第5章 零件可靠性设计

1、第第5 5章零件可靠性设计章零件可靠性设计n5.1 5.1 静强度概率设计方法静强度概率设计方法n5.2 5.2 疲劳强度可靠性设计方法疲劳强度可靠性设计方法5.1 5.1 静强度概率设计方法静强度概率设计方法n5.1.15.1.1静强度概率设计的主要内容静强度概率设计的主要内容n(1) 根据零部件的功能、复杂程度、重要程度、使用条件、生产难易程 度等确定可靠性指标。 n(2) 明确零部件失效模式，如屈服、失稳、断裂、过量变形等。n(3) 确定零件尺寸分布。由于每个零件的尺寸各有不同（在允许的公差 范围内变化），须作为随机变量处理。n5.1 5.1 静强度概率设计方法静强度概率设计方法n机械加

2、工中的容许尺寸偏差是用公差来表示的。容许偏差x常常可以用于估计标准差。n若预期的数据都按统计规律分布在x的界限内，这个界限便可用来确定一个大子样的变化范围。通常，尺寸分布标准差的近似值可以表示为 （5-1）n式(5-1)也可用于确定载荷的标准差。36)()(xxxxxSx(4) 确定载荷均值和标准差n如果影响零件工作应力的参数X1(1,12)，X2(2,22)，Xn(n,n2)均为正态随机变量，则可以根据这些参数与应力的函数关系，把它们综合为仅含单一随机变量Z的应力函数nS(Z)=f(X1. X2, ,Xn)，n并确定其分布。n如果各随机变量的变异系数都小于0.1，且满足随机变量的多重性要求，

3、则由中心极限定理可知，这个应力函数近似于正态分布。n(5) 确定材料强度的均值和标准差。n(6) 应用联结方程确定零部件的设计参数。n 当强度和应力都是正态分布时，可根据联结方程进行概率设计；当强度和应力都是较复杂的基本随机变量的函数时，根据一次二阶矩法可把功能函数按泰勒级数线性展开。5.1.25.1.2静强度可靠性设计的一般步骤静强度可靠性设计的一般步骤n选定可靠度。n查表求得可靠性系数zR。n确定零件的强度分布参数S,S2。n列出应力 s 的表达式。n计算工作应力（可表达为计算截面积的函数）。n将应力、强度、可靠性系数代入联结方程，求得截面积均值。5.1.35.1.3静强度可靠性设计举例静

4、强度可靠性设计举例n例例5-1 5-1 己知冷轧碳钢板的名义厚度为t，容许偏差为0.250mm，试确定钢板厚度的标准差。n解n注：当误差对称于公称尺寸时，可取公称尺寸为均值，取为标准差 Sx。若误差不对称于公称尺寸，可根据公称尺寸和误差先求出最大值xmax和最小值xmin，然后将均值和标准差分别取为 （5-2）（5-3）mmtSt083. 03250. 032minmaxxxx6minmaxxxsx3xn例例5-2 5-2 钢制拉杆，工作应力xlN(400，252) MPa，屈服强度xs=sN (500，502) MPa，求不发生屈服失效的概率（可靠度）。n解 根据正态偏量计算公式n查正态分布

5、表可得789. 1)5025(400500)(2122212211ssRssxxz96318. 0)789. 1 ()(RzRduedueRuzuz2/2/222121例例5-35-3 受拉零件的静强度可靠性设计n要求设计可靠度为0.9999的圆截面抗拉杆，该杆承受的载荷为一正态随机变量PN（p,p）, 其中p=28000N，p4200N。材料强度也服从正态分布S N(,), 其中=438N/mm2，13N/mm2。试确定其直径 r。n提示：应用可靠性联结方程：n注：根据制造精度，可以取d/d0.005n 由标准正态分布表，查出z0.9999=3.7222SSRz例例5-35-3 受拉零件的静

6、强度可靠性设计n解：解：根据材料力学可知拉杆应力表达式为n根据矩法求随机变量函数的分布参数的公式：n可以算出nS= ，S2= 24dPAPSniiXinXXXffyE12221)var(|)(21),.,()(24),(dPdPf223222)8()4(ddPPdn根据设计制造经验确定拉杆直径标准差与均值之比，取Cd=d/d0.005，n则nS ，S2 由可靠度指标（R0.9999）查表得出zR=3.72，代入联结方程n得22SSRz235650d428723853d0377414924ddn解得：n（另一个解为 ，代入联结方程验算后可知不符合实际，故被舍去）。nd0.00510.81=0.5

7、04n根据3原则，设计直径d为81.10,80.1162dd即32.322d162. 081.103ddd5.25.2疲劳可靠性设计方法疲劳可靠性设计方法n5.2.1 5.2.1 疲劳失效的基本概念疲劳失效的基本概念n工程实际中多数机械零部件承受的载荷都是随时间而变化的。零件在循环载荷作用下，在某个点或某些点逐渐产生局部的永久性的性能变化，在一定循环次数后形成裂纹，并在载荷作用下继续扩展直到完全断裂的现象，称为疲劳断裂或疲劳失效。n疲劳失效与静强度失效有着本质的区别。静强度失效是由于零件的危险截面的应力大于其强度极限导致断裂或大于屈服极限产生过大的残余变形；疲劳失效是由于零件局部应力最大处，在

8、循环应力作用下形成微裂纹，然后逐渐扩展成宏观裂纹，最终导致断裂。 st真smsminsasmaxOn（1）低应力。在循环应力的最大值远低于材料的强度极限，甚至远小于材料屈服极限的情况下，疲劳失效就可能发生。n（2）突然性。不论是脆性材料还是塑性材料，其疲劳断裂在宏观上均表现为无明显塑性变形的脆性突然断裂。n（3）时间性。静强度失效是在一次载荷作用下的失效；疲劳失效则是在循环应力的多次反复作用下产生的，因而它要经历一定的时间，甚至很长的时间才发生。n（4）敏感性。静强度失效的抗力主要取决于材料本身；而疲劳失效的抗力不仅决定于材料本身，还对零件形状、表面状态、使用条件以及环境条件等很敏感。n（5）

9、疲劳失效的宏观断口上，有显著特点，存在着疲劳源（或称疲劳核心）、疲劳裂纹扩展区（平滑、波纹状）和瞬断区（粗粒状或纤维状）。疲劳失效的特点n(6) 有损伤累积效应n(7) 疲劳强度与寿命有关 105 106 107 108 109n铁合金和钛疲劳极限非铁合金NN次循环下的的疲劳强度s / M PaO5.2.25.2.2疲劳可靠性设计方法疲劳可靠性设计方法n疲劳失效是零件在交变载荷作用下的失效形式。疲劳设计准则可划分为：n无限寿命设计要求设计应力低于疲劳极限，这是最早的疲劳安全设计准则；n安全寿命设计(有限寿命设计)要求零部件或结构在规定的使用期限内不产生疲劳裂纹；n破损安全设计要求裂纹被检出来之

10、前，不会导致整个结构破坏（这要求裂纹能被及时检出，且有相当长的亚临界扩展期）；n损伤容限设计假设结构中存在初始裂纹，应用断裂力学的方法计算裂纹的扩展（这种方法适用于韧性好的材料、裂纹扩展速率较慢的场合）。n在常规疲劳强度计算中，零件的疲劳强度可通过修正材料标准试件的疲劳强度后得到n（5-4）rfrSkS21n为了简化计算，一般假设影响零件疲劳寿命的各种因素相互独立。零件疲劳强度的均值和方差分别修正为 （5-5）（5-6）rfrSkS21frkfrfrfrfrSkSkSkSkS212122221221n5.2.3 5.2.3 平均应力修正公式平均应力修正公式n应力-疲劳寿命曲线通常是指平均应力为

11、零的对称循环应力下的疲劳寿命曲线。在循环变应力下的疲劳强度设计中，给定寿命下的疲劳强度常以等寿命图表示。n当没有相应材料的等寿命曲线时，可以应用简化的等寿命曲线。常用的简化等寿命曲线（见图）有：nGoodman直线n （5-7）11ambssSSnGerber 抛物线 （5-8）nVon MisesHencky 椭圆 （5-9）211ambssSS2211ambssSS5.2.4 5.2.4 疲劳强度可靠性设计计算疲劳强度可靠性设计计算 疲劳可靠性设计的基本公式也是应力-强度干涉模型。恒幅循环应力下的疲劳可靠性设计比较简单，是其它载荷情况下疲劳可靠性设计的基础。在满足某些条件的前提下，可以把其

12、它载荷情况向恒幅循环应力转换。 如果仅考虑应力幅sa与平均应力sm的分散特性，而载荷循环特征值r为确定性常数，在疲劳极限图的等r线上，可以给出复合疲劳应力sf的分布f(sf)和相应的复合疲劳强度Sf的分布f(Sf)，二者构成应力-强度干涉关系。此时，疲劳可靠性的计算与前面所述的应力-强度干涉模型相同。n例例 如图所示为某航空发动机转子内轴，该轴承受交变弯矩和恒定扭矩，受力情况如图所示。现假设循环特征值为确定值，其疲劳强度可靠性设计方法及步骤如下：n(1) 提出设计问题，给出任务描述n该轴的受力情况及结构尺寸如图4-7所示，材料为调质40CrNiMoA钢。转子作用于轴的载荷为F1，扭矩Mr，转子

13、的质量为G。轴的一端为花键联接。考虑可能对中不准而引起的径向力为F2。轴的环境温度为常温，转速为n，要求寿命达到NL107时的可靠度为 ，设计满足可靠度要求的转轴直径d。n(2) 确定失效判据n该轴在交变应力作用下工作，其失效模式为疲劳断裂。应力分析表明，A-A剖面为危险部位。因此，应根据该处的应力水平进行疲劳强度可靠性设计。*Rn根据疲劳强度理论，该转轴危险部位的弯扭复合应力为n式中，saA-A剖面处对称循环的弯曲应力幅值；nA-A剖面处的扭转应力。n失效判据为n其中，Sf为轴在A-A剖面处的复合疲劳强度。223afssffSs (3) 确定复合疲劳应力的分散性参数n由于该转轴承受交变弯矩和

14、恒定扭矩，根据常规疲劳强度的计算式，列出如下应力方程：n其中，MTA-A剖面处的弯曲力矩；nP1作用在轴支点处的支反力，根据静力平衡条件可求得nW，WpA-A剖面的截面系数；aTsMW33mrpsMW11112lFlPMT4321434321112llllllGllllFPn上述方程中的MT，F1，G，l1，l2，l3，l4 为已知参数，它们的均值和标准差都已知。根据概率运算方法可求得平均应力sm和应力幅sa的分布特性数据， ， ， ， ，它们都是未知量d 的函数。 dsa das dsm dms(4) 确定复合疲劳强度分散特性n结构件在危险部位的疲劳极限n式中：S-1转轴材料40CrNiMo

15、A，表示r=-1时光滑试件的疲劳极限，从有关手册中可得到其分散特性数据 ， ，同时可得到静强度极限的数据， ，。fkSS111S1SbSbSn最后得到结构件复合疲劳强度分散特性为n均值：n标准差：fkSS112122221111SfkfSkSkfn在给定载荷情况下，结构件的复合疲劳强度可根据疲劳极限图求得。在此采用Goodman直线方程并假设，11ambssSSn由于假设载荷循环特征r为确定值，平均应力可表示为n其中kr为确定常数，将此关系代入Goodman直线方程，可得疲劳强度应力幅n式中的 ， 为随机变量，已知其分布特性，于是可求得sa的分散特性11mararssk sr11barbSSs

16、k SS 1SbSn均值：nn标准差：n根据 的关系，可求得的sm分散特性。11barbSSsk SS 114224221211absbSrSrbSk Sk SS mrask sn相应的复合疲劳强度为n其分散特性为n均值: n n标准差: 1222famsss1222famsss12222222amfasmssamssss(5) 应用可靠性联结方程，建立零件尺寸与可靠度的关系n当假设应力和强度均为正态分布时，可根据R*从标准正态分布表中得到相应的可靠性指标*，将其代入联结方程，有n上式中只有一个未知数 ，由此可解出转轴直径d 的均值。根据轴承加工精度要求确定的变异系数 可进一步确定轴径d 的公

17、差。2122*)()(ddsSffsSffddcdcddd335.35.3随机恒幅循环载荷疲劳可靠度的统计平均算法随机恒幅循环载荷疲劳可靠度的统计平均算法n5.3.1 5.3.1 概述概述n从可靠性的角度讲，静强度关心的只是“是否失效”的问题，而疲劳还须考虑“何时失效”等问题。“是否失效”可以只涉及载荷与强度两个物理量，通过比较这两个物理量的相对大小即可建立失效判据与准则；“何时失效”还与时间有关，涉及更多的物理量，需要进行累积损伤计算，之后才能判断何时发生失效、在什么样的状态下失效。n应力-强度干涉分析是失效概率或可靠性分析的基本方法。与疲劳问题对应，有“载荷循环数-疲劳寿命干涉模型”。n疲

18、劳载荷分布难以统计、疲劳强度分布难以确定。n针对程序载荷下的疲劳可靠性问题提出的“寿命等效-条件可靠度模型”也一直在被直接或间接地应用于各种复杂载荷下的疲劳可靠性问题。n传统的计算零件可靠度的载荷-强度干涉模型的形式为n若要应用这样的模型计算疲劳可靠度，即使只考虑具有不确定性的恒幅循环应力条件下（不涉及复杂载荷历程下的疲劳损伤累积），指定寿命的疲劳可靠性问题，也需要知道给定寿命下的强度分布（用以代替传统干涉模型中的静强度分布）。n要得到给定寿命下的强度分布十分困难。在理论上，也无法通过实验直接测出。0( )( )sRh sf S dS ds5.3.2 5.3.2 干涉模型的数学解释统计平均算法

19、干涉模型的数学解释统计平均算法n虽然不能通过寿命与载荷的直接比较计算失效概率，但寿命与载荷存在直接的关系。n对于给定的材料与结构，疲劳寿命是由载荷唯一确定的。因此，根据载荷计算疲劳寿命是确定性框架下疲劳寿命预测的基本思路，也应该是在概率框架下计算疲劳可靠度或疲劳失效概率的有效途径。n为计算随机载荷下的疲劳可靠度，下面先将传统的“载荷-强度干涉”分析方法进一步拓展，建立“疲劳失效概率(疲劳寿命小于某一指定值)的载荷统计加权平均”模型。与之对应，将传统的载荷-强度干涉模型解释为“给定载荷下的零件失效概率(强度小于给定载荷)在整个载荷域上的统计平均计算模型”。n零件可靠度可以看作是应力的函数。在应力

20、与强度均为随机变量的情况下，定义零件的条件失效概率（以应力为条件）如下n相应地，计算零件失效概率的载荷-强度干涉模型可以写成n在概率的数学意义上，上式可以解释为函数(s)在随机变量s的定义域(0，)上的统计平均值，其中随机变量s的概率密度函数为h(s)。0( )( )ssfS dSsdssh0)()(Pn有了对干涉模型的统计平均解释，也就有了将传统的载荷-强度干涉模型进行拓展的数学基础。n根据对干涉模型的统计平均解释，则可以借助这种形式的方程计算任何连续可积函数(s)对于以h(s)为概率密度函数的随机变量s在其定义域上的概率平均值。显然，这里并不需要限定必须是两个能直接比较的随机变量。n对于疲

21、劳可靠性问题，(s)同样可以是作为载荷水平s的函数的零件条件疲劳失效概率函数，但这里失效是由寿命决定的，即，n相应地，n为随机循环载荷s条件下的疲劳寿命可靠度。Ndnsnfs0),()(sdsshR0)()(摘摘 要要n在统计平均的意义上重新解释了传统的两随机变量干涉分析的基本概念及模型将干涉模型解释为统计平均模型。n将应力-强度干涉模型解释、拓展为强度超越载荷概率的（载荷）统计加权平均算法，或给定应力下的条件失效概率的随机载荷加权平均算法。n将传统上只能应用于相同量纲随机变量（例如应力与强度）的干涉模型，拓展应用于具有不同量纲随机变量(例如应力与寿命)的情形（至少在形式上），即循环载荷下的疲

22、劳失效概率或可靠度计算。n可以避免把传统的干涉分析概念与方法应用于与时间相关的失效模式(例如疲劳)的失效概率或可靠度计算时所遇到的、需要根据给定应力水平下的疲劳寿命分布确定给定疲劳寿命下的强度分布的困难。0 0 引言引言n静强度失效的可靠性问题已得到了长期广泛的研究，建立了较为完整的方法体系。n疲劳失效与静强度失效有许多不同的性质，因而需要不同的分析方法与模型。静强度准则只涉及是“是否失效”，而疲劳准则还涉及“何时失效”。“是否失效”可以只由载荷与强度两个物理量决定，通过简单比较这两个物理量的相对大小即可判断失效是否发生；而“何时失效”问题则复杂得多。n应力-强度干涉分析是失效概率或可靠性分析

23、的基本方法。在静强度失效模式下建立的应力-强度干涉模型也常被应用于疲劳可靠性问题，尽管还存在疲劳载荷分布难以统计、疲劳强度分布难以确定等诸多困难，以及一些概念上的混淆。针对程序载荷下的疲劳可靠性问题提出的“寿命等效-条件可靠度模型”也一直在直接或间接地应用于各种复杂载荷下的疲劳可靠性问题。但“寿命等效-条件可靠度模型”只是一个简单的近似方法，是对“载荷循环数-疲劳寿命干涉模型”的扩展应用，只适用于一些简单的疲劳可靠性问题。n在复杂载荷下的疲劳可靠性分析方法方面的研究也有许多。n例如，V. A. Kopnov 和S. Tanaka 有关复杂载荷下疲劳可靠性方法的研究；H. Bahring 和F.

24、 Z. Choukairi 于复杂载荷对剩余寿命分布影响的研究；凌静等建立了一个用于随机载荷作用下构件疲劳寿命可靠性分析的二维应力-强度干涉模型；徐国建等通过对恒幅载荷下疲劳应力幅与寿命之间的S-N关系的随机化处理，建立了一个应用于随机变幅载荷下结构疲劳可靠性分析模型；以及指定应力下的疲劳寿命分布向指定寿命下的疲劳强度分布的转换方法,等等。n由于给定应力水平下的疲劳寿命分布规律可以根据成组法疲劳试验结果通过统计分析直接得到，人们很早就试图从给定应力水平下的疲劳寿命分布规律推导出指定寿命下疲劳强度的分布规律。nW.Weibull早在1961年就提出，在S-N曲线上的任一点（S，N）的疲劳强度破坏

25、率与疲劳寿命破坏率相等，但W.Weibull未作严格证明。1984年,T.Tanaka又提出了与W.Weibull设想完全一致的模型，进一步阐明了等同性的观点，并给出了疲劳寿命分布与疲劳强度分布之间的关系式，但仍用了疲劳强度遵循正态分布的假定。1986年傅惠民用概率论的方法论证了P-S-N曲线上任一点的疲劳寿命破坏率与疲劳强度破坏率数值上相等，并推导出了疲劳寿命概率分布与疲劳强度概率分布之间的关系式。同时，还得出了在一般情况下,疲劳强度服从某一偏态分布的结论。n最近的研究工作有Petryna 等针对具有老化失效机制的混凝土结构的疲劳可靠性问题提出了一个循环载荷条件下的疲劳损伤模型。Petryn

26、a等同时也指出了疲劳环境下的结构可靠性问题是一个非常复杂的问题，其中涉及诸如损伤与连续介质力学、非线性结构分析与概率可靠性理论等不同学科领域的内容，而目前大多数的研究还都限于相对简单的情形例如只考虑一个截面上的局部损伤，并将其与整体的极限状态相联系。nKaradeniz在一般意义上阐释了海洋平台结构谱载荷疲劳损伤可靠性计算的不确定性建模问题，将损伤的固有不确定性划分为由应力统计特性引起的部分和疲劳现象的损伤模型自身部分，等等。1 1传统模型的缺陷与新建模思路传统模型的缺陷与新建模思路n众所周知，传统的计算零件可靠度的载荷-强度干涉模型的形式为 （1）n式中，h(y) 表示载荷随机变量y的概率密

27、度函数，f(x) 表示零件强度随机变量x的概率密度函数。零件性能是与载荷对应的、反映其抵抗载荷的能力的参量。这样的模型可以方便地应用于计算静强度失效概率与可靠性问题。n若要应用这样的模型计算疲劳可靠度，即使只考虑具有不确定性的恒幅循环应力条件下（不涉及复杂载荷历程下的疲劳损伤累积问题），指定寿命下的疲劳失效可靠性问题，也需要知道给定寿命下的疲劳强度分布（用以代替传统干涉模型中的静强度分布f(x)）。n但是，要得到给定寿命下的强度分布十分困难，在理论上，甚至无法通过试验直接测出。yddxxfyhRy0)()(n在疲劳失效过程中，零件的剩余强度随着载荷的作用次数的增加而不断降低，且强度下降的速率与

28、循环应力水平直接相关。也就是说，对于疲劳失效问题，指定寿命下的（剩余）强度概率分布是载荷与时间（或载荷循环次数）的函数f(x,s,t)，难以确定。n容易通过试验得到的是给定循环载荷y作用下的寿命分布f(n,y)。n虽然不能通过寿命与载荷的直接比较计算失效概率，但是寿命与载荷存在直接的关系。对于给定的材料与结构，疲劳寿命（包括其分散性）是由载荷唯一确定的。由此，根据载荷计算疲劳寿命是确定性框架下疲劳寿命预测的基本思路，也应该是在概率框架下估算疲劳寿命分布或疲劳失效概率的有效途径。对于后者，关键是正确处理与表达寿命分布与载荷分布的关系。n理论上，根据寿命-载荷关系方程，通过随机变量函数的概率密度函

29、数与其自变量的概率密度函数之间的关系，就可以由载荷的概率密度函数确定寿命的概率密度函数，进而计算出疲劳可靠度。n然而，数学上的困难使这样的直接方法无法实施。2 2 干涉模型的统计平均算法解释干涉模型的统计平均算法解释n为计算随机载荷下的疲劳可靠度，我们将传统的“载荷-强度干涉”分析方法进一步拓展，提出 “疲劳失效概率(疲劳寿命小于某一指定值)的载荷统计加权平均”模型。n传统的载荷强度干涉模型可以解释为“给定载荷下的零件失效概率(强度小于给定载荷)在整个载荷域上的统计平均计算模型”。n可以设想，用“载荷统计加权平均”方法建立的模型，在传统的“载荷”、“强度”及“失效”意义上会自然退化为传统的“载

30、荷-强度干涉模型”。这也将是检验本研究所提出的模型的一个准则。n零件可靠度可以看作是应力的函数。在应力与强度均为随机变量的情况下，可以定义零件的条件失效概率（以应力为条件）如下 (2)n相应地，计算零件失效概率的载荷-强度干涉模型可以写成 (3)n在概率的数学意义上，上式可以解释为随机变量y的函数(y)在y的定义域(0)上的统计平均值。dxxfyy0)()(ydyyh0)()(pn在概率意义上，上式可以解释为随机变量y的函数(y)在y的定义域(0)上的统计平均值。n根据对干涉模型的统计平均解释，式（3）可以用于计算任何连续可积的随机函数(y)的平均值。如果(y)定义为失效概率，则式（3）就是某

31、一失效概率或可靠性指标。例如，对于静强度失效概率问题，(y)是作为载荷水平y的函数的零件条件失效概率，即，n则 为失效概率；对于疲劳可靠性问题，(y)是作为循环载荷水平y的函数的零件条件失效概率，即，nN为指定的载荷循环数，fy(n,y)表示载荷水平y下的寿命概率密度函数， 为随机载荷y作用下的疲劳失效概率。详细分析如下。ydxxfy0)()(ydyyh0)()(Nydnynfy0),()(ydyyh0)()(3 3 疲劳可靠度计算疲劳可靠度计算的载荷统计加权平均模型的载荷统计加权平均模型n作为可靠性模型拓展的基础性工作，这里仅涉及载荷幅度具有不确定性的恒幅循环载荷情况下的零件疲劳可靠性问题。

32、n载荷是恒幅循环应力，应力幅服从某一概率分布。在这种情况下，只要知道载荷幅度分布和恒幅循环载荷下的寿命分布，就可以计算出其疲劳可靠度。n令确定性恒幅循环应力作用下的疲劳寿命概率密度函数为f(n,L)，L为循环应力幅。在此条件下寿命大于N的概率（可靠度）为 (4)NdnLnfLNR),(),(n显然，方程(4)仅涉及完全由材料性能的不确定性引起的疲劳寿命的不确定性。在可靠性问题中，载荷的不确定性当然是不能忽略的，有时甚至是最重要的不确定因素。要完整地考虑疲劳可靠性问题，恒幅循环载荷的幅度也应该作为随机变量对待。n首选考虑一种简单的情形。载荷幅度分别以概率pL1和pL2取两个可能的值L1和L2。在

33、幅度为L1的循环载荷作用下的疲劳可靠度为 ，在幅度为L2的循环载荷作用下的疲劳可靠度为 。根据全概率公式，在分别以概率pL1和pL2取值的L1和L2情况下，疲劳可靠度为 (5)NdnLnfLNR),(),(111NdnLnfLNR),(),(222NLNLdnLnfpdnLnfpNR),(),()(2211n将上述模型推广到应力幅度分别以概率pi(i=1,2,n)取n个可能的载荷水平Li的情形(i=1,2,n，pi=1)，则有 (6)n若载荷幅度是以g(L)为概率密度函数的连续随机变量，则上式中的pi可以表达为npLi=g(Li)Li (i=1,2,n)n式中，Li为人为划分的载荷区间，即把连续分布的载荷用若干个离散的载荷值近似表示，第i个区间用其平均水平Li表示，其出现的概率为g(Li)Li。 NiniiLdnLnfpNR),()(1n相应地，式（6）可以改写为 (7)n令L0，n，就得到了幅值为随机变量的恒幅循环应力下，载荷幅值的概率密度函数为g(L)时,疲劳寿命可靠度表达式 (8)n式中，g(L)应力幅值L的概率密度函数，f(n,L)以应力幅值L为参数的寿命分布密度函数。NiniiidnLnfLLgNR),()()(10),()()(NdndLLnfLgNRn