弹塑性力学应力分析

1、2-1 2-1 斜截面上的应力斜截面上的应力2-2 2-2 应力状态的坐标变换应力状态的坐标变换2-3 2-3 应力状态的主应力和主方向应力状态的主应力和主方向2-4 2-4 应力张量的分解应力张量的分解2-5 2-5 平衡微分方程平衡微分方程2-6 2-6 应力边界条件应力边界条件xyzABCONxzyxyxzzxzyyzyxNpzpypxpyzyzzyyzzxxxzxyxyz2-1 2-1 斜截面上的应力斜截面上的应力 已知物体在任一点已知物体在任一点O的六个应力分量的六个应力分量 , 求经求经过过O点的任一斜截面上的应力点的任一斜截面上的应力ij123cos,cos,cos,lxlylz

2、NNN令平面令平面ABC的外法线为的外法线为N，其方向余弦为，其方向余弦为设斜截面上全应力为：设斜截面上全应力为：Np沿坐标的分量为：沿坐标的分量为：,xyzppp简写为：简写为：ip设四面体斜面的面积为：设四面体斜面的面积为：NS则三个直面的面积为：则三个直面的面积为：123ddddddxNyNzNSS lSS lSS l简写为：简写为：ddiN iSS l(1, 2,3)i 考虑四面体微元的平衡考虑四面体微元的平衡0X dddd0 xNxxyxyzxzpSSSS0Y dddd0yNxyxyyzyzpSSSS0Z dddd0zNxzxyzyzzpSSSSxyzONxzyxyxzzxzyyzy

3、xNpzpypxpdd0jNijipSSddjNij iNpSl S所以所以jij ipl即即123123123xxyxzxyxyyzyzxzyzzplllplllplllCauchy定理定理 已知一点应力状态，可求过该点任意斜截面上的全应力在三已知一点应力状态，可求过该点任意斜截面上的全应力在三个（正交）坐标轴上的分量个（正交）坐标轴上的分量或或iji jpl 若该斜截面是外边界的一点，其上作用的面力为若该斜截面是外边界的一点，其上作用的面力为xyzppp,则则Cauchy公式表明了边界外力（面力）与该点应力的关系公式表明了边界外力（面力）与该点应力的关系应力边界条件应力边界条件xyzNNp

4、zpypxpNN将将 向外法线和斜面分解为向外法线和斜面分解为 和和 。NpNN则则123Nxyzp lp lp l即即Nj jp l将将Cauchy定理代入：定理代入：Nij i jll展开整理得：展开整理得：2221231 22 33 1222Nxyzxyyzzxllll ll ll l由由 可求得：可求得：2222222NNNNxyzppppp2222NxyzNppp特例：平面应力状态斜截面应力公式特例：平面应力状态斜截面应力公式00000 xyxijxyyxyNypxpNNyxxyxycossin0jlcossincossin00 xxyxiyij jxyypppl22cossinsi

5、ncossincosNij i jxyyxxyll22cossin2sincosxyxy11()()cos2sin222xyxyxy222xNyNpp材料力学中斜截面应力公式为材料力学中斜截面应力公式为11()()cos2sin2221()sin2cos22NxyxyxyNxyxy 原因？原因？1()sin2cos22xyxy例例2-1 物体中一点的应力张量为 , 求作用在过此点的平面 上的法向和切向应力。 012120 MPa201 31xyz解：解： 平面外法向的方向余弦12221111131l 22223311131l 32221111131l 11511j jpl22711j jpl3

6、3311j jplNij i jl l11 1 112 1 213 1 3l ll ll l21 2 122 2 223 2 3l ll ll l31 3 132 3 233 3 3l ll ll l112233jjjjjjl ll ll l32318210001111111111112222225499296 211111112111NxyzNppp2911若视若视 为外法线的坐标面为为外法线的坐标面为 坐标系下的斜截面坐标系下的斜截面 则该点在则该点在 坐标系下（旋转）的应坐标系下（旋转）的应力张量力张量 有什么关系？有什么关系？xzzxyzxzyzyyzyxxyx2-2 2-2 应力状态

7、的坐标变换应力状态的坐标变换xy z zyzyxy x x y x z z x z y 已知一点的应力状态在已知一点的应力状态在 坐标系下的应力坐标系下的应力张量为张量为 ，设两坐标系三轴的方向余弦为设两坐标系三轴的方向余弦为 定义为定义为ijlxyzxyz11l12l13l21l22l23l31l32l33lOxyzx则则11xij ijl l同理同理22yij ijl l33zij ijl lOxyzijOx y z i j 将该斜截面的全应力分量将该斜截面的全应力分量 分别向分别向 方向方向投影投影即得即得 。仍视仍视 为外法线的坐标面为为外法线的坐标面为 坐标系下的斜截面坐标系下的斜截

8、面Oxyzx,xyzppp,yz,x yx z 122232212x yxyzjjij ijp lp lp lp ll l 132333313x zxyzjjij ijp lp lp lp ll l 同理同理21y xij ijl l 23y zij ijl l 31z xij ijl l 32z yij ijl l 所以所以i jij i ij jll 此系二阶张量的本质特征此系二阶张量的本质特征 数学上将满足上式的一组量称为二阶张量，即决定一点应力数学上将满足上式的一组量称为二阶张量，即决定一点应力状态的状态的9个应力分量个应力分量 是一个二阶张量，称为是一个二阶张量，称为应力张量应力张量

9、ij2-3 2-3 应力状态的主应力和主方向应力状态的主应力和主方向定义：定义：1. 当当 P 点的某一斜截面上的切应力为零时，则该斜截面点的某一斜截面上的切应力为零时，则该斜截面上的正应力称为上的正应力称为 P点的一个点的一个主应力主应力。2. 该斜截面称为该斜截面称为P点的一个应力主面（点的一个应力主面（主平面主平面）。）。3. 主平面法线方向称为主平面法线方向称为P点一个应力主向，或称点一个应力主向，或称主方向主方向。由定义，在主平面上由定义，在主平面上0N则全应力则全应力NNp将其向三个坐标投影将其向三个坐标投影iipl由由Cauchy公式公式ij jill123112321233xy

10、xzxxyyzyxzyzzllllllllllll123123123()0()0()0 xyxzxxyyzyxzyzzlllllllll()0ijijjl一一. . 应力状态的主应力和主方向应力状态的主应力和主方向主平面方程主平面方程由由22212310lll 0 xyxzxxyyzyxzyzzdet()0ijij即即展开整理，展开整理，ijji其中其中1xyzI2222xyyzzxxyyzzxI 22232xyzxyyzzxxyzyzxzxyI 分别称之为分别称之为P点应力状态的第一、第二和第三点应力状态的第一、第二和第三不变量不变量为什么称为不变量？为什么称为不变量？称之为称之为P点应力状

11、态的点应力状态的特征方程特征方程或或主应力方程主应力方程321230III并考虑并考虑 得得也称为体积应力，习惯上用也称为体积应力，习惯上用 表示。表示。联立联立 求解，得三组方向余弦。即求解，得三组方向余弦。即求解特征方程得主应力，并按从大到小排序求解特征方程得主应力，并按从大到小排序123分别将分别将 回代回代123,2221( )2( )3( )1kkklll()0ijijjl11(1)2(1)3(1):,lll21(2)2(2)3(2):,lll31(3)2(3)3(3):,lll 一定为实根（可证明），分别称为第一、第二和一定为实根（可证明），分别称为第一、第二和 第三主应力。第三主

12、应力。123, 一定相互垂直（可证明），分别称为第一、第一定相互垂直（可证明），分别称为第一、第 二和第三主方向。二和第三主方向。1( )2( )3( ),kkklll 若取若取 为为 坐标轴坐标轴1( )2( )3( ),kkklll,x y z123,0 xyzxyyzzx则则1123I2122331()I 3123I 与坐标选取无关与坐标选取无关（取两式）（取两式）特例特例1 1：平面应力状态主应力及主方向：平面应力状态主应力及主方向00000 xxyijxyy12230 xyxyxyIII 代入特征方程代入特征方程32()()0 xyxyxy 解方程（若按大小排序其解为）解方程（若按大

13、小排序其解为）22122xyxyxy22222xyxyxy30将将 回代回代1()0ijijjl11(1)2(1)1(1)12(1)1 3(1)()0()00 xyxxyylllll联立联立 解之解之2221(1)2(1)3(1)1lll1(1)2212(1)2213(1)()()0 xyxxyxyyxylll221(2)2(2)1(2)22(2)2 3(2)()0()00 xyxxyylllll1(3)2(3)1(3)2(3)00 xyxxyyllll32221(2)2(2)3(2)1lll2221(3)2(3)3(3)1lll1(2)2222(2)2223(2)()()0 xyxxyxyy

14、xylll1(3)2(3)3(3)001lll设设 为第一主方向与为第一主方向与x轴的夹角轴的夹角1(1)cosl则由三角函数关系可得则由三角函数关系可得2tan2xyxy例例2-2 已知弹性体内部某点的已知弹性体内部某点的应力状态为应力状态为求主应力和主方向。求主应力和主方向。00000ijaaaaaa解：解：不变量的计算不变量的计算1xyzIa2222xyyzzxzxIa 230 xyzyzxI 代入特征方程代入特征方程32220aa解之解之12320aa 将将 代入代入12a()0ijijjl联立联立 解之解之2221(1)2(1)3(1)1lll1(1)12l2(1)0l3(1)12l

15、 将将 代入代入20()0ijijjl联立联立 解之解之2221(2)2(2)3(2)1lll1(2)12l2(1)0l3(1)12l将将 代入代入3a ()0ijijjl联立联立 解之解之2221(3)2(3)3(3)1lll1(3)0l2(1)1l3(1)0lxyzO 123NN123二二. . 最大和最小应力最大和最小应力 设一点的主应力及其主方向已知，现以设一点的主应力及其主方向已知，现以三主方向取三主方向取Oxyz坐标，如图所示坐标，如图所示主应力单元体主应力单元体123xyz123设任一斜截面设任一斜截面N，其方向余弦为，其方向余弦为l1、l2、l3则由斜截面正应力公式则由斜截面正

16、应力公式2221231 22 33 1222Nij i jxyzxyyzzxllllll ll ll l2221 12 23 3lll22221232 23 3(1)llll求极值求极值21222220Nlll 31333220Nlll 解之解之230ll11l 2221231lll 1N同理，将同理，将 分别代入可得分别代入可得22222221331211llllll 和和2N3N说明说明主应力为斜截面正应力的极值主应力为斜截面正应力的极值及及用类似的方法亦可求出斜截面切应力的极值及其所在平面用类似的方法亦可求出斜截面切应力的极值及其所在平面应力的极值及其所在平面法线的方向余弦应力的极值及其

17、所在平面法线的方向余弦0100l30010l20001l1232312122123222222222222li1N2N3N123极值结论：结论：max1min3作用平面分别为第一和第三主平面作用平面分别为第一和第三主平面13maxmin2 作用平面为第一与第三主平面的角平分面作用平面为第一与第三主平面的角平分面三三. . 八面体应力八面体应力123xyz123 设一点的主应力及其主方向已知，以三设一点的主应力及其主方向已知，以三主方向取主方向取Oxyz坐标，如图所示坐标，如图所示现取一特殊的斜面：现取一特殊的斜面： 123lll注意到：注意到： 2221231lll可求得可求得12313lll

18、1. 1. 八面体斜面上的正应力八面体斜面上的正应力22281 12 23 3lll8123m13可见：可见：八面体正应力等于平均应力八面体正应力等于平均应力m符合上述条件的面有八个，这八个符合上述条件的面有八个，这八个面构成一面构成一八面体八面体，如图所示。，如图所示。 )(1x)(2y)(3z123（等倾面等倾面）2. 2. 八面体斜面上的切应力八面体斜面上的切应力2288p22221238ppp22221 12 23 38()()()lll222212312311()()3922281223311()()()3所以所以四四. . 应力强度应力强度 为让复杂应力状态的受力程度与简单应力状态

19、的受力程度在为让复杂应力状态的受力程度与简单应力状态的受力程度在强度方面作对比，故定义强度方面作对比，故定义222222i1()()()3()2xyyzzxxyyzzx2221223311()()()283 22显然当为单向应力状态时显然当为单向应力状态时i1 即表明复杂应力状态的即表明复杂应力状态的 i 与单向拉伸应力状态的与单向拉伸应力状态的 i 在某种在某种意义上具有相同的强度效应。故称为意义上具有相同的强度效应。故称为正应力强度正应力强度或或等效正应力等效正应力同样，为和纯剪应力状态作对比，定义同样，为和纯剪应力状态作对比，定义222222i1()()()()6xyyzzxxyyzzx

20、11202221223311()()()6862显然当为纯剪应力状态时显然当为纯剪应力状态时i1203 即表明复杂应力状态的即表明复杂应力状态的 i 与纯剪应力状态的与纯剪应力状态的 i 在某种意义在某种意义上具有相同的强度效应。故称为上具有相同的强度效应。故称为切应力强度切应力强度或或等效切应力等效切应力2-4 2-4 应力张量的分解应力张量的分解一一. . 应力椭球应力椭球xyzO 123NN123 设一点的主应力及其主方向已知，仍设一点的主应力及其主方向已知，仍以三主方向取以三主方向取Oxyz坐标，如图所示。坐标，如图所示。 取任一斜面：取任一斜面： 123( ,)N lll由由 iij

21、 jpl得得 11 1pl22 2pl33 3pl代入代入 2221231lll得得 2223121231ppp此即以此即以 为坐标轴，主半轴为为坐标轴，主半轴为 的椭球方程的椭球方程 123,ppp123,故称为故称为应力椭球应力椭球 几何意义：几何意义： 在在 空间中，空间中，123Op p p 过过 O 点任一斜截面上的全应力点任一斜截面上的全应力 的矢端均落在此椭球面上的矢端均落在此椭球面上p二二. . 应力球张量和应力偏张量应力球张量和应力偏张量对于应力椭球，若对于应力椭球，若 ，则应力椭球为球面，则应力椭球为球面123故定义故定义mmmm000000ij 为为应力球张量应力球张量力

22、学意义：三向均拉（压）应力状态力学意义：三向均拉（压）应力状态静水压力静水压力由由 m1231()3有有 123m8113I将应力张量进行分解将应力张量进行分解ijmijijs 即即mmmmmm000000 xxyxzxxyxzyxyyzyxyyzzxzyzzxzyzmmmxxyxzxxyxzijyxyyzyxyyzzxzyzzxzyzssssssssss称称为为应力偏张量应力偏张量应力偏张量为对称二阶张量，与应力张量有类似性质：应力偏张量为对称二阶张量，与应力张量有类似性质：1. 1. 应力偏张量的主值和主方向应力偏张量的主值和主方向11ms22ms33ms主方向与应力张量的主方向一致主方向

23、与应力张量的主方向一致2. 2. 应力偏张量的不变量应力偏张量的不变量10 xyzJsss2222()xyyzzxxyyzzxJs ss ss ssss 22232xyzxyyzzxxyzyzxzxyJs s ss s ss ss ss s2221223311()()()61 2 3s s s3331m2m3m1()()()3()xyyzzxs ss ss s 1 22 33 1()s ss ss s 2-5 2-5 平衡微分方程平衡微分方程在点在点P P 附近取一微元体，附近取一微元体，如图所示，如图所示，PAdxPBdyPCdzP 点的应力为：点的应力为：xxyxzyxyyzzxzyz体力

24、分量为：体力分量为：bbb,xyzFFF由微元体的平衡条件可建立平由微元体的平衡条件可建立平衡微分方程和切应力互等定理。衡微分方程和切应力互等定理。xyzyxyxyxzzxzyzxyzOPABCxdxxxxydxyxxxzdxzxxdyxyxyydyyyydyzyzyydzyzyzzdzzzzdzxzxzzbzFbyFbxF各应力增量均忽略了高阶项各应力增量均忽略了高阶项0 xF dd dxxxy zxd dxy zdd dyxyxyz xyd dyxz xdd dzxzxzx yzd dzxx ybd d d0 xFx y z将上式同除以将上式同除以 dxdydz，化简得：，化简得：b0yx

25、xzxxFxyz同理，由同理，由0,yF 0zF 得到得到 y、z 方向的平衡微分方程。方向的平衡微分方程。xzxyxyxyxzzxzyzxyzOPABCdxxxxdyxyxyydzxzxzzbzFbyFbxFbbb000yxxzxxxyyzyyyzxzzzFxyzFxyzFxyz,b0ij ijF由三个坐标轴的力矩平衡方程由三个坐标轴的力矩平衡方程0,0,0 xyzMMM列方程并忽略高阶项可得列方程并忽略高阶项可得,xyyxyzzyzxxz切应力互等定理切应力互等定理平衡微分方程平衡微分方程：所以有所以有ijji应力张量为二阶对称张量应力张量为二阶对称张量表明了变形固体内一点内表明了变形固体内一点内力（应力）与外力（体力）力（应力）与外力（体力）的平衡关系。的平衡关系。其分量由九个缩减为六个其分量由九个缩减为六个2-6 2-6 应力边界条件应力边界条件123123123()()()()()()()()()xSyxSzxSxxySySzySyxzSyzSzSzlllplllplllp设已知外边界设已知外边界S 上上的一点的外法线方向为的一点的外法线方向为xyzppp,则由则由Cauchy公式公式 表明了变形固体边界表明了变形固体