工程力学C第5章轴向拉压杆的应力与变形

1、第五章 轴向拉压杆的应力与变形Stress and Strain of Axially Loaded Bar第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学本章介绍本章介绍轴向拉压轴向拉压的概念的概念轴向拉压杆的轴向拉压杆的变形变形轴力轴力与与轴力图轴力图轴向拉压杆的轴向拉压杆的应力应力拉压拉压强度条件强度条件及应用及应用5.1 5.1 引引 言言第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学轴向拉

2、压的概念和实例轴向拉压的概念和实例悬臂吊车悬臂吊车 第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学悬臂吊车中钢丝绳和斜杆的受力分析悬臂吊车中钢丝绳和斜杆的受力分析ABCDE(a)FCB(c)CFBF(d)BCBFCFDE(b)FF第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学连杆连杆曲柄连杆机构曲柄连杆机构P第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Stra

3、in of Axially Loaded Bar材料力学固紧螺栓固紧螺栓 (a)(b)(c)FF第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学(c)螺旋千斤顶螺旋千斤顶 (a)(b)FFFF第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学杆：杆：以轴向拉、压变形为主的杆件。以轴向拉、压变形为主的杆件。FFFF外力的合力作用线与杆外力的合力作用线与杆轴线轴线重合。重合。 第五章第五章 轴向拉压杆的应力

4、与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学讨论讨论: 下图中哪些是轴向拉伸杆下图中哪些是轴向拉伸杆?F(a)F(b)FF(c)F(d)q第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学mmFFFNFx0XFN 的的0FFNFFNFN第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学mmFFFNFx : 0X0FFNFFNFFN0X

5、FFN轴力的正负规定：轴力的正负规定：注意：注意：0FFNFFN产生拉伸变形的轴力为正；产生拉伸变形的轴力为正；反之为负。反之为负。 内力代弃时，内力的指向设为正内力代弃时，内力的指向设为正-设正法设正法。第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学二、轴力图：二、轴力图：FFN1FN2F3F2FFN334FFABC1132F22D3Fx轴力随横截面位置的变化图，即轴力随横截面位置的变化图，即FN (x)的的函数图。函数图。 例例5.1 求图示杆各指定求图示杆各指定截面上的轴力并画轴力截面上的

6、轴力并画轴力图。图。 第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学FFN1FN2F3F2FFN334FFABC1132F22D3FxxFNF2F2F一侧外力NF右侧2外力NFFF24F2一侧指指向向截截面面的的外外力力背背离离截截面面的的外外力力 画轴力图：如图。画轴力图：如图。第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学左左侧侧外外力力1NF左左侧侧外外力力2NF右右侧侧外外力力3NF注意：

7、注意： 1. 用用“截面法截面法”求轴力时，用求轴力时，用“设正法设正法”并取并取外力个数较少的一侧为研究对象。外力个数较少的一侧为研究对象。2. 用用“直接法直接法”求轴力时，取外力个数较少的求轴力时，取外力个数较少的一侧进行计算。一侧进行计算。kN10kNkN1510kN5kN20第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学kNkNkN20510321NNNFFF画轴力图画轴力图注意：注意：在外力作用的截面上轴力图有突变，突变值等在外力作用的截面上轴力图有突变，突变值等于外力的大小。于外力

8、的大小。+NFx看书上，看书上，P108 例例5.1。第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学5.3.1 横截面上的应力横截面上的应力5.3 轴向拉压杆的应力轴向拉压杆的应力1）拉压杆横截面上各点处有何种应力（）拉压杆横截面上各点处有何种应力（,）；）；2）应力在横截面上的分布规律）应力在横截面上的分布规律;3）应力的计算公式。）应力的计算公式。主要研究：主要研究：第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Load

9、ed Bar材料力学1观察变形：观察变形：1）变形后各横向线保）变形后各横向线保持为直线并垂直于持为直线并垂直于纵向线（轴线）。纵向线（轴线）。观察橡胶杆的变形，如图。观察橡胶杆的变形，如图。FF2）变形后原来的矩形）变形后原来的矩形网格仍为矩形。网格仍为矩形。 a cb dacd b2假设及判断假设及判断 ：1 1）平面假设：平面假设：原为平面的横截面，变形后仍为平面原为平面的横截面，变形后仍为平面 。2 2）横截面上只有正应力）横截面上只有正应力 。 3 3正应力的分布规律及计算公式：用正应力的分布规律及计算公式：用“三关系三关系” ” 法。法。 第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉

10、压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学FFabcdcd ab1 1）变形（几何）关系：）变形（几何）关系：如果设想杆是由许多纵向如果设想杆是由许多纵向纤维组成的，则根据平面纤维组成的，则根据平面假设可知，在任意两横截假设可知，在任意两横截面间，每条纤维的伸长都面间，每条纤维的伸长都相等。这表明：相等。这表明：横截面上横截面上各点处的正应变都相等各点处的正应变都相等。即即: : = = 常量常量2）物理关系物理关系：由胡克定律由胡克定律（见（见5.5节）节）：= =常量常量Fcd ab第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆

11、的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学AFFcd abFNdA3 3）静力关系：）静力关系： dAFAN)2 .5(AFNFNAdAA设截面设截面cd上的轴力为上的轴力为FN： dA注意：注意：1.1. 拉为正，压为负；拉为正，压为负；2.2. (5.2)(5.2)式适用于轴向拉压的等直杆式适用于轴向拉压的等直杆( (分段等直杆分段等直杆) )；3.3. 适用于杆件断裂前；适用于杆件断裂前；4.4. 在外力作用点附近不能用；在外力作用点附近不能用；5.5. 当横截面大小缓慢变化时，可近似用（当横截面大小缓慢变化时，可近似用（5.25

12、.2）式。）式。 第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学xlxA (x)FN(x)2 . 5()()()(aAFxxNx为什么为什么(5.2)式在外力作用点附近不式在外力作用点附近不能用？能用？第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学力系作用区域附近有显力系作用区域附近有显著的影响，在离开力系著的影响，在离开力系作用区域较远处（距离作用区域较远处（距离约等于截面尺寸），应约等于截面尺

13、寸），应力分布几乎相同。力分布几乎相同。FFFF影响区影响区影响区影响区2F2F2F2F第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学例例5.3 计算阶梯状方形柱体横截面上的正应力和最计算阶梯状方形柱体横截面上的正应力和最大工作应力，已知载荷大工作应力，已知载荷F =50 kN。 解解: 求柱段求柱段I和和II横截面上的轴力横截面上的轴力111AFN(压应力压应力)FF1N150kN50kNF C BA F F 40003000370240III24. 024. 010503MPa87. 0Pa

14、41087柱段柱段I横截面上的正应力为横截面上的正应力为:FF32NkN50kN150第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学柱段柱段II 横截面上的正应力为横截面上的正应力为:22AFN2(压应力压应力)因此最大工作应力为因此最大工作应力为:MPa1 . 1237. 037. 0101503Pa410110MPa.11maxAFNmax看书上，看书上，P112 例例5.2。150kN50kNF C BA F F 40003000370240III第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉

15、压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学混凝土圆柱混凝土圆柱重物重物混凝土圆柱会怎样断裂？混凝土圆柱会怎样断裂？ 为什么会沿与轴线大约为什么会沿与轴线大约450方向的斜截面断裂呢？方向的斜截面断裂呢？ 在实际工程中，当在实际工程中，当脆性材料脆性材料（如铸铁、岩石和混凝（如铸铁、岩石和混凝土等）受到较大载荷作用发生土等）受到较大载荷作用发生轴向压缩轴向压缩变形时，它变形时，它们并不沿横截面断裂，而是沿与轴线大约成们并不沿横截面断裂，而是沿与轴线大约成45450 0方向方向的斜截面断裂，如图。的斜截面断裂，如图。再看下面一张照片。再

16、看下面一张照片。第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学FFxAmm AnpFN mmF :0X0 FFNFFNFFNNNFF5.3.2 斜截面上的应力斜截面上的应力FN 第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学FFxAmm AnpFN mm

17、FAFpNcos/AFNcosnaapcospsinp) 3 . 5(cos2)4 .5(2sin2第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学时时：）当当001时时：）当当0452时时：）当当0903) 3 . 5(cos2)4 .5(2sin2max；0,2max；2,0。0FFAmm An看书上，看书上，P114 例例5.3。第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学危险截面：危险截面

18、： 2. 2. 对分段等直杆：对分段等直杆：危险点：危险点：1. 1. 对等直杆：对等直杆： 杆内实际发生的应力。杆内实际发生的应力。 工作应力：工作应力： 杆件上具有最大应力的点。杆件上具有最大应力的点。最大内力所在截面；最大内力所在截面； ( (FN/ /A) )max所在截面。所在截面。即：即： = = FN/ /A 。 极限应力极限应力u u : : 如如Q235钢的钢的u u=235MP。 材料发生破坏时的应力。由实验得材料发生破坏时的应力。由实验得 。 第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded

19、 Bar材料力学nu许用应力许用应力：允许材料承受的最大应力。允许材料承受的最大应力。1n安安全全系系（因因）数数强度条件：强度条件： 1强度校核强度校核 ： )5 .5()(maxmaxAFN式（式（5.55.5）可解决三类强度问题：）可解决三类强度问题： 2设计截面尺寸设计截面尺寸: 3确定许可载荷确定许可载荷： AFNmax)(max = (FN /A)max A (FN )max F( 5.6 )( 5.7)注意注意：当：当FN0时，应取时，应取FN的的绝对值绝对值进行强度计算进行强度计算 。第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain

20、 of Axially Loaded Bar材料力学例例5.4 刚性杆刚性杆ACB有圆杆有圆杆CD悬挂在悬挂在C点，点，B端作用集中力端作用集中力 P=25KN，已知，已知CD杆的直径杆的直径d=20mm，许用应力，许用应力 =160MPa。（。（1）试校核）试校核CD杆的强度。杆的强度。 （2）求结构的许可荷载）求结构的许可荷载P； （3）若）若P=50KN，设计，设计CD杆的杆的直径。直径。2aaPABDC解：解： （1 1）校核）校核CD杆的强度杆的强度: :求求CD杆杆所受的力所受的力取整体为研究对象取整体为研究对象看书上例看书上例5.4(第一类第一类)；例；例5.5(第二类第二类)；

21、例；例5.6(第三类第三类)。第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学2aaPABDCFCD :0AMAFCDN)（求求CD杆的最大工作应力：杆的最大工作应力：求求CD杆的内力：杆的内力： CD杆安全。杆安全。4/232dPMPa160032aPaFCDaaPFCD2323PCDCDNFF)(23PMPa119 第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学2aaPABDC（2）求结构的许可

22、荷载）求结构的许可荷载 P :AFCDN)（3/ 2AP FCDAP2/3kN5 .33 kNP5 .33第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学2aaPABDCAFCDN)（FCDAP2/3（3）若）若P=50KN，设计，设计CD杆的杆的直径。直径。23PA 2P34d2 d24.4mm 取取d=25mm第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学B12AC3002mFF2F1FF31解

23、：解：1. 1. 求约束反力求约束反力: :取整体为研究对象取整体为研究对象FF22:0X030cos021FF:0Y030sin02FF联解得：联解得：xy第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学（拉）FFFN311 tAFAFAB111N13杆杆：kN3.3231tAFcAFAFBC222N22杆：kN5022cAF因为要同时满足两杆的强度因为要同时满足两杆的强度2. .求求1、2杆的内力：杆的内力：（压）FFFN2223. . 分别按两杆的强度条件计算许可荷载分别按两杆的强度条件计算

24、许可荷载 F： F=32.3kN第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学B12AC3002mFF2F1xycNAF222由：cFA2N2610102F2cm6 .6422cm65A取取：22cm100A原原：第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学LL 1FF)8 . 5(LL相对相对变形变形：轴向变形轴向变形：1. 轴（纵）向变形：轴（纵）向变形： 轴向正（线）应变L L 1 L拉拉

25、伸伸时时压压缩缩时时00 的符号规定：的符号规定：拉伸时，拉伸时， L L 伸长，伸长， 为正为正；反之为负反之为负。正值的应变叫做正值的应变叫做拉应变拉应变，负值的应变叫负值的应变叫压应变压应变。第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学bFFb1横向应变：横向应变：横横向变形向变形：若杆的横向原始尺寸为若杆的横向原始尺寸为b，轴向加力后变轴向加力后变为为b1 。拉拉伸伸时时压压缩缩时时00b b1 - bbb ）（ 9 .51bbb 第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与

26、变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学为常数）（ ,泊松比：泊松比：实验表明：实验表明：3. 泊松比泊松比当当p时时)10. 5(, ,（p：材料的：材料的比例极限比例极限；是材料常数）；是材料常数）(横向变形系数横向变形系数) 是材料常数是材料常数；无量纲；由试验测定。；无量纲；由试验测定。一般一般 .2.2 0.50.5。第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学1. 1. 材料的材料的虎克定律虎克定律: :实验表明：实验表明： 当当

27、p 时时)11.5(材料的材料的虎克定律虎克定律的量纲与应力量纲相同，的量纲与应力量纲相同，N/m2，MPa或或GPa 。叫做材料的弹性模量，简称叫做材料的弹性模量，简称弹性模量弹性模量。是材料常数是材料常数；由试验测定。；由试验测定。注意：注意：E、 都是材料常数。都是材料常数。 第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学2. 拉压杆的变形公式拉压杆的变形公式( (构件的胡克定律构件的胡克定律) ) ）（ 12.5NEAlFl )11.5(构件的构件的虎克定律虎克定律AFN由（由（5.11

28、5.11）式：）式： ll 使用条件使用条件：在：在弹性范围弹性范围，即：，即：p p ； 在在 l 杆段内杆段内FN、E、A均为常量；均为常量； 应用构件的应用构件的虎克定律虎克定律（5.12）式时应注意：）式时应注意：第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力与变形 Stress and Strain of Axially Loaded Bar材料力学 若若FN、E、A分段变化（如图），可分段使用；分段变化（如图），可分段使用； nini11l 若若FN 或或 A连续变化连续变化( (如图如图) )。 F1F2F3钢钢铜l1l2l3ACDBiiiiiAElFlNxlxA (x)FN(x)(x(x)NEAdxF看书上看书上P120-122；例；例5.7，例，例5.8。)14.5(l)13. 5(l）（ 12.5NEAlFl 第五章第五章 轴向拉压杆的应力与变形轴向拉压杆的应力