B)C = AB + AB C = AB + C 3. 消去法消去法利用公式：

55、利用公式：ABACBCAB AC 消去多余项消去多余项。 例：例：F = AC + ADE + CD = AC + CD + AD + ADE = AC + CD 2. 合并项法合并项法 利用公式：利用公式： AB + AB = A ，两项，两项合并合并为一项且为一项且消去消去一个变量一个变量。例：。例： F = m4 (5,7,13,15) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD = ABD + ABD = BD 4. 配项法配项法 当无法发现直接应用公式时，可先增加一些与当无法发现直接应用公式时，可先增加一些与项，再利用增加项消除多余项，即项，再利用增加项消除多余项，即“先

56、繁后简先繁后简”。利用公式：利用公式：1 A A 增加项数增加项数。例：。例： F = AB + BC + BC + AB = AB + BC + BC(A+A) + AB(C+C) = AB + BC + ABC + ABC + ABC + ABC = AB + BC + AC解法解法2： F = AB + BC + BC + AB = AB(C+C) + BC (A+A) + BC + AB = ABC + AB C + ABC + ABC + BC + AB = AC + BC + AB利用公式利用公式： ABAC = ABACBC 增加项数增加项数。例：例： F = AB + BC +

57、 BC + AB = AB + BC + BC + AB + AC = AB + BC + AC解法解法2： F = AB + BC + BC + AB = AB + BC + AC + BC + AB = AB + BC + AC5. 综合法综合法 在一个函数的化简中同时用几种方法。例：在一个函数的化简中同时用几种方法。例： F = AB + AC + BC + CB + BD + DB + ADE ( F + G ) = A(B + C) + BC + CB + BD + DB + ADE ( F + G ) = ABC + BC + CB + BD + DB + ADE ( F + G

58、) = A + BC + CB + BD + DB + ADE ( F + G ) = A + BC + CB + BD + DB = A + BC + CB + BD + DB + CD = A + BC + CB + DB + CD = A + BC + DB + CD二、或与式的化简二、或与式的化简 或与式化简有两种方法：或与式化简有两种方法： 1. 常规法常规法 常规法化简方式类似于与或式的化简，化简中常常规法化简方式类似于与或式的化简，化简中常用的公式主要有：用的公式主要有： ( A + B )( A + B ) = A A ( A + B ) = A A ( A + B ) = A

59、B ( A + B )( A + C )( B + C ) = ( A + B )( A + C )例：例：F = A ( A + B )( A + D )( B + D )( A + C + E + H ) = A ( A + D )( B + D ) = AD ( B + D ) = AD2. 利用最简与或式得到最简或与式利用最简与或式得到最简或与式 二次对偶法二次对偶法 利用对偶规则，先求出利用对偶规则，先求出F的对偶式的对偶式F，再将对偶式，再将对偶式F 化简为化简为最简与或式最简与或式，最后再求一次对偶，最后再求一次对偶(F ) = F，则得到则得到 F 最简或与式。最简或与式。例：

60、例：F = (A + B)(A + B)(B + C)(C + D)(B + D) F = AB + AB + BC + CD + BD = A + BC + CD + BD = A + BC + CD则则 F = (F ) = A (B + C)(C + D)2二次求反法二次求反法 利用反演规则，先求出利用反演规则，先求出F的反函数的反函数 F，再将反函数，再将反函数 F 化简为化简为最简与或式最简与或式，最后再求一次反，最后再求一次反 F = F，则得到，则得到 F 最简或与式。最简或与式。例：例：F = AB + AB + AC + BD F = (A + B)(A + B)(A + C