第3章基于反馈结构的二阶有源RC滤波电路的分析与设计

1、现现代电电路理论与设计论与设计第章第章基于反馈结构的二阶基于反馈结构的二阶有源有源RCRC滤波电路的分析与设计滤波电路的分析与设计3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用 1两个输入端口的输入阻抗均为无穷大。两个输入端口的输入阻抗均为无穷大。即同相端和反相端都没有电流（即同相端和反相端都没有电流（I1=I2=0）(虚虚断断)； 2增益为无穷大。从而使两个输入端之间增益为无穷大。从而使两个输入端之间的电压的电压Va等于等于(虚短虚短)；输出阻抗为。即输出电压与输出电流输出阻抗为。即输出电压与输出电流无关。无关。3.1 理想运算放大器

2、及其应用理想运算放大器及其应用3.1.1 理想运算放大器理想运算放大器 理想运算放大器工作在线理想运算放大器工作在线性区域时，具有如下特性：性区域时，具有如下特性：_+VoVaI1I2 +ViR2_+VoR1R3 +ViR2_+VoR1R3R2_+VoR1R3 +Vi1 +Vi212RRVVio121RRVVio212112)1 (iioVRRVRRV反相比例运算反相比例运算电电 路路同相比例运算同相比例运算电电 路路差分电路差分电路3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用3.1.2 理想运算放大器的应用理想运算放大器的应用例例3-1由运算放大器组成的放大电路如图所示。由运算放大器

3、组成的放大电路如图所示。 (1) 求电压增益的表达式；求电压增益的表达式； (2)若若R1=51k，R2=R3=390k。当。当vo=-100vi时，时，求求R4=? R1viR2vo-+i1i2R3R4NMi3i43.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用解：解：(1)求电压增益的表达式求电压增益的表达式 列节点列节点N和和M的节点方程：的节点方程：21ii 24100RvRvi342iii304442400RvvRvRv，即，即 ，即，即 3034221)111(RvRRRRRvi143232)/(RRRRRRvvAiov解上述方程得：解上述方程得：电压增益为：电压增益为：R1v

4、iR2vo-+i1i2R3R4NMi3i43.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用100k390,k51321vARRR，10051/ )390390(3903904RvvAiov（2）求）求R4即即求得：求得：R4=35.2kR1viR2vo-+i1i2R3R4NMi3i4143232)/(RRRRRRvvAiov3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用例例3.2 图图3.11是一个由集成运放组成的仪器放大是一个由集成运放组成的仪器放大器，试分析：器，试分析：(1)电路的结构和作用；电路的结构和作用；(2)电路输出电压与输入电压的关系式。电路输出电压与输入电压的关系式

5、。 v1v2R1R2R2A2R3R3R4R4-v3v3-v4v4A1A3+ov3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用解：（解：（1）电路的结构和作用）电路的结构和作用 运算放大器运算放大器A1、A2组成第一级差分放大电路。组成第一级差分放大电路。R1和和R2组成反馈网络，引入负反馈以保证两个运组成反馈网络，引入负反馈以保证两个运算放大器工作在线性状态。运算放大器算放大器工作在线性状态。运算放大器A组成组成第二级差分放大电路，实现对第一级差分放大器第二级差分放大电路，实现对第一级差分放大器输出信号输出信号v3、v4的相减运算的相减运算；v1v2R1R2R2A2R3R3R4R4-v3

6、v3-v4v4A1A3+ov3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用（2）电路输出电压与输入电压的关系电路输出电压与输入电压的关系 利用虚短特性可得电阻利用虚短特性可得电阻R1上的电压降为上的电压降为v1v2。由于理想运放具有虚断特性，。由于理想运放具有虚断特性， 流过流过R1上的上的电流电流(v1v2)/R1就是流过电阻就是流过电阻R2上的电流。即：上的电流。即：v1v2R1R2R2A2R3R3R4R4-v3v3-v4v4A1A3+ov)(21 (22112431212143vvRRvvRvvRRvv3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用 由由A3、R3、R4组成差

7、动放大器，电路的输出电组成差动放大器，电路的输出电压与输入电压的关系为：压与输入电压的关系为：)(21 (211234vvRRRRvov1v2R1R2R2A2R3R3R4R4-v3v3-v4v4A1A3+ov3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用例例3-3求图示网络的增益求图示网络的增益Vo/Vi。ov2A1Aiv3R4R2R1R3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用 解：运放解：运放1由两个信号驱动，一个是输入信号由两个信号驱动，一个是输入信号Vi，另一个是输出信号，另一个是输出信号Vo经运放经运放2放大以后的一放大以后的一部分信号。它的输入为这两个信号之差。部分

8、信号。它的输入为这两个信号之差。 运放运放2的输入信号是的输入信号是Vo，其输出为，其输出为-(R2/R1)Vo。于是，图于是，图(a)可以简化为图可以简化为图(b)。(b)(a)ov2A1Aiv3R4R2R1Rov1Aiv3R4RovRR123.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用434124)(RRRVRRVoRioVRRRVRR)(43412)1 (4321RRRRVVio因为因为Ia=0，所以电阻，所以电阻R4上的电压为：上的电压为： 因为因为Va=0，所以电阻，所以电阻R4上的电压必须等于输入上的电压必须等于输入电压电压Vi： 求得增益为：求得增益为： ov1Aiv3R4

9、RovRR123.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用例例3.4 差动式积分运算电路如图所示。设运算放大器差动式积分运算电路如图所示。设运算放大器是理想的，电容上的初始电压等于零，且是理想的，电容上的初始电压等于零，且C1=C2=C，R1=R2=R。求该电路的输出电压和输。求该电路的输出电压和输入电压的关系。入电压的关系。C1-vi1R1+iCvovi2R2vNvPC23.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用 解：输入电压解：输入电压vi2单独作用即单独作用即vi1=0时，电路为同时，电路为同相积分器电路。设此时的输出为相积分器电路。设此时的输出为vo2，于是有：，于是

10、有： )(11)(2svsCRsCsviP)(1)(11 )(22svsRCsvRsCsviPo因为因为1/s表示积分，所以有：表示积分，所以有： dtvRCvtio0221C1-vi1R1+iCvovi2R2vNvPC23.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用dtvRCvtio0121dtvvRCvvvtiiooO01221)(1 同理，当输入电压同理，当输入电压vi1单独作用即单独作用即vi2=0时，电路时，电路为反相积分器电路。设此时的输出为为反相积分器电路。设此时的输出为vo2o2，于是有：，于是有： 可见，此电路实现了差分式积分输出。可见，此电路实现了差分式积分输出。C1

11、-vi1R1+iCvovi2R2vNvPC23.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用 当输入电压当输入电压vi1和和vi2共同作用共同作用于该电路时，其输出于该电路时，其输出vo为：为：例例3-5差动放大电路如图所示。差动放大电路如图所示。（1）当）当V2分别等于分别等于0、V1、-V1时，求从时，求从V1看进看进去的阻抗；去的阻抗；（2）当）当V1分别等于分别等于0、V2、-V2时，求从时，求从V2看进看进去的阻抗。去的阻抗。-kRVoI1RI2 +V1R+V2abkR3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用kkVkRRkRVVVba122RVVkkVRkkVVRVV

12、Ia）121211111 (11211111VVkkRIVZ 解：（解：（1）为了求从）为了求从V1看进去的阻抗看进去的阻抗Z1，必须计，必须计算算I1, 其中其中I1与与V1 和和a点的电压有关。点的电压有关。a点的电压与点的电压与b点的电压相等点的电压相等.于是有：于是有： V1提供的电流提供的电流I1为：为： 于是，可以求出于是，可以求出Z1： -kRVoI1RI2 +V1R+V2abkR3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用RkVkRRVI)1 (222)1 (222kRIVZ V2分别等于分别等于0、V1、-V1时，求从时，求从V1看进去的阻看进去的阻抗抗Z1分别为：分

13、别为：（2）为了求从）为了求从V2看进去的阻抗看进去的阻抗Z2，必须计算，必须计算I2。因为因为b点通过电阻点通过电阻KR接地接地, 所以所以I2与与V1无关。于是无关。于是当当V1分别等于分别等于0、V2、-V2时，求从时，求从V2看进去的阻抗看进去的阻抗都相等都相等。为：为：-kRVoI1RI2 +V1R+V2abkRkkRZkRZRZVVVVV211)1 (121221101V1=V2的情况下，阻抗Z1达最大值。3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用例例3-6由运算放大器组成的放大电路如图由运算放大器组成的放大电路如图3-2所示所示,调整调整电位器可使放大器的增益在电位器可

14、使放大器的增益在-10到到+10 之间变化。之间变化。 (a) 求求r1和和r2的值；的值； (b) k为何值时放大器的增益等于零？为何值时放大器的增益等于零？ (c) 将求出的值转换为实际值。将求出的值转换为实际值。r1r2K10(1-K)1010+Vi11211_+Vo3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用解解：(1)求求r1和和r2的值的值因为图因为图(a)中信号源中信号源Vi的内阻为零，故可以的内阻为零，故可以将它改画为图将它改画为图(b)(c)r1r2K10(1-K)1010+Vi11211_+Vo11r1r2K10(1-K)1011_+Vo+Vi+Vi2r1r2K10

15、(1-K)1010+Vi11211_+Vo3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用(a)(b)(c)为了简化电路，为了简化电路，根据戴维宁定理，根据戴维宁定理，将图将图(c)改画改画为图为图(d)11r1r2K10(1-K)1011_+Vo+Vi+Vi211r2K10(1-K)1011_+Vo2r110)1 (22krrVi+1011krrVi(c)(d)3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用1111;1(3 1)10110GGGkrkr 由图由图(d)(d)可以求出电路的反向增益可以求出电路的反向增益G-和同相增益和同相增益G+: 11r2K10(1-K)1011_

16、+Vo2r110)1 (22krrVi+1011krrVi3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用GkrrVGkrrVVii10)1(1022110由叠加原理得由叠加原理得： 1111212111( )()1010110111(32)10(1)10110oiVrG kkrVrkkrrkrrkkr11r2K10(1-K)1011_+Vo2r110)1 (22krrVi+1011krrViGGrkrkG1;1010111113.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用10101211)0(22rrG 在在k=0的极端情况下，上式中第一项最大，第的极端情况下，上式中第一项最大，第

17、二项最小。因此，输出最负，于是有：二项最小。因此，输出最负，于是有：由此求得：由此求得： r2=10/11r1r2K10(1-K)1010+Vi11211_+Vo10101111 10)1 ()1010111(10)(11221111rkrkkrrrkrkkrrVVkGio3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用10)10101111 ()1010111(10) 1 (111111rrrrkrrG在在k=1的极端情况下，输出最正，于是有：的极端情况下，输出最正，于是有：由此求得由此求得： r1=20/99。r1r2K10(1-K)1010+Vi11211_+Vo10101111 1

18、0)1 ()1010111(10)(11221111rkrkkrrrkrkkrrVVkGio3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用 （2） k为何值时放大器的增益等于零？为何值时放大器的增益等于零？将将r1=20/99、r2=10/11代入代入G(k)的表达式，得：的表达式，得： )1112)(1192()24145(10)(kkkkG令令G(K)=0, 可求得增益等于零时的可求得增益等于零时的k值：值： k=24/145。得：得：10101111 10)1 ()1010111(10)(11221111rkrkkrrrkrkkrrVVkGio3.1 理想运算放大器及其应用理想运算

19、放大器及其应用 （3）将求出的值转换为实际值。）将求出的值转换为实际值。 如果如果Vi超过数十毫伏，则图超过数十毫伏，则图3-2中的电流很大，中的电流很大，从而对信号源和运放的输出增加不必要的负担，从而对信号源和运放的输出增加不必要的负担，运算放大器可能过激励。为了解决这一问题，将运算放大器可能过激励。为了解决这一问题，将图中各电阻乘以图中各电阻乘以1000。因为阻抗的定标并不影响。因为阻抗的定标并不影响电压比，所以增益的表达式不变。电压比，所以增益的表达式不变。 这一问主要是为了使学生了解运算放大器电路这一问主要是为了使学生了解运算放大器电路中实际元件值的实际范围。中实际元件值的实际范围。3

20、.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用 在以上讨论中，都假定运算放大器工作在在以上讨论中，都假定运算放大器工作在线性状态。线性状态。 实际的运算放大器的工作状态有三种：实际的运算放大器的工作状态有三种： 线性状态；线性状态； 出现振荡；出现振荡； 饱和状态。饱和状态。 如果运算放大器工作在饱和状态或出现振如果运算放大器工作在饱和状态或出现振荡，则上面讨论的方法不在适用。荡，则上面讨论的方法不在适用。3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用 判断算放大器到底是否工作在线性状态的简单方法是：判断算放大器到底是否工作在线性状态的简单方法是： 搭建电路并测试它。例如，对于反相运

21、算放大电路，如搭建电路并测试它。例如，对于反相运算放大电路，如果它工作在线性状态，则其输入和输出的关系为：果它工作在线性状态，则其输入和输出的关系为： 12RRVVio 如果测得的结果符合上述关系，则证明运算放大器如果测得的结果符合上述关系，则证明运算放大器工作在线性状态；工作在线性状态； 如果输入为直流电压，而测得的输出是正弦波，则如果输入为直流电压，而测得的输出是正弦波，则证明运放大器出现振荡；证明运放大器出现振荡； 如果无论输入怎么变化，测得的输出都是一个固定如果无论输入怎么变化，测得的输出都是一个固定不变的直流电压，则证明运放大器工作在饱和状态。不变的直流电压，则证明运放大器工作在饱和

22、状态。3.1 理想运算放大器及其应用理想运算放大器及其应用3.2 实际运算放大器对电路性能的影响实际运算放大器对电路性能的影响3.2 实际运算放大器实际运算放大器3.2.1. 实际运算放大器的单极点模型实际运算放大器的单极点模型 1 实际运算放大器和理想运算放大器的不同实际运算放大器和理想运算放大器的不同: (1)增益不再是无穷大而是与频率有关增益不再是无穷大而是与频率有关,即即A(s). (2)输入电压不再是零而是输入电压不再是零而是Va(s). (3)输出电压也是频率的函数输出电压也是频率的函数Vo(s)=A(s)Va(s). 实际运算放大器的符号如图实际运算放大器的符号如图3-8(a)所

23、示。改进所示。改进模型如图模型如图3-8(b)所示所示.它是理想化模型的改进。它是理想化模型的改进。 (a)电路符号电路符号(b)等效电路等效电路Vo(s)=A(s)Va(s)_+A(s)I1=0I2=0Va(s)12+Vo(s)_3+312Va(s)3.2 实际运算放大器实际运算放大器2 实际运算放大器的单极点下降模型实际运算放大器的单极点下降模型 运算放大器的频率特性：运算放大器的频率特性： 一个实际的运算放大器的频率特性如图所示一个实际的运算放大器的频率特性如图所示A020A10|A(j)|A000A0020logA0|A(j)|/dB3dB-6dB/倍频程-20dB/十倍频程 实际的运

24、算放大器的频率特性具有归一化的实际的运算放大器的频率特性具有归一化的6dB/倍频程或倍频程或20dB/十倍频程下降的特性。十倍频程下降的特性。 3.2 实际运算放大器实际运算放大器 运算放大器的运算放大器的这种特性是由运算放大器及其它这种特性是由运算放大器及其它的内部或外部的频率补偿网络共同实现的。的内部或外部的频率补偿网络共同实现的。 采采用内部补偿的运算放大器使用起来比较方便。采用内部补偿的运算放大器使用起来比较方便。采用内部补偿的运算放大器具有更大的使用灵活性，用内部补偿的运算放大器具有更大的使用灵活性，可以增大运算放大器的工作频率范围。可以增大运算放大器的工作频率范围。 实际运算放大器

25、的缺点，恰恰就是因为实际运算放大器的缺点，恰恰就是因为A(s)、Va(s)、 Vo(s)都与频率有关。都与频率有关。 其它新型的有源器件如电流传送器等其它新型的有源器件如电流传送器等, 恰恰恰恰就是为了克服这些缺点的。就是为了克服这些缺点的。3.2 实际运算放大器实际运算放大器 单极点下降模型：单极点下降模型： 工作在小信号状态下的运算放大器，其实际的工作在小信号状态下的运算放大器，其实际的增益增益(s)可以用一个主导极点表示，即可以用一个主导极点表示，即000000(3 1)1/AAGBA SSSS（ ） 式（式（3-1）称为实际运算放大器的单极点下降）称为实际运算放大器的单极点下降模型。它

26、的幅度和相位特性如图模型。它的幅度和相位特性如图3-9所示所示.04523A020A10|A(j)|0A0020logA0|A(j)|/dBA003.2 实际运算放大器实际运算放大器000000(3 1)1/AAGBA SSSS（ ）04523A020A10|A(j)|0A0020logA0|A(j)|/dBA00S=0 时时: A(s)= A0S= 时时: A(s)= 0S=W0时时: A(s)= A0/2 上式称为实际运算放大器的单极点模型。上式称为实际运算放大器的单极点模型。3.2 实际运算放大器实际运算放大器其中其中: A0:运放的开环直流增益运放的开环直流增益. 典型值为典型值为10

27、5； 0:运放的运放的3dB频率频率,也代表了也代表了3dB带宽带宽.典型值典型值为为10rad/S； GBA0 0运放的增益带宽积运放的增益带宽积.它是运放的开它是运放的开环增益等于环增益等于1时的频率时的频率;04523A020A10|A(j)|0A0020logA0|A(j)|/dBA003.2 实际运算放大器实际运算放大器(c)幅度特性(Bode图)(a)幅度特性(b)相位特性00A0004523A020A1|A(j)|20logA0|A(j)|/dBA00单极点运算放大器的幅度和相位特性单极点运算放大器的幅度和相位特性3.2 实际运算放大器实际运算放大器当当0时实际运算放大器的单极点

28、模型：时实际运算放大器的单极点模型：当当0时，式时，式(3-1)简化为简化为001( )(32)AGBA ssss 式（式（3-2）称为）称为0时实际运算放大器的单时实际运算放大器的单极点模型。其中极点模型。其中A00=GB 称为运算放大器的带宽增益积；称为运算放大器的带宽增益积； =1/ A00 称为运算放大器的时间常数。称为运算放大器的时间常数。3.2 实际运算放大器实际运算放大器 结论：结论： (1) 当当0时，增益为时，增益为2/00AjA）（jGBjAjA00）（ 可见可见,当当0时时,实际运算放大器的增益与实际运算放大器的增益与成反比成反比,相位移为一个常数相位移为一个常数- /2

29、.(4) 由图由图3-9(c)的波特图可见的波特图可见,实际运算放大器实际运算放大器的增益特性是自然的低通特性。在高频时，幅的增益特性是自然的低通特性。在高频时，幅频特性按频特性按6 dB /10倍频程下降。所以它的这倍频程下降。所以它的这种模型称为单极点下降模型。种模型称为单极点下降模型。3.2 实际运算放大器实际运算放大器 在线性应用时，运算放大器不能在开环状况在线性应用时，运算放大器不能在开环状况下使用下使用,而必须工作在闭环状态。原因而必须工作在闭环状态。原因: (1)大的增益大的增益.特别是低频信号时会引起放大器特别是低频信号时会引起放大器的过驱动，从而会使放大器超出它的动态范围。的

30、过驱动，从而会使放大器超出它的动态范围。例如，一个运算放大器的直流增益例如，一个运算放大器的直流增益10，一个一个150的直流信号会产生的直流信号会产生-15的输出，它的输出，它会使运算放大器产生饱和。会使运算放大器产生饱和。 (2)大的信号会使运算放大器进入非线性区。大的信号会使运算放大器进入非线性区。在这种情况下在这种情况下,由式由式(3-1)表示的小信号模型不再表示的小信号模型不再适用。适用。3.2 实际运算放大器实际运算放大器实际运算放大器模型的建立和简化过程实际运算放大器模型的建立和简化过程理想特性理想特性（线性的）（线性的）0A0020logA0|A(j)|/dBA020A10|A

31、(j)|A000A0020logA0|A(j)|/dB0|A(j)|A00实际特性实际特性（非线性的）（非线性的）分段线性模型分段线性模型（波特图）（波特图）线性模型（单线性模型（单极点下降模型）极点下降模型）3.2 实际运算放大器实际运算放大器3.2.2 实际运算放大器对电路性能的影响实际运算放大器对电路性能的影响 实际运算放大器的非理想特性为有源实际运算放大器的非理想特性为有源RC滤滤波器的分析和设计带来了一定的复杂性。当电波器的分析和设计带来了一定的复杂性。当电路的截止频率达到运算放大器的带宽增益积路的截止频率达到运算放大器的带宽增益积A00的的1/100时，采用理想模型分析实际放大时，

32、采用理想模型分析实际放大器将带来比较大的误差。下面分析这种误差器将带来比较大的误差。下面分析这种误差。3.2 实际运算放大器实际运算放大器1. 同相放大器的带宽和增益同相放大器的带宽和增益（1）电路）电路 同相放大器的电路如图同相放大器的电路如图 (a)所示。考虑它是一所示。考虑它是一个实际的运算放大器组成的电路，而采用单极点个实际的运算放大器组成的电路，而采用单极点模型时，该放大器的性能就与频率有关。其等效模型时，该放大器的性能就与频率有关。其等效电路如图电路如图(b)所示所示.-A(s)VoR1+Vi1Va(s)2R2+31Va(s)2+Vo(s)=Va(s)A(s)+Vi3R1R2(a)

33、同相运算电路(b)等效电路3.2 实际运算放大器实际运算放大器11121119)(),oooioiRVVVRRKVA VVVVVA（3又即(3 10)1oiVKKAKVAKA （2）增益的一般表示增益的一般表示 为了求转移函数为了求转移函数Vo/Vi，先求出节点，先求出节点1的电压的电压V1: 于是增益为于是增益为： 其中，其中，K=1+(R2/R1)为为A=时的闭环增益。时的闭环增益。1Va(s)2+Vo(s)=Va(s)A(s)+Vi3R1R2ooiVKAVV13.2 实际运算放大器实际运算放大器 结论结论: 由理想运算放大器组成的同相运算放大电路的由理想运算放大器组成的同相运算放大电路的

34、增益与运放的开环增益增益与运放的开环增益A有关有关.为为:AKKAAKKVVio1 在运算放大器为理想的情况下，开环增益在运算放大器为理想的情况下，开环增益|A|，增益，增益Vo/ViK。 KRRRVVio211 由实际运算放大器组成的同相运算放大电路由实际运算放大器组成的同相运算放大电路的增益与运放的开环增益的增益与运放的开环增益A有关有关.为为:3.2 实际运算放大器实际运算放大器000(3 11)oiGBGBVsAKKKKGBGBVAKKssK（3 3）增益的单极点模型表示）增益的单极点模型表示 如果运算放大器的增益不但为有限值如果运算放大器的增益不但为有限值A,A,而且为而且为频率的函

35、数频率的函数A(s),A(s),可以用两种模型来分析运算放可以用两种模型来分析运算放大器所组成的电路的转移函数大器所组成的电路的转移函数: : 则采用单极点模型则采用单极点模型A(s)=GB/(s+A(s)=GB/(s+0 0) )后，增益后，增益为：为：3.2 实际运算放大器实际运算放大器3.2 实际运算放大器实际运算放大器00003dB0011( )AAKKKKA sKsKsVsVsHio1)()()(j )1jKHK 任何形式如任何形式如K/(s+a)的函数，其的函数，其3dB带宽为带宽为=a。由式由式(3.27)可见，实际运算放大器组成的同相放大可见，实际运算放大器组成的同相放大电路的

36、电路的3dB带宽为：带宽为： 可见，采用实际运算放大器以后，同相放大器可见，采用实际运算放大器以后，同相放大器增益由固定值增益由固定值K=(1+R2/R1)变为变为K/(1+sK)。或或 如果运算放大器采用如果运算放大器采用式式(3.22)简化的单极点模简化的单极点模型型A(s)=A00/s=1/s时，由式时，由式(3.26)可求得放大器可求得放大器的增益为的增益为： 设一个实际运算放大器的设一个实际运算放大器的K=2，它的增益带宽，它的增益带宽积积A0f0=106Hz，由它组成的同相放大器在，由它组成的同相放大器在104-106范围内的幅频特性和相频特性如图所示。范围内的幅频特性和相频特性如

37、图所示。 由图可见，当电路的工作频率接近运算放大器由图可见，当电路的工作频率接近运算放大器的的A0f0时，电路的特性与理想值差别很大。时，电路的特性与理想值差别很大。 当当K1时，可按前面两式估算网络函数幅度时，可按前面两式估算网络函数幅度及相位的变化量。及相位的变化量。20.8104106理想特性K=2实际特性1040-90理想特性=0o实际特性（a）幅频特性（b）相频特性3.2 实际运算放大器实际运算放大器300(1)(3 17)dBGBGBKKKA318)dBGBK（3GBKdB30(5)小结小结 (a) 由式（由式（3-10）可知，）可知，K0越大越大,(K0/A)越小，实越小，实际放

38、大器的增益越接近理想放大器的增益际放大器的增益越接近理想放大器的增益K0。 (b) 由式（由式（3-11）可知）可知,运算放大器的运算放大器的3-dB带宽带宽为：为： 通常情况下，通常情况下，K/A03dB，则同相放大器的幅频特性按则同相放大器的幅频特性按6dB/10倍频程下降倍频程下降. (e) 增益的相位从增益的相位从0变化到变化到-/2， 3dB频率处频率处的相位为的相位为-/4。3.2 实际运算放大器实际运算放大器2 反相放大器反相放大器（1）电路）电路 反相放大器的电路如图反相放大器的电路如图3-12(a)所示。考虑它是所示。考虑它是一个实际的运算放大器组成的电路，而采用单极一个实际

39、的运算放大器组成的电路，而采用单极点模型时，该放大器的性能就与频率有关。其等点模型时，该放大器的性能就与频率有关。其等效电路如图效电路如图3-12（b）所示）所示+Vi-A(s)VoR11Va(s)2R2+3(a)反相运算电路+Vo(s)=Va(s)A(s)+Vi3R1R2(b)等效电路1Va(s)23.2 实际运算放大器实际运算放大器（2）增益的一般表示）增益的一般表示先求出运算放大器的输入电压先求出运算放大器的输入电压Va: 设运算放大器的增益是有限的且为设运算放大器的增益是有限的且为A AVVoa流过流过R1的电流为的电流为111)(RAVVRAVVioioi输出电压输出电压Vo为为21

40、21)/(RRAVVAVRiAVVoiooo增益为增益为ARRRRVVio/ )/1 (1/12123.2 实际运算放大器实际运算放大器 在运放为理想情况下，在运放为理想情况下，|A|，则有，则有: 12RRVVio运放反相端的电压运放反相端的电压Va0 为了减小运算放大器的开环增益为了减小运算放大器的开环增益A对电路的闭对电路的闭环增益环增益Vo/Vi的影响的影响,需要使需要使:ARR1213.2 实际运算放大器实际运算放大器211221(3 19)1iaaiaV RV ARVRRVVKKARKR 即其中，(320)11oiVKKVA 增益的另一种求法增益的另一种求法:为了求转移函数为了求转

41、移函数Vo/Vi，需，需要先根据叠加原理求出运算放大器的输入电压要先根据叠加原理求出运算放大器的输入电压Va: 又因为又因为Vo=AVa,于是增益为：于是增益为： 在运放为理想情况下，在运放为理想情况下，|A|， Vo/Vi-K。3.2 实际运算放大器实际运算放大器（3 3）增益的单极点模型表示）增益的单极点模型表示 运算放大器采用单极点模型运算放大器采用单极点模型A A（s s）=GB/(s+=GB/(s+0 0) )后，式（后，式（3-203-20）变为：）变为：011(321( )111oiGBVKKKaKGBVsAK 一般情况下，一般情况下，0 0，则上式简化为：，则上式简化为：11(

42、321( )111oiGBVKKKbKGBVsAK 3.2 实际运算放大器实际运算放大器 当采用简化的单极点模型时当采用简化的单极点模型时：( )1( )1( )1 (1)1( )1(1) (322)oiV sKH sKKKV sKsAH ss K ( )1(1)(323)( )Hss KHs()( )(1)(1)(324)()( )sjH jH sj KH jH s |()|025)|()|( )1)(326)H jH jK （3（ 根据式（根据式（3-8）得）得Ks很小时网络函数的变化量：很小时网络函数的变化量：根据式（根据式（3-6）和（）和（3-7）以及式（）以及式（3-23）得）得当

43、当Ks很小时网络函数幅度及相位的变化量：很小时网络函数幅度及相位的变化量：3.2 实际运算放大器实际运算放大器4 反相积分器的带宽和增益反相积分器的带宽和增益（1）电路）电路反相积分器的电路如图反相积分器的电路如图3-13(a)所示。考虑它是所示。考虑它是一个实际的运算放大器组成的电路，而采用单极一个实际的运算放大器组成的电路，而采用单极点模型时，该放大器的性能就与频率有关。其等点模型时，该放大器的性能就与频率有关。其等效电路如图效电路如图3-13（b）所示）所示+ViA(s)VoR1Va(s)2C-+3+Vo(s)=Va(s)A(s)3R(a)反相积分器电路(b)等效电路+Vi1Va(s)2

44、C3.2 实际运算放大器实际运算放大器1(327)1iooaVV RVsCVARsC11(328)11()oiVVRCssARC （2）增益的一般表示）增益的一般表示为了求转移函数为了求转移函数Vo/Vi，需要先根据叠加原理求，需要先根据叠加原理求出运算放大器的输入电压出运算放大器的输入电压Va，并令它等于，并令它等于-Vo/A： 于是增益为：于是增益为： 在运算放大器为理想的情况下，在运算放大器为理想的情况下，|A|， Vo/Vi-1/(sRC）。）。3.2 实际运算放大器实际运算放大器20001111(3 29)11()()oiVsVRCRCssss GBGBRCRCRC1( )( )(

45、)1 ()(330)( )1oiV ssRCH sH ssV sRCsRC( )1)(3 31)( )H ssH sRC （3 3）增益的单极点模型表示）增益的单极点模型表示运算放大器采用单极点模型运算放大器采用单极点模型A A（s s）=GB/(s+=GB/(s+0 0) )后，式（后，式（3-283-28）变为：）变为： 当当运算放大器运算放大器采用简化的单极点模型采用简化的单极点模型A A（s s）=A=A0 00 0/s=1/s/s=1/s时，式（时，式（3-283-28）变为：）变为：3.2 实际运算放大器实际运算放大器()( )1()(332)()( )sjH jH sjH jH

46、sRC |()|33)|()|( )(334)H jH jRC （3 根据式（根据式（3-8）得）得Ks很小时网络函数的变化很小时网络函数的变化量：量： 根据式（根据式（3-6）和（）和（3-7）以及式（）以及式（3-23）得）得Ks很小时网络函数幅度及相位的变化量：很小时网络函数幅度及相位的变化量：3.2 实际运算放大器实际运算放大器例3-4反相加法器电路如图3-13所示。其中的运算放大器符合单极点模型。（1）求输出电压Vo的表达式；（2）求放大器的3-dB带宽。(a)反相积分器电路(b)等效电路+V1-+A(s)VoRaR+V2R(V1+V2)/2VoR/2A(s)-+aR3.2 实际运算

47、放大器实际运算放大器KGBsKGBKVVVo11221aGBsaGBVVkVo2121)(21解：解：（1）利用戴维宁等效定理将电源）利用戴维宁等效定理将电源V1、V2等效以等效以后的电路如图后的电路如图3-13（b）所示。输出电压为：）所示。输出电压为：其中，其中，K=aR/(R/2)=2a, 于是，上式简化为：于是，上式简化为：如果运算放大器为理想的，如果运算放大器为理想的，GB=,=,则输出为：则输出为：)(21VVkVo 3.2 实际运算放大器实际运算放大器（2）任何形式如）任何形式如K/(s+a)的低通函数，的低通函数，其其3-dB带宽为带宽为=a. 因此，根据因此，根据Vo的表达式

48、可的表达式可知，该放大器的知，该放大器的3-dB带宽为带宽为 3dB=GB/(1+2a)根据上述推导，如果有根据上述推导，如果有n个相同的信号源个相同的信号源同时作用在相加器的反相输入端，则该放大同时作用在相加器的反相输入端，则该放大器的器的3-dB带宽为带宽为 3dB=GB/(1+na)3.2 实际运算放大器实际运算放大器3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统 含有一个不可合并的动态元件的系统称为一阶含有一个不可合并的动态元件的系统称为一阶系统，描述一阶系统电压电流关系的方程是一阶系统，描述一阶系统

49、电压电流关系的方程是一阶微分方程。微分方程。 含有两个不可合并的动态元件的系统称为二阶含有两个不可合并的动态元件的系统称为二阶系统，描述二阶系统电压电流关系的方程是二阶系统，描述二阶系统电压电流关系的方程是二阶微分方程。微分方程。 一阶系统和二阶系统是组成高阶系统的基础。一阶系统和二阶系统是组成高阶系统的基础。本节讨论简单的一阶系统和二阶系统。本节讨论简单的一阶系统和二阶系统。3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统3.3.1 一阶系统一阶系统 典型的一阶系统是双线性系统，它的转移函典型的一阶系统是双线性系统，它的转移函数如下：数如下：001)(bsasasH 上式所描述的系统之所以称为双

50、线性系统，上式所描述的系统之所以称为双线性系统，是因为这种系统的转移函数的分子和分母都是是因为这种系统的转移函数的分子和分母都是s的线性函数。双线性函数描述的是一个一阶的线性函数。双线性函数描述的是一个一阶滤波电路，该滤波电路的传输极点为滤波电路，该滤波电路的传输极点为s=-b0，传输零点为传输零点为s=-a0/a1。上式也可表示为截止频。上式也可表示为截止频率率0的形式。的形式。001)(sasasH3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统 分子的系数分子的系数a0和和a1决定滤波器的类型。当决定滤波器的类型。当a1=0时，为低通滤波器；当时，为低通滤波器；当a0=0时，为高通滤时，为高

51、通滤波器；当波器；当a0=- a10时，为全通滤波器。下面对时，为全通滤波器。下面对这些滤波器的特性分别进行讨论。这些滤波器的特性分别进行讨论。 3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统00)(sasH1. 一阶低通滤波器一阶低通滤波器(a1=0) 一阶低通滤波器的转移函数为一阶低通滤波器的转移函数为： 一阶低通滤波器转移函数的波特图如图一阶低通滤波器转移函数的波特图如图3.21(a)所示。由图可见，它的截止频率为所示。由图可见，它的截止频率为0，它的低，它的低频频(00)增益随着增益随着的增大而衰减，斜率为的增大而衰减，斜率为-6dB/(倍频程倍频程)或或-20dB/(10倍频程倍频程)

52、。一阶低通滤。一阶低通滤波器的零极点分布如图波器的零极点分布如图3.21(b)所示。由图可见，所示。由图可见，它有一个位于它有一个位于-0处的极点和位于无穷大频率处处的极点和位于无穷大频率处的零点。的零点。3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统|H|/dB斜率=-20dB/10倍频程(log)00log20a0j0iv0vRCRC101直流增益iv0vCCR20112RR直流增益1R2R 下图为用无源元件和有源元件实现的一阶低通下图为用无源元件和有源元件实现的一阶低通滤波器的电路。滤波器的电路。3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统 一个转移函数可以用无源电路实现，也可以用一个转移

53、函数可以用无源电路实现，也可以用有源电路实现。但是有源电路有很多优点：一是有源电路实现。但是有源电路有很多优点：一是体积小、重量轻；二是可获得一定的增益，使电体积小、重量轻；二是可获得一定的增益，使电路更加灵活；三是转移函数各参数可以做到独立路更加灵活；三是转移函数各参数可以做到独立调节，而不互相影响；四是当电路的输出量从运调节，而不互相影响；四是当电路的输出量从运算放大器的输出端取出时，整个电路具有低的输算放大器的输出端取出时，整个电路具有低的输出阻抗。这样，在电路接上负载以后，不会影响出阻抗。这样，在电路接上负载以后，不会影响电路的转移函数，便于各电路的直接级联。这一电路的转移函数，便于各

54、电路的直接级联。这一特性在滤波器中尤为重要。有源滤波器的不足之特性在滤波器中尤为重要。有源滤波器的不足之处是由于受到有源器件有限带宽的影响，因而它处是由于受到有源器件有限带宽的影响，因而它的工作频率较无源电路要低。另外，由于使用的的工作频率较无源电路要低。另外，由于使用的元件比无源滤波器多，因而它的灵敏度比较高。元件比无源滤波器多，因而它的灵敏度比较高。3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统01)(ssasH2. 一阶高通滤波器一阶高通滤波器 (a0=0) 一阶高通滤波器的转移函数为一阶高通滤波器的转移函数为： 一阶高通滤波器转移函数的波特图和零极点一阶高通滤波器转移函数的波特图和零极点

55、分布如图所示。分布如图所示。|H|/dB斜率=-20dB/10倍频程(log)|log201a0j03.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统0RCRC101高频增益iv0vCR10112RR高频增益1R2RC一阶高通滤波器 3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统010aa)0()(1001assasH3. 一阶全通滤波器一阶全通滤波器 （ ）一阶全通滤波器的转移函数为一阶全通滤波器的转移函数为0dBH / |log201aj0000O90O18003.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统0RCRC105 . 0增益1R1RRC101增益iv0v1R1RCR一阶全通滤波器一阶全通滤

56、波器 3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统低通（LP）00)(sasHj00000log20adB/ |H倍频程10/dB200高通（HP）01)(ssasHj0000log20adB/ |H倍频程10/dB2000全通（AP）)0()(1001assasHj0001log20a0900180dB/ | H000滤波器类型和转移函数滤波器类型和转移函数零点和极点分布零点和极点分布转移函数的波特图转移函数的波特图一阶系统小结一阶系统小结3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统22220120122)()()(pppZZZsQssQsKbsbsasasasDsNsH3.3.2 二阶系统

57、二阶系统 二阶系统结构简单，它的数学性质人们已经很二阶系统结构简单，它的数学性质人们已经很熟悉，它的物理特性不但容易测量而且容易调整。熟悉，它的物理特性不但容易测量而且容易调整。它是构成高阶系统的基本模块，是非常重要的。它是构成高阶系统的基本模块，是非常重要的。1. 二阶系统及其一般描述二阶系统及其一般描述 一般的二阶系统的转移函数是复变量一般的二阶系统的转移函数是复变量s的两个的两个二次多项式之比。即二次多项式之比。即3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统 其中，其中，z和和p分别为系统的零点频率和极点分别为系统的零点频率和极点频率，频率，Qz和和Qp分别为系统的零点分别为系统的零点Q

58、值和极点值和极点Q值。由式值。由式(3.44)可见，二阶系统转移函数的分子可见，二阶系统转移函数的分子和分母都是复变量和分母都是复变量s的二次函数，称为双二次函的二次函数，称为双二次函数。数。22220120122)()()(pppZZZsQssQsKbsbsasasasDsNsH3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统 通过合理设置转移函数的极点并调整二阶通过合理设置转移函数的极点并调整二阶系统表达式的分子可实现各种二阶滤波函数。系统表达式的分子可实现各种二阶滤波函数。 当当a1=a2=0时，可实现二阶低通滤波函数。时，可实现二阶低通滤波函数。 当当a0=a1=0时，可实现二阶高通滤波函

59、数。时，可实现二阶高通滤波函数。 当当a0=a2=0时，可实现二阶带通滤波函数。时，可实现二阶带通滤波函数。 当当a1=0时，可实现二阶带阻滤波函数。时，可实现二阶带阻滤波函数。 当当a0=b0，a1=b1， a2=1时，可实现二阶时，可实现二阶全通滤波函数。全通滤波函数。 22220120122)()()(pppZZZsQssQsKbsbsasasasDsNsH3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统 2022210( )zpppaH sKsbsbssQ2. 二阶低通滤波器二阶低通滤波器(a1=a2=0) 式中，当式中，当a1=a2=0时，可实现二阶低通滤波时，可实现二阶低通滤波函数。它

60、的转移函数为：函数。它的转移函数为： 它的低频增益为它的低频增益为0dB（放大倍数为（放大倍数为1）；）； 它的高频增益随它的高频增益随s的增大而衰减，斜率为的增大而衰减，斜率为40dB/(10倍频程倍频程)。 3.3 一阶系统和二阶系统一阶系统和二阶系统 幅频特性幅频特性 低频增益：为低频增益：为0dB(s=00dB(s=0时时, ,若若K=1,K=1,则则H(s)=1H(s)=1即即0dB)0dB) 高频增益：随高频增益：随s s2 2而衰减，斜率为而衰减，斜率为-40dB/10-40dB/10倍频倍频程。程。 零极点分布：有一对复数极点。零极点分布：有一对复数极点。在无穷远处有二在无穷远